高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)

必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α<k ·360 °+90 °,k ∈Z }第二象限角的集合为{α| k ·360 °+90 °<α<k ·360 °+180 °,k ∈Z } 第三象限角的集合为{α| k ·360 °+180 °<α<k ·360 °+270 °,k ∈Z } 第四象限角的集合为{α| k ·360 °+270 °<α<k ·360 °+360 °,k ∈Z } 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·90 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例：终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k ·360 °+270 °,k ∈Z }终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k ·180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k ·90 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒：区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化π=︒180，1801π=︒，1弧度︒≈︒=3.57180π2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）弧长公式：R Rn l απ==180, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：lR R n S 213602==π=12 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒：利用S=12R 2|α|求解扇形面积公式时，α为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=（22||r OP x y ==+；化简为xyx y===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线经典结论： (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x << (2)若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥例：y OxyOxα终边yOx yOx P M A TPM A T正弦线余弦线 正切线PP MA TP MA T α终边α终边α终边在单位圆中分别画出满足sin α＝12、cos α＝12、tan α＝－1的角α的终边，并求角α的取值集合sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min1y=-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴考点五 正弦型（y=Asin(ωx ＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx ＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx ＋φ)）图像与性质 1.解析式求法字母 确定途径 说明A 由最值确定 A ＝最大值－最小值2B 由最值确定B ＝最大值＋最小值2ω 由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期φ由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定A 、B 通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路：函数性 质①φ求解思路：代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ，则)(221Z k k x ∈+=+ππϕω或)(2232Z k k x ∈+=+ππϕω，求ϕ值． 易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600②ω求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。

易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x ，不可针对-x 或2x 等. 例： “两域”： (1) 定义域求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域(最值)： a.直接法（有界法）：利用sinx ，cosx 的值域.b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).c.换元法：把sinx 或cosx 看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例：1.y=asinx 2+bsinx+c2.y=asinx 2+bsinxcosx+ccosx 23.y=(asinx+c)/(bcosx+d)4.y=a(sinx ±cosx)+bsinxcosx+c “四性”： (1)单调性①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-π2<ωx+φ<2kπ＋π2，k ∈Z 解得, 单调递减区间由2kπ+π2<ωx+φ<2 kπ＋1.5π，k ∈Z 解得;②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k ∈Z 解得, 单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k ∈Z 解得;③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-π2<ωx+φ<kπ＋π2，k ∈Z 解得,.规律总结：注意ω、A 为负数时的处理技巧．(2)对称性①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋π2(k ∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋π2(k ∈Z) 解得;③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k ∈Z)解得. 规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A 符号. (3)奇偶性①函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；②函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝kπ(k ∈Z)；③函数y ＝Atan(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ2(k ∈Z)．规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A 符号. (4)周期性函数y ＝Asi n(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T ＝π|ω|.考点六 常见公式常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系22sin cos 1θθ+=；tan θ=θθcos sin 2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐” （1）去负，即负角化正角：sin(-a)=-sina ； cos(-a)=cosa ；tan(-a)=-tana ；（2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角：sin(2k π+a)=sina ； cos(2k π+a)=cosa ；tan(2k π+a)=-tana ； （3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角： 6组诱导公式()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：奇变偶不变，符号看象限. 均化为“k π/2±a ”,做到“两观察、一变”。