第五章流体动力学(动量方程及伯努利方程一)
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沿流线伯努利方程又称微小流束的伯努利方程 理想流体总水头线为水平线，表明机械能守恒
粘性流体微小流束的伯努利方程
一、微小流束的伯努利方程 1.方程
hl'
hl′— 损失水头； 单位重量流体在1，2两断面间损失的机械能
表明实际流体，沿流动方向机械能总是减少的。
2.总水头线 H1 = H2 + hl′ H1 > H2
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R′ v2
R
1
2
R
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4Байду номын сангаас
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.022
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38 105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
方程可以推广到微小流束。
p2 u2 z2 y
二、微小流束伯努利方程的意义
z — 位置水头；
单位重量流体 具有的位能（比位能）
（m液柱） — 压力水头；
单位重量流体 具有的比压能 （m液柱） — 速度水头；单位重量流体具有的比动能（m液柱）
— 测压管水头； 单位重量流体 具有的比势能
H—总水头； 单位重量流体的总机械能，总比能
由积分条件 2.沿流线（即沿迹线）积分
等号右端为
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
方程化简为
由积分条件 3.仅在重力场中
∴ X=0, Y=0, 进一步化简为
Z= -g
积分得
上式称为沿流线的伯努利方程
z
方程表示流线上各点 u, p, z 三者间关系；
u1 p1 z1 x
p1
2
(v2 2
v12 )
2
v2
2
[1
(
d2 d1
)4 ]
2
4Q
(d 2
)2[1 ( d2 d1
)4 ]
1000 ( 4 25 / 3600)2[1 (0.02)4 ] 2.38 105 Pa
2 0.022
0.05
沿流向取为x 方向 列动量方程
hl — 单位重量流体的平均水头损失 （粘性内摩擦力引起）
总流伯努利方程
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
取1-2面间空间为控制体
1.dt时段内流束动量变化量
dM M12 M12
(M
12
M
22
)
(M 11
M12 )
M 22 M 11
dm2u2 dm1u1
dQdtu2 dQdtu1
2.dt时段内总流动量变化量
3 v3 3
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
R′ v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
例题2：已知水枪喷嘴直径
d1=50mm,d2=20mm,流量 Q=25m3/h。
d1
求：1.喷嘴接头拉力；
2.射流对平板冲力。
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
v2 Rx′
解：1.取1-1，2-2面之间控制体，列伯努利方程
0 p1 v12 0 pa v22
2g
2g
( pa 0)
§5.5 理想流体运动微分方程的伯努利积分
一、微小流束伯努利方程 欧拉运动方程积分条件
1. 不可压缩流体定常流动 2.沿流线积分 3.流体仅在重力场中
将欧拉方程各式改造相加： (1) × dx+(2) × dy+(3) × dz:
得到下式
由积分条件 1. 不可压缩流体定常流动
dp(x, y, x)
实际流体流动过程机械能总是减少的。
粘性流体总流的伯努利方程
1.缓变流—流线为近似平行直线的流动 2.急变流—流线间夹角较大、曲率较大
缓变流特性 过流断面上
单位时间内微小流束上下游断面通过的总机械能 单位时间通过总流1-1，2-2断面总机械能
α—动能修正系数 实测α= 1.05~1.1 ，工程上α≈ 1
总流动量方程
由定理得
dM
dt
Q(V2
V1 )
F
∑F —作用在控制体上的合外力（表面力与质量力之和）
坐标分量式
Q(V2x V1x ) Fx
Q(V2y V1y ) Fy
Q(V2z V1z ) Fz
等号左边意义为，单位时间内流出控制体的动量 减去流进的动量。
dM
dt
A2 A2
dQu2 u2dQ2
dt A1
dt
dQu1dt
A1 u1dQ1
引入断面平均流速
(02V2Q2 01V1Q2 )dt
Q(02V2 01V1)dt
α0—动量修正系数，α0=1.02-1.05，工程中取1
粘性流体微小流束的伯努利方程
一、微小流束的伯努利方程 1.方程
hl'
hl′— 损失水头； 单位重量流体在1，2两断面间损失的机械能
表明实际流体，沿流动方向机械能总是减少的。
2.总水头线 H1 = H2 + hl′ H1 > H2
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R′ v2
R
1
2
R
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4Байду номын сангаас
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.022
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38 105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
方程可以推广到微小流束。
p2 u2 z2 y
二、微小流束伯努利方程的意义
z — 位置水头；
单位重量流体 具有的位能（比位能）
（m液柱） — 压力水头；
单位重量流体 具有的比压能 （m液柱） — 速度水头；单位重量流体具有的比动能（m液柱）
— 测压管水头； 单位重量流体 具有的比势能
H—总水头； 单位重量流体的总机械能，总比能
由积分条件 2.沿流线（即沿迹线）积分
等号右端为
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
方程化简为
由积分条件 3.仅在重力场中
∴ X=0, Y=0, 进一步化简为
Z= -g
积分得
上式称为沿流线的伯努利方程
z
方程表示流线上各点 u, p, z 三者间关系；
u1 p1 z1 x
p1
2
(v2 2
v12 )
2
v2
2
[1
(
d2 d1
)4 ]
2
4Q
(d 2
)2[1 ( d2 d1
)4 ]
1000 ( 4 25 / 3600)2[1 (0.02)4 ] 2.38 105 Pa
2 0.022
0.05
沿流向取为x 方向 列动量方程
hl — 单位重量流体的平均水头损失 （粘性内摩擦力引起）
总流伯努利方程
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
取1-2面间空间为控制体
1.dt时段内流束动量变化量
dM M12 M12
(M
12
M
22
)
(M 11
M12 )
M 22 M 11
dm2u2 dm1u1
dQdtu2 dQdtu1
2.dt时段内总流动量变化量
3 v3 3
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
R′ v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
例题2：已知水枪喷嘴直径
d1=50mm,d2=20mm,流量 Q=25m3/h。
d1
求：1.喷嘴接头拉力；
2.射流对平板冲力。
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
v2 Rx′
解：1.取1-1，2-2面之间控制体，列伯努利方程
0 p1 v12 0 pa v22
2g
2g
( pa 0)
§5.5 理想流体运动微分方程的伯努利积分
一、微小流束伯努利方程 欧拉运动方程积分条件
1. 不可压缩流体定常流动 2.沿流线积分 3.流体仅在重力场中
将欧拉方程各式改造相加： (1) × dx+(2) × dy+(3) × dz:
得到下式
由积分条件 1. 不可压缩流体定常流动
dp(x, y, x)
实际流体流动过程机械能总是减少的。
粘性流体总流的伯努利方程
1.缓变流—流线为近似平行直线的流动 2.急变流—流线间夹角较大、曲率较大
缓变流特性 过流断面上
单位时间内微小流束上下游断面通过的总机械能 单位时间通过总流1-1，2-2断面总机械能
α—动能修正系数 实测α= 1.05~1.1 ，工程上α≈ 1
总流动量方程
由定理得
dM
dt
Q(V2
V1 )
F
∑F —作用在控制体上的合外力（表面力与质量力之和）
坐标分量式
Q(V2x V1x ) Fx
Q(V2y V1y ) Fy
Q(V2z V1z ) Fz
等号左边意义为，单位时间内流出控制体的动量 减去流进的动量。
dM
dt
A2 A2
dQu2 u2dQ2
dt A1
dt
dQu1dt
A1 u1dQ1
引入断面平均流速
(02V2Q2 01V1Q2 )dt
Q(02V2 01V1)dt
α0—动量修正系数，α0=1.02-1.05，工程中取1