第五章流体动力学(动量方程及伯努利方程一)
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程是物理学中最基本且重要的方程之一。
它是关于流体运动的一组非线性方程，用于以数学方法描述流体运动，它被用于解决流动问题，如气体动力学、湍流流动和热流动。
伯努利方程由英国数学家兼流体力学家约翰·尼科（John von Neumann）在1946年初提出，它是一个具有三个未知量的非线性方程组，同时反映了运动的流体的动量、动能和动量守恒的特性。
伯努利方程的首要用途是计算几何体内流体的参数，它刻画了由于抗力矢量和动量耦合而引起的湍流运动流场。
伯努利方程指定了一个n维流体中特定目标位置上物体的物理参数，它具有一个参数向量，即，流速，流体密度，力学压力，温度和能量密度。
基本伯努利方程可以写成：
∇·（ρu）=0，
∇·u=0，
∇·P+ρ∂u/∂t=ρS，
其中ρ是流体的密度，u是流速，P是静压力，t是时间，S代表的是外力。
伯努利方程被广泛地应用于可解决多维流动，如水流、风流、温度场、抗静电场和对流传输等。
在主动低频技术中，伯努利方程还用于解决超声成像，超声测量和声学设计方面的应用。
它通常被用于数值分析，以解决流动问题的复杂性，并根据实验数据预测流体的行为。
因此，伯努利方程在现代物理学中扮演着一个重要的角色，它不仅可以帮助人们更好地理解流体的行为，还可以帮助我们更特别的设计有效的模拟和预测流体的行为。
流体力学流体动力学完美版PPT
h ' h
气〔ρ〕-液〔ρ’〕 h ' h
解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 pa 97.3103 10m
g 99.229.807
汽化压强
pgv 979.3.22891.803070.76m
p 12 v 1 2 ag 注z2意 z ：1 z 2-p z2 1 ——2 v 2 2 下 游p 断w面高 度减上游断面高度〔±〕； ——用相对ρ压a-ρ强—计—算外的界气大体气伯密努度利减方管程内
常与连续性微分方程 ux uy uz 0 联立 x y z
2.粘性流体运动微分方程〔粘性作用→切应力〕
f 1 p 2 u d u u u u d t t
——纳维-斯托克斯方程〔N-S方程〕
分量式
X 1 p x 2 u x u tx u x u x x u y u y x u z u z x
pAagz2z1v 2 29v 2 2
1 9 2 .8 1 .2 0 .8 9 .8 4 0 0 0 .8 v 2 9 0 .8 v 2
2
2
1 1 18 528 .6 7 2.48 即 27 2 6.6 724 .48
Y 1 p y 2 u y u ty u x u x y u y u y y u z u z y Z 1 p z 2 u z u tz u x u x z u y u y z u z u z z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程 〔1〕推导方法一
将〔1〕、〔2〕、〔3〕各式分别乘以dx、dy、 dz，并相加
g 2g
单位重量流体的机械能守恒〔总水头不变〕
2.粘性流体元流的伯努利方程
z1pg 12 u1 g 2 z2pg 22 ug 2 2hw'
流体动力学
（3）物理意义
p z g
——单位重量流体的总势能（m） ——位置水头+压强水头
u2 2g
——单位重量流体的动能（m）
——速度水头
p u2 z c g 2 g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 hw ' g 2 g g 2 g
只有重力 gdz
p 不可压缩恒定流 dp d 1
2 2 ux uy u z2 u2 d d 2 2
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p p p Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
是无旋流
流体的运动微分方程
1.理想流体运动微分方程 （1）平衡微分方程
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
1 f p 0
（2）运动微分方程
1 du u f p u u dt t
2
p2 2
v2 1
p1
v1
θ
α F
Fx
1
Fy
e.动量方程
x : p1 A1 p2 A2 cos Fx Qv2 cos v1
y : p2 A2 sin Fy Qv2 sin 0
f.解出Fx、Fy
2 p2 2
F Fx2 Fy2
tg Fy Fx
p1 p2 Q v1 A1 2g z1 z2 K h 4 g g d1 d 2 1
5.流体力学-实际流体动力学基础-wyj
学习重点
➢掌握实际流体能量方程、动量方程； ➢掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用
三大运动方程解决实际问题；
➢了解N—S 方程。
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学习内容
伯努利方程 (能量方程)
动量方程
实际流体运 动微分方程
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§5—1 实际流体运动微分方程
一、以应力表示的实际流体运动微分方程
式 5—5
13
三、N—S 方程
将以上关系式5—3、5—5代入实际流体运动微分方程 5—1，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可
得N—S方程（p166 5—6式）。
此 N—S方程 + 连续性微分方程
共 4 个方程，解 4 个未知量。
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四、实际流体运动微分方程积分
1、积分条件：
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
ux z
)
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实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
11
2、压应力的特性和大小： px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
p ——平均压应力
p=
1 3
（px+py+pz
）
切应力互等定律。原 方程减少3个变量。
4>列动量方程求解。
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几点说明：
1>方程是矢量式，正确取好外力和速度的正负号；
2> 建立坐标系应尽量使问题简化；
3> 计算断面为渐变流断面（中间可为急变流）；
5-理想流体流动-new
点汇位势流动
y
ψ=c
点
r
源
M
θ
O
x
点 汇
30/46
不同流动叠加
势流的叠加原理 叠加两个或更多的流动组成一个新的复合流动，要想得到该复合流动的流
函数（势函数），只要把各原始流动的流函数（势函数）简单地代数相加起来 就可以了。
可以复杂的流动分解成几个简单的流动，分别推导出这些简单流动的流函 数（势函数），然后把它们进行代数相加，即可得到所欲求的复杂流动的流函 数（势函数）。
x y z
无旋 () g 1 grad p
t
0
１控制方程
2 方程的解
3 速度场求法
2 2
x2 y2 0
2
x 2
2
y 2
0
＋边界条件
(x, y)
(x, y)
ux
φ x
uy
φ y
x
y
,
y
x
4 压力场求法
() g 1 grad p
t
27/46
均匀位势流动
dφ
φ x
dx
φ y
dy
0 v2v2 A2 sin 0 Fy
设F为管内流体与管外大气与管道的作用力
则可求得 F=
18/46
§５.1 理想流体微分形式动量方程与伯努利方程 §５.2 伯努利方程简单应用 §５.3 理想流体积分形式控制方程
§５.4 理想流体微分形式方程解析解
19/46
理想流体微分形式控制方程
一
t
x
y
Q
4U 0 Q
, ,
2
3
4U 0
2
49/46
流体力学伯努利方程例题鲍达公式
流体力学伯努利方程例题鲍达公式流体力学三大方程是连续性方程、能量方程、动量方程。
流体力学是力学的一个分支，流体本身的静止状态和运动状态以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动规律。
流体力学三大方程一、流体力学之流体动力学三大方程1、连续性方程，依据质量守恒定律推导得出；2、能量方程（又称伯努利方程），依据能量守恒定律推导得出；3、动量方程，依据动量守恒定律（牛顿第二定律）推导得出的。
二、适用条件：流体力学是连续介质力学的一门分支，是研究流体(包含气体，液体以及等离子态)现象以及相关力学行为的科学纳维-斯托克斯方程基于牛顿第二定律，表示流体运动与作用于流体上的力的相互关系。
纳维-斯托克斯方程是非线性微分方程，其中包含流体的运动速度，压强，密度，粘度，温度等变量，而这些都是空间位置和时间的函数。
一般来说，对于一般的流体运动学问题，需要同时将纳维-斯托克斯方程结合质量守恒、能量守恒，热力学方程以及介质的材料性质，一同求解。
由于其复杂性，通常只有通过给定边界条件下，通过计算机数值计算的方式才可以求解。
流体力学介绍流体力学是力学的一个分支，主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动规律。
流体力学既包含自然科学的基础理论，又涉及工程技术科学方面的应用。
以上主要是从研究对象的角度来说明流体力学的内容和分支。
此外，如从流体作用力的角度，则可分为流体静力学、流体运动学和流体动力学；从对不同“力学模型”的研究来分，则有理想流体动力学、粘性流体动力学、不可压缩流体动力学、可压缩流体动力学和非牛顿流体力学等。
伯努利方程原理
伯努利方程原理伯努利方程原理是流体力学中的重要定律，描述了流体在沿流动方向不受外力作用时的行为。
它是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理而推导出来的。
我们来了解一下伯努利方程的基本概念。
伯努利方程是描述流体在沿流动方向上速度变化时，压力、速度和高度之间的关系。
它的数学表达形式为：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度。
这个方程表明，在不受外力作用的情况下，当流体速度增大时，压力会减小；当流体速度减小时，压力会增大。
伯努利方程原理的推导基于三个基本原理：质量守恒、动量守恒和能量守恒。
质量守恒原理指的是在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的流体质量保持不变。
这意味着如果流体速度增大，流体密度会减小；如果流体速度减小，流体密度会增大。
动量守恒原理表明在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的动量保持不变。
根据牛顿第二定律，动量等于质量乘以速度，因此当流体速度增大时，流体的动量也会增大；当流体速度减小时，流体的动量也会减小。
能量守恒原理指的是在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的能量保持不变。
根据能量转化的原理，当流体速度增大时，其动能增加，而静压能减小；当流体速度减小时，其动能减小，而静压能增加。
基于以上三个原理，我们可以推导出伯努利方程。
在流体静止的情况下，即流体速度为零时，伯努利方程可以简化为：P + ρgh = 常数这个方程表示了在不同高度处流体的压力之间的关系，即流体的压力随着高度的增加而增加。
总结一下，伯努利方程原理是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理推导出来的。
它描述了流体在沿流动方向不受外力作用时的行为，即流体速度的增大导致压力的减小，流体速度的减小导致压力的增大。
伯努利方程的应用非常广泛，例如在飞机的升力产生、水管的流量控制等领域都有重要的应用。
了解伯努利方程原理可以帮助我们更好地理解和应用流体力学知识。
流体力学伯努利方程及动量方程
p1 gh1 p2 gh2 ghp
p1
g
h1
p2
g
h2
hp
( p1
g
h1)
( p2
g
h2 )
hp
而 h1 h2 Z1 Z2 hp
( p1
g
Z1 )
(
p2
g
Z2)
hp
hp
hp
注意：
水(ρ)-水银(ρ’) 气(ρ)-液(ρ’)
' h hp
h
'
hp
34
第三节 恒定总流的伯努利方程
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
3
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
二、动能积分 u2 dQ u3 dA u3dA
Q 2g
A 2g
2g A
表单位时间通过断面的流体动 能
v
Q
udA
A
AA
u3dA u3dA
v3dA
v3 A
——动能修正系数
10
第三节 恒定总流的伯努利方程
2g
u13dA
A1
2g
1v13dA
A1
1v12
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
第五章 实际流体动力学基础分解
图4-15
例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒 定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
故有：
得：hp=16.47N· m/N 所需轴功率Np为：
图4-26
3.气流的能量方程
总流的能量方程式是对不可压缩流体导出的，气 体是可压缩流体，但是对流速不很大（u<60m/s）压 强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流 在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯 努利方程仍可用于气流。由于气流的密部空气的密度 是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考 虑外部大气压在不同高度的差值。
判断：测压管水头线若低于管轴心，则该处水流一 定处于真空状态。 你的回答： 对 错
问题：粘性流体总水头线沿程的变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。 问题：粘性流体测压管水头线的沿程变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。
例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损 失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g) ，试求断 面2的平均压强。 解：取0-0，列断面1，2的能量方程a（取α 1=α 2=1） 而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量 方程b a 可得： b
Байду номын сангаас
4.总流能量与元流能量方程有什么不同点？
参考答案： 1）以断面的平均流速v代替元流中的点流速
流体动力学
3）按照液体流动方向列出伯努利方程的一般形式；
4）忽略影响较小的次要参数，以简化方程； 5）若未知数的数量多于方程数，则必须列出其它辅助 方程，如连续性方程、静压力方程等联立求解。
伯努利方程应用举例
例1：如图示简易热水器，左端接冷水管，右端接淋浴莲蓬头。 已知 A1=A2/4 和A1、h 值，问冷水管内流量达到多少时才能 抽吸热水？ 解：沿冷水流动方向列A1、A2截面的伯努利方程
2 1 1 2 2
注意： 1）截面1、2应顺流向选取，且选在流动平稳的通流截面上。 2）z和p应为通流截面的同一点上的两个参数，一般将其定在 通流截面的轴心处。
应用伯努利方程解题的一般步骤
1）顺流向选取两个计算截面：一个设在所求参 数的截面上，另一个设在已知参数的截面上； 2）选取适当的基准水平面；
伯 努 利 方 程 应 用 举 例
泵吸油口真空度
分析变截面水平管道各处的压力情况
求水银柱高度？
管中流量达多少时才能抽吸？
判断管中液体流动方向和流量？
动量方程
动量方程是动量定理在流体力学中的具体应用，可用来计算 流动液体作用在限制其流动的固体壁面上的总作用力。
∑F = Δ（m u）/Δt = ρq（u2 - u1）
例1:如图所示，进入液压缸的流量Q1是否等于缸排
出的流量Q2？
d1
d2
Q2
解: ∵油液是不连续的，不可用连续性方程。
Q 1≠ Q 2
例2 如图所示，已知流量 q1＝ 25L/min，小活塞杆直径d1＝20mm，小活塞
直径D1＝75mm，大活塞杆直径d2=40mm，大活塞直径D2＝125mm，假设没有泄 漏流量，求大小活塞的运动速度v1，v2。
25 L / min
第5章 理想流体运动
第五章理想流体流动•欧拉运动方程•伯努利方程及其应用•开尔文涡线定理•能量守恒定律•速度势函数与流函数什么是理想流体？为什么要研究理想流体？第一节理想流体的欧拉运动方程式完整的求解一个流动问题有几个未知数？：p压力u：r速度zy x u u ：u ,,速度完整的描述此流动问题需要有几个方程？:=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u zy x 质量守恒方程动量方程个分量有矢量方程3,欧拉运动方程柯西方程()()()()T div g v v t v dt v d ρ1+=∇⋅+∂∂=v v v vv ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z u u y u u x u u tu zx yx xx x x z x y x x xτττρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y xf z u u y u u x u u t u zy yy xy y yz yy yx yτττρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y xf z u u y u u x u u t u zz yz xz z z z z y z x z τττρ1矢量形式()()()p grad g v v tv ρ1−=∇⋅+∂∂v v v v⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂x p f z u u y u u x u u t u x x z x y x x x ρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y p f zu u y u u x u u t u y yz y y y x yρ1⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z p f z u u y u u x u u t u z z z z y z xz ρ1矢量形式剪应力全部=0压应力=压强即正应力=-p根据牛顿第二定律得x 方向的运动方程式为()dt du dxdydzdydz x p p dydz p dxdydz X x ρρ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−+上式简化后得同理zoyx微元六面体A A1A2dx xPp ∂∂−21dxxP p ∂∂+21pdtdu x p X x=∂∂−ρ1dtdu z p Z dt du y p Y zy =∂∂−=∂∂−ρρ11111xy z du p X x dt du p Y y dt du p Z z dtρρρ∂−=∂∂−=∂∂−=∂对静止流体的欧拉平衡方程式和理想流体的欧拉运动方程式进行对比101010p X x p Y y p Z zρρρ∂−=∂∂−=∂∂−=∂把上式的三个方程依次乘以i、j、k后相加可得理想流体运动方程的矢量形式，即：1d p dt ρ=uf -∇(,,)d dx dy dz dt dt dt dt==r u dz dtdu dy dt du dx dt du dz zpdy y p dx x p Zdz Ydy Xdx z y x++=∂∂+∂∂+∂∂−++)(1)(ρ由于稳定流时流线与迹线重合，质点沿流线运动，由流线上微元矢量（dx,dy,dz）与时间间隔dt所构成的导数便是流体质点的速度，即将欧拉拉运动微分方程式中各式分别乘以dzdy dx ,,相加得（4-4）伯努利方程的推导——分量方法式（4-4）等号右端可变为222211()()22y x z x x y y z z x y z du du du dx dy dz u du u du u du d u u u d u dt dt dt++=++=++=因此)(21)()(1)(2u d dp Zdz Ydy Xdx dz z p dy y p dx x pZdz Ydy Xdx =−++=∂∂+∂∂+∂∂−++ρρ1()()y x z du du du p p pXdx Ydy Zdz dx dy dz dx dy dzx y z dt dt dt ρ∂∂∂++−++=++∂∂∂•思考一下什么情况下左端的项可以消去？–静止流体–稳定流，且沿流线积分–稳定流，且沿涡线积分–稳定流，且为无旋流动•右端三项分别为：重力势能，动能和压力能•可以写成水头的形式，即单位重量流体的能量•利用伯努利方程，如何通过测压力来测量流速？CvpU E =++=22ρ伯努利方程的适用条件第三节开尔文涡线定理•开尔文涡线定理的表述–理想正压流体在有势力场中运动时，连续流场内沿封闭流体线的速度环量不随时间变化–如果理想流体初始状态静止或绕任意封闭流体线的速度环量为0，则流体运动必然是无旋运动–如果理想正压流体在势力场中运动时，如某一时刻无旋，则流场始终无旋。
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
流体动力学知识点复习
流体动力学基础知识点一:流场的基本概念一、迹线某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
二、流线1、流线的定义表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
如图为流线谱中显示的流线形状。
2、流线的作法在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
3、流线的性质a.同一时刻的不同流线，不能相交。
因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
4、流线的方程在流线上某点取微元长度dl（不代表位移），dl在各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz，则：或流线的微分方程迹线与流线的比较：概定备念义注流线流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。
流线方程为：时间t为参变量。
迹线迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。
迹线方程为：式中时间t为自变量。
三、恒定流和非恒定流1、恒定流流体质点的运动要素只是坐标的函数，与时间无关。
――恒定流动过流场中某固定点所作的流线，不随时间而改变——流线与迹线重合2、非恒定流流体质点的运动要素，既是坐标的函数，又是时间的函数。
――非恒定流动质点的速度、压强、加速度中至少有一个随时间而变化。
迹线与流线不一定重合注意：在定常流动情况下，流线的位置不随时间而变，且与迹线重合。
在非定常流动情况下，流线的位置随时间而变；流线与迹线不重合。
流体力学-第5章
六. 伯努利方程 的应用举例
%%%%%%%%%%%%
恒定总流伯努利方程表明三种机械能相互 转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具 体流动的边界条件求解实际总流问题。
1
%%%%%%%%%%%%
先看一个跌水的例子。取 顶上水深处为 1-1 断面，平 均流速为 v1，取水流跌落高 度处为断面 2-2 ，平均流速 为 v2，认为该两断面均取在 渐变流段中。基准面通过断 面 2-2 的中心点。
Gz dQdt( z2 z1 )
2 2 1 1 u u 2 2 m2u2 m1u1 ( 2 1 ) dQdt 2 2 2 2
外力对系统做功=系统机械能量的增加
2 2 u2 u1 ( p1 p2 )dQdt dQdt( z2 z1 ) ( ) dQdt 2 2
实际流体恒定总流 的伯努利方程
断面 A1 是上游断面，断面 A2 是 下游断面，hl 1-2 为总流在断面 A1 和 A2 之间平均每单位重量流体所损耗 的机械能，称为水头损失。水头损 失如何确定，将在后面叙述。
分析流体力学问 题最常用也是最 重要的方程式
二、恒定总流伯努利方程的几何表示——水头线
u p2 u z1 z2 2g 2g
p1
2 1
2 2
(P57 3-39)
单位重量理想 流体沿元流的 能量方程式
能量方程
•能量方程的
物理意义
z
u2 z Cl 2g p
伯努利方程表示能 量的平衡关系。
单位重量流体所具有的位置 势能（简称单位位置势能） **************** p 单位重量流体所具有的压强 势能（简称单位压强势能） **************** 单位重量流体所具 p z 有的总势能（简称 单位总势能）
液压流体力学第五章流体动力学基础
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。
流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
3 v3 3 R′
v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
总流伯努利方程
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V2 2
2g
hl
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d ( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.02 2
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38
105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
2g
z p — 测压管水头；
单位重量流体 具有的比势能
z p u2 H
2g
H—总水头；
单位重量流体的总机械能，总比能
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
流体力学伯努利方程及动量方程
测压管水头坡度:
J
p
dH p dl
测压管水头下降 时Jp为正
21
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失与局部水头损失画法不同
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
22
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
3
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流：非严格均匀流，接近于均匀流 渐变流： 1）流线近似于平行直线。 2）惯性力忽略不计。 3）过流断面近似于平面。 4）过流断面上，压强分布可认为服从流体静力学规律。
渐变流近似于均匀流
5
第三节 恒定总流的伯努利方程
元流的伯努利方程:
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
1-1断面 2-2断面
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
16
第三节 恒定总流的伯努利方程
北航水力学 第五章粘性流体的动力学讲解
2
2 x2
2 y2
2 z 2
因粘性而产生的应力
X
1
p x
2ux
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
2u y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
但是，由于理想流体运动方程与N-S相比，
1
多了单位质量流体上的切应力分量，它
们对流程的积分就是切应力所做的功。
对于质量力只有重力的情况，当所取坐标系z轴为铅直朝上时，势
函数 U gz ，得到
d(z p
u2 2g
)
g
(2uxdx
2u
y dy
2uz
dz)
0
式中，
g
(2ux
注意：两断面间的某些流动可以是急变流。
l
总水头线
hw
H1
v2
测压管水头线
2g
p
位置水头线
hw12
H2
z
水平基准线
H2 H1 hw12 J 水力坡度
l
l
表示单位重量液体在单位长度流程上水头损失
伯努利方程
z1
p1
112
2g
z2
p2
2
22
2g
hw
hw 为1、2 断面之间平均单位力能量损失。 总能量损失等于沿程水头损失和局部水头损失之和，
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取1-2面间空间为控制体
1.dt时段内流束动量变化量
dM M12 M12
(M
12
M
22
)
(M 11
M12 )
M 22 M 11
dm2u2 dm1u1
dQdtu2 dQdtu1
2.dt时段内总流动量变化量
总流动量方程
由定理得
dM
dt
Q(V2
V1 )
F
∑F —作用在控制体上的合外力2x V1x ) Fx
Q(V2y V1y ) Fy
Q(V2z V1z ) Fz
等号左边意义为，单位时间内流出控制体的动量 减去流进的动量。
3 v3 3
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
R′ v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
方程可以推广到微小流束。
p2 u2 z2 y
二、微小流束伯努利方程的意义
z — 位置水头；
单位重量流体 具有的位能（比位能）
（m液柱） — 压力水头；
单位重量流体 具有的比压能 （m液柱） — 速度水头；单位重量流体具有的比动能（m液柱）
— 测压管水头； 单位重量流体 具有的比势能
H—总水头； 单位重量流体的总机械能，总比能
沿流线伯努利方程又称微小流束的伯努利方程 理想流体总水头线为水平线，表明机械能守恒
粘性流体微小流束的伯努利方程
一、微小流束的伯努利方程 1.方程
hl'
hl′— 损失水头； 单位重量流体在1，2两断面间损失的机械能
表明实际流体，沿流动方向机械能总是减少的。
2.总水头线 H1 = H2 + hl′ H1 > H2
§5.5 理想流体运动微分方程的伯努利积分
一、微小流束伯努利方程 欧拉运动方程积分条件
1. 不可压缩流体定常流动 2.沿流线积分 3.流体仅在重力场中
将欧拉方程各式改造相加： (1) × dx+(2) × dy+(3) × dz:
得到下式
由积分条件 1. 不可压缩流体定常流动
dp(x, y, x)
dM
dt
A2 A2
dQu2 u2dQ2
dt A1
dt
dQu1dt
A1 u1dQ1
引入断面平均流速
(02V2Q2 01V1Q2 )dt
Q(02V2 01V1)dt
α0—动量修正系数，α0=1.02-1.05，工程中取1
p1
2
(v2 2
v12 )
2
v2
2
[1
(
d2 d1
)4 ]
2
4Q
(d 2
)2[1 ( d2 d1
)4 ]
1000 ( 4 25 / 3600)2[1 (0.02)4 ] 2.38 105 Pa
2 0.022
0.05
沿流向取为x 方向 列动量方程
由积分条件 2.沿流线（即沿迹线）积分
等号右端为
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
方程化简为
由积分条件 3.仅在重力场中
∴ X=0, Y=0, 进一步化简为
Z= -g
积分得
上式称为沿流线的伯努利方程
z
方程表示流线上各点 u, p, z 三者间关系；
u1 p1 z1 x
hl — 单位重量流体的平均水头损失 （粘性内摩擦力引起）
总流伯努利方程
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
实际流体流动过程机械能总是减少的。
粘性流体总流的伯努利方程
1.缓变流—流线为近似平行直线的流动 2.急变流—流线间夹角较大、曲率较大
缓变流特性 过流断面上
单位时间内微小流束上下游断面通过的总机械能 单位时间通过总流1-1，2-2断面总机械能
α—动能修正系数 实测α= 1.05~1.1 ，工程上α≈ 1
例题2：已知水枪喷嘴直径
d1=50mm,d2=20mm,流量 Q=25m3/h。
d1
求：1.喷嘴接头拉力；
2.射流对平板冲力。
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
v2 Rx′
解：1.取1-1，2-2面之间控制体，列伯努利方程
0 p1 v12 0 pa v22
2g
2g
( pa 0)
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R′ v2
R
1
2
R
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.022
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38 105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N