实验1.1_测量误差与不确定度(20130325修订)
测量误差与不确定度评定
测量误差与不确定度评定一、测量误差1、测量误差和相对误差（1）、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从 20 世纪 70 年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。
因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。
过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的范围，而不是真正的误差值。
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差。
一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值。
实际上，误差可表示为：误差＝测量结果－真值＝（测量结果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋系统误差（2）、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
2、随机误差和系统误差（1）、随机误差测量结果与重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（总体均值）重复性条件是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务。
此前，随机误差曾被定义为：在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
随机误差的统计规律性：○1对称性：绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
电测(1.1B)
xk μ x
随机误差
《电子测量技术》
数学期望
1 测量误差与测量不确定度 绪论
残差
残差是指每次独立测量值与有 限次测量的算术平均值之差。
残差
υk x k x
算术平均值
特点：残差的和为零。
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
（2）产生原因
主要由影响量的随机时空变化
引起。这些影响量微小而又互不相
V
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
（3）系统误差的修正
与系统误差大小相等、符号相反 的量值称为修正值，用C表示 。 计算式
约定真值（实际值）
C x0 x
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
（3）系统误差的修正
xc x C
将测量结果与修正值相加，可有限 补偿系统误差。
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
格拉布斯准则
测量次数较少的 情况下也适用。
对于被测量的一系列重复测量值 xk (k=1，2，…，n)，若第 m 次测量值 xm
满足：
x m x G p ( n ) s( x k )
则判断xm为异常值。
《电子测量技术》
格拉布斯系数
1 测量误差与测量不确定度 绪论
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
1.2.2 测量不确定度的来源
测量不确定度的来源是指对测量 产生影响，导致被测量之值分散性的 所有因素。
要使评定出的测量不确定度较准确，应 充分考虑测量不确定度的来源。因为一个来 源就会产生一个不确定度分量。
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
测量误差和测量不确定度PPT学习教案
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第三章 测量误差和测量不确定度
在测量不确定度定义中“合理赋予”这个词很关键： ①由于测量不确定度是表示测量分散性的参数，
• 设法把测量的误差减至最少。
• 求出被测量的最佳值（最近真值）算平均值（x
）
• 估计最佳值的可靠程度（接近真值的程度）计
算测量列的标准误差,即A类不确定度。
uA SX
xi x n 1
• 计算反映系统误差的Ｂ类标准不确定度 • 计算合成标准不确定度
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第三章 测量误差和测量不确定度
xn44确定各输入量的估计值确定各输入量的估计值xixi以及对应于各输入量估计值的标准不以及对应于各输入量估计值的标准不确定度确定度uuxixi输入估计值的标准不确定度可分为输入估计值的标准不确定度可分为aa类评定和类评定和bb类评55确定对应于各输入量的标准不确定度分量确定对应于各输入量的标准不确定度分量uiyuiyuiyciuuiyciuxixi是灵敏度系数是灵敏度系数66列出不确定度分量汇总表列出不确定度分量汇总表第21页共49页第三章第三章测量误差和测量不确定度测量误差和测量不确定度77将各标准不确定度分量将各标准不确定度分量uiyuiy合成得到合成标准不确定度合成得到合成标准不确定度上式称为不确定度传播率上式称为不确定度传播率确定被测量确定被测量yy可能值分布的包含因子可能值分布的包含因子99确定扩展不确定度确定扩展不确定度1010给出测量不确定度报告给出测量不确定度报告1122第22页共49页第三章第三章测量误差和测量不确定度测量误差和测量不确定度一标准不确定度的a类评定一标准不确定度的a类评定对被测量x在重复性条件或复现性条件下进行对被测量x在重复性条件或复现性条件下进行nn次独立重复次独立重复测量测量值为测量测量值为xixiii1122
测量误差和不确定度
，、测量误差和不确定度物理实验离不开测量。
测量操作是一种比较过程，就是把被测量和体现计量单位的标准量进行比较，从而确定被测量的值。
我国法定的计量单位是以国际单位制（SI）为基础制定的。
在国际单位制（SI）中有7个独立定义的基本单位。
（1）长度单位：米（m）o l m是1/299,792,458s时间间隔内光在真空中行程的长度。
（2）质量单位：千克（kg）°1kg等于国际千克原器的质量。
（3）时间单位：秒（s）o1s是133Cs （铯）原子基态的两个超精细能级间跃迁的辐射周期的9,192,631,770倍的持续时间。
（4）电流强度单位：安培（A）。
在真空中相距lm的两根无限长而截面积可忽略的平2X 10-7行直导线内通过一恒定电流，若这恒定电流使两条导线之间每米长度上产生的力为•，这个恒定电流的电流强度为1A。
/（5）热力学温度单位：开尔文（K）°1K是水三相点热力学温度的1/273.16。
（6）物质的量单位：摩尔（mol）o1mo 1是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012 kgC - 12的原子数目相等。
（7）发光强度单位：坎德拉（cd）°1cd是一光源在给定方向的发光强度，该光源发出频率为540X1012H Z的单色辐射，且在此方向上辐射强度为1 / 6 8 3 W每球面度。
这7个基本单位所对应的物理量称做基本量，由基本量导出的单位称做导出单位，其对应物理量是导出量。
有些导出单位还有专门名称和特有符号，如赫兹（Hz）、牛顿（N）、帕斯卡（Pa）、伏特（V）、焦耳（J）、瓦特（W）、库仑（C）、法拉（F）、欧姆（Q）、亨利（H）、韦伯（Wb）、特斯拉（T）等。
除了基本单位和导出单位还有两个辅助单位：平面角以弧度为单位（rad），立体角以球面度为单位（sr）。
在测量过程中，由于测量仪器精度、实验条件局限和各种因素的影响，测量结果总是与实际待测量有一定差异，即存在测量误差。
实验测量误差与不确定度修订
预习操作记录实验报告总评成绩《大学物理实验(I)》课程实验报告学院： 专业： 年级：实验人姓名(学号)： 参加人姓名(学号)：日期： 年 月 日 星期 上午[ ] 下午[ ] 晚上[ ]室温： 相对湿度：实验1.1 测量误差与不确定度[实验前思考题]1．列举测量的几种类型？2．误差的分类方法有几种？3．简述直接测量量和间接测量量的平均值及其实验标准差的计算方法，以本实验中实验桌面积的测量为例加以说明。
4．测量仪器导致的不确定度如何确定？在假设自由度为无穷大的情况下，直接测量量的扩展不确定度如何计算？请写出计算步骤。
（若不够写，请自行加页）[ 实验目的 ]1．学习游标卡尺、螺旋测微计、读数显微镜、电子天平的使用方法。
2．学习长度、重量、密度等基本物理量的测量方法。
3．学习测量误差和不确定度的概念和计算方法。
[ 仪器用具 ] 编号 仪器名称 数量 主要参数(型号，测量范围，测量精度)1 游标卡尺 12 螺旋测微计 13 读数显微镜 14 钢尺 15 钢卷尺 16 电子密度天平 17 量杯 18 待测薄板 19 待测金属丝 1 10 待测金属杯 1[ 原理概述 ]1．机械式游标卡尺图1.1. 1 游标卡尺结构查阅教材和说明书，写出游标卡尺各部分的名称： A. C ．E ． G ．B. D ． F ． H ．图1.1. 2 游标卡尺读数假设游标卡尺的单位为cm ，箭头所指的刻线对齐，则读数为：cm ．2． 机械式螺旋测微计图1.1. 3 螺旋测微计结构查阅教材和说明书，写出螺旋测微计各部分的名称： A. C ． E ．G ． I ．B. D ． F ． H ．图1.1. 4 螺旋测微计读数假设螺旋测微计的单位为mm ，按左图，读数为：mm ．注意：（1）转动微分筒之前需逆时针扳动锁把，使微分筒可自由转动。
（2）为保证测量时测杆与被测物表面的接触力恒定，测杆上安装有棘轮装置，使用时应通过旋转棘轮使测杆与工件接触，直至棘轮发出“咔咔”的声音。
实验误差与不确定度
1 平均值 x = n
p(x)
∑
n
i =1
xi
标准偏差
Sx =
∑ (x i
i =1
n
− x)
2
n −1
0
x
x
8
随机误差的高斯分布（正态分布） 随机误差的高斯分布（正态分布）
1 f ( x; x , σ ) = e σ 2π
1
−
( x − x )2
2σ 2
0.8
σ 2＝0.2
0.6
2σ 2
Gaussian Distribution
The standard deviation 标准偏差） （标准偏差）
σ＝ lim
∑ (x
i =1
i
− x)
2
N →∞
N
The standard deviation of the mean 平均值的标准偏差） （平均值的标准偏差）
σx =
σ
N
=
∑ (x
确定度传递公式）
例2：ρ =
m （函数为积商形式） abc ln ρ = ln m − ln a − ln b − ln c（取对数） dρ dm da db dc = − − − （求全微分式） ρ m a b c ∆ρ ∆ ∆ ∆ ∆ = m + a + b + c （用方和根形式合成不确定度传递公式） ρ m a b c
(38 . 1 + 24 . 4 + 2 . 4 )× 10 − 6
=
64 . 9 × 10 − 6 = 0 . 00806 = 0 . 81 %
∆ ∴ ∆ V = V ⋅ V = 9 . 436 × 0 . 0081 = 0 . 08 ( cm 3 ) V ∴ V = ( 9 . 44 ± 0 . 08 ) cm 3
大学物理实验绪论误差和不确定度
若各个独立的直接量的标准偏差分别为
σ x1 ,σ x2 , ,σ xm 则间接量y的标准偏差为:
f f f 2 2 σy ( σ x1 ) ( σ x2 ) ( σ xm ) 2 x 1 x 2 x m
1 f f f 2 2 E ( σ x1 ) ( σ x2 ) ( σ xm ) 2 y y x 1 x 2 x m σy
2. 误差的分类
根据误差产生的原因和性质，误差可分为 系统误差和偶然误差。
4
（1）系统误差 系统误差定义：在同一条件下，多次测量同一 物理量时，误差的大小和符号始终保持不变，或 在条件改变时，误差的大小和符号按一定规律变 化，这类误差叫系统误差。 系统误差的特征：确定性。
ห้องสมุดไป่ตู้
系统误差的来源：
由于测量仪器不完善、精度不够高或安装调试 不当对实验的影响。有时也称仪器误差。 例如：刻度不准、零点不对、应该水平放 置的仪器没有放水平等。
2
2 [u( y )]
28
2
表示真值处于
x σ x 区间内的概率为68.3%。
15
5. 测量结果的表示 设测量列的算数平均值及其总的标准偏差分别 为
x 和 x
，则测量结果可以表示为： (有单位)
（或 x ） x x x
E
x（或 x ）
x
100 %
(无单位)
16
二、直接测得量的误差估算
(一) 单次测量的误差估算应根据测得量的实际情况 和仪器误差进行。
6
系统误差的消除： 消除产生的原因。对测量过程及测量装置进行分 析和研究，找出可能产生系统误差的原因，并采 取相应措施使系统误差减小和消除。
第二章 测量误差与不确定度基础及测量数据处理.
m
2
xk M X
k 1
m
2
nk 当n n
2
1 n xk M X 当n n k 1
方差的物理意义 标准偏差（标准差、均方差）：方差的算术平方根
（2）测量值为连续值时的数学期望和方差
测量值在其取值区间内连续的时候，取值有无穷多个， 某一个取值出现的可能性（概率）趋于0，此时只能用概率 密度的概念来对测量值进行分析。 概率密度表达式： p x X x x x lim x 0 x
以1/n取代nk/n，上式可写成：
1 n M X xk n n k 1
测量值的数学期望反映了测量值的平均情况，并不能 体现测量值的离散程度。测量值的离散程度通常用测量值 的方差D（X）来表示。
D X 2 X xk M X pk
1
e
X M X 2 2 2 X
（2）矩形分布 矩形分布又称均匀分布。 （3）三角形分布
2、随机误差影响下测量值的数学期望和方差
随机误差的影响，使测量值在一定范围内上下波动， 测量值是一个随机变量。测量值的取值可能是连续的，也 可能是离散的。
（1）测量值为离散值时的数学期望和方差 假设测量值X的可能取值个数为m，对其进行n次测量， 测量值X的数学期望表示为：
uo的绝对误差uo uo 1 6000m V 3% 180m V uo 180m V uo uo 电压增益的绝对误差 A A A0 150 ui ui ui 1.2m V A A u o 电压增益A的相对误差＝ ＝ ui A0 A u o u o ＝ ＝ 1＝ 3％ ui uo
《误差与不确定度》课件
环境因素误差
环境条件变化造成的误差，如温度、湿度、气压 等环境因素变化。
方法误差
由于测量方法本身存在的缺陷或局限性造成的误 差。
02
不确定度概述
不确定度的定性或随机性。
详细描述
不确定度是测量结果的一个重要参数，它反映了测量结果的不确定性或随机性 。在测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往存在一定的波动或偏差 ，这些波动或偏差的大小即为不确定度。
不确定度的分类
总结词
不确定度可以分为A类和B类两种类型。
详细描述
A类不确定度是通过统计分析方法来确定的，它反映了测量结果随机波动的不确 定性。B类不确定度则是基于经验、常识或类似测量数据来估计的，它反映了测 量结果非随机波动的不确定性。
不确定度的来源
总结词
不确定度的来源主要包括仪器误差、环境因素、操作 因素和数据处理等方面。
详细描述
仪器误差是测量过程中仪器设备本身存在的误差，它可 能是由于仪器制造、校准和使用不当等原因引起的。环 境因素包括温度、湿度、气压、振动等环境条件的变化 ，这些因素可能影响测量结果的准确性。操作因素包括 操作人员的技术水平、操作过程中的误差等，这些因素 也可能影响测量结果的准确性。数据处理过程中，如数 据读取、记录、计算等环节也可能引入误差，从而影响 测量结果的不确定性。
03
误差与不确定度的关系
误差与不确定度的联系
误差与不确定度都是描述测量结果可靠性的参数。
误差与不确定度都涉及到测量结果的可重复性和可 比较性。
误差与不确定度在某些情况下可以相互转化，例如 在误差分布已知的情况下，可以通过不确定度来评 估误差的大小。
误差与不确定度的区别
物理实验 测量误差与不确定度
2.1
测量与误差的基本概念
（2）测量误差： ）测量误差：
∆x = x − x0
测量值 真值 误差也是个理想概念，一般不可能准确得到。 误差也是个理想概念，一般不可能准确得到。 只能通过一定的计算方法对它进行估计。 只能通过一定的计算方法对它进行估计。
误差的表达有两种方式： 误差的表达有两种方式： 绝对误差 相对误差
天平不等臂所造成的系统误差
11
2.1
测量与误差的基本概念
具有转轴的仪器
a
A
b O
θ
b′
B
a ′ A′
B′
不偏心时， 不偏心时，由于 a a ′ = b b ′，所以 可用弧长反映角度的 大小。 大小。
由于偏心，使之用弧长反 由于偏心， 时产生的系统误差。 映角度θ 时产生的系统误差。 如： ′ ∠BB ′ 这是由偏心造成的 AA
16
2.1
测量与误差的基本概念
）：明显超出规定条 （3）粗大误差（过失误差）：明显超出规定条 ）粗大误差（过失误差）： 件下所预期的误差 粗大误差（过失误差）产生于某些突然发生的不正 粗大误差（过失误差） 常因素。 常因素。如： 较强的外界干扰、 粗大误差）； 较强的外界干扰、测量条件的意外变化(粗大误差）； 测量者操作不当、粗心大意； 测量者操作不当、粗心大意；仪器损坏有问题等
下列几种情况可视为真值： 下列几种情况可视为真值： 理论值：如三角形内角和180 180˚、 （a）理论值：如三角形内角和180 、Л 公认值：如普朗克常数、 （b）公认值：如普朗克常数、基本电荷 （c）计量学约定真值：计量部门约定的长度、时间、 计量学约定真值：计量部门约定的长度、时间、 质量等。（如当地重力加速度g 质量等。（如当地重力加速度g） 相对真值： （d）相对真值：用准确度度高一个数量级 的仪器 校准的测量值。 校准的测量值。
测量误差及不确定度的基础知识讲解
测量误差及不确定度的基础知识讲解测量误差及不确定度分析的基础知识物理实验是以测量为基础的。
测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。
因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。
误差的定义、分类及其处理方法一.误差的定义：测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为:被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。
在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。
二.误差的分类及其处理方法：误差主要分为系统误差和随机误差。
系统误差：（1）定义：在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
（2）产生原因：① 仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差）例：电表的刻度不均匀---示值误差等臂天平的两臂实际不等---机构误差指针式电表使用前没调零---零位误差大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。
例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。
(3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下：① 已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。
第2章 测量误差及其不确定度
33
1. 正态分布 （Gaussian or Normal Probability Density Function)
1.96 0.95
2 0.9545
2.58 0.99
3 0.9973
4 0.99994
极限误差lim:3 测量结果可表示为（计算得到的算数平均值和算数 平均值标准差）：
x x 3
(P 0.9973)
31
32
1.有一组测量值为 237.4,237.2,237.9,237.1,238.1,237.5,237.4, 237.6,237.6,237.4，单位均为cm，求测量结果。 2. 现有一电压测量系统，样本平均值为10.12V,样 本标准差为0.022V，写出置信水平为95%时的电 压值。
17
检定一台满量程Am=5A,精度等级为1.5的电流表， 测得在2.0A处其绝对误差=0.1A,请问该电流表是 否合格？
18
（4）基本误差
基本误差是指传感器或仪表在规定的标准条件下 所具有的误差。例如，某传感器是在电源电压 (220±5)V、 电网频率(50±2) Hz、环境温度 (20±5)℃、湿度65%±5%的条件下标定的。如果 传感器在这个条件下工作，则传感器所具有的误 差为基本误差。仪表的精度等级就是由基本误差 决定的。 在只有基本误差下，仪表的最大绝对误差为：
7
有4.210N的力作用在质量为2.23kg的物体上，求 该力作用下的加速度。 a=F/m=4.210/2.23=60.7410 保留三位有效数字60.7m/s2
8
1. 空气大气压力为Patm=101.3kPa,压力表的显示的 压力为Pgage=1350Pa,求所测的绝对压力为多少？ 2. 某汽车油箱加满行驶了316.5公里，共用了 298.5元，每升汽油价格为6.31元。求平均每升汽 油行驶的公里数。 3. 将下列三个数相加并给出最低有效位。 134,290,0.2875,29.473
测量的不确定度与数据处理
测量的不确定度与数据处理刘玉金1.1测量、测量误差与误差处理 1.测量与测量误差1）直接测量与间接测量直接测量：是用能直接读出被测值的仪器进行测量的方法。
间接测量：是先用直接测量的方法测出几个物理量，然后代入公式计算得到所需物理量。
2）等精度测量和不等精度测量等精度测量：对某一物理量进行多次测量时，如果测量条件保持不变（同一的测量者、仪器、方法及相同的外部环境），这样进行的重复测量称为等精度测量。
不等精度测量：如果测量条件中，一个或几个发生了变化，这时所进行的测量称为不等精度测量。
3）测量误差真值：在一定条件下，任何待测物理量都是客观存在的，不依人的意志为转移的确定值。
测量误差：测量结果与真值之间的差值。
它反映了测量结果的准确程度，可用绝对误差表示，也可用相对误差表示：绝对误差=测量结果-被测量的真值 ()00100⨯=被测量真值绝对误差相对误差E2.误差分类 1）系统误差系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值是一定的或以可预知的方式变化的。
它来源于仪器本身的缺陷，或来源于理论公式和测量方法的近似性。
消除和纠正系统误差的方法是对仪器进行校正，修正实验方法，或在计算公式中引入修正项。
2）随机误差由于随机的或不确定的因素所引起的每一次测量值无规律的涨落而造成的误差。
它服从一定的统计分布规律，常见的一般性测量中，基本上属于正态分布，因此可用统计的方法处理随机误差。
3.随机误差的处理方法 1）随机误差的正态分布 2）残差、偏差和误差残差为单次测量值x i 与有限次测量平均值x 之差。
即x x x i -=∆ (i=1,2, …,n)偏差为单次测量值x i 与总体平均值μ之差。
注意，偏差即为随机误差，系统误差为0时，偏差才是误差。
误差为单次测量值x i 与被测量真值x 0之差。
3）σ，S ，x S （1）总体标准偏差σ()nx i ni n 21limμμ-∑==∞→（2）有限次测量时的单次测量值标准差S()121--∑==n x x S i ni（3）x 的标准偏差x S()()121--∑===n n xx nS S i ni x1.2 测量的不确定度 1. 不确定度1）不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
测量不确定度讲义
37.2℃±0.05℃，置信概率为99％
U=3u=3.0% U=2u=2.0% U=1u=1.0%
测量结果
p68％
p95％
p99％
/第21页
序号
表3.1 测量误差与测量不确定度的主要区别
测量误差
测量不确定度
概念。因而准确度不能量化，也不能作为一个
量进行运算。
第4页/18
/第7～10页
2.1 基本统计计算
通过多次重复测量并进行某些统计计 算，可增加测量得到的信息量。有两项最 基本的统计计算：求一组数据的平均值或 算术平均值（数学期望），以及求单次测 量或算术平均值的标准偏差（方差）。
2.2 最佳估值┈多次测量的平均值
“经验的”或“假定概率的分布”说明，不确 定度 评定带有主观鉴别的成分。也就是说，测量不确定 度评定与评定人员的理论知识和实践经验密切相 关。所以，定义中使用了“合理地”一词。
3.2.5 如何理解测量不确定度？
所谓“区间半宽度”，对于不对称分布的不 确 定度，则取其中间值。
定义的注4指出，不确定度恒为正值。当由方 差得出时，取其正平方根。 所以人们说，测量不 确定度只有正号。
的区间的半宽度。 2. 测量不确定度由多个分量组成。其中的一些分量可用测量
列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另一些 分量可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可 用标准偏差表征。 3. 测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确 定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的
根据“经验”，全部读数大概有三分之二（68.27％）会落在平 均 值的正负（±）1倍标准偏差范围内，大概有全部读数的95％会落 在正负2倍标准偏差范围内。虽然这种“尺度”并非普遍适用，但 应 用广泛。标准偏差的“真值”只能从一组非常大（无穷多）的读数 求
误差与不确定度
β α
用量角器分别量得三内角为：
α+ β+ γ=31˚+121˚+29˚
=181˚
γ
误差=181-180=1˚
例2：秒的定义
由国际计量统一定义给出（例如秒的定义为铯原 子能级跃迁9192631770个周期的持续时间为1秒）。
1s=9192631770周期
② 用“约定真值” 作为“参考量值”
xi x x A0
i
（2.14）
式（2.14）表示误差等于随机误差和系统误差相加的关 系。图2.2给出了这些误差之间关系的示意图。
定量的概念：
测量值的概 率分布曲线
真值
系统误差
P 概率密度
总体均值 x
误差 某次测量值
随机误差 i
不确定度
x ks
A0
x
xi
U
U
置信区间
x ks 测量值 x
2.基本术语
测量仪器的示值---测量仪器所给出的量的值。 也称测量值、测得值。
测量结果---由测量所得到的赋予被测量的值。 是在示值的基础上经过数据处理后的估计值，包括修正
值、平均值及不确定度等。
测量准确度---测量结果与被测量的真值的一致程度。 但由于真值难以获得，故准确度是一个定性概念。
尽量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度10 mV 只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为1级表 （准确度<1%）
P(x)
单峰性——绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现次数多；
有界性——绝对值很大的误差出现的
机会极少，不会超出一定的界限；
0
μ
x
x
抵偿性——当测量次数趋于无穷大， 随机误差的平均值将趋于零。
测量误差与实验不确定度
3 粗大误差（过失误差）
1 ) 粗大误差 测量值明显偏离正常值的异常误差。
2 ) 误差来源 仪器使用方法错误、粗心大意、记录出错等。
3 ) 误差消除方法 用3σ准则（莱特准则）鉴别并剔除。 当测量次数较多时，若某测量值与算术平均值的偏差
绝对值大于3倍标准偏差时，可认为该值是坏值而剔除。
第二节 不确定度及其概念
测得被测量的量值的测 量。由直接测量所得的 物理量，称为直接测量 量。
间接测量
间接测量: 通过直接测量量，再根据某一函数关系把
待测量计算出来的测量。
间接测量
用单摆测量某地的重力
加速度g，是根据用米尺直
接测得单摆的摆长l和用秒
l
表直接测得周期T，再通过
单摆公式：
g=（42l）/T2
把重力加速度g计算出来。
4 测量结果为：
X = 83.56 ± 0.05 (mm) （P = 0.95）
第五节 间接测量结果与不确定度的估算
一 间接测量值的算术平均值
设间接测量量 N 是直接测量量x，y，z的函数，即：
N f (x, y, z)
各直接测量量的测量结果为：
x x x, y y y, z z z
第一章
测量误差与实验不确定度
第一节 测量和测量误差
一、测量及其分类
1 测量 在一定条件下使用具有计量标准单位的计量仪器对
被测物理量进行比较，从而确定被测量的数值和单位。 2 测量分类
1)直接测量与间接测量 2)等精度测量与不等精度测量 3)单次测量与重复测量
直接测量
直接测量: 使用仪器或量具，直接
条件和观察者都不变）下对同一状态的物理量进行的多 次测量。
实验1 测量误差与不确定度
实验1 测量误差与不确定度【实验目的】1．学习基本物理量的测量方法；2．了解测量误差和不确定度的概念和简单计算； 3．了解游标原理和螺旋测微原理。
【仪器用具】游标卡尺，螺旋测微计，读数显微镜，电子天平，量杯，支架等【原理概述】1． 游标测量原理用米尺测量长度，对小于最小分度的部分，我们只能估计得出。
我们在米尺上安装一个可移动的，带有按一定规则来刻线的副尺，原来的米尺就可以成为精度较高的游标尺。
与副尺相对应，我们把原有的米尺称为主尺。
下面我们以精密度为0.02mm 的游标尺为例来说明一般的游标原理。
精密度为0.02mm 的游标尺主尺的最小分度为1mm ，副尺在长49mm 的长度上均匀地刻有50个刻度。
测量长度时，先从副尺的0刻度去读出以mm 为单位的整数部分，然后从主尺和图1 游标原理示意图副尺的零刻度在主尺的28mm 和29mm 之间，副尺上的第13条刻线与主尺对齐，副尺50个刻度共长49mm ，主尺最小刻度为1mm 。
副尺中找出对齐的刻度。
为叙述方便起见，我们假设副尺的0刻度在主尺的28mm 和29mm 之间，副尺上的第13条刻线与主尺对齐。
副尺的0刻度与第13条刻线之间的长度为()4913mm 50⨯，而主尺上28mm 刻度到对齐线之间的长度为13mm 。
所以主尺上28mm 刻度到副尺的0刻度的长度为加上整数部分，被测长度为28.26mm 。
一般地，若游标尺副尺上的m 个刻度间的长度与主尺上的(m-1)个刻度间的长度相等，主尺上相邻两个刻度间的长度为y ，读数规律为mynL L +=0，其中L 0为从副尺的0刻度对应主尺读数的整数部分，n 为副尺上对齐线的顺序数。
游标原理可以应用于测量角度，这时主尺和副尺均制成圆弧形状。
一般情况下游标尺的仪器误差为其精密度的一半，精密度可由my=∆计算。
在正式进行测量前，要对校准游标卡尺。
当两量爪接触时如果游标卡尺不指零，则在测量结果中要扣除零读数。
2． 螺旋测微原理图2 螺旋测微计A ：螺杆（测杆），B ：测砧（对杆），C ：螺旋柄（微分筒），D ：螺母套E ：锁把，F ：棘轮，H ：分度盘，L ：标尺套筒，Q ：尺架当螺母固定时，螺杆旋转一周同时前进一个螺距。
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预习操作记录实验报告总评成绩
《大学物理实验(I)》课程实验报告
学院： 专业： 年级：
实验人姓名(学号)： 参加人姓名(学号)：
日期： 年 月 日 星期 上午[ ] 下午[ ] 晚上[ ]
室温： 相对湿度：
实验1.1 测量误差与不确定度
[实验前思考题]
1．列举测量的几种类型？
2．误差的分类方法有几种？
3．简述直接测量量和间接测量量的平均值及其实验标准差的计算方法，以本实验中实验桌面积的测量为例加以说明。
4．测量仪器导致的不确定度如何确定？在假设自由度为无穷大的情况下，直接测量量的扩展不确定度如何计算？请写出计算步骤。
（若不够写，请自行加页）
[ 实验目的 ]
1．学习游标卡尺、螺旋测微计、读数显微镜、电子天平的使用方法。
2．学习长度、重量、密度等基本物理量的测量方法。
3．学习测量误差和不确定度的概念和计算方法。
[ 仪器用具 ] 编号 仪器名称 数量 主要参数(型号，测量范围，测量精度)
1 游标卡尺 1
2 螺旋测微计 1
3 读数显微镜 1
4 钢尺 1
5 钢卷尺 1
6 电子密度天平 1
7 量杯 1
8 待测薄板 1
9 待测金属丝 1 10 待测金属杯 1
[ 原理概述 ]
1．机械式游标卡尺
图1.1. 1 游标卡尺结构
查阅教材和说明书，写出游标卡尺各部分的名称： A. C ．
E ． G ．
B. D ． F ． H ．
图1.1. 2 游标卡尺读数
假设游标卡尺的单位为cm ，箭头所指的刻线对齐，则读数为：
cm ．
2． 机械式螺旋测微计
图1.1. 3 螺旋测微计结构
查阅教材和说明书，写出螺旋测微计各部分的名称： A. C ． E ．
G ． I ．
B. D ． F ． H ．
图1.1. 4 螺旋测微计读数
假设螺旋测微计的单位为mm ，按左图，读数为：
mm ．
注意：（1）转动微分筒之前需逆时针扳动锁把，使微分筒可自由转动。
（2）为保证测量时测杆与被测物表面的接触力恒定，测杆上安装有棘轮装置，使用时应通过旋转棘轮使测杆与工件接触，直至棘轮发出“咔咔”的声音。
这点对测量橡胶等较软的物体特别重要，同时还可起到保护螺纹的作用。
（3）使用螺旋测微计之前需校准零刻度。
（4）使用完毕，需使对杆和测杆离开一段距离，避免存放过程中因热胀冷缩损坏螺纹。
3．读数显微镜测量原理
图1.1. 5 读数显微镜结构
查阅教材和说明书，写出读数显微镜各部分的名称：
A. C ． E ． G ． I ．
K ．
B. D ． F ． H ． J ． L ．
注意：为了消除螺纹间隙引起的测量误差（俗称空转），测量时要使螺杆始终沿同一方向转动。
5. 密度天平安装方法
图1.1. 6 电子天平
A. 测试架(A1用于密度小于水的物体，A2用于密度大于水的物体)
B. C 型支架
C. 量杯
D. 搁台
E.电子天平主体
F. 水平调节螺钉
（1）调节天平的两只水平调节螺钉，将水平尺的气泡调节至中央。
（2）将C 型支架装在天平的秤盘芯上，用手轻轻旋转能灵活转动。
（3）将搁台放在工作面板上，搁台的限位柱卡在固定圈边上，水平转动使搁台不碰到C
型支架。
（4）将量杯放在搁台上， 根据需要选择A1或A2测试架并安装在C 型支架上，特别注
意测试架的限位柱需完全放置在C 型支架顶部的圆孔中。
（5）天平开机后需先进行“校准”、“清零”，然后再进行测量。
[ 实验内容及步骤]
1．选择合适的量具，测量金属或有机玻璃薄板的厚度。
要求测量误差小于0.5%。
2．选择合适的量具，测量金属丝的直径。
要求测量误差小于0.5%
3．选择合适的量具，测量实验桌桌面面积。
4．选择合适的量具，测量钢制毫米刻度尺的不均匀度。
要求测量至少10个刻度。
5．测量金属杯的密度并评估其不确定度。
1）方法一。
用游标卡尺和天平直接测量铜杯的体积和质量，计算密度及不确定度。
2）方法二—排水法。
根据阿基米德原理用排水法测金属杯的密度。
3）方法三—直读法。
用密度天平直接测量金属杯的密度。
4）比较三种方法的测量结果。
问题：请写出实验内容5的实验步骤：
*数字式读数显微镜可清零，故可直接测出两刻度线之间的距离l i；如果采用机械式读数显微镜，则需测出连续11个刻度线的位置a i，再计算出l i。
计算不均匀度：
5．测量金属杯的密度和不确定度（设自由度为无穷大）
（1） 方法一
铜杯质量m = 。
次数i 1 2 3 4 5 平均值实验标准差外径D/cm
内径d /cm
高度H/cm
深度h /cm
计算金属杯的密度及其不确定度：
（2）方法二（排水法）
在空气中测得金属杯的质量：m1＝在水中测得金属杯的质量：m2＝计算金属杯的密度和不确定度：
（3）方法三
被测金属杯的密度为：
被测金属杯的不确定度为：
（4）比较三种密度测量方法
[ 实验后思考题 ]
1．若机械式游标卡尺的测量精度为0.01mm，请问游标的刻度如何划分？
2．如何测量石蜡块的密度？石蜡块的形状不规则，且密度小于水的密度。