《弧、弦、圆心角》教案

24.1.3 弧、弦、圆心角

一、教学目标

（一）学习目标

1.探索圆的中心对称性

2.了解圆心角的概念，探索并掌握在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等

3.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题

（二）学习重点

探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．

（三）学习难点

圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

(1)旋转的三要素是旋转中心，旋转方向，旋转角度

180，它能够与另一个图形重合，那么这(2)中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转

两个图形关于这个点成中心对称.

2.预习自测

（1）圆是图形，也是图形

【知识点】圆的中心对称性与轴对称性

【答案】轴对称中心对称

【解题过程】圆既是轴对称图形又是中心对称图形

【思路点拨】圆既是轴对称图形又是中心对称图形

（2）圆的对称中心是．

【知识点】圆的中心对称性

【答案】圆心

【解题过程】圆是中心对称图形，由于它绕着圆心旋转180°后和原图形重合，所以圆的对称中心是圆心

【思路点拨】根据中心对称图形的定义找到圆的对称中心

（3）如图，已知O O '与的半径相等，若A O B A O B

'''∠=∠，则________A B A B ''，________A B A B

''（填“>”、“<”或“=”）

【知识点】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

【答案】= =

【解题过程】A O BA O B

'''∠=∠,A BA B ''∴=,A B A B ''= 【思路点播】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等

(4)已知O 与O '半径相等，若A B A B

''=，则________A O B A O B '''∠∠，（填“>”、“<”或“=”）

【知识点】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．

【答案】=

【解题过程】A BA B ''=，O A O A ''=,O B O B ''=,A O B ∴∆≌A O B '''∆，A O BA O B

'''∴∠=∠ 【思路点拨】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线

（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧

（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

2.问题探究

探究一 圆的中心对称性

活动①以旧引新

想一想：这些现象说明了什么？

现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的. 这个现象跟圆的哪个性质有关？

学生抢答

答案：现象一说明对折后能够完全重合，只要是过圆心的直线，分成的两部分均对称，说明圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线.

【设计意图】复习回顾圆的轴对称性，为引发新知识铺垫

现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮180︒时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？

现象二说明钟钮左右两端转动180︒后完全重合，而两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

【设计意图】整合旧知识，探索圆的中心对称性

活动②归纳概括

想一想：由以上现象，概括圆的对称性

结论：1. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.

2. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.

探究二圆心角、弧、弦之间的关系★▲

活动①大胆操作探究新知识

1.按下面的步骤做一做：

(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；

(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．

注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

图1

(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB ＝∠A ′O ′B ′；由两圆的半径

相等，可以得到∠OAB ＝∠OBA ＝∠O ′A ′B ′=∠O ′B ′A ′；由△AOB ≌△A ′O ′B ′，可得到AB ＝A ′B ′；

由旋转法可知''A

B AB =． 在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转

一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，由于∠AOB ＝∠A ′O ′B ′．这样便得到半径OB 与O ′B ′重合．因为点A 和点A ′重合，点B 和点B ′重合，所以A B 和''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合，即''A B AB =，AB =A ′B ′．

进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：

在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

【设计意图】大胆猜想，大胆操作，激发学生兴趣，探究新知识

活动② 集思广益 证明新知

根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．

本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．

【设计意图】创设问题情境，集思广益，证明新知识

活动③ 反思过程 发现定理

定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？

小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．