曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

检
1.极坐标方程 sin2 2 cos 0表示的曲线是_抛__物__线
2.极坐标方程 4sin2 3所表示的曲线是（ B ）
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
3.以(
2,
4
)为圆心，2
为半径的圆的极坐标方程是(C)
A. (sin cos ) B. sin cos
这类题多采用化生为熟的方法，即
常将极坐标方程化为普通方程，再
进行判断.
【例2】将下列曲线的直线坐标方程化成极坐标方程
（1）x y 2 0; （2）x2 y2 2ax 0
议
答案：（1） cos sin 2 0 (2) 2a cos
议
探究一：
求曲线 sin 3cos 的直角坐标方程
坐标时，取 0, 0,
思
问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心, 1为半径的 圆的方程是什么？
x2 y2 1
问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心, 1为半径的圆 的方程是什么？
1
问题3：这两个方程可以互化吗？ 可以
议
【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.
(1)ρcos(θ- )=2; (2)ρ2cos2θ=3;
3
(3)ρ2-3ρcosθ+6ρsinθ-5=0; (4)ρ= 2 .
1 sin
展
【解析】(1)原方程变形为 (1 cos 3 sin ) 2,
2
2
所以 1 x
2
3 2
y
2
0,
即x
3y40 ,
它表示倾斜角为150°，且过点(4，0)的直线.
(2)原方程变形为ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,所以x2 -y2=3,
§2.4曲线的极坐标方程与 直角坐标方程的互化
吉安一中高二数学备课组
学习目标：
1、曲线的极坐标方程 2、两种方程的互化
导
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
C. 2(sin cos ) D. 2(sin cos )
它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲 线.
展
(3)原方程变形为 x2+y2 -3x+6y -5=0, 它
表示圆心为 (3 ,3) , 半径为 65 的圆.
2
2
(4)原方程变形为ρ+ρsinθ=2, 所以
x2 y2 2 y,
所以 x2+y2=4 -4y+y2, 即 x2= -4(y -1), 它表示 顶点为(0 , 1), 开口向下的抛物线.
解： 2 sin 3 cos（两边同乘以 ）
x cos ; y sin； 2 x2 y2
x2
3x
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http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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y2
y0
探究二：
在极坐标系中,圆ρ=3cos(θ________.
议
3)被极轴截得的弦长为
答案 : 3 2
解析 : 方程 3cos( )变形为
3
3cos cos 3sinsin ,
3
3
即 3 cos 3 3 sin ,
2
2
即 2 3 cos 3 3 sin ,
2
2
从而它的直角坐标方程为x2 y2 3 x 3 3 y 0. 22
当y 0时, x2 3x 0, x 0或x 3 ,
2
2
截得的弦长为 3 . 2
展
课堂小结：
评
1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可
2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；