2016挑战中考数学压轴题因动点产生的平行四边形问题

因动点产生的平行四边形问题

例1 2015年成都市中考第28题

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5

4，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC时，△ACE的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上．

思路点拨

1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．

2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．

满分解答

（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．

由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．

由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．

（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．

设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝y E－y F＝ax2－3ax－4a．

由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝11

()() 22

E A E C E

F x x EF x x

---

＝

1()2C A EF x x -＝21(34)2ax ax a --＝21325

()228

a x a --， 得△ACE 的面积的最大值为258a -．解方程25584a -=，得2

5

a =-．

（3）已知A (－1, 0)、D (4, 5a)，x P ＝1，以AD 为分类标准，分两种情况讨论： ①如图2，如果AD 为矩形的边，那么AD //QP ，AD ＝QP ，对角线AP ＝QD ． 由x D －x A ＝x P －x Q ，得x Q ＝－4．

当x ＝－4时，y ＝a (x ＋1)(x －3)＝21a ．所以Q (－4, 21a )． 由y D －y A ＝y P －y Q ，得y P ＝26a ．所以P (1, 26a )． 由AP 2＝QD 2，得22＋(26a )2＝82＋(16a )2．

整理，得7a 2＝1．所以a =．此时P (1，． ②如图3，如果AD 为矩形的对角线，那么AD 与PQ 互相平分且相等． 由x D ＋x A ＝x P ＋x Q ，得x Q ＝2．所以Q (2,－3a )． 由y D ＋y A ＝y P ＋y Q ，得y P ＝8a ．所以P (1, 8a )． 由AD 2＝PQ 2，得52＋(5a )2＝12＋(11a )2． 整理，得4a 2＝1．所以12

a =-．此时P (14)-，．

图1 图2 图3

考点伸展

第（3）题也可以这样解．设P (1,n )．

①如图2，当AD 时矩形的边时，∠QPD ＝90°，所以

AM DN MD NP =，即5553

a n

a -=

-． 解得235a n a +=．所以P 235(1,)a a +．所以Q 3

(4,)a

-．

将Q 3

(4,)a -代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得

3

21a a

=．所以a = ②如图3，当AD 为矩形的对角线时，先求得Q (2,－3a )． 由∠AQD ＝90°，得

AG QK

GQ KD =

，即32335a a a -=--．解得12

a =-．

例2 2014年陕西省中考第24题

如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M ′上下运动，可以体验到，以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的平行四边形有四种情况．

思路点拨

1．抛物线在平移的过程中，M ′N ′与MN 保持平行，当M ′N ′＝MN ＝4时，以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的四边形就是平行四边形．

2．平行四边形的面积为16，底边MN ＝4，那么高NN ′＝4． 3．M ′N ′＝4分两种情况：点M ′在点N ′的上方和下方． 4．NN ′＝4分两种情况：点N ′在点N 的右侧和左侧．

满分解答

（1）将A (－3,0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 930,

3.b c c --+=⎧⎨

=⎩

解得b ＝－2，c ＝3． 所以抛物线C 的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3．

（2）由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得顶点M 的坐标为(－1,4)．

（3）抛物线在平移过程中，M ′N ′与MN 保持平行，当M ′N ′＝MN ＝4时，以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的四边形就是平行四边形．

因为平行四边形的面积为16，所以MN 边对应的高NN ′＝4． 那么以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的平行四边形有4种情况：

抛物线C 直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN ′M ′（如图2）； 抛物线C 直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN ′M ′（如图2）； 抛物线C 先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM ′N ′（如图3）； 抛物线C 先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM ′N ′（如图3）．

图2 图3

考点伸展