条件句与蕴涵

条件句Conditionals⏹What's in an if?⏹一个条件句就是一个具有“如果a，那么c”形式的句子，我们用符号表示a→c来表示。

逻辑学家把a称作条件句的前件，把c称作条件句的后件。

⏹关于条件句最基本的推理是“假言推理”（modalponens）：a，a→c/c。

⏹不过，条件句确实令人迷惑不解的。

⏹我们来看一下为何条件句是令人迷惑不解的。

⏹如果我们知道逻辑式a→c，那我们似乎可以推理得出¬（a&¬c）（肯定a同时否定c是不正确的）。

⏹比如假设：如果你赶不上汽车，那么就会迟到。

我们可以推理得到，你会赶不上汽车而又不迟到为假。

⏹相反，如果知道逻辑式¬（a&¬c），似乎我们据此推理得到a→c。

⏹比如假设，你去看电影不会不花钱（你去看电影而又不花钱为假），可以推理得出，如果你去看电影，你就会花钱。

逻辑式¬（a&¬c）常写成a⊃c，被称为推论条件句。

因此a→c似乎与a⊃c表达相同的意思。

尤其当我们分析他们的真值时，它们必然具有相同的真值表。

a c a⊃cT T TT F FF T TF F T⏹但是这张真值表很奇怪。

它表明，如果c（后件）在一个情形下（第一和第三行）为真，那么条件句a→c也为真。

这似乎很难是正确的。

比如，北京是中国的首都为真；但是条件句“如果北京不是中国的首都，那么北京就是中国的首都”很明显为假。

⏹同样，如果a（前件）为假（第三行和第四行），那么逻辑式a→c也为真。

这也是很难是正确的。

条件句“如果南京是中国的首都，那么上海也是中国的首都”很明显也为假。

⏹那么哪里出错了呢？⏹上述例证要证明的是，符号a→c不是一个真值函项：逻辑式a→c的真值不是由a和c的真值决定的。

⏹“罗马在法国领土之内”和“北京在法国领土之内”都为假，⏹但是以下推理为真：如果意大利是法国的一部分，那么罗马就在法国领土之内。

⏹而下面的推理则是错误的：如果意大利是法国的一部分，那么北京在法国领土之内。

⏹那么条件句是如何起作用的呢？⏹一种方法就是可能世界。

看一下刚才的两个条件句。

⏹在任何一个可能的情形下，意大利被并入了法国，罗马真的就位于法国领土之内。

但是在很多可能情形下，意大利被并入法国，这对中国一点影响也没有。

因此，北京仍然不在法国领土之内。

⏹这表明，只要c在与s（a在此情形下为真）有关的每一种可能的情形下都为真，那么条件句a→c在s情形下就为真；并且如果c在与s（a在此情形下为真）有关的某种可能的情形下为假，那么条件句也为假。

⏹这就给了符号→一个似是而非的解释。

比如，它表明了“假言推理”为何是有效的---至少在一个假设上是如此的。

这个假设是把s看作与s 有关的一个可能情形。

这似乎是合理的：任何在s情形下确实如此的事物肯定会是一种可能。

现在，假设a和a→c在某个情形s下为真。

那么c 在所有与s（a在此情形下为真）有关的情形下都为真。

但s也是其中的一个情形，且a在此情形下为真。

因此，c也为真。

⏹再看一下我们开始所讨论的论证，就可以明白问题出在哪里了。

这个论证所依赖的推理如下：¬（a&¬c）a→c这个推理是无效的。

比如，如果a在某个情形s下为F，这就足以让推理的前提在s下为真。

但这并未告诉我们任何关于a和c在与s有关的可能情形下的真值情况。

很可能的情况是在其中的一个情形下，比如说s’情形下，a为真而c不为真，如下图所示：s a：F s’a：Tc：F c：F⏹因此，条件句a→c在s情形下不为真。

⏹那么你去看电影不会不花钱的情况又是怎样的呢？难道在这种情况下的推理看起来无效吗？假设你知道你去看电影不会不花钱：¬（g&¬m）。

真的有权得出结论，如果你去看电影就会花钱：g→m？未必如此。

假设不管怎样，即使晚上的电影免费你也不打算去看电影。

那么，你知道你会去不为真（¬g），因此，你会去而且不花钱也不为真：¬（g&¬m）。

那么你有权下结论说如果你去就得花钱吗？当然不会：那个晚上也许可以免费观看。

非常重要的是，要注意到，在你被告知之后才知道前提为真的情形下，其他因素通常也在起作用。

当某人告诉你¬（g&¬m）这样的事情时，他通常是在不知道¬g为真的情况下才这么做的。

（如果它知道的话，告诉你与这种情形有关的任何事情都没有意义。

）如果他告诉了你此事，那是建立在以下基础之上的：g和m 之间存在某种关系，你不能在m不为真的情况下而让g 为真---这正是认为该条件句为真的原因所在。

因此，如果有人告诉了你前提，进行g→m的推理通常是合理的；不过，不是根据所说的内容进行推理---而是根据说话的事实进行推理。

⏹刚才对于条件句的解释似乎进展顺利---至少就我们的讨论是这样的。

不过，也存在许多问题。

以下就是其中一个问题。

看下面的推理：⏹如果你去罗马，你就会置身与意大利。

⏹如果你置身于意大利，你就会置身于欧洲。

⏹因此，如果你去罗马的话，你就会置身于欧洲。

⏹这推理显得非常有效，而且根据本章的讨论也是如此。

⏹我们将推理用公式表示：⏹ 1. a→b b→c⏹a→c⏹为了表明它是如何有效的，我们假设这两个前提都在某个s情形下为真。

那么，在每一种s（a在此情形下为真）有关的可能情形下，b都为真；同样，在每一个b 为真的情形下，c都为真。

因此，在a为真的每一个情形下，c也都为真。

也就是说a→c在s情形下是正确的。

⏹到目前为止，一切论证都很顺利。

但问题是，有许多形式上与之完全相同的推理，却似乎是无效的推理。

比如，我们假设一次首相选举中有两位候选人，在任首相史密斯与琼斯。

看下面的推理：⏹如果史密斯在选举前死了，那么琼斯便会赢得选举。

⏹如果琼斯赢得选举，那么史密斯便会退休，领养老金过活。

⏹因此，如果史密斯在选举前死了，那么史密斯便会退休，领养老金过活。

⏹这完全是形式1的一种推理。

但是很显然，会存在一个情形，在此情形下着两个前提都为真。

可结论不为真---除非是某个异乎寻常的情形下，政府会在人死后继续发放养老金。

⏹那么，对这种状况会做何解释呢？请大家自己思考吧。

⏹本章要点：⏹只要c在每一个与s（a在此情况下为真）有关的情形下都为真，那么a→c在s情形下就为真。

蕴涵Implication古代和中世纪的蕴涵理论对于蕴涵命题或条件句的性质在古希腊争论得十分激烈，这一争论由麦加拉学派第欧多鲁和斐洛开始，斯多葛学派继续加以发展。

一个条件句是用联结词“如果……那么”所组成的，例如“如果这是白天，那么这是光亮的”。

麦加拉-斯多葛学派把条件句中的第一个命题成为前件，把第二个命题成为后件。

“如果……那么”这个联结词断定后件是从前件导出的，或者说前件蕴涵后件。

但是，关于寻找这个“导出”的正确标准问题在麦加拉-斯多葛学派中引起了很大的争议。

根据对“导出”意义的不同解释，至少有一下四种不同的蕴涵。

一、斐洛蕴涵⏹所谓斐洛蕴涵，指一个条件句或条件命题是真的，当且仅当它不是前件真而后件假。

⏹这就是说，一个真的条件命题可以用三种方式得到：（1）以真的前件开始并且以真的后件结束；（2）以假的前件开始并且以假的后件结束；（3）以假的前件开始而以真的后件结束。

一个假的条件命题只有一种情况，即以真的前件开始而以假的后件结束。

可见，斐洛蕴涵实际上就是现代逻辑的实质蕴涵。

斐洛已经提出了实质蕴涵的真值表：前件后件蕴涵命题真真真假假真假真真真假假⏹斐洛还举了这四种条件句的例子：⏹（1）如果这是白天，那么这是亮的。

这是前件真后件也真从而整个条件句为真的情况⏹（2）如果地球会飞，那么地球有翼。

这是前件假后件假而整个条件句为真的情况⏹（3）如果地球会飞，那么地球存在，这是前件假后件真而整个条件句为真的情况⏹（4）如果这是白天，那么这就是夜晚，这是前件真后件假而整个条件句为假的情况二、第欧多鲁蕴涵⏹所谓第欧多鲁蕴涵，是指一个条件命题是真的，如果现在不可能过去也不可能真而后件假⏹这种蕴涵显然与斐洛蕴涵是不同的，例如，当白天时，我在谈话，按斐洛的说法，条件句“如果这是白天，那么我就在谈话”是真的；但第欧多鲁的说法，刚才的条件句似乎是假的：当现在是白天，而我已停止了谈话。

同时过去出现前件真而后件假也是可能的：即在我开始谈话之前。

⏹这就是说，“如果这是白天，那么我就在谈话”并非对一切时间都成立。

一个条件命题在第欧多鲁的意义上是真的，当且仅当它在所有时刻在斐洛意义上都是真的。

⏹这种关系可定义如下（→d 表示第欧多鲁蕴涵，⊃表示斐洛蕴涵，∀是全称号，t表示时间）：⏹（F→d G）=df·∀（t）（F（t）⊃G（t））。

⏹这个公式的例子是：“如果（第欧多鲁的）这是白天，那么这是光亮的”是真的，当且仅当“如果（斐洛的）在t这是白天，那么在t这是光亮的”对t的每个值都是真的。

这就是说，一个条件命题在第欧多鲁意义上是真的，其前后件都加上“在t上”的同一个命题必须在斐洛意义上对t的所有值（过去、现在和将来）都是真的。

由此可见，一个第欧多鲁条件命题的前件和后件都是命题函项，隐含有一个自由的时间变元t，而在斐洛蕴涵命题中，前后件都是命题。

⏹这样，与每个第欧多鲁条件命题相应，我们有无限多的斐洛条件命题，每一个瞬间都有一个。

如果每一个斐洛蕴涵都是真的，则第欧多鲁蕴涵是真的。

如果有一瞬间t，使得在t的相应的斐洛命题是假的，则第欧多鲁命题是假的。

⏹由以上分析，我们可以把第欧多鲁蕴涵看成是“形式蕴涵”的一个特殊类型。

所谓形式蕴涵是指∀x（S（x）⊃P（x）），读为：对所有的x而言，如果x是S则x是P。

这是罗素提出来的。

三、联结蕴涵⏹所谓联结蕴涵是指，一个条件命题是真的，如果它的后件的否定与前件不相容；一个条件命题是假的，如果它的后件的否定与前件相容。

⏹例如,（1）“如果这是白天，那么天是亮的”是一个在联结蕴涵意义上的真命题。

这一命题后件的矛盾句是“天不是亮的”，与前件“这是白天”是不相容的;(2)“如果这是白天，那么这是白天”，这也是一个真的联结蕴涵命题；（3）“如果这是白天，那么狄翁走着”是一个假的联结蕴涵命题，因为“狄翁不是走着”（后件的否定）与前件“这是白天”是相容的。

联结蕴涵可以被看成是“严格蕴涵”的古代形式。

严格蕴涵是说，不可能前件真而后件假。

在联结蕴涵中，后件的否定与前件事不相容的。

“不相容”可以理解为“不可能”。

这样，联结蕴涵就是严格蕴涵。

联结蕴涵是由第欧多鲁和克吕西波提出来的。

四、包含蕴涵⏹所谓包含蕴涵是指，一个条件命题是真的，如果它的后件潜在地包含于它的前件中。

⏹这种观点很不清楚，并不为大多数斯多葛学者所采用。

在这四种蕴涵中，斐洛蕴涵和联结蕴涵在麦加拉-斯多葛学派中比较多地被采用。