直梁的弯曲

形 （1）固定端约束： A
B
yA 0, A 0
yC左 yC右
左 C
右 C
(2)铰支座：
A
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C
8
ByA yB
0 0
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§4-10 梁变形基本方程
积分法求解梁位移的思路： ① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ；
③ 建立近似微分方程： EIw M x
D2
§4-10 梁变形基本方程
3 边界和连续条件：
y10 0 y2l 0
y1 2l y2 2l y1 2l y2 2l
(连续条件) (光滑条件)
y1x
M0x 24lEI
4x2 l2
y2 x
M0x l
24EIl
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§4-10 梁变形基本方程
FAy
Ax
L
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分
F
B
M
B
A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程： M (x) Fx
挠曲轴近似微分方程：
y'' Fx EI
y' (x) Fx2 C
y Fx3 Cx D
2EI
6EI
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§4-10 梁变形基本方程
2、确定积分常数
y 曲线）
y
曲
z
变
x
x
m-m
形
（1）挠度y：横截面形心在垂直于轴线方向的位移
符号规定：向上为正，向下为负。 y yx
（2）轴向位移ΔX：横截面形心在轴线方向的位移，
小变形情况下，略去不计。
（3）转角θ：横截面绕中性轴的转过的角度 x
2020/6/17 符号规定：逆时针为正，4 顺时针为负。青岛科技大学 机电工程学院
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§4-10 梁变形基本方程
一、挠曲轴微分方程
1、中性层曲率表示的弯曲变形公式
弯 曲
1M
变
EI
1 M x
(x) EI
形 2、数学中的曲率公式
1
1
y y2
3
2
y
ρ
M
3、挠曲轴微分方程
y
1 y2
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32
Mx EI
o
6
y yx
A
FAy
x
L
变
C=0 , D=0
F
B
M
形 3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
y' (x) Fx2
2EI
将 x=L 代入转角方程：
Fx 3 y
6EI
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B
FL2 2EI
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§4-10 梁变形基本方程
例2：简支梁AB，弯曲
刚度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求y(x)， θ(x)；
-
AC段：
M(X) M0
x l
MO/2
BC段： M
(
X
)
M
0
(
x l
1)
y1
M0 EI
x l
y2
M0 EI
x l
1
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y1'
M0 2EI
x2 l
C1
y1
M0 6EI
x3 l
C1x
D1
15
y2'
M0 EI
x2 2l
x
C2
y2
M0 EI
青 岛x6科l3 技大x学22机电工C程2学x院
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适用条件：
（1）线弹性范围 x
（2）小变形条件
7
（3）平面青弯岛科曲技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
二、积分法计算梁的变形
弯 曲 变
y M x
EI
y´
= y
θ
(
M
xMdExI)xdxdx
EI
＋C
Cx
＋D
C、D为积分常数，由位移边界与连续条件确定。
边界条件：
连续条件 ：
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化工设备机械基础
第四章 直梁的弯曲
弯曲变形
§4-9 梁的变形分析
1
一、弯曲实例
弯 曲
1、齿轮传动
变
形
1
2
2
变形带来的弊端：
• 轮齿不均匀磨损，噪声 增大，产生振动； • 加速轴承磨损，降低使 用寿命；若变形过大， 使传动失效。
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2
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§4-9 梁的变形分析
L
F
FAy
Ax
B
L
M
F
B
M
M (x) Fx
y' (x) Fx2 C
2EI
y Fx3 Cx D 6EI
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§4-10 梁变形基本方程
例2：求图示梁的挠 A
L/2
曲轴微分方程。
MO
C
L/2
B
解：1 画出弯矩图：
MO/L
MO/2
+
MO/L
2 建立挠曲轴微分方程并积分
X=0, y=0
FAy
F
弯
X=L,y=0
Ax
曲 变 形
C＝－Me L ，D＝0 6EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
L
B
M
y' (x) Me (3x2 l2 )
6EIl
y Mex (x2 l2)
6EIl
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§4-10 梁变形基本方程
FAy
Ax
例：求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线和转角 方程，并确定其最大挠度和最大转角。
§4-9 梁的变形分析
三、挠度和转角之间的关系
y
弯
曲
变
形
o
θ(x)
挠曲轴 y yx
θ(x)
y(x)
x
x
k tg dy yx 挠曲轴曲线性质：
dx
（1）挠曲轴上任一点的纵坐标
(通常θ<1º=0.0175弧度)
等于梁上该截面的挠度值； （2）挠曲轴上任一点的切线斜
tg yx
率等于梁上该截面的转角值。
A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程： M (x) Fx
Fx
挠曲轴近似微分方程： y' '
EI
y' (x) Fx2 C
Fx3 y Cx D
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2EI
10
6EI
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§4-10 梁变形基本方程
2、确定积分常数
弯 曲
A端为固定端约束，X=0, y=0 X=0,θ=0
④ 积分求 EIw 和 EIw;
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
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§4-10 梁变形基本方程
弯
例1：悬臂梁AB，弯曲
刚度 EI为常数，受力F和 力偶M=FL作用，求y(x)，A
FAy
x
曲 θ(x)；并计算B截面的转
L
F
B
M
变 角值。
形 解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分
弯 曲 变 形
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2、继电器中的簧片 触 点
电磁力 簧片
当变形足够大时，可以有效接通电路；
当变形不够大时，不能有效接通电路；
工程中，一方面要限制变形，另一 方面要利用变形。
3
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ห้องสมุดไป่ตู้
§4-9 梁的变形分析
二、梁变形的表示方法 n-nθ
y
弯
ΔX
（连续、光滑 挠曲轴 平坦的平面
x
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§4-10 梁变形基本方程
4、挠曲轴近似微分方程
（1）在小变形条件下，
1
y y2
32
M x
EI
弯 y' 1 0.0175弧度 y2 1
曲 （2）正负号确定： 变
1 y2 1
形y
M>0
Mx
y
M<0
EI
y '' 0
y '' 0
o M与y´´保持同号