概率论(抽样分布)精品PPT课件
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概率论课件抽样分布
X
i 4
n
2 i
因为E( X1 X 2 ) 0, D( X1 X 2 ) 2
X1 X 2 所以 U 2
N (0,1)
又 V (X X )
2 3 2 4
(2)
2
所以 T
X1 X 2
2 X 3 X 1 2 2 4
X1 X 2 2 2 2 (X3 X4 ) / 2
独立，则 X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )
这个性质叫 分布的可加性.
2
2 Y ~ (n) , 则当n充分大时 3. 设
Y n 2n
的分布近似标准正态分布N(0,1).
2、t 分布 2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ (n) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n). t(n)的概率密度为
t0.975 (10) t0.025 (10) 2.2281,
t0.01 (100) z0.01 2.33, F0.05 (8,10) 3.07, F0.99 (30,10) 1/ F0.01 (10,30) 1/ 2.98 0.336
5.2.2几个常见的抽样分布 2 定理5.1 设总体X N ( , ), ( X 1 , X 2 ,
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
例1 查表求下列分位数的值
z0.05 , z0.9 ,
解
2 0.05
(20),
2 0.01
(200), t0.05 (10), t0.975 (10),
第六章 样本及抽样分布1精品PPT课件
一般, 代表总体的指标(如显象管寿命)是一个随机变量 X, 所以总体就是指某个随机变量X 可能取值的全体。
二．样本
1．抽样: 从总体中抽取若干个体的过程。
2．样本: 从总体中抽取若干个体, 观察得随机变量的一组试验 数据(观测值), 样本中所含个体的数量称为样本容量。
从总体中抽取样本, 一般假设满足下述条件： (1) 随机性: 使总体中的每一个个体有同等机会被抽取到； (2) 独立性: 每次抽样的结果既不影响其他各次抽样的结果,
1
f
xn
b
1n
0
a xi b 其他
测试题B答案:
一．填空题。
1. 1)满足X1, X2 , … X n独立且同分布
2. 21) 2 n
n
2.
Xi p i1
n
1 p
n Xi
i1
,
E X p,
p 1 p DX
n
3. 5/8
二．计算题。
解: 因为X1, X2 , … X n来自均匀分布总体 N , 2 ,则X1, X2 , …
3. 简单随机样也本不：受由其随他机各的次, 独结立果的的抽影样响方；法得到的样本, 这 种随机的, 独立的抽样方法称为简单随机抽样。
注: 今后凡是提到抽样与样本, 都是简单随机抽样与简单随 机样本。
由于从总体中抽取容量为n的样本, 即是对代表总体的随 机变量X随机的,独立的进行n次试验, 每次试验结果可以看作 一个随机变量, n 次试验结果就是n个随机变量 X1, X2 , … X n , 它们相互独立且与总体X同分布。
则的联合概率密度为 。
二. 计算题。
1. 设X1, X2 , … X n是来自均匀分布总体U (a , b)的样本, 求样本 (X1, X2 , … X n)的联合概率密度。
二．样本
1．抽样: 从总体中抽取若干个体的过程。
2．样本: 从总体中抽取若干个体, 观察得随机变量的一组试验 数据(观测值), 样本中所含个体的数量称为样本容量。
从总体中抽取样本, 一般假设满足下述条件： (1) 随机性: 使总体中的每一个个体有同等机会被抽取到； (2) 独立性: 每次抽样的结果既不影响其他各次抽样的结果,
1
f
xn
b
1n
0
a xi b 其他
测试题B答案:
一．填空题。
1. 1)满足X1, X2 , … X n独立且同分布
2. 21) 2 n
n
2.
Xi p i1
n
1 p
n Xi
i1
,
E X p,
p 1 p DX
n
3. 5/8
二．计算题。
解: 因为X1, X2 , … X n来自均匀分布总体 N , 2 ,则X1, X2 , …
3. 简单随机样也本不：受由其随他机各的次, 独结立果的的抽影样响方；法得到的样本, 这 种随机的, 独立的抽样方法称为简单随机抽样。
注: 今后凡是提到抽样与样本, 都是简单随机抽样与简单随 机样本。
由于从总体中抽取容量为n的样本, 即是对代表总体的随 机变量X随机的,独立的进行n次试验, 每次试验结果可以看作 一个随机变量, n 次试验结果就是n个随机变量 X1, X2 , … X n , 它们相互独立且与总体X同分布。
则的联合概率密度为 。
二. 计算题。
1. 设X1, X2 , … X n是来自均匀分布总体U (a , b)的样本, 求样本 (X1, X2 , … X n)的联合概率密度。
概率论与数理统计第六章样本与抽样分布精品PPT课件
100.9 99.6 103.1 98.1 99.2 101.4 100.4 99.1 100.2 97.5 99.7
99.8 102.9 98.2 96.0 101.5 100.3 96.9 101.2 98.1 99.4 100.6
102.7 97.7 95.8 99.0 100.2 97.8 99.5 100.2 97.4 101.8 102.1
第六章 样本与抽样分布
• 本章主要内容
§1 总体与个体 §2 直方图与经验分布函数 §3 统计量及其分布
2021年1月20日星期三
1
§6.1 总体与个体
一.总体与个体
1.定义1：一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
2021年1月20日星期三
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5
2021年1月20日星期三
9
§6.1 总体与个体
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一 次观察值，简称样本值 .
2021年1月20日星期三
某批 灯泡的寿命
鉴于此，常用随机变量的记号
或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .
2021年1月20日星期三
7
§6.1 总体与个体
类似地，在研究某地区中学生的营养状 况时，若关心的数量指标是身高和体重，我 们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体 就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
返回
下页
结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
返回
下页
结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
概率第6章 样本及抽样分布PPT课件
Xi
i 1, 2,
,n
显然Y1,Y2, ,Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
于是
2
n i 1
(
X
i
)2
n
Yi 2
i 1
2
n
(2)
X1
X2
~
N
(0,
2
2
),
(
X1 X
2 2
2
)2
~
2 (1)
2X3
X4
X5
~
N(0, 6
2 ), (2X3
X4
6 2
X 5 )2
~
[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)，
则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数：
n
fn x1, x2, xn f xi
i1
3
统计量：样本的不含任何未知参数的函数。
常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本
1.
样本均值
定理6.4：t n分布的概率密度为：f t, n
n1 2
n
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
对给定的 ,
0
1, 称满足条件
t n
f
t, n dt
的点t
n
为t n分布的上分位数。t分布的上分位数可查t分布表
f (x)
n 10
f x
t1 (n) t (n)
n4
n 1
3 2 1 0 1 2 3
Y1 g1 X1, , X n1 ,Y2 g2 X n11, , X n2 , ,Yk gk X , n1 nk11 , X n
抽样分布培训-精品课件
kx k!
5. 超几何分布 若随机变量X的概率分布为
P{X
k}
C C k nk M NM CNn
(k=0, 1, …, min(n, M)).
则称X服从参数为M,N,n的超几何分布，记作
X～H(n,N, M)
设有N个产品，其中M个不合格品。若从中不放回 地随机抽取n个，则其中含有的不合格品数是一个随
例：在一家保险公司中随机抽取10名销售人员，他们 的年销售额（单位：万元）分别为176，191，214， 220，205，192，201，190，183，185。绘制正态概率 图，判断销售额是否服从正态分布。
第二节由正态分布导出的几个重要分布
2分布 (2 distribution)
t 分布(t-distribution) F分布 (F distribution)
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
1、当X～N（u，σ2）， x1 ，x2……，xn是X的一个 样本，当方差未知时，我们用样本方差代替，则：
t
X
S
~
t(n
1)
n
为服从自由度为n-1的t分布，记t~t(n－1)。t分布又称
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。08:305.26.202108:305.26.202108:3008:30:575.26.202108:305.26.2021
5. 超几何分布 若随机变量X的概率分布为
P{X
k}
C C k nk M NM CNn
(k=0, 1, …, min(n, M)).
则称X服从参数为M,N,n的超几何分布，记作
X～H(n,N, M)
设有N个产品，其中M个不合格品。若从中不放回 地随机抽取n个，则其中含有的不合格品数是一个随
例：在一家保险公司中随机抽取10名销售人员，他们 的年销售额（单位：万元）分别为176，191，214， 220，205，192，201，190，183，185。绘制正态概率 图，判断销售额是否服从正态分布。
第二节由正态分布导出的几个重要分布
2分布 (2 distribution)
t 分布(t-distribution) F分布 (F distribution)
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
1、当X～N（u，σ2）， x1 ，x2……，xn是X的一个 样本，当方差未知时，我们用样本方差代替，则：
t
X
S
~
t(n
1)
n
为服从自由度为n-1的t分布，记t~t(n－1)。t分布又称
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。08:305.26.202108:305.26.202108:3008:30:575.26.202108:305.26.2021
三概率分布与抽样分布【共44张PPT】
下表是工商07级1班、2班某门课的考试成绩。
比如，有些产品出厂时不仅需要标注其性能参数均值，而且要标明均值的方差（标准差）。
二项分布、几何分布都是贝努利试验导出的分布。
其中N为产品总数，n为试验次数也即抽取出的产品数；
实际中，要求n≥30。
二项分布、几何分布都是贝努利试验导出的分布。
二项分布与几何分布都是在n重或可列重相互独立的贝努利试验中形成的。
概率是曲线下的面积
P（ aXb） bf（ x） dx a f(x)
ab
x
从概率的角度重新看这几个指标：
随机变量的均值 E(X)
n
xip(xi )
xif (x)dx
i1
(和的均值 均值之和)
随机变量的方差 var(X)
n
(xi E(X))2 p(xi )
(xi
E(X))2 f
中心极限定理(Central Limit Theorem)：
对于样本比例（成数）来说，中心极限定理也同样成立：
设从成数为P0的总体中抽取大小为n的样本，当n充分大
时，样本成数总是近似服从
N(P0,的P0正(1态n分P布0)。)即：
E(p)
P0，D（p）
n1P0(1P0)
p~N(P0,
n1P0(1P0))
P（AB）=P（B）P（A￤B） 将上式中A、B的位置对调，可得：
P（AB）=P（A）P（B￤A） 以上两式统称概率乘法公式。
全概率公式与逆概率公式：
1 1、完备事件组 、完备事件组
其中N为产品总数，n为试验次数也即抽取出的产品数；
若事件A 、A 、…A 互不相容（互斥），且其中之一必然 随机变量：离散型、连续型。
概率统计课件§6 4.1—2 抽样分布
( Xi
i1
)2
1 n
n
(
i1
Xi
)2
X
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返回
常用的统计量：
1. 样本均值 （sample mean）
1 X
n
n
i1
X
i
2. 样本方差 （sample variance 修正样本方差 ）
S2n11i n1(Xi X)2n11i n1(Xi2nX2)
其中 Sw 2(n11n )1 S1 2 n2(n 221)S22
注：12222
上页
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返回
证： XY~N(12,n12n22)
U X Y (1 2 ) ~ N(0,1) 11
n1 n2
(
n1
1)
2
S
2 1
~2(n11),
(
t0 .1 (1 5 ) 1 .7 5 3
（3）P (t)0.95 P (t)0.05
t0 .1 ( 1 5 ) 1 .7 5 3
上页
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返回
例4. X1,X2, ,X9来自总体X~N(,2)的样本，且
Y1
1 6
(X 1 X 2 X 6 ),
Y213(X7X8X9)
X 1 2 X 2 2 X n 2 ~2 ( n )
Xi ~N(0,1) i1,2, ,n
期望与方差: E2(n)n D2(n)n
上页
下页
返回
3. 2 分布的可加性
定理4.4
X ~ 2(n1) Y ~ 2(n2)
X ,Y 相互独立
XY~2(n1n2)
i1
)2
1 n
n
(
i1
Xi
)2
X
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返回
常用的统计量：
1. 样本均值 （sample mean）
1 X
n
n
i1
X
i
2. 样本方差 （sample variance 修正样本方差 ）
S2n11i n1(Xi X)2n11i n1(Xi2nX2)
其中 Sw 2(n11n )1 S1 2 n2(n 221)S22
注：12222
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证： XY~N(12,n12n22)
U X Y (1 2 ) ~ N(0,1) 11
n1 n2
(
n1
1)
2
S
2 1
~2(n11),
(
t0 .1 (1 5 ) 1 .7 5 3
（3）P (t)0.95 P (t)0.05
t0 .1 ( 1 5 ) 1 .7 5 3
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例4. X1,X2, ,X9来自总体X~N(,2)的样本，且
Y1
1 6
(X 1 X 2 X 6 ),
Y213(X7X8X9)
X 1 2 X 2 2 X n 2 ~2 ( n )
Xi ~N(0,1) i1,2, ,n
期望与方差: E2(n)n D2(n)n
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3. 2 分布的可加性
定理4.4
X ~ 2(n1) Y ~ 2(n2)
X ,Y 相互独立
XY~2(n1n2)
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统计中常用分布
(1) 正态分布
i.i.d .
若
( X1, X 2,, X n )
~
N
(
,
2 1
)
则
n i1
ai X i
~
N
n i1
ai i ,
n i1
ai2
2 i
特别地，若
i.i.d .
( X1, X 2,, X n )
~
Xi
~
N
(
,
2 1
)
则
X
1 n
n i1
Xi
~
N , 2
n
X
2 i
2n
(3) t分布(Student分布) 定义 设 X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n)，X，Y 相互独立，
T X Y n
则T 所服从的分布称为自由度为n的T分布其密 度函数为：
f (t)
n
2
1
1
t
2
n1 2
t
n
n 2
n
n=1
n=20
t分布的图形(红色的是标准正态分布)
2 2
)
的一个简单随机样本．
它们相互独立．
令
X
1 n
n i1
Xi
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
Y
1 m
m
Yi
j1
S22
1 m 1
m
(Y j
j1
Y
)2
则
(n 1)S12
2 1
~
2
(n
1)
(m
2 2
1)
~
2
(m
1)
S12
2 1
S22
~
F (n 1, m 1)
(3)
2 2
若1 2 则
X
i
~
N (0,1)
i1
i 1,2,, n X1, X 2 ,, X n 相互独立，
则
E
(
X
i
)
0,
D(
X
i
)
1,
E
(
X
2 i
)
1
E( 2 (n)) E
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x
4
e
x2 2
dx
3
2
D(
X
2 i
)
E(X
4 i
)
E
2
(
X
2 i
)
2
D(
2 (n))
D
n i1
t分布的性质
1．fn(t)是偶函数,
n , fn (t) (t)
1
e
； t 2 2
2
2．T分布的上分位数t与双测分位数t/2有表
可查．
P(T t )
t t1
n = 10
•
-t
t•
P(T 1.8125) 0.05 t0.05 (10) 1.8125
P(T 1.8125) 0.05
令F X n Ym
则F 所服从的分布称为第一自由度为n，第二自 由度为m的F分布，其密度函数为：
f
(t,
n,
m)
n
2
m
n 2
m 2
n m
2
t
2
1
1
n m
t
nm 2
，t
0， t
0 0
m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15
P(T 1.8125) 0.95 t0.95 (10) 1.8125
P(T
t
2)
2
P(| T | t 2 )
/2 -t•/2
/2 t•/2
P(T 2.2281) 0.025 P(| T | 2.2281) 0.05 t0.025 (10) 2.2281
(4) F分布
定义 设 X ~ 2 (n),Y ~ 2 (m), X，Y 相互独立，
Xi
X
2
~
2 (n 1)
(n 1)S 2 与 X
2 相互独立．
(1)
X S X ~ T (n 1) n S n
(2)
(2) 两个正态总体
设 ( X1, X 2 ,, X n ) 是来自正态总体
X
~
N
(1
,
2 1
)
的一个简单随机样本；
Y1,Y2 ,,Ym
是来自正态总体
Y
~
N
(
2
,
§5.2 抽样分布
确定统计量的分布——抽样分布，是数理统计 的基本问题之一．采用求随机向量的函数的分布的 方法可得到抽样分布．由于样本容量一般不止2或 3(甚至还可能是随机的)，故计算往往很复杂，有时 还需要特殊技巧或特殊工具．
由于正态总体是最常见的总体，故本节介绍的 几个抽样分布均对正态总体而言．
~
F (m, n)
因而
F1
1 (n,
m)
F
(m,
n)
抽样分布的某些结论
(1) 一个正态总体
设 X ~ N (, 2 ) E( X ) ，D( X ) 2
总体的样本为 ( X1, X 2 ,, X n ) ，则 X ~ N (, 2 ) X ~ N (0,1)
n n
(n 1)S 2
2
n i1
S12 S22
~ F (n 1, m 1)．
设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 X ~ N (1, 2 )
X
相互独立，
2
则X1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )；
3．n 时， 2 (n) 正态分布；
4． 2 (n)分布的上分位数有表可查．
例如
2 0.05
(10)
18.307
P( 2 (10) 18.307) 0.05
n = 10
• 20.05(10)
n
证明 1．设 2 (n)
X
2 i
事实上，
F1 (n, m)
1 F (m, n)
故
F0.95
(5,4)
1 F0.05 (4,5)
1 5.19
• F(n,m)
例1
证明
F1 (n, m)
1 F (m, n)
证明
P(F
F1
(n, m))
P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
故P
1 F
F1
1 (n,
m)
பைடு நூலகம்
，由于
1 F
2
1
,
x
0
2
0, x 0
2 (n) 分布密度函数图
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2
n=5
n = 10 0.1
n = 15
5 10 15 20 25
2 (n) 分布的性质
1．E( 2 (n)) n, D( 2 (n)) 2n；
2．若X1
2 (n1),
X2
2 (n2 ),
X1,
n
X
2 i
~
2 (n)．
i1
n = 1时，其密度函数为
f
(
x)
1
1 1
x 2e 2, x 0
2
0, x 0
n=2时，其密度函数为
f
(
x)
1 2
1
e2
,
x
0．
0, x 0
为参数为1/2的指数分布．
一般地，自由度为n的 2 (n) 的密度函数为
f
(
x)
22
1
(
)
e
2
x
m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10
F分布的性质 1．若 ~ F (n, m),则１ ~ F (m, n)
F
2．F (n.m)的上分位数F (n, m)有表可查：
P(F F (n, m))
例如 F0.05 (4,5) 5.19
但 F0.95 (5,4) ?
标准正态分布的上分位数z．
z•
z0.05 1.645 z0.025 1.96 z0.005 2.575
常用 数字
/2
•
-z/2
-z/2＝z1-/2
/2
•
z/2
(2) 2 (n) 分布(n为自由度)相互独立．
定义 设 ( X1, X 2 ,, X n ) 且都服从标准正态
分布N(0,1)，则