二极管理想方程的推导~~~

二极管方程的推导

以空穴为例，平衡态的电流密度为零

（1-1） 进而可以写成 （1-2）

这里。X 的方向定义为由p 区指向n 区。把上式中的电场以电势负梯度的形式表示出来，即 ，则有

（1-3） 其中已用到爱因斯坦关系（），利用结两侧的电势n v 和p v ，耗尽区边界的空穴浓度n p 和p p ，并考虑到P 和V 只是位置的函数，认为中性区的载流子浓度等于平衡浓度，将上式两边进行积分得：

（1-4）

（1-5）

将0n p v v v =-代入上式，则接触电势0v 可用两区空穴的平衡浓度（p p ，n p ）表示出来： 0ln p n

p kT v q p = （1-6） 如果n 区的施主杂质浓度是d N 、p 区的受主杂质浓度是a N ，则根据一般情况下p p =a N 、n p =2/i d n N 的近似，也可将接触电势0V 用两区的掺杂浓度（d N ，a N ）表示出来： 022

ln ln /a a d d N N N kT kT v q n N q n == （1-7） 将（1-7）式改变形式，有0/kt p

qv n p e p =（1-8）

考虑到两区载流子平衡浓度满足关系式2n n i p n n =，2p p i n p n =则

0/p qv kT n n p

p n e p n ==（1-9） 而在施加了外加偏压的情况下，上式变成为0()/()

()po q v v kT no p x e p x --=（1-10）

该式将外加偏压V 与空间电荷区边界处的空穴浓度（稳态）联系在一起。在小注入的情况下，空间电荷区边界处多子浓度的变化可被忽略，即尽管在少子浓度变化的同时多子浓度是等量变化的（以满足电中性要求），但多子的变化与其平衡浓度相比仍是可以忽略的。因此，可以认为空间电荷区边界x=-0p x 处的空穴浓度p （-0p x ）仍然保持为平衡时的值p p ，即p （-0p x ）=p p ，而x=0n x 处的空穴浓度变成p （0n x ）用（1-9）除（1-10）有

/0()qv kT n n

p x e p = （1-11） 该式表面，在正偏的情况下，空间电荷区边界处的少子浓度与其平衡浓度相比显著的增大了，且增大的规律是随着偏压的增大而指数式的增大，这种变化称为少子注入，相应地，在反偏的情况下，空间电荷区边界处的少子浓度将是显著减小，且是随着反偏电压的增大而指数式的减小的，称少子抽出。当反偏压较大时，空间电荷区边界处的的过剩少子浓度实际上变成-n p 和-p n

上图给出了p-n 结正偏时少子注入形成的稳态分布。对n 区一侧的空间电荷区边界来说，过剩少子的浓度n p ∆等于()0n p x 减去n 区空穴的平衡浓度n p 即

()()/01qv kT n n n n p p x p p e ∆=-=-（1-12）

同样的道理，p 区一侧空间电荷区边界处过剩的少子的浓度p n ∆为()()/01qv kT p p p p n n x n n e ∆=--=- （1-13）

少子通过p-n 结注入到两侧的中性区内成为过剩的少子。过剩少子在扩散的同时与那里的多子复合，从而形成图所示的分布。为了后面讨论的方便。我们重新定义两个新的坐标：一个定义在n 型中性区内，以n 型的一侧的空间区边界0x 为坐标原点，以延伸到n 型中性区的距离为n x ；另一个定义在p 型中性区，以p 型的一侧的空间电荷边界0p x 为坐标原点，以延伸到p 型中性区的距离为p x 。采用这两个坐标，可将注入的过剩的少子的浓度分布表示为()()///1p L p n n x x L qv kT p p p n x n e

n e e δ--=∆=- （1-14） ()()///1n p n Lp

x L x qv kT p n n p x p e p e e δ--=∆=- （1-15） 由此可以立即得到n 区和p 区内任意一点的扩散电流。例如，由（1-15）可以求出n 区内n x 处空穴的扩散电流为

()()()/n p x L p p n p n p n n n p p

D D d p x I x qAD qA p e qA p x dx L L δδ-=-=∆=（1-16） 其中A 是p-n 结的面积。上式表明：n x 处空穴的扩散电流与该处过剩空穴的浓度成正比。n x =0处的过剩空穴的浓度最大，且该处空穴的扩散电流就是p-n 结注入的空穴总电流（忽略了空间电荷区内的产生和复合）。令（1-16）式中的n x =0，得到p-n 结注入的空穴的总电

流为()()qv/kT n n 0p e p p n p n p n p p

D D d p x I x qAD qA p qA dx L L δδ==-==（-1） （1-17） 经过类似的分析，同样可得到p-n 结注入的电子总电流为()qv/kT n n n p p p n n

0n n e L qAD D I x qA L -==∆==-（-1） （1-18）

式中的负号表示电子电流的方向沿着p x 的反方向，即n I 的真实方向沿x 轴的正反向，与空穴电流p I 的方向相同，见图（5-16） 。根据肖克莱理想二极管近似，即忽略载流子在空间电荷区内的产生与复合，认为每一个到达-p0x 的电子必然能够通过空间电荷区到达no x 处，这样通过no x 处的总电流就是()p n I x 0=和()n I 0p x -=之和（因为电子扩散方向沿-x 方向、电子电流()n p I x 的方向沿+x 方向，所以需在()n p I x 前面加负号来表示()n p I x 沿+x 的事实）：

()()p n n I=I x 0I 0p

n p n p p n

qAD qAD x p n L L =-==∆+∆ （1-19） ()()//0I ()11p

qv kT qv kT n n p p n

D D qA p n e I e L L =+-=- （1-20）