北师大版初三数学 圆的总复习

北师大版初三数学圆的总复习一. 教学内容： 1. 圆锥的侧面积 2. 圆的总复习二. 教学目标：1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题2. 灵活运用本章的知识解决综合问题三. 教学重点、难点：1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题2. 灵活运用本章的知识解决综合问题四. 课堂教学：知识要点：1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl。

2. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积3. 本章的知识机构图【典型例题】例1. 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 cm2（结果保留π）。

答案：8π例2. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为答案：2例3. 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线l上。

依次以B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为AA′ 、交CD于点P。

A′A″ 、A″A ，其中AA′（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；（2）求AA′ 的长；（3）求图中的（4）求图中的解：（1）A′′C=部分的面积S；部分的面积T。

2+1=cm×2=πcm（2）AA′ ＝180。

90π90π()25S==πcm23604（3）。

（4）连接BP，在Rt△BCP中，BC＝1，BP＝2，∴∠BPC=30°，CP=.∴∠ABP=30°.2∴T=S扇形ABP+S△PBC=30π×2+3=（+3）cm2.例4. 如下图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2。

过D、E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。

（1）求tan∠ADE的值；（2）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GH⊥DE，垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式；（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O 与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。

问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径。

解：（1）∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝2∴tan∠ADE=AE=22=2（2）∵DE=AD+AE=82+(22)2=6，∴sin∠ADE===，cos∠ADE===6262在Rt△DGH中，∵GD＝x，∴GH=DG⋅sin∠ADE=1x3∴DH=DG·cos∠ADE=22x，x=x2∴S△DGH=DH·GH=x∴S△AED=AD·AE=×8×22=822∴y=S△AED－S△DGH=8xy=-22x+82。

即y与x之间的函数关系式是（3）满足条件的⊙O有4个。

以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：∵AD∥MN，∴△AED∽△BEF。

∴∠PFN＝∠EDA。

1∴sin∠PEN＝sin∠EDA＝。

∵AE＝2BE,∴△AED与△BEF的相似比为2∶1。

AD=2，FB=4∴。

过点O作OI⊥PQ，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r。

∵sin∠PFN=OI=r=1，∴r＝1。

（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）例5. 已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系。

有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（-，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。

（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由。

（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。

解：（1）CD与⊙O相切。

因为A、D、O在一直线上，∠ADC＝90°，所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切线。

CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2＝13.解得a＝2，或a＝－3（舍去）。

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE∽Rt△OBA， OD所以OB=DEBA=OEOA，所以DE=213。

OE=313，所以点D1的坐标是（-313，213），y=-x。

所以OD所在直线对应的函数表达式为图①②切点在第四象限时（如图②），设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2＝13，解得b＝－2（舍去），或b ＝3。

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，图②所以ODOFDF2333==，所以OF=，DF=OBOABA1313（23，-）1313 所以点D2的坐标是3y=-x2所以OD所在直线对应的函数表达式为图③（2）如图③，过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2+DG2=(BO-OG)2+OD2-OG2=(--x)2+1-x2=14+2x 所以S=AB2=1BD2=7+x2。

因为－1≤x≤1，所以S的最大值为7+，S的最小值为7-。

例6. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm。

半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。

设运动时间为t（s），当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm。

（1）当t（2）当△ABCO与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

解：（1）①如图1，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，所以AC 与半t==1（s）圆O所在的圆相切。

此时点O运动了2cm，所求运动时间为：。

②如图2，当点OF。

在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12cm，则OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切。

此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=8=4（s）。

图 2③如图3，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了14cm，所求运动时间为：t=14=7（s）。

图 3④如图4，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q。

在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，所以，直线AB与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了32cm，所求运动时间为：t=32=16（s）。

因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交。

所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切。

图4（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与图3所示的两种情形。

①如图2，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：S扇形EOM=1π×62=9π（cm2）4。

②如图3，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H。

则PH＝BH。

在Rt△OBH中。

∠OBH＝30°，OB＝6cm，则OH＝3cm，BH=3cm，BP=6cmS∆POB=1×6×3=93（cm2）2，又因为∠DOP=2∠DBP=60°，1S扇形DOP=π×62=6π（cm2）6所以。

所求重叠部分面积为：S∆POB+S扇形DOP=（93+6π）（cm2）。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1. 下列命题中的真命题是（）A. 三点确定一个圆C. 圆周角等于圆心角的一半2. 如图，⊙O的直径为10厘米，弦OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5C. 3<OM<5B. 平分弦的直径垂直弦 D. 在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等 AB的长为6cm，M是弦AB上的一动点，则线段B. 4≤OM≤5 D. 4<OM<53. 如图，ΔABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝2，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为（）A. 1-π2 B. 1-π3 C. 1-π4 D. 1-π51VB=VA3 4. 如图，点B在圆锥母线VA上，且，过点B作平行于底面的平面截得一个小圆锥，若小圆锥的侧面积为S1，原圆锥的侧面积为S，则下列判断中正确的是（）1S1=S3 A. 1S1=S4 B. 1S1=S6 C. 1S1=S9 D.5. 一机械零件的横截面如图所示，作⊙O1的弦AB与⊙O2相切，且AB//O1O2，如果AB＝10cm，则下列说法正确的是（）A. 阴影面积为100πcmC. 阴影面积为50πcm 22 B. 阴影面积为25πcmD. 因缺少数据，阴影面积无法计算2二、填空题：1. 在ΔABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是ΔABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、2.5、3、为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是_____________．2. 如图在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为P，∠BAD＝30°，则∠AOC的度数是________度． OPB D3. 在RtΔABC，斜边AB＝13cm，BC＝12cm，以AB的中点O为圆心，2.5cm为半径画圆，则直线BC和⊙O的位置关系是________________．4. 把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是___________．5. 如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1 叫做“正方形的渐开线”，其中弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按A、B、C、D循环，它依次连接，取AB＝1，则曲线DA1B1C1D1的长是___________．三、解答题：1. 已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD，请你仔细观察后回答：图中共有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明你的理由．2. 如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为弧BF的中点，BF 交AD于E，且BE⋅EF=32，AD＝6，（1）求证：AE＝BE；（2）求DE的长；（3）求BD的长．3. 如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD＝CE；（1）若将图（a）中的半径OB所在的直线向上平移交OA于F，交⊙O于B'，其他条件不变（如图（b）），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？（2）若将图（a）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA 的（a）延长线与CF的交点，其他条件不变（如图（c）），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？4. 如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上运动（点O、B除外），CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED＝EP．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）当OC＝2，ED＝2时，求∠E的正切值tanE和图中阴影部分的面积．游戏公平吗（教案）教材：北师大版九年级下册第四章第三节授课教师：山东省菏泽市第二十一中学祁永娜一、教学目标：1.通过具体问题情境，让学生进一步体会如何评判一些游戏活动的公平性，对于不公平的游戏能够修改规则使其公平.2.经历游戏实验、过程分析、结果探究等学习过程，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题.3.让学生体会数学与生活的密切联系，使学生在学习活动中感受数学的价值，体验成功的愉悦，激发学生学习数学的兴趣.二、重点：利用概率和获胜时的得分值评判游戏的公平性和制定公平的游戏规则.难点：利用概率和获胜时的得分值评判游戏的公平性和制定公平的游戏规则. 关键：把某一实验过程中所有可能发生的情况全部列举出来.三、教学过程1.前置补偿2.学法指导3.自主学习4.合作探究5.知识运用本节课的设计说明：一、新理念、新思路、新手段设计的思路是从学生原有知识和已有经验入手，即从已经学过的求一步和两步事件发生的概率，到利用概率和得分值来评判游戏的公平性，再到如何制定公平的游戏规则，层层深入，循序渐进.教师尽可能地指导学生学习方法，引导学生自主学习、合作探究，尽量做到：知识由学生探究；方法由学生寻找；规律由学生总结. 在这种思路下，我采取“一题多问”，将学生容易混淆的问题，集中在同一个问题情境中，如摸球游戏中摸出一球后放回与摸出一球后不放回，是两个不同类型的题目，放在一起有利于学生根据数据的分析，产生数学思考，同时也让他们经历知识的形成过程. 并且我在教学过程中适时配以课件帮助学生突破难点.二、利用问题、引起质疑、激发兴趣由摸球游戏提出问题，引起学生质疑，激发学习兴趣.学生经过紧张的学习之后，注意力已经度过了最佳时期，我在“知识运用”中又设计了几道学生感兴趣的应用题，如搭配衣服和拼图游戏，并配以动画演示帮助学生分析，再次提高学生的学习兴趣.三、教法灵活、教材用活、学生学活我灵活利用课本教材，注重认知前提，在学习“掷骰子”题目之前设计了几道前置补偿题，把学新知必备的知识移置过来，复习和再认识，为学习新知奠定坚实的基础，使学生在教师的启发引导下，能自学、会合作.四、内容充实、训练扎实、目标落实本节课的难点是利用列举法求一些较复杂事件发生的概率，我在“知识运用”中分A、B两组题目进行强化训练，并安排一组难度稍大的选做题，以满足不同层次学生的需要.将这三种不同类型的题目分类，让学生自己体会并总结出解决这几类题目的方法.使他们不再是单纯的模仿与记忆，而是利用新旧知识的重组，进行纳入和构建.进而使学生自我形成初中阶段求概率的知识体系，达到能评判游戏公平性的目的.。