北师大版初三数学 圆的总复习

北师大版初三数学圆的总复习

一. 教学内容： 1. 圆锥的侧面积 2. 圆的总复习

二. 教学目标：

1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题

2. 灵活运用本章的知识解决综合问题

三. 教学重点、难点：

1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题

2. 灵活运用本章的知识解决综合问题

四. 课堂教学：

知识要点：

1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl。

2. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积

3. 本章的知识机构图

【典型例题】

例1. 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 cm2（结果保留π）。

答案：8π

例2. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为

答案：2

例3. 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线l上。依次以B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为AA′ 、

交CD于点P

。A′A″ 、A″A ，其中AA′

（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；

（2）求AA′ 的长；

（3）求图中的

（4）求图中的

解：（1）A′′C=部分的面积S；部分的面积T。 2+1=cm

×2=πcm（2）AA′ ＝180。90π90π()25S==πcm2

3604（3）。

（4）连接BP，

在Rt△BCP中，BC＝1，BP＝2，

∴∠BPC=30°，CP=.

∴∠ABP=30°.

2∴T=S扇形ABP+S△PBC=30π×2+3=（+3）cm2.

例4. 如下图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2。过D、E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。

（1）求tan∠ADE的值；

（2）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GH⊥DE，垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式；（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O 与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径。

解：（1）∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝2

∴tan∠ADE=AE=22=2

（2）∵DE=AD+AE=82+(22)2=6，

∴sin∠ADE===，cos∠ADE===6262

在Rt△DGH中，∵GD＝x，

∴GH=DG⋅sin∠ADE=1x3

∴DH=DG·cos∠ADE=22x，

x=x2∴S△DGH=DH·GH=x

∴S△AED=AD·AE=×8×22=8

22∴y=S△AED－S△DGH=8x

y=-22x+82。即y与x之间的函数关系式是

（3）满足条件的⊙O有4个。

以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：

∵AD∥MN，

∴△AED∽△BEF。

∴∠PFN＝∠EDA。

1

∴sin∠PEN＝sin∠EDA＝。

∵AE＝2BE,

∴△AED与△BEF的相似比为2∶1。 AD=2，FB=4∴。

过点O作OI⊥PQ，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r。

∵sin∠PFN=OI=r=1，

∴r＝1。

（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）

例5. 已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系。有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（-，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。

（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由。

（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。

解：（1）CD与⊙O相切。

因为A、D、O在一直线上，∠ADC＝90°，

所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切线。

CD与⊙O相切时，有两种情况：

①切点在第二象限时（如图①），

设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2＝13.

解得a＝2，或a＝－3（舍去）。

过点D作DE⊥OB于E，

则Rt△ODE∽Rt△OBA， OD

所以OB=DE

BA=OE

OA，所以DE=213。

OE=313，所以点D1的坐标是（-313，213），

y=-x。

所以OD所在直线对应的函数表达式为

图①

②切点在第四象限时（如图②），

设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2＝13，解得b＝－2（舍去），或b ＝3。

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，图②

所以ODOFDF2333==，所以OF=，DF=OBOABA1313

（23，-）1313 所以点D2的坐标是

3y=-x2

所以OD所在直线对应的函数表达式为

图③

（2）如图③，过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则

BD2=BG2+DG2=(BO-OG)2+OD2-OG2

=(--x)2+1-x2=14+2x 所以S=AB2=1BD2=7+x2。

因为－1≤x≤1，所以S的最大值为7+，S的最小值为7-。

例6. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，

∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t（s），当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm。

（1）当t

（2）当△ABCO与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

解：（1）①如图1，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，所以AC 与半t==1（s）圆O所在的圆相切。此时点O运动了2cm，所求运动时间为：。