2021年高二下学期第一次月考数学试题(理科零班) 含答案
2021-2022年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．下面是关于复数的四个命题：，，的共轭复数为，的虚部为．其中真命题为（）A． B． C． D．2．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A． B．C． D．3．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点4．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……，将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是（）A．12 B．13 C．14 D．155．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．函数在闭区间[3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．9，-19 D．3，-177．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．8．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A．B．1 C．D．29．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则＝（）A．2或2 B．9或3 C．1或1 D．3或110.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．曲线在点 处的切线倾斜角为_________________.12．函数的导数为_________________.13．观察下列不等式，……照此规律，第五．个不等式为 . 14．若，则常数的值为____________________.15．若函数在上是增函数，则的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分）．16. （本小题满分12分）求由直线，，及曲线所围成的图形的面积．17. （本小题满分12分）（1）依次计算 ，，31112(1)(1)(1)4916a =---， 411112(1)(1)(1)(1)491625a =---- （2）猜想211112(1)(1)(1)(1)4916(1)n a n =----+的结果，并用数学归纳法证明论．18.（本小题满分12分）设13()ln 122f x a x x x =+++，其中，曲线在点处的切线垂直于轴． （1）求的值；（2）求函数的极值．19．（本小题满分12）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20. （本小题满分13分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数，函数是区间[1，1]上的减函数.（1）求的最大值；（2）讨论关于的方程的根的个数．理科数学答案 xx3月 一、选择题C BD C C D B A A B二、填空题2222211111111234566+++++< 3三、解答题16．解 由，得到或，……………………………………………………………2分则………………………………………………………6分……………………………………………………10分…………………………………………………………………………………………………………12分17．解：（1），，，，………………………………………4分（2）猜想：，………………………………………………………………………5分证明：①当时，，显然成立 …………………………………………………6分 ②假设当命题成立，即2111122(1)(1)(1)(1)4916(1)1k k a k k +=----=++，……………7分 则当时， 122111112(1)(1)(1)(1)(1)4916(1)(2)k a k k +=-----++ ………………………………………………………………………11分所以当时，命题成立，由①，②可知，命题对成立．………………………………………………………………12分18. 解：（1）由13()ln 122f x a x x x =+++，得，……………………………2分 又曲线在点处的切线垂直于轴，故，解得；…………………………………………………………6分（2）， 由，得或（舍去），……………………………………………………8分当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数，所以函数在处取得极小值，无极大值．…………………………………12分19．解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，……………………………2分要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．…………………6分（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤…………8分332280080'()(0120)640640x x h x x x x -=-=<≤令得 当时，是减函数；当时，是增函数．所以当时，取到极小值也是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最小为11.25升．………12分20. 解 23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，当时，取最小值，即．……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由得，（不合题意，舍去）．当变化时，的变化情况如下表：在内有最大值．…………………………………………………………8分 在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．………………………………………………………………………13分21．解：（1）∵在上单调递减，∴在上恒成立，即在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为…………………………4分（2）由.2ln )(ln 2m ex x x x x f x +-== 令,2)(,ln )(221m ex x x f xx x f +-==当上为增函数；当时，为减函数； 当,1)()]([,1max 1e e f x f e x ===时……………………………………………………………8分 而,)()(222e m e x x f -+-=当时，………………………………………………………………10分,1,122时即当ee m e e m +>>-∴方程无解； 当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. ……………………………………………14分28942 710E 焎23138 5A62 婢28049 6D91 涑033769 83E9 菩B25201 6271 扱34216 85A8 薨38596 96C4 雄40467 9E13 鸓 l22522 57FA 基~r。
2021年高二下学期第一次月考数学理试题 含答案
年高二下学期第一次月考数学理试题 含答案一、选择题（本大题共10小 题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 2. 在空间直角坐标系中, 点B 是点关于xOy 面的对称点，则= ( )A. 10B.C.D. 38 3.下列命题正确的是（ ）A.平行于同一平面的两条直线平行B.垂直于同一直线的两条直线平行C.与某一平面成等角的两条直线平行D.垂直于同一平面的两条直线平行4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取（ )A ．7B ．8C ．9D ．105．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 6．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ ）。
A. 和都垂直于平面B. 内不共线的三点到的距离相等C. 是平面内的直线且D. 是两条异面直线且7．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则AM+MD1的最小值为（）（A）（B）（C）（D）29.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是（D ）第8题图A. B. C. D.10．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值二.填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分)11．n为正奇数时，求证：x n＋y n被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．12．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。
高二数学下学期第一次月考试题理含解析_6
上高县第二中学2021-2021学年高二下学期第一次月考本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
数学〔理〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共36.0分〕1.设ξ～B〔n，p〕，Eξ=3，Dξ=，那么n与p的值是〔〕A. n=12，B. n=12，C. n=24，D. n=24，【答案】A【解析】【分析】根据ξ～B〔n，p〕利用Eξ与Dξ的公式得到关于的方程组，即可求解．【详解】由题意，可知ξ～B〔n，p〕，且Eξ=3，Dξ=，那么，所以，应选：A．【点睛】此题考察了二项分布与n次HY重复试验的应用，其中解答熟记二项分布的期望与方差的公式是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．2.设随机变量ξ服从正态分布N〔1，〕，P〔ξ＞2〕=0.3，那么P〔0＜ξ＜1〕=〔〕【答案】C【解析】【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，得出正态曲线的对称轴，由P〔ξ＞2〕=0.3，利用根据正态分布对称性，即可求得答案．【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布N〔1，〕，∴正态曲线的对称轴是：x=1，又∵P〔ξ＞2〕=0.3，∴P〔ξ≤0〕=0.3，∴P〔0＜ξ＜1〕=[1-〔0.3+0.3〕]=0.2，应选：C．【点睛】本小题主要考察正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、正态分布曲线的对称性的应用等根底知识，着重考察运算求解才能，及数形结合思想，属于根底题．3.一个口袋中装有假设干个除颜色外都一样的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为，连续取出两个小球都是白球的概率为，某次取出的小球是白球，那么随后一次取出的小球为白球的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用条件概率公式求解即可.【详解】设第一次取白球为事件，第二次取白球为事件，连续取出两个小球都是白球为事件，那么，，某次取出的小球是白球，那么随后一次取出的小球为白球的概率为，应选B.【点睛】此题主要考察条件概率公式的应用，属于根底题.求解条件概率时，一要区分条件概率与HY事件同时发生的概率的区别与联络；二要熟记条件概率公式.4.的展开式中各项系数的和32，那么展开式中项的系数为〔〕A. 120B. 100C. 80D. 60【答案】A【解析】【分析】先由x=y=1，求得n=5，得到展开式中含项，确定m的值，代入即可求解．【详解】由题意，令x=y=1，得，解得n=5，那么展开式含项的项为，令6-m=5，得m=1，即展开式中项的系数为，应选：A．【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，以及展开式的系数问题的求法是解答此题的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．5. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是〔〕A. 1800B. 3600C. 4320D. 5040【答案】B【解析】试题分析：先排除了舞蹈节目以外的5个节目，一共种，把2个舞蹈节目插在6个空位中，有种，所以一共有种.考点：排列组合.，那么此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据n次HY重复试验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击命中3次的概率，再根据互相HY事件的概率乘法运算求得结果.【详解】根据射手每次射击击中目的的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为，恰有两次连续击中目的的概率为，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为.应选B【点睛】此题主要考察HY重复试验的概率问题，熟记概念和公式即可，属于常考题型.7.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城和非一线城的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．非一线一线总计愿生45 20 65不愿生13 22 35总计58 42 100附表：P〔〕k由算得，参照附表，得到的正确结论是〔〕A. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“生育意愿与城级别有关〞B. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“生育意愿与城级别无关〞C. 有99％以上的把握认为“生育意愿与城级别有关〞D. 有99％以上的把握认为“生育意愿与城级别无关〞【答案】C【解析】K2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城级别有关〞，此题选择C选项.点睛：HY性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否那么就可能对统计计算的结果作出错误的解释．8.以下说法：①分类变量A与B的随机变量越大，说明“A与B有关系〞的可信度越大．②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，那么c，k的值分别是和0.3．③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx中，b=2，，，那么a=1．正确的个数是〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分类变量与的随机变量越大,说明“与有关系〞的可信度越大,①正确;===,所以=4,,所以的值分别是和0.3,②正确;回归直线=过点,即3=,解得,即③正确.所以正确的个数是3.应选D.9.一个袋中放有大小、形状均一样的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，那么〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为；可能的取值为，，，，故，.，，故，,故，.应选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.10.对任意x∈R恒成立，且，那么b=〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据，根据它的展开式形式，由题意可得，，即可求出b的值．【详解】由题意知即，且，可得，，解得b=1，n=9，应选：A．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，其中解答中合理构造，熟记二项展开式的通项公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考察了构造思想，以及运算与求解才能，属于中档题．11.某单位安排7位员工对一周的7个夜晚值班，每位员工值一个夜班且不重复值班，其中员工甲必须安排在星期一或者星期二值班，员工乙不能安排在星期二值班，员工丙必须安排在星期五值班，那么这个单位安排夜晚值班的方案一共有〔〕A. 96种B. 144种C. 200种D. 216种【答案】D【解析】【分析】可分为两类：甲安排在星期一，丙排在星期五和甲安排在星期二，丙排在星期五，再由分类计数原理，即可求解．【详解】由题意，先安排丙和甲，再安排乙，其余的人任意排．假设甲安排在星期一，丙排在星期五，那么乙有4种安排方法，其余的4人任意排，一共有4=96种．假设甲安排在星期二，丙排在星期五，那么其余的5人任意排，一共有=120种．由分类计数原理，可得这个单位安排夜晚值班的方案一共有96+120=216种，应选：D．【点睛】此题主要考察排列、组合以及简单计数原理的应用，表达了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论，属于中档题．12.随机变量ξ的分布列如下，那么E〔ξ〕的最大值是〔〕ξ-1 0 aPA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分布列的性质得到b=a,再由均值的概念得到，由二次函数的性质得到结果即可. 【详解】根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,，根据公式得到化简得到，根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到.此时,经检验合适题意.故答案为：B.【点睛】这个题目考察了分布列的性质以及应用，分布列的概率和为1，每个概率值介于0和1之间，或者者可以等于0或者1，根底题型.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共12.0分〕13.某人一共有五发子弹，他射击一次命中目的的概率是，击中目的后射击停顿，射击次数X为随机变量，那么EX=_________．【答案】【解析】【分析】由题意，利用HY事件同时发生的概率公式求出每个随机变量对应的概率，可得分布列，根据期望公式可计算期望.【详解】，，，列表X 1 2 3 4 5P所以【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值〞，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率〞，即利用排列组合、枚举法、概率公式〔常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、HY事件的概率公式以及对立事件的概率公式等〕，求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或者某事件的概率是否正确；④“求期望〞，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．14.在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子，其中有16颗红棋子，16棵绿棋子．某人无放回地依次从中摸出1棵棋子，那么第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是_________．【答案】【解析】【分析】根据无放回地依次从中摸出1棵棋子，那么第1次摸出红棋子的概率是，第2次摸出绿棋子的概率是，根据互相HY事件的概率公式，即可得到结果．【详解】由题意，无放回地依次从中摸出1棵棋子，那么第1次摸出红棋子的概率是第2次摸出绿棋子的概率是，根据互相对立事件的概率公式可得，第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是. 故答案为：【点睛】此题考察互相HY事件同时发生的概率，其中解答中认真审题，合理计算第一次摸出红棋子和第二次摸出绿棋子的概率，再利用互相HY事件的概率计算公式求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．的展开式中，其常数项为_________．【答案】-495【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，求出展开式的通项，令x的指数为0，得出的取值，即可求出展开式的常数项，得到答案．【详解】由题意，可得展开项的通项为令，那么或者，所以展开式的常数项为．故答案为-495【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理求解的取值是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．16.在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物〔如图〕，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，那么有_________种栽种方案．【答案】66【解析】【分析】根据题意，分3种情况讨论：①当A、C、E种同一种植物，②当A、C、E种二种植物，③当A、C、E种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案．【详解】根据题意，分3种情况讨论：①当A、C、E种同一种植物，此时一共有3×2×2×2=24种方法；②当A、C、E种二种植物，此时一共有C32×A32×2×1×1=36种方法；③当A、C、E种三种植物，此时一共有A33×1×1×1=6种方法；那么一一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；故答案为：66．【点睛】此题主要考察分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步〞、“是排列还是组合〞，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复穿插讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难那么反〞的思维方式．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共72.0分〕的展开式中二项式系数和为256．〔1〕求展开式中常数项；〔2〕求展开式中二项式系数最大的项．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕借助题设条件运用通项公式待定求解；〔2〕借助题设条件运用二项式展开式中的组合数性质求解.试题解析：〔1〕二项式系数和为，〔，〕当时，常数项为〔2〕第5项二项式系数最大二项式系数最大的项为考点：二项式定理等有关知识的综合运用．18.?高考HY试点方案?规定：从2021年秋季高中入学的新生开场，不分文理科；2021年开场，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E一共8个等级．参照正态分布原那么，确定各等级人数所占比例分别为3％、7％、16％、24％、24％、16％、7％、3％．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，按照等比例转换法那么，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级一共2000人，为给高一学生合理选科提供根据，对六个选考科目进展测试，其中物理考试原始成绩根本服从正态分布N〔60，169〕．〔Ⅰ〕求物理原始成绩在区间〔47，86〕的人数；〔Ⅱ〕按高考HY方案，假设从全考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．〔附：假设随机变量ξ～N〔μ，〕，那么P〔μ-σ＜ξ＜μ+σ〕=0.682，P〔μ-2σ＜ξ＜μ+2σ〕=0.954，P〔μ-3σ＜ξ＜μ+3σ〕=0.997〕【答案】〔Ⅰ〕1636人；〔Ⅱ〕见解析。
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
2021年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)含解析
2021年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题3．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B． C．2 D．38．已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0 B． C．πD．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是．12．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．xx学年山东省淄博市淄川一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故答案为：B．2．若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题，即可判断．【解答】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知，若p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题．故选C．3．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【考点】轨迹方程．【分析】可以画出线段F1F2，根据图形即可找到满足条件的点M的分布情况，从而得出M 点的轨迹．【解答】解：M一定在线段F1F2上，如果点M不在该线段上，如图所示：①若M不在直线F1F2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|=6；即这种情况不符合条件；②M在F1F2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；∴只有M在线段F1F2上符合条件；∴M点的轨迹是线段．故选：C．4．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x轴上；所以渐近线方程为y=x=．故选C．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，双曲线的焦点在y轴，c=，a=1，从而可得其标准方程．【解答】解：∵中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），∴其焦点在y轴，且半焦距c=；又F到最近顶点的距离是﹣1，∴a=1，∴b2=c2﹣a2=3﹣1=2．∴该双曲线的标准方程是y2﹣=1．故选A．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆方程为（a＞b＞0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e==．【解答】解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，∴焦距2c=AB，其中c=＞0∵BC⊥AB，且BC=AB=2c∴AC==2c根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c∴椭圆的离心率e====故选A7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B． C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】确定a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，4﹣a2=a+2，即可求出a的值．【解答】解：因为椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，所以a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，所以4﹣a2=a+2，所以a=﹣2，或a=1．因为a＞0，所以a=1．故选：A．8．已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0 B． C．πD．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由cos＜＞==﹣1，能求出向量与的夹角为π．【解答】解：∵A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，∴向量=（﹣1，﹣2，6），=（1，2，﹣6），∴cos＜＞==﹣1，∴向量与的夹角为π．故选：C．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线定理即可判断出．【解答】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C．10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】根据本题的条件，E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，容易证明∠AEA1=90°，再由长方体的性质容易证明AD⊥平面ABB1A1，从而证明AE⊥平面A1ED1，是一个特殊的线面角．【解答】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，∴∠AEA1=90°，又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥AE，∴AE⊥平面A1ED1，故选B二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是﹣2．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】由向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，知，由此能求出x+y．【解答】解：∵向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，∴，解得x=4，y=﹣6，∴x+y=4﹣6=﹣2．故答案为：﹣2．12．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；异面直线及其所成的角．【分析】根据题图中的坐标系得到向量，，，的坐标，利用向量的坐标运算解答．【解答】解：由已知题图中坐标系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E1（1，，1），F1（0，，1），=（0，﹣，1），=（0，，1），所以cos＜，＞===，所以BE1与DF1所成的角的余弦值为．故答案为：．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质．【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为．∵焦点（3，0）在x轴上，∴a2=3k，b2=3，又∵c2=a2﹣b2=9，∴a2=12，解得：k=4．=故答案为：．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意，方程表示椭圆，则x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法可得命题P与Q的m 的取值范围，再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得P与Q必然一个为真一个为假．即可得出．【解答】解：命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．∴，解得m＞2．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得：1＜m＜3．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q必然一个为真一个为假．∴或，解得1＜m≤2，或m≥3．则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．故答案为：（1，2]∪[3，+∞）．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得PC⊥BC，PA⊥BC，由此能证明AC⊥BC．（2）推导出PA⊥AC，设PA=x，由向量运算法则能求出当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．【解答】（本题12分）证明：（1）∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴，∴AC⊥BC；…解：（2）∵PA⊥平面ABC，PA⊥AC，，设PA=x，又异面直线PB与AC所成的角为600，则．而∴=，=．∴，．当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．…17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设双曲线方程为，将点A坐标代入算出，从而得到双曲线方程．再将双曲线方程化成标准形式，即可算出a、b、c的值，从而得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为，∴设所求双曲线方程为∵点在双曲线上，∴，解之得∴所求双曲线方程为∵，∴可得，得c=因此，双曲线的离心率为：18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．【考点】其他不等式的解法；命题的真假判断与应用．【分析】若“p或q”为真命题即为p真或q真，只要分别求出p真、q真时a的范围，再求并集即可．【解答】解：由|2x﹣1|＜x+a得，由题意得．∴命题p：a=2．由4x≥4ax2+1的解集是∅，得4ax2﹣4x+1≤0无解，即对∀x∈R，4ax2﹣4x+1＞0恒成立，∴，得a＞1．∴命题q：a＞1．由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．∴实数a的值取值范围是（1，+∞）．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．【考点】抛物线的标准方程．【分析】先设抛物线的标准方程，把点M代入抛物线方程求得m和p的关系，根据M到焦点的距离求得m和p的另一个关系式，联立方程求得m和p．【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）点F（﹣，0）由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为y2=﹣8x，m的值为±220．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ 法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；设是平面PBQ的法向量，则，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=﹣1，所以•k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．xx年10月18日f22103 5657 噗22380 576C 坬27823 6CAF 沯36307 8DD3 跓40156 9CDC 鳜32650 7F8A 羊- 39709 9B1D 鬝37477 9265 鉥|T37923 9423 鐣。
2021年高二下学期第一次月考数学理科试题 含答案
2021年高二下学期第一次月考数学理科试题 含答案学号 班级姓名 成绩一、 选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分。
在每小题的四个选项中，只有一项符合要求）1．若复数2-b i （）的实部与虚部互为相反数，则b 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．D ． 2．曲线在点（0，1）处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列结论中正确的是 （ ） A. 导数为零的点一定是极值点B. 如果在附近的左侧右侧那么是极大值C. 如果在附近的左侧右侧那么是极小值D. 如果在附近的左侧右侧那么是极大值 4、下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③ B ．②③④ C ．②④⑤ D ．①③⑤. 5、（ ）A. B.- C. D. 6、设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为 （ ）7、若函数的图像上一点及邻近一点， 则（ ）A ．3B ．C ．D ． 8、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x < 0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ）A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3) 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分） 9、计算 .10、若关于的函数的导数为,则的值为__________ 11. 观察下列等式：1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第五个等式应为 .12、,124,a b R a ai bi b ∈-+=+=已知，且则 13、 若有极值，则的取值范围是__ 14、设，已知，，则猜想的值为 .三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分） 15、（12分）求函数的单调区间和极值．16、（12分）已知复数z=（m 2+3m+2）+（m 2-m-6）i ，则当实数m 为何值时，复数z是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）对应的点在第三象限．17．（本小题满分14分）已知函数的图象与x轴相切于点（1，0）.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最值.18、（本小题满分14分）设数列的前n项和为，且（）.（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并加以证明.19、（14分）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。
2021年高二下学期第一次(3月)月考数学理试题 含答案
2021年高二下学期第一次（3月）月考数学理试题 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
把答案填写在答题卡上）1．方程表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k≥0D ．k ＞1或k ＜﹣1 2．设函数在处可导，则 ( )A ．仅与x 0有关而与h 无关B ．仅与h 有关而与x 0无关C ．与x 0，h 都有关D ．与x 0、h 均无关 3.已知双曲线的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ） A ． B ．C ．D ．4．用反证法证明命题 “自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（ ）A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中或都是奇数或至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数5．用数学归纳法证明)()"12(212)()2)(1("*N n n n n n n n ∈-⋅⋅=+++ 时，从“到”时，左边应添乘的式子是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.已知， ，由此推算：当n≥2时，有( ) A ． B ． C ． D ．7.已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m ，n ，则下列说法正确的是( ) A ．若m⊥n，n⊥α，m ⊂β，则α⊥β B ．若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥β D．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n8．一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④9．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（）A. B. C. D.10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）A. B. C. D.11．已知双曲线两个焦点为分别为，过点的直线与该双曲线的右支交于两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为( )A．B．C．D．12.已知的导函数是,记，，则下列结论正确的是（）A． B。
2021年高二下学期第一次月考试题 数学(理) 含答案
2021年高二下学期第一次月考试题数学（理）含答案一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上。
）1.若，则复数z的虚部为（）A. B. C.1 D.-12.观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31,......，猜想第n个等式（n为正整数）应为（）A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣103.已知命题，则是（）A. B.C. D.4.“”为“曲线经过点的”（）充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件5.在的展开式中，的系数为（）A.2B. 4C.6D.86. .将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24 C．30 D．367.如图，函数y=﹣x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（）A.1B.C.D. 28.已知直线是的切线，则的值为（）A. B. C. D.9.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐进线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知椭圆的右焦点为F，离心率，过原点的直线交椭圆E于A，B两点，若，则椭圆E的方程是（）A. B.C. D.12.若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（）A. B.C. D.二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把正确答案填在答题卡的相应位置。
）13. 1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是________．14.已知抛物线的准线方程为，则实数_________.15. 5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．16.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是_________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
高二数学下学期第一次月考试题零班 试题
22.设函数f〔x〕=2lnx﹣x2．
〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；
〔2〕假设关于x的方程f〔x〕+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，务实数a的取值范围．
县2021届高二年级下学期第一次月考
数学试卷(理零)答案
1.A2.B3.D4.C5.D
当x∈〔2，+∞〕时，f′〔x〕＞0，故f〔x〕在〔2，+∞〕上为增函数；
由此可知f〔x〕在x1=﹣2处获得极大值f〔﹣2〕=16+c，f〔x〕在x2=2处获得极小值f〔2〕=c﹣16，
由题设条件知16+c=28得，c=12
此时f〔﹣3〕=9+c=21，f〔3〕=﹣9+c=3，f〔2〕=﹣16+c=﹣4
＜11 6.[﹣3，+∞〕
17.p为真，那么有x＜3；
q为真，那么有x2﹣4x﹣5＜0，解得﹣1＜x＜5．
由“p或者q为真，p且q为假〞可知p和q满足：
p真q假、p假q真．所以应有 或者
解得x≤﹣1或者3≤x＜5
此即为当“p或者q为真，p且q为假〞时实数a的取值范围为〔﹣∞，﹣1]∪[3，5〕．
18.解：〔Ⅰ〕由题f〔x〕=ax3+bx+c，可得f′〔x〕=3ax2+b，又函数在点x=2处获得极值c﹣16
C. ＝ 〔sin2x+2cos2x〕D. ＝ 〔2sin2x+cos2x〕
9.假设函数f〔x〕=x+ 〔x＞2〕，在x=a处取最小值，那么a=
A．1+ B．1+ C．3D．4
10.如图，是函数y=f〔x〕的导函数f′〔x〕的图象，那么下面判断正确的选项是
高二数学下学期第一次月考试题 理含解析 试题
第二中学2021-2021学年高二下学期第一次月考制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
数学〔理〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.假设曲线y=x2+ax+b在点〔0，b〕处的切线方程x-y+1=0，那么〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，2.复数〔i为虚数单位〕在复平面内对应的点所在象限为〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论〞推理出一个结论，那么这个结论是〔〕A. 正方形的对角线相等B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形是平行四边形D. 以上均不正确4.观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，问第100项为〔〕A. 10B. 14C. 13D. 1005.如图，阴影局部的面积为〔〕6.A.B.C.D.7.用反证法证明命题“假设a2+b2=0〔a，b∈R〕，那么a，b全为0〞，其反设正确的选项是〔〕A. a，b至少有一个为0B. a，b至少有一个不为0C. a，b全部为0D. a，b中只有一个为08.f〔n〕=+++…+．那么〔〕A. 中一共有n项，当时，B. 中一共有项，当时，C. 中一共有项，当时，D. 中一共有项，当时，9.函数f〔x〕在其定义域内可导，其图象如下图，那么导函数y=f′〔x〕的图象可能为〔〕A.B.C.D.10.在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，那么AB2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A-BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是〔〕A. B.C. D.11.函数f〔x〕=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，点P〔m，n〕表示的平面区域内存在点〔x0，y0〕满足y0=log a〔x0+4〕，那么实数a的取值范围是〔〕A. B.C. D. ，12.定义复数的一种运算z1*z2=〔等式右边为普通运算〕，假设复数z=a+bi，且正实数a，b满足a+b=3，那么z*最小值为〔〕A. B. C. D.13.a为常数，函数f〔x〕=x〔ln x-ax〕有两个极值点x1，x2〔x1＜x2〕〔〕A. B.C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕14.假设复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，那么z的实部为______．15.a＞0，b＞0，m=lg，n=lg，那么m与n的大小关系为______．16.设f〔x〕=，假设f〔f〔1〕〕=1，那么a=______．17.函数f〔x〕=．假设f〔x〕所有零点之和为1，那么实数a的取值范围是______．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕18.设函数f〔x〕=，求函数f〔x〕的单调区间．19.20.21.22.23.24.26.直线l过点〔0，5〕，且在两坐标轴上的截距之和为2．27.〔1〕求直线l的方程；28.〔2〕假设直线l1过点〔，-1〕且与直线l垂直，直线l2与直线l1关于x轴对称，求直线l2的方程．29.30.31.32.33.34.35.36.函数f〔x〕=其中a，b∈R，且曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线斜率为3．37.〔Ⅰ〕求b的值；38.〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕在x=1处获得极大值，求a的值．39.40.41.43.44.45.46.⊙O与⊙C：x2+y2-6y+8=0相切于点M〔0，2〕，且经过点N〔2，0〕．47.〔1〕求⊙O的方程；48.〔2〕假设直线L：y=kx-〔k+1〕截⊙O两点弧长之比为3：1，务实数k的值．49.50.51.52.53.54.55.56.椭圆G：=1〔a＞b＞0〕的离心率为，右焦点为〔2，0〕，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P〔-3，2〕．57.〔Ⅰ〕求椭圆G的方程；58.〔Ⅱ〕求△PAB的面积．59.60.61.63.64.65.66.设a＞1，函数f〔x〕=〔1+x2〕e x-a．67.〔1〕求f〔x〕的单调区间；68.〔2〕证明f〔x〕在〔-∞，+∞〕上仅有一个零点；69.〔3〕假设曲线y=f〔x〕在点P处的切线与x轴平行，且在点M〔m，n〕处的切线与直线OP平行，〔O是坐标原点〕，证明：m≤-1．70.71.72.73.74.75.答案和解析1.【答案】A【解析】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，可得在点〔0，b〕处的切线斜率为a，由点〔0，b〕处的切线方程为x-y+1=0，可得a=1，b=1，应选：A．求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得切线的斜率，由切线方程可得a=1，b=1．此题考察导数的运用：求切线的斜率，考察导数的几何意义，以及直线方程的运用，属于根底题．2.【答案】D【解析】解：∵==-i∴复数在复平面对应的点的坐标是〔，-〕∴它对应的点在第四象限，应选：D．先将复数z进展复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的一共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．3.【答案】A【解析】解：由演绎推理三段论可得“三段论〞推理出一个结论，那么这个结论是：〞正方形的对角线相等“，应选：A．三段论是由两个含有一个一共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等〞；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形〞．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联络大小前提的词项叫中项；出如今大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出如今小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．4.【答案】B【解析】解：设n∈N*，那么数字n一共有n个所以由≤100，即n〔n+1〕≤200，又因为n∈N*，所以n=13，到第13个13时一共有=91项，从第92项开场为14，故第100项为14．应选：B．根据数列项的值，寻找规律即可得到结论．此题主要考察数列的简单表示，根据条件寻找规律是解决此题的关键．5.【答案】C【解析】解：由题意阴影局部的面积等于〔3-x2-2x〕dx=〔3x-x3-x2〕=〔3--1〕-〔-9+9-9〕=，应选：C．确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．此题考察定积分求面积，考察导数知识的运用，考察学生的计算才能，属于根底题．6.【答案】B【解析】解：由于“a、b全为0〔a、b∈R〕〞的否认为：“a、b至少有一个不为0〞，应选：B．把要证的结论否认之后，即得所求的反设．此题考察用反证法证明数学命题，得到“a、b全为0〔a、b∈R〕〞的否认为：“a、b至少有一个不为0〞，是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：f〔n〕=+++…+．表达式中一共有n2-n+1项，当n=2时，f〔2〕=++．应选：D．利用条件，通过表达式写出结果即可．此题考察归纳推理的简单应用，是根底题．8.【答案】C【解析】解：由函数f〔x〕的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当x＞0时，函数单调递增，所以导数f'〔x〕的符号是正，负，正，正．对应的图象为C．应选：C．根据函数的单调性确定f'〔x〕的符号即可．此题主要考察函数的单调性与导，数符号之间的关系，由f〔x〕的图象看函数的单调性，由f'〔x〕的图象看f'〔x〕的符号．9.【答案】A【解析】解：由在平面几何中，假设△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，那么AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出：假设三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，那么〔S△ABC〕2=S△BOC．S△BDC．应选：A．这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由在平面几何中，〔如下图〕假设△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D 是垂足，那么AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出假设三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，那么〔S△ABC〕2=S△BOC．S△BDC类比推理的一般步骤是：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性；〔2〕用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕．10.【答案】B【解析】解：∵函数f〔x〕=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，∴f′〔x〕=x2+mx+=0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，那么x1+x2=-m，x1x2=＞0，〔x1-1〕〔x2-1〕=x1x2-〔x1+x2〕+1=+m+1＜0，即n+3m+2＜0，∴-m＜n＜-3m-2，为平面区域D，∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为〔-1，1〕∴要使函数y=log a〔x+4〕的图象上存在区域D上的点，那么必须满足1＜log a〔-1+4〕∴log a3＞1，解得1＜a＜3或者0＜a＜1，应选：B．根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，可得方程x2+mx+=0的两根，一根属于〔0，1〕，另一根属于〔1，+∞〕，从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=log a〔x+4〕的图象上存在区域D上的点，可务实数a的取值范围．此题考察了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考察了推理才能和计算才能，属于难题．11.【答案】B【解析】解：z*=，∴，z*=．应选：B．先由新定义用a和b表示出z*，再利用根本不等式求最值即可．此题考察复数的模、利用根本不等式求最值等知识，难度不大．12.【答案】D【解析】解：∵f′〔x〕=lnx+1-2ax，〔x＞0〕令f′〔x〕=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g〔x〕=lnx+1-2ax有且只有两个零点⇔g′〔x〕在〔0，+∞〕上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′〔x〕＞0，f′〔x〕单调递增，因此g〔x〕=f′〔x〕至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′〔x〕=0，解得x=，∵x，g′〔x〕＞0，函数g〔x〕单调递增；时，g′〔x〕＜0，函数g〔x〕单调递减．∴x=是函数g〔x〕的极大值点，那么＞0，即＞0，∴ln〔2a〕＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g〔x〕=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g〔1〕=1-2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f〔x〕在区间〔0，x1〕上递减，在区间〔x1，x2〕上递增，在区间〔x2，+∞〕上递减．∴f〔x1〕＜f〔1〕=-a＜0，f〔x2〕＞f〔1〕=-a＞-．应选：D．先求出f′〔x〕，令f′〔x〕=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g〔x〕=lnx+1-2ax有且只有两个零点⇔g′〔x〕在〔0，+∞〕上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．此题考察了利用导数研究函数极值的方法，考察了分类讨论的思想方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．13.【答案】2【解析】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．14.【答案】m＞n【解析】解：∵，∴＞∴＞又y=lgx是增函数，故lg＞lg，即m＞n故答案为m＞n先比拟真数与大小，再利用对数的单调性比拟m，n的大小此题考察不等式比拟大小，解题的关键是先用平方法比拟两具真数的大小，以及掌握对数的单调性，灵敏选择对数的大小比拟角度，可以降低解题难度．15.【答案】1【解析】解：∵f〔x〕=∴f〔1〕=0，那么f〔f〔1〕〕=f〔0〕=1即∫0a3t2dt=1=t3|0a=a3解得：a=1故答案为：1．先根据分段函数求出f〔1〕的值，然后将0代入x≤0的解析式，最后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．此题主要考察了分段函数的应用，以及定积分的求解，同时考察了计算才能，属于根底题．16.【答案】〔2e，e2+1〕【解析】解：当x＜0时，由ln〔-x〕=0，得到函数的一个零点是x=-1，当x≥0时，f〔x〕=e x+e2-x-a，f〔2-x〕=e2-x+e x-a，故f〔x〕=f〔2-x〕，即此时函数f〔x〕的图象关于直线x=1对称〔此时函数图象局部对称，假设去掉x≥0的限制，函数图象完全对称〕，此时函数假设有零点，那么必然满足x1+x2=2，故所有零点之和为1，满足题意；又f'〔x〕=e x-e2-x，当x∈〔0，1〕时，f'〔x〕＜0，即f〔x〕单调递减，当x∈〔1，+∞〕时，f'〔x〕＞0，即f〔x〕单调递增，故函数；但要使得函数f〔x〕有零点必须满足条件f〔x〕min＜0且f〔0〕＞0，〔这是为了保证函数有两个零点，且在〔0，1〕段上的零点必须存在〕即2e-a＜0且e0+e2-a＞0，即a＞2e且a＜e2+1，从而解得a的范围是：2e＜a＜e2+1．容易求出其中一个零点x=-1，然后研究x≥0时的函数f〔x〕的对称性，由图象的对称性和单调性得出函数在x≥0上的两个对称的零点的条件，从而得到a的取值范围．①此题目考察函数的零点，考察的很灵敏，借助图象类似开口向上的抛物线的函数的对称性考察零点的存在性，很有创意，而且我们一般很难想到研究函数的对称性．大多可能会朝对勾形函数做转化，结果思路变得模糊而不可解．②对抽象函数而言，当我们看到条件f〔x〕=f〔2-x〕，肯定能想到函数有对称轴x=1，但碰到详细的函数我们取往往想不到用f〔x〕=f〔2-x〕来判断函数的对称性．17.【答案】解：易知f〔x〕的定义域为〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕，那么．当f′〔x〕＞0，即x＞1时，函数f〔x〕单调递增；当f′〔x〕＜0，即x＜0或者0＜x＜1时，函数f〔x〕单调递减．故函数函数f〔x〕的单调增区间为〔1，+∞〕，单调减区间为〔-∞，0〕，〔0，1〕．【解析】首先确定函数的定义域，再求出函数的导数f′〔x〕，判断导数f′〔x〕的符号，求出函数f〔x〕的单调区间．此题考察了利用导数求解函数的单调区间，属于中档题目．18.【答案】解：〔1〕∵直线l过点〔0，5〕，且在两坐标轴上的截距之和为2，∴直线在x，y轴上的截距分别为-3，5，∴直线l的方程为=1，即5x-3y+15=0；〔2〕直线l1过点〔，-1〕且与直线l垂直，方程为3x+5y-3=0，∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴直线l2的斜率为，且过点〔1，0〕，∴直线l2的方程为y=〔x-1〕，即3x-5y-3=0．【解析】〔1〕求出直线在x，y轴上的截距分别为-3，5，可得直线l的方程；〔2〕求出直线l2的方程，利用对称性，可得直线l2的斜率为，且过点〔1，0〕，即可求直线l2的方程．此题考察直线方程，考察直线的对称性，正确计算是关键．19.【答案】解：〔I〕f′〔x〕=a2x2-4ax+b，由题意可得f′〔0〕=b=3．∴b=3．〔II〕由函数f〔x〕在x=1处获得极大值，∴f′〔1〕=a2-4a+3=0，解得a=1或者3．①当a=1时，f′〔x〕=x2-4x+3=〔x-1〕〔x-3〕．列表如下：由表格可知：函数f〔x〕在x=1处获得极大值，满足题意．②同理可得：当a=3时，函数f〔x〕在x=1处获得极小值，不符合题意，应舍去．综上所述：当a=1时，函数f〔x〕在x=1处获得极大值．【解析】〔I〕利用f′〔0〕=3即可解出；〔II〕由函数f〔x〕在x=1处获得极大值，可得f′〔1〕=a2-4a+3=0，解得a=1或者3．再分别讨论是否符合获得极大值的充分条件即可．纯熟掌握导数的几何意义、利用导数研究函数的极值等是解题的关键．20.【答案】解：〔1〕⊙O与⊙C：x2+y2-6y+8=0相切于点M〔0，2〕，且经过点N〔2，0〕．x2+y2-6y+8=0的圆心〔0，3〕，半径为：1，设所求圆的圆心位于y轴，因为|OM|=|ON|，所以O为所求圆的圆心半径为2，⊙O的方程：x2+y2=4．〔2〕直线y=kx-〔k+1〕恒过〔1，-1〕，假设直线L：y=kx-〔k+1〕截⊙O两点弧长之比为3：1，所以直线与圆的交点劣弧的圆心距为90°，圆心到直线的间隔为：=，∴解得：k=1．【解析】〔1〕求出圆的圆心与半径，即可求⊙O的方程；〔2〕通过直线L：y=kx-〔k+1〕截⊙O两点弧长之比为3：1，利用圆心到直线的间隔半径半弦长的关系，列出方程即可务实数k的值．此题考察圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考察计算才能．21.【答案】解：〔Ⅰ〕由得，c=，，解得a=，又b2=a2-c2=4，所以椭圆G的方程为．〔Ⅱ〕设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2-12=0．①设A，B的坐标分别为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕〔x1＜x2〕，AB的中点为E〔x0，y0〕，那么x0==-，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=-3，x2=0，所以y1=-1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P〔-3，2〕．到直线AB：y=x+2间隔d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．【解析】〔Ⅰ〕根据椭圆离心率为，右焦点为〔，0〕，可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2-c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；〔Ⅱ〕设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的间隔，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．此题是个中档题．考察待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考察了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的才能．22.【答案】解：〔1〕f′〔x〕=e x〔x2+2x+1〕=e x〔x+1〕2，∴f′〔x〕≥0，∴f〔x〕=〔1+x2〕e x-a在〔-∞，+∞〕上为增函数．〔2〕证明：∵f〔0〕=1-a，a＞1，∴1-a＜0，即f〔0〕＜0，∵f〔〕=〔1+a〕-a=+a〔-1〕，a＞1，∴＞1，-1＞0，即f〔〕＞0，且由〔1〕问知函数在〔-∞，+∞〕上为增函数，∴f〔x〕在〔-∞，+∞〕上有且只有一个零点．〔3〕证明：f′〔x〕=e x〔x+1〕2，设点P〔x0，y0〕那么〕f'〔x〕=e x0〔x0+1〕2，∵y=f〔x〕在点P处的切线与x轴平行，∴f′〔x0〕=0，即：e x0〔x0+1〕2=0，∴x0=-1，将x0=-1代入y=f〔x〕得y0=．∴，∴，要证m≤-1，即证〔m+1〕3≤a-，需要证〔m+1〕3≤e m〔m+1〕2，即证m+1≤e m，因此构造函数g〔m〕=e m-〔m+1〕，那么g′〔m〕=e m-1，由g′〔m〕=0得m=0．当m∈〔0，+∞〕时，g′〔m〕＞0，当m∈〔-∞，0〕时，g′〔m〕＜0，∴g〔m〕的最小值为g〔0〕=0，∴g〔m〕=e m-〔m+1〕≥0，∴e m≥m+1，∴e m〔m+1〕2≥〔m+1〕3，即：，∴m≤．【解析】〔1〕利用f′〔x〕＞0，求出函数单调增区间．〔2〕证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．〔3〕利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．此题考察了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．制卷人：打自企；成别使；而都那。
2021年高二数学下学期第一次月考试卷 理(含解析)
2021年高二数学下学期第一次月考试卷理（含解析）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在曲线y=x2+x上取点P（2，6）及邻近点Q（2+△x，6+△y），那么为 ( ) A．△x+2 B．2△x+（△x）2C．△x+5 D．3△x+（△x）2考点：变化的快慢与变化率．专题：导数的概念及应用．分析：转化成函数值的变化量与自变量的变化量的比值进行求解，化简变形即可求出所求，求解时需细心．解答：解：△y=f（2+△x）﹣f（2）=（2+△x）2+（2+△x）﹣4﹣2=△x2+5△x，∴==△x+5，故选：C．点评：本题考查导数的基本概念和运算，结合题中条件分析即可，同时考查了计算能力，属于基础题．2．函数y=x2cosx的导数为( )A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinxC．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx考点：导数的乘法与除法法则．专题：计算题．分析：利用两个函数的积的导数法则，求出函数的导函数．解答：解：y′=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx故选A点评：求函数的导函数，关键是判断出函数的形式，然后据函数的形式选择合适的求导法则．3．已知曲线y=2x2上一点A（1，2），则A处的切线斜率为( )A．16 B．8 C．4 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，将x换成1，即可得到所求A处的切线的斜率．解答：解：y=2x2的导数为y′=4x，则在A处的切线斜率为k=4×1=4．故选：C．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，属于基础题．4．已知，则f′（1）等于( )A．0 B．﹣1 C．2 D．1考点：导数的运算．专题：计算题．分析：求出f（x）导函数，令导函数中的x=0得到关于f′（0）的方程求出f′（0），将其值代入f′（x），令其中的x=1求出f′（1）．解答：解：f′（x）=x2+3f′（0）∴f′（0）=3f′（0）∴f′（0）=0∴f′（x）=x2∴f′（1）=1故选D点评：求函数在某点处的导数值，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再令导函数中的x取自变量的值即得到导函数值．5．函数f（x）=x3﹣x2+1是减函数的区间为( )A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．解答：解：f′（x）=x2﹣2x=x（x﹣2），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故选：D．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．6．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P 横坐标的取值范围是( )A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．7．若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f（f1（n）），f k+1（n）=f（f k（n））k∈N*则f xx（8）=( ) A．3 B．5 C．8 D．11考点：函数的值．专题：计算题．分析：通过计算f1（8）、f2（8）和f3（8），得到f n+2（8）=f n（8）对任意n∈N*成立，由此可得f xx（8）=f2（8）=5，得到本题答案．解答：解：根据题意，可得∵82+1=64+1=65，∴f1（8）=6+5=11又∵112+1=122，f2（8）=f（f1（8））∴f2（8）=f（11）=1+2+2=5∵52+1=26，f3（8）=f（f2（8））∴f3（8）=f（5）=2+6=8=f1（8）因此，可得f n+2（8）=f n（8）对任意n∈N*成立，∴f xx（8）=f2+1005×2（8）=f2（8）=5故选B点评：本题给出“f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和”的模型，求f xx（8）的值，着重考查了函数的对应法则、数列的周期和进行简单的合情推理等知识，属于基础题．8．曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是( )A．e﹣e﹣1B．e+e﹣1C．e﹣e﹣1﹣2 D．e+e﹣1﹣2考点：定积分在求面积中的应用．分析：由题意可知曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是e x﹣e﹣x积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积，就是：∫01（e x﹣e﹣x）dx=（e x+e﹣x）|01=e+e﹣1﹣2．故选D．点评：本题考查函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是封闭图形的面积就是上部函数减去下部函数的积分．9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是( )A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解答：解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．10．设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f′（x）＞g′（x），则当a＜x＜b时有( ) A．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a） B．f（x）＜g（x）C．f（x）＞g（x）D．f （x）+g（b）＞g（x）+f（b）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题．分析：比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），研究F（x）在给定的区间[a，b]上的单调性，F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数从而F（x）＞F（a），整理后得到答案．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），∵在[a，b]上f'（x）＞g'（x），F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＞0，∴F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数．∴当x＞a时，F（x）＞F（a），即f（x）﹣g（x）＞f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）故选A．点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），进而判断其单调性是解答本题的关键．二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）11．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y ﹣4=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．解答：解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．12．计算：=．考点：定积分．专题：计算题．分析：由该定积分的几何意义可知为半圆：x2+y2=1（y≥0）的面积．据此可算出答案．解答：解：由该定积分的几何意义可知为半圆：x2+y2=1（y≥0）的面积．所以==．故答案为．点评：本题不是直接计算，而是利用该该定积分的几何意义计算是解决此问题的捷径，否则直接计算有一定的难度．13．一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v（t）=﹣t2+4，（0≤t≤2）（t的单位：h，v的单位：km/h）则这辆车行驶的路程是km．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分的物理意义求函数的积分即可．解答：解：由积分的物理意义得这辆车行驶的路程S=（﹣t2+4）dt=（）|=，故答案为：．点评：本题主要考查积分的应用，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础．14．直线y=kx（k＞o）与曲线y=x2围成图形的面积为，则k的值为2．考点：定积分在求面积中的应用；定积分．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为k，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为k，积分下限为0直线y=kx与曲线y=x2所围图形的面积S=∫0k（kx﹣x2）dx而∫0k（kx﹣x2）dx=（﹣）|0k=k3﹣k3=k3=∴解得k=2故答案为：2．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题．15．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性质：斜边长等于斜边的中线长的2倍．类比上述性质，直角三棱锥具有性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：故对于“直角三棱锥”，类比直角三角形的性质，可得斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．解答：解：由于直角三角形具有以下性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半，故对于“直角三棱锥”，具有以下性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．故答案为：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．点评：本题主要考查的知识点是类比推理，由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，属于基础题．三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x+11（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣4，3]上的最值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间；（2）求出函数的极值点和端点的函数值，从而求出函数闭区间上的最值．解答：解：（1）因为f（x）=x3+3x2﹣9x+11，所以f′（x）=3x2+6x﹣9，令f′（x）=0得x=﹣3和1当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下：x （﹣∞，﹣3）﹣3 （﹣3，1） 1 （1，+∞）f'（x） + 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗由上表可知，f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减；（2）因为f（﹣4）=31，f（﹣3）=38，f（1）=6，f（3）=38，所以最大值为38，最小值为6．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．17．已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=﹣1．（1）求函数f（x）的解析式，并判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（3，9）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆．分析：（1）求出f（x）的导数，由极值的定义可得x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根．运用韦达定理，可得a，b，c的关系，结合条件f（1）=﹣1，可得方程，解方程可得a，b，c的值，进而得到函数的解析式，求出单调区间，可得极值点；（2）设出切点，求得切线的斜率和切线方程，代入点（3，9），解方程可得切点的横坐标，可得切线的斜率，即可得到所求切线方程．解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x=±1是函数的极值点，∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根．由根与系数的关系知，又f（1）=﹣1，∴a+b+c=﹣1．解得a=，b=0，c=﹣．即有f（x）=x3﹣x，∴f′（x）= x2﹣=（x﹣1）（x+1）．当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0．∴x=﹣1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值．（2）曲线方程为f（x）=x3﹣x，点A（3，9）在曲线上．设切点为（m，n），则切线的斜率为k=（m2﹣1），切线的方程为y﹣n=（m2﹣1）（x﹣m），代入（3，9）和n=m3﹣m，可得9﹣m3+m=（m2﹣1）（3﹣m），化简可得2m3﹣9m2+27=0，解得m=3或m=﹣，则切线方程为y﹣9=12（x﹣3）或y﹣9=（x﹣3），即为12x﹣y﹣27=0或15x﹣8y+27=0．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，属于中档题和易错题．18．（1）设f（x）=试求f（x）dx．（2）求函数y=x与y=x﹣x2围成封闭图形的面积．考点：定积分；定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：（1）分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成dx=，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．（2）先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出函数y=x 与y=x﹣x2围成封闭图形的面积．即可求得结论解答：解：（1）f（x）dx===+=+1﹣=．（2）由x=x﹣x2得x=0，x=，则=﹣=，故函数y=x与y=x﹣x2围成封闭图形的面积为点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、利用定积分求封闭图形的面积是求面积的通法，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．19．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比，k为比例常数．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．解答：解：设船速度为x（x＞0）时，燃料费用为Q元，则Q=kx3，由6=k×103可得，k=，∴Q=，∴总费用y==，∴，令y′=0得x=20，当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈时，y′＞0，此时函数单调递增，∴当x=20时，y取得最小值．答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．点评：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题，体现了转化与化归的思想．20．设a＞0，函数．（I）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要上恒成立，将a参数分离即可求出a的范围；（2）欲求f（x）在区间（0，1]上的最大值，即研究函数f（x）在区间（0，1]上单调性，对a进行讨论，求出函数的最值．解答：解：（I）对函数．要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要上恒成立，即上恒成立因为上单调递减，所以上的最小值是，注意到a＞0，所以a的取值范围是．（II）解：①当时，由（I）知，f（x）在区间（0，1]上是增函数，此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是．②当，解得．因为，所以上单调递减，此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是．综上，当时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是；当时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是．点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．23411 5B73 孳mD33511 82E7 苧 26005 6595 斕精品文档"39316 9994 馔37614 92EE 鋮*30108 759C 疜1实用文档。
2021年高二下学期月考(一)数学(理)试题 含答案
图12021年高二下学期月考（一）数学（理）试题 含答案xx 年3月第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合,，,则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若是真命题，是假命题，则（ ）A ．是真命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．5．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．6．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数是（ ）A ．最小正周期为的偶函数B ．最小正周期为的奇函数C ．最小正周期为的奇函数D ．最小正周期为的偶函数8．直线截圆所得劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D．二、填空题：本大共6小题，每小题5分,满分30分．9.已知向量，，若，则实数的值等于．10．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为.11.已知函数，则曲线在点处的切线方程_________．12.计算：．13.设，则．14．如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为．第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分12分)在中,角、、的对边分别为、、,且,（1）求角的值；（2）设函数,求的值.16.(本小题满分12分) 华罗庚中学高二排球队和篮球队各有名同学,现测得排球队人的身高(单位:)分别是:、、、、、、、、、,篮球队人的身高(单位:)分别是:、、、、、、、、、.（1）请根据两队身高数据记录的茎叶图,指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)以及排球队的身高数据的中位数与众数；（2）现从两队所有身高超过的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少? 排球队篮球队17.(本小题满分14分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．18. (本小题满分14分)已知函数，曲线在点处的切线为，（1）求的值；（2）求的极值．19.(本小题满分14分)如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F为椭圆的左焦点且（1）求椭圆的标准方程；（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP ＝PQ。
2021-2022年高二下学期第一次月考数学(理)试题 含答案(VI)
2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题 含答案(VI)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. , =6，则【 】A. B. C. D.2.下列求导运算正确的是【 】A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x3.由曲线,,,和轴围成的曲边梯形的面积= 【 】 A . B .C .D .4.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有【 】A. f(x) > 0B. f(x) < 0C. f(x) = 0D. 无法确定5.函数导数是【 】A .B .C. D.6. 已知f(x)的导函数图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的【】7.曲线与坐标轴围成的面积是【】A.4B.C.2D.38.函数y＝12x2－ln x的单调减区间是【】A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)9. 已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为【】A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞610.由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为【】A．ln 2 B．ln 2－1C．1＋ln 2 D．2ln 211．函数y＝x ln x在(0,5)上是【】．A．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递减 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递增 12．设，若函数，有大于零的极值点，则【 】A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13．已知物体的运动方程是，则物体在时刻时的速度__________________.14. 计算定积分：＝ .15. 函数32()26(f x x x m m =-+为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为_________________.16.由与直线所围成图形的面积为_______________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17．(本小题满分10分)已知.（Ⅰ）计算的图象在点（4,2）处的切线斜率；（Ⅱ）求此切线方程.18．(本小题满分12分)已知函数，求函数的单调区间和极值.19.(本小题满分12分)已知为二次函数，且，，.（Ⅰ）求的解析式.（Ⅱ）求在上的最大值与最小值.20. (本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商场每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商品每日销售该商品所获得的利润最大．21. (本小题满分12分）若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－4 3 .(Ⅰ)求函数的解析式．(Ⅱ)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．22．(本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若，求的取值范围.（Ⅱ）证明：.QXYZxx下期第一次月考高二数学答案(理科)一．选择题：19.解：（Ⅰ）设2()(0),f x ax bx c a =++≠则由得，即又1123001()2(2)3f x dx ax a dx ax a x ⎡⎤⎡⎤=+-=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ，从而(Ⅱ)所以当时，；当时，21.解：解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎨⎧ f ′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43， 解得⎩⎨⎧ a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4. 22.11(1)()ln 1ln ,()ln 1x f x x x xf x x x x x+''=+-=+=+ 2()1ln 1()ln ,()1xf x x ax x x a g x x x g x x'≤++-≤'=-=-题设等于令则 01()0;1()0,x g x x g x ''<<>≥≤当时，当时，1()()(1)= -1.x g x g x g =≤是的最大值点，[)a -1+.∞综上，的取值范围是，(2)1()(1)= -1,ln +10g x g x x ≤-≤由（）知，即 01()(1)ln 1ln (ln 1)0x f x x x x x x x x <<=+-+=+-+≤当时，1()ln ln 1111ln (ln 1)ln (ln 1)0x f x x x x x x x x x x x x x ≥=+-+=++-=--+≥当时，34438 8686 蚆W22829 592D 夭8F^34800 87F0 蟰3B• 36224 8D80 趀?32290 7E22 縢。
2021年高二下学期第一次月考数学理试题(详解) 含答案
2021年高二下学期第一次月考数学理试题（详解）含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设则（）(A) (B)(C) (D)2极小值点（）A.个B.个C.个D.个3．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A．B． C． 2 D．44.曲线在点（1，2）处的切线方程为（）A． B.C. D.5．已知是等比数列，，则公比= （）A． B． C． 2 D．6．已知，，，则的取值范围是( )A. B. C. D.7.函数的单调递增区间是A. B.(0,3) C.(1,4) D.8．规定记号“”表示一种运算，即，若，则=（）A． B．1 C．或1 D．2二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填在答题纸上.）9.10. =11.已知为实数，且（为虚数单位），则=12. 不等式|x-3|-|x+2|>0的解集为 13. 如图所示，由、、所围成的阴影区域的面积等于 ．14. 已知数列满足,,则该数列的通项公式三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
）15．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是2，其图象经过点． （1）求的解析式； （2）已知，且，求的值．16. （本小题满分12分）如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小；17.(本题满分14分）DPACB18. （本小题满分14分）19.（本小题满分14分）设的导数满足，其中常数。
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ) 设，求函数的极值。
已知函数21()2xf x x e =, ⑴求函数)(x f 的单调区间； ⑵若当[2,2]x ∈-+时,不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 32()231214[3,4].f x x x x =+-+-求函数的在上的最大值与最小值20．（本小题满分14分）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值.38950 9826 頦31360 7A80 窀m34039 84F7 蓷23407 5B6F 孯22430 579E 垞33230 81CE 臎32784 8010 耐y v34123 854B 蕋 23045 5A05 娅。
高二数学下学期第一次月考试题理含解析试题
大学城第一中2021-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、单项选择题〔本大题一一共12小题〕,那么复数的虚部是( )A. B. C. 1 D. -1 【答案】C【解析】【分析】将代入的表达式中，并进展化简，由此求得的虚部.【详解】将代入的表达式中得，故虚部为，所以选C.【点睛】本小题主要考察复数的除法运算，考察运算求解才能，属于根底题.是可导函数，且，那么( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：,即：.此题选择C选项.点睛：此题主要考察函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先对函数求导，再将代入即可.详解：函数，将代入，得应选D.点睛：此题考察复合函数的导数，解题的关键是准确掌握导数计算的公式.在点处的切线方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．【详解】由，得，，，那么曲线在点处的切线方程是，即．应选：C．【点睛】此题考察利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，求曲线在点P处的切线，那么说明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 5.如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用定积分计算得阴影局部的面积，在利用几何概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】依题意的阴影局部的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，应选A.【点睛】本小题主要考察定积分的计算，考察几何概型的识别以及其概率计算公式，属于根底题.的图象如下图〔其中是函数的导函数〕，那么的图象可能是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由的图像判断出的单调性，进而可判断出结果。
高二数学下学期第一次月考试题理含解析_4
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 依次证明出 三个选项，由此可得 错误.
【详解】连接 ，可知 为 中点
又 为 中点，可知
选项： 平面 ， 平面
又 ，所以 ，可知 正确；
选项： ， ， 平面
又 ，所以 平面 ，可知 正确；
选项： ， 平面 平面 ，可知 正确；
选项： ， ， ，可知 与 不平行，即 错误.
此题正确选项：
【点睛】此题考察空间中直线与直线、直线与平面的位置关系问题，属于根底题.
6. 的展开式中的常数项为
A. B. C. 6D. 24
【答案】D
【解析】
分析】
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
所以甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是 种。
应选：B
【点睛】此题主要考察了捆绑法排列计算及含特殊要求 排列计算，考察分类思想及转化思想，属于根底题。
x，y满足不等式组 ，假设 的最大值为3，那么 的值是〔 〕
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
画出可行域如以下图所示，由图可知目的函数经过点 时，获得最大值，联立 解得 ，代入目的函数得 .
10.“整数对〞按如下规律排成一列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，那么第222个“整数对〞是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整数对的分布规律，可知整数对的总个数为 个，由此确定第 个整数对的位置；当 为奇数时，第 个数恰为 时的整数对，那么可得所求整数对.
高二数学下学期第一次月考试题理含解析试题_1
寻甸县民族中学2021-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日〔满分是：150分 时间是：120分钟〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕.()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，那么000()()limh f x h f x h h→+--的值是〔 〕A. 0()f x 'B. 0C. 02()f x 'D.02()f x -'【答案】C 【解析】试题分析：由函数()y f x =在某一点处的定义可知，()()()0000000002()()()()lim2lim 2lim 222h h h f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h h h→→→+-+--+--='==.考点：函数在某一点处导数的定义.2.一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是〔 〕 A. 5米/秒 B. 6米/秒C. 7米/秒D. 8米/秒【答案】A 【解析】 【分析】由物体的运动方程为21s t t =-+，得()12s t t '=-+，代入3t =，即可求解，得到答案．【详解】由题意，物体的运动方程为21s t t =-+，那么()12s t t '=-+， 所以物体在3秒末的瞬时速度是(3)1235s '=-+⨯=米/秒，应选A ．【点睛】此题主要考察了导数的计算，以及瞬时速度的计算，其中解答中熟悉导数的计算公式和瞬时速度的概念是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题． 3.函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( ) A. (0，＋∞) B. (－∞，1) C. (－∞，＋∞) D. (1，＋∞)【答案】C 【解析】y ′＝3x 2＋1>0对于任何实数都恒成立．4.设函数f(x)＝3232ax x ++，假设f′(－1)＝4，那么a 的值是( ) A.193B.163C.133D.103【答案】D 【解析】 【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数()f x 的导函数2()36f x ax x '=+，因为f′(－1)＝4，即364a -=，解得103a = 应选D【点睛】此题考察了函数的求导，属于根底题.4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，那么l 的方程为A. 430x y --=B. 450x y +-=C. 430x y -+=D. 430x y ++= 【答案】A 【解析】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，应选A6.如图是导函数()y f x '=的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数〔 〕A. ()13,x xB. ()24,x xC. ()46,x xD.()56,x x【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论． 【详解】解：假设函数单调递减，那么()0f x '≤， 由图象可知，()24,x x x ∈时，()0f x '<， 应选B ．【点睛】此题主要考察函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决此题的关键．*211111()()123S n n n n n n n=+++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =〔 〕 A 12 B. 1123+ C. 111234++ D.11112345+++ 【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，*211111()()123S n n n n n n n=+++++∈+++N ，故当时，，于是有；考点：函数的数列表示形式8.假如10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，那么克制弹力所做的功为( )JJJJ【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件求出弹性系数，再根据定积分可求得结果.【详解】设弹力为F N ，弹簧离衡位置的间隔 为l m ，弹性系数为k ， 那么F kl =，因为10F N =时，100.1l cm m ==， 所以101000.1k ==，所以100F l =， 所以在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，克制弹力所做的功为：W 0.060100ldl =⎰20.06(50)l =2500.060.18=⨯=J .应选：D【点睛】此题考察了利用定积分求变力所做的功，考察了微积分根本定理，要注意间隔 的单位是米，属于根底题.9.有一段“三段论〞推理是这样的：对于可导函数()f x ，假如()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点．因为函数()3f x x =在0x =处的导数值()00f '=，所以0x =是函数()3f x x =的极值点．以上推理中〔 〕A. 小前提错误B. 大前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确 【答案】B 【解析】 【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进展判断．【详解】大前提：对于可导函数()f x ，假如()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，错误，极值点的定义中除要求()00f x '=，还需要在0x 两侧的导数的符号相反．虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的， 应选：B ．【点睛】此题考察三段论推理，三段论推理的结论是正确的前提条件是大前提、小前提、推理形式都正确．y kx =是ln y x =的切线，那么k 的值是〔 〕A.1eB. 1e-C.2eD. 2e-【答案】A 【解析】试题分析：()'1ln x x =,设切点为()00,ln x x ,那么切线方程为()0001ln y x x x x -=-,代入()0,0,解得0x e =,所以1k e=. 考点：导数与切线方程.11.在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,那么AB =〔 〕C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案． 【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ， 所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =，所以(0,2)AB OB OA =-=，那么202AB AB ===，应选C ．【点睛】此题主要考察了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考察了推理才能和计算才能，属于根底题．3233(34y x x x =-+-+上挪动，经过点P 的切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A. 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 20,,223πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，因为函数的导数为，故，因为倾斜角的范围是，解得或者；考点：导数的几何意义二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕 13.12(2)xx dx -=⎰________【答案】23- 【解析】 【分析】利用微积分根本定理即可求解.【详解】123201112(2)100333x x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.故答案为：23-【点睛】此题考察了微积分根本定理，属于根底题. 14.f (x 3x ·sinx ，那么(1)f '=__________ 【答案】13sin 1+cos 1； 【解析】【分析】根据f (x 3x ·sinx ，利用导数的乘法法那么得到()f x '，然后将1代入求解即可. 【详解】因为f (x 3x ·sinx ， 所以()2331sin cos 3f xx x x x -'=+，所以()11sin 1cos 13f '=+故答案为：13sin 1+cos 1； 【点睛】此题主要考察导数的根本运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题.15.为一次函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，那么=_______.【答案】1x - 【解析】设()f x kx b =+，那么12()kx b x kt b dt +=++⎰.即12()2kx b x kt b dt x k b +=++=++⎰，所以1,1k b ==-.()1f x x =-.16.函数32()2(1)3g x ax a x ax =+--在区间,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，那么a 的取值范围是________.【答案】(,1]a ∈-∞-或者0a = 【解析】 【分析】对参数a 进展分类讨论，利用导数，由函数单调性，即可容易求得参数范围【详解】当0a =时，()22g x x =，其在区间(),0-∞单调递减，显然满足题意； 当0a ≠，()()23413g x ax a x a =+--'，其()22161360a a =-+>恒成立.令()234130ax a x a +--=，故可得()()()()22221241161364116136a a a a a a x x ---+-+-+==当0a >时，12x x <，故()g x 在区间()1,x -∞单调递增，显然不满足题意； 当0a <时，21x x <，故()g x 在区间()2,x -∞单调递减，在()21,x x 单调递增，在()1,x +∞单调递减.要满足题意，只需23a x ≥3a ≥， 整理得2450a a --≥，解得1a ≤-或者5a ≥，又0a <， 故可得1a ≤-.综上所述：(,1]a ∈-∞-或者0a =. 故答案为：(,1]a ∈-∞-或者0a =.【点睛】此题考察利用导数由函数的单调区间求参数范围，属综合中档题. 三、解答题〔每一小题12分，一共70分〕 17.z C ∈，212z z zi i ⋅-=+，求复数z 【答案】1z =-或者12z i =-- 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，根据复数运算法那么结合一共轭复数定义计算得到答案. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，那么()()2()12a bi a bi i a bi i +--+=+，即222212a b b ai i ++-=+，由222221a a b b -=⎧⎨++=⎩得1110a b =-⎧⎨=⎩或者2212a b =-⎧⎨=-⎩， 112z z i ∴=-=--或.【点睛】此题考察了复数的运算，一共轭复数，意在考察学生的计算才能.18.设2()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．〔1〕求()F x 的单调区间； 〔2〕求函数()F x 在[]13，上的最值． 【答案】(1) 函数的单调增区间是(2,)+∞，单调递减区间是(0,2).(2)-6, 283-. 【解析】试题分析：(1)根据定积分的运算法那么可得，()3218,3F x x x x =+- 求出()'F x ，令()'0F x >求得x 的范围，可得函数()F x 增区间，()F'0x <求得x 的范围，可得函数()F x 的减区间；(2)根据单调性求出极值，比拟极值与区间端点函数值的大小即可得到函数()F x 在[]1,3上的最值.试题解析：依题意得F(x)=x⎰(t 2+2t-8)dt=x 3201t t 8t |3⎛⎫+- ⎪⎝⎭=13x 3+x 2-8x,定义域是(0,+∞).(1)F′(x)=x 2+2x-8,令F′(x )>0,得x>2或者x<-4,令F′(x)<0,得-4<x<2, 由于定义域是(0,+∞),所以函数的单调增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2).(2)令F′(x)=0,得x=2(x=-4舍去),由于F(1)=-203,F(2)=-283,F(3)=-6,所以F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=-6,最小值是F(2)=-283. 19.设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x 〔x >0〕.〔Ⅰ〕令F 〔x 〕＝xf ＇〔x 〕，讨论F 〔x 〕在〔0.＋∞〕内的单调性并求极值； 〔Ⅱ〕求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.【答案】〔Ⅰ〕()F x 在(02)，内是减函数，在(2)，+∞内是增函数，所以，在2x =处获得极小值(2)22ln 22F a =-+．〔Ⅱ〕当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1. 【解析】解：根据求导法那么有2ln 2()10x af x x x x+'=->，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x =+'=->，，于是22()10x F x x x x-='=->，， 列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)，+∞内是增函数，所以，在2x =处获得极小值(2)22ln 22F a =-+．〔Ⅱ〕证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+∞，，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+∞，内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>．故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．20. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价增加10元，就会有一个房间空闲，假如游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用．房间定价多少时，宾馆利润最大？【答案】每天的定价为350元时,宾馆利润最大；【解析】试题分析：由题可知，设出每天房价的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，对其求导，利用导数判断单调性，由单调性可知，当时，函数获得最大值，即当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大； 试题解析：设每个房间每天的定价为元，那么宾馆利润 ，令，解得，当时，，当时，， 因此,时是函数的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大考点：运用二次函数解决实际问题21.a b b a≥【答案】证明见解析；【解析】【分析】利用分析法即可证明. a b b a≥ 只需证()a b b ab a b ≥ 即证()()()a b ab a b ab a b +≥即证a b ab ab +≥即证2a b ab +≥，即20a b ≥ a b b a≥【点睛】此题考察了分析法证明不等式，需掌握分析法证明不等式从结论证明，属于根底题.22.数列{}n a 的前n 项和()*1n n S na n =-∈N． 〔1〕计算1234,,,a a a a ；〔2〕猜测n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】〔1〕，， ；〔2〕1(1)n a n n =+,证明见解析., 【解析】 【详解】〔1〕依题设可得，当时，，即，即，故 ，，，； 〔2〕猜测：．证明：①当时，猜测显然成立． ②假设时，猜测成立，即．那么，当时，， 即． 又， 所以，从而．即时，猜测也成立．故由①和②，可知猜测成立．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高二数学下学期第一次月考学试题 理含解析 试题
铁人中学2021-2021学年高二数学下学期第一次月考学试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一卷选择题局部一、选择题〔每一小题只有一个选项正确，每一小题 5分，一共 70 分.〕3i 12iz -=+，那么z =A. 2 D. 1 【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算〔分母实数化〕，求得z ，再求z ．【详解】因为312i z i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ． 【点睛】此题主要考察复数的乘法运算，复数模的计算．此题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2.以下结论错误的选项是( )A. 命题：“假设2320x x -+=，那么2x =〞的逆否命题是“假设2x ≠，那么2320x x -+≠〞B. “a b >〞是“22ac bc >〞的充分不必要条件C. 命题：“x R ∃∈， 20x x ->〞的否认是“x R ∀∈， 20x x -≤〞D. 假设“p q ∨〞为假命题，那么,p q 均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考察选项A ，由不等式的性质考察选项B ，由全称命题的否认考察选项C ，由真值表考察选项D ，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考察所给命题的真假：A . 同时否认条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“假设2320x x -+=，那么2x =〞的逆否命题是“假设2x ≠，那么2320x x -+≠〞B . 假设“a b >〞，当0c =时不满足“22ac bc >〞，即充分性不成立，反之，假设“22ac bc >〞，那么一定有“a b >〞，即必要性成立，综上可得，“a b >〞是“22ac bc >〞的必要不充分条件C . 特称命题的否认是全称命题，命题：“x R ∃∈，20x x ->〞的否认是“x R ∀∈，20x x -≤〞，D . 由真值表可知：假设“p q ∨〞为假命题，那么,p q 均为假命题.即结论错误的为B 选项.应选B .【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否那么，可利用以下结论进展判断：①一个命题的否认与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假. 22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的离心率e=2，那么双曲线C 的渐近线方程为A. 2y x =±B. 12y x =±C. y x =±D. y =【答案】D【解析】【分析】根据离心率e=2c a =，由a,b,c 的关系得到2223,b b a a =⇒==线方程. 【详解】双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的离心率e=2c a =,22224,23,c b b a a a==⇒==故渐近线方程为：b y x a=±= 故答案为D. 【点睛】这个题目考察的是双曲线的几何意义，离心率得到a ，b ，c 的关系式，进而得到渐近线方程.()f x 在1x =处存在导数为2，那么0(1)(1)lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆〔 〕. A. 23 B. 6 C. 13 D. 12【答案】A【解析】【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可．【详解】根据导数定义，00(1)(1)lim31(1)(1)lim 3x x f x f x f x f x ∆→∆→+∆-∆+∆-=∆ 12233=⨯= 所以选A【点睛】此题考察了导数定义的简单应用，属于根底题．5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如下图,那么〔 〕A. 甲得分的平均数比乙的大B. 乙的成绩更稳定C. 甲得分的中位数比乙的大D. 甲的成绩更稳定【答案】B【解析】【分析】 根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解.【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13，甲得分的方差明显比乙大.应选:B【点睛】此题考察数据的处理以及数据的分析，属于根底题.6.f 〔x 〕＝cos 2x +e 2x ，那么f ′〔x 〕＝〔 〕A. -2sins 2x +2e 2xB. sin 2x +e 2xC. 2sin 2x +2e 2xD. -sin 2x +e 2x【答案】A【解析】【分析】根据f 〔x 〕＝cos2x+e 2x ，利用复合函数求导和导数的运算法那么求解.【详解】f 〔x 〕＝cos 2x +e 2x ，所以()22sin 22x f xx e '=-+ .应选：A【点睛】此题主要考察导数的运算，熟记导数公式，运算法那么是关键，属于根底题. ()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，那么1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭〔 〕 A. 12e - B. 2e - C. 1- D. 21e-- 【答案】B【解析】【分析】根据()()21ln f x x f x '=⋅+，先求导()()121f x f x ''=+，再令1x =，解得()11f '=-，得到()12f x x'=-+再求解. 【详解】因为()()21ln f x x f x '=⋅+，所以()()121f x f x''=+， 所以()()1211f f ''=+，解得()11f '=-，所以()12f x x'=-+， 所以12⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭f e e .应选：B【点睛】此题主要考察导数的运算，熟记导数公式，法那么是关键，属于根底题. 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，那么椭圆的离心率为〔 〕A. 12 1 C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -=所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -+==，应选：B【点睛】此题主要考察了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.9. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间是不超过10分钟的概率是A. 13B.12C.23D.34【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间是总长度为40，等车不超过10分钟的时间是长度为20，故所求概率为201402=，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考察几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度〞,常见的测度有长度、面积、体积等.10.某程序框图如下图，假设运行该程序后输出S=〔〕A. 56B. 74C. 95D. 116【答案】D【解析】【分析】因为()11111n n n n =-++， 根据题意本循环的功能是1111111 (12231)S n n =+-+-++-+，再根据5n >时，终止循环求解. 【详解】因为()11111n n n n =-++， 所以1111111 (12231)S n n =+-+-++-+， 因为当5n >时，终止循环， 111111111 (1223566)S =+-+-++-=. 应选：D【点睛】此题主要考察程序框图的循环构造，还考察了数列裂项相消法求和，属于根底题. 21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间，那么实数b 的取值范围是〔 〕 A. ()2+∞，B. 〔-2,2〕C. (),2(2,)-∞-⋃+∞D. 〔0.2〕 【答案】A【解析】【分析】根据函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间，转化为1()0'=+-<f x x b x在()0.+∞上有解，即1≥+b x x 在()0.+∞上有解，令()1=+g x x x，再求其最小值即可.【详解】因为函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间， 所以1()0'=+-≤f x x b x 在()0.+∞上有解， 即1≥+b x x在()0.+∞上有解， 令()1=+g x x x所以()()()221111-+'=-+=x x g x x x ， 当01x <<时 ，()0g x '<，当1x >时 ，()0g x '>，所以当1x =时 ，()g x 获得最小值2.所以2b ≥ .当2b =时，2121()20-+'=+-=≥x x f x x x x，()f x 递增，不成立. 故2b >.应选：A.【点睛】此题主要考察导数与函数的单调性以及不等式有解问题，还考察了转化化归的思想方法，属于中档题.22x py =和2212x y -=的公切线PQ (P 是PQ 与抛物线的切点，未必是PQ 与双曲线的切点)，与抛物线的准线交于Q ,F 为抛物线的焦点,PQ =，那么抛物线的方程是〔 〕A. 24x y =B. 223x y =C. 26x y =D. 222x y =【答案】B【解析】【详解】如图过P 作PE⊥抛物线的准线于E ，根据抛物线的定义可知，PE=PF23|PF|，在Rt△PQE 中，sin 23PQE ∠=，∴2tan PQE ∠= 即直线PQ 2，故设PQ 的方程为：2x+m 〔m ＜0〕由22122x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得22342220x mx m +++=．那么△1=8m 2﹣24=0，解得m=3，即PQ ：23x由2223x py y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得222230x px p -+=，△2=8p 2﹣83p=0，得p=3． 那么抛物线的方程是x 2=23y ．应选B点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用．抛物线定义有两种用处：一是当曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的间隔 为d ，那么|MF |＝d ，可解决有关间隔 、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．13.如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的间隔 为定值；②三棱锥1D BPC -的体积为定值；③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值；④二面角1P BC D --的大小为定值．其中真命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】对于①，异面直线1A P 与1BC 间的间隔 即为两平行平面11ADD A 和平面11BCC B 间的间隔 ，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于11D BPC P DBC V V --=，而1DBC S ∆为定值，又P ∈AD 1，AD 1∥平面BDC 1，所以点P到该平面的间隔 即为正方体的棱长，所以三棱锥1D BPC -的体积为定值．故②正确． 对于③，由题意得在正方体1111ABCD A B C D -中，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，而C 1P ⊂平面ABC 1D 1，所以B 1C ⊥C 1P ，故这两条异面直线所成的角为90︒．故③正确；对于④，因为二面角P −BC 1−D 的大小，即为平面ABC 1D 1与平面BDC 1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角1P BC D --的大小为定值．故④正确． 综上①②③④正确．选D ．21()()=-≤≤f x a x x e e与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B. 21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C. 2212,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ D.)222,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B【解析】【分析】先求出函数()2ln g x x =关于x 轴对称的函数2ln y x =-，再根据函数21()()=-≤≤f x a x x e e与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，转化为22ln -=-a x x ，1(,)e e 上有解，即22ln a x x -=-，1(,)e e上有解，再令()22ln =-h x x x ，求其值域即可.【详解】函数()2ln g x x =关于x 轴对称的函数为2ln y x =-， 因为函数21()()=-≤≤f x a x x e e与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点， 所以22ln -=-a x x ，在1(,)e e上有解，所以22ln a x x -=-，在1(,)e e上有解，令()22ln =-h x x x ， ()()()21122-+'=-=x x h x x x x ， 当11x e<<时， ()0h x '>，当1x e <<时， ()0h x '<， 所以当1x =时，()h x 获得极大值()11h =-，又 ()22112,2h h e e e e ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以221e a -≤-≤- ，即≤≤-212a e .所以实数a 的取值范围是21,2e ⎡⎤-⎣⎦.应选：B【点睛】此题主要考察函数的对称性和导数与函数的单调性、极值、最值，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.第二卷 非选择题局部二、填空题〔一共5小题，每空 5分，一共 30 分.〕 221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，那么m 的取值范围为____________； 【答案】〔2,6〕【解析】【分析】 根据方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，那么有10020102m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩求解.【详解】因为方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆， 所以10020102m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，所以1026m m m <⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得26m <<.所以m 的取值范围为〔2，6〕.故答案为：〔2，6〕【点睛】此题主要考察椭圆的方程，还考察了理解辨析的才能，属于根底题.,x y 之间的一组数据如表：且回直线方程是0.95 2.6y x ∧=+，那么m 的值是____．【解析】【分析】求出数据中心，代入回归方程即可求出m 的值．【详解】1234x 5+++==2， 2.2 4.3 4.5m 6.7m 17.7y 55+++++==． ∴m 17.75+=0.95×2+2.6，解得m ＝4.8． 故答案为4.8.【点睛】此题考察了线性回归方程的性质，属于根底题．ABC ﹣A 1B 1C 1中，假设1AB =，那么AB 1与C 1B 所成的角的大小为___________.【答案】900【解析】不妨设BB 1=1，那么，()()1111··AB C B AB BB C C CB =++ 1111····ABC C ABCB BB C C BB CB =+++0010=-=∴直线AB 1与C 1B 所成角为90°故答案为900.点睛：这个题目考察的是立体中异面直线的夹角的求法，常用方法是建系法，直接找两个直线的方向向量，求方向向量的夹角即可；或者者将异面直线平移到同一个平面中，转化为平面直线的夹角问题．()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数， ()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，那么不等式()0f x >的解集为______________.【答案】(),2(0,2)-∞-⋃【解析】【分析】根据当0x >时，()()0xf x f x '-<，构造函数()()f x g x x= ，求导 ()()()20xf x f x g x x '-'=<，()g x 在()0,∞+上是减函数，再根据()f x 是奇函数，()g x 在(),0-∞上是增函数，由()20f -=，()20f =，写出()0f x >的解集.【详解】设()()f x g x x= ，所以()()()2xf x f x g x x '-'=， 因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，那么()0g x '<，所以()g x 在()0,∞+上是减函数，又因为()f x 是奇函数，所以()g x 在(),0-∞上是增函数，因为()20f -=，所以()20f =，所以当2x <- 或者02x <<时，()0f x >，所以不等式()0f x >的解集为(),2(0,2)-∞-⋃.故答案为：(),2(0,2)-∞-⋃【点睛】此题主要考察构造函数，用导数研究函数的单调性解不等式，还考察了运算求解的才能，属于中档题.xOy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩〔ϕ为参数〕，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.〔1〕写出圆C 的普通方程__________________；〔2〕直线l的极坐标方程为2sin()6πρθ+=():06OM πθρ=≥与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，那么线段PQ 的长为_______________.【答案】 (1). 22(2)4x y +-= (2). 3【解析】【分析】 〔1〕根据圆C 的参数方程为2cos ,22sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，转化为cos ,22sin ,2x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，消去ϕ求解.〔2〕根据cos ,sin x y ρθρθ== 得到圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，再根据射线():06OM πθρ=≥与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，设12(,),(,)66P Q ππρρ，那么124sin 262sin()66πρππρ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12||||PQ ρρ=-求解. 【详解】〔1〕因为圆C 的参数方程为2cos ,22sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩ 所以cos ,22sin ,2x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去ϕ 得：22(2)4x y +-=； 〔2〕因为cos ,sin x y ρθρθ==代入22(2)4x y +-=得圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=.因为直线l的极坐标方程为2sin()6πρθ+=设12(,),(,)66P Q ππρρ，那么124sin 262sin()66πρππρ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得122,5ρρ==，所以12||||3PQ ρρ=-=.故答案为：(1). 22(2)4x y +-= (2). 3【点睛】此题主要考察参数方程，直角坐标方程，极坐标方程间的转化和直线与直线，直线与圆的位置关系，还考察了运算求解的才能，属于中档题.三、解答题〔此题一共4小题，一共50 分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕20.某公司为理解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如下图的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50〕，[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]．〔1〕求频率分布直方图中a的值并估计这50名使用者问卷评分数据的中位数；〔2〕从评分在[40，60〕的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60〕的概率．【答案】〔1〕a＝0.006；76；〔2〕3 10【解析】【分析】〔1〕根据频率分布直方图，由概率之和为1求解a，设中位数为m，根据中位数平分直方图的面积求解.〔2〕由频率分布直方图，可知在[40，50〕内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60〕内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50〕内的2人分别为a1，a2，在[50，60〕内的3人分别为B1，B2，B3，列举出[40，60〕的问卷者中随机抽取2人，根本领件的种数，再找出其中2人评分都在[50，60〕内的根本领件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】〔1〕由频率分布直方图，可得〔0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028〕×10＝1，解得a＝0.006．由频率分布直方图，可设中位数为m，那么有〔0.004+0.006+0.0232〕×10+〔m﹣70〕×0.028＝0.5，解得中位数m ＝76．〔2〕由频率分布直方图，可知在[40，50〕内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60〕内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50〕内的2人分别为a 1，a 2，在[50，60〕内的3人分别为B 1，B 2，B 3， 那么从[40，60〕的问卷者中随机抽取2人，根本领件有10种，分别为：〔a 1，a 2〕，〔a 1，B 1〕，〔a 1，B 2〕，〔a 1，B 3〕，〔a 2，B 1〕，〔a 2，B 2〕，〔a 2，B 3〕，〔B 1，B 2〕，〔B 1，B 3〕，〔B 2，B 3〕，其中2人评分都在[50，60〕内的根本领件有〔B 1，B 2〕，〔B 1，B 3〕，〔B 2，B 3〕一共3种， 故此2人评分都在[50，60〕的概率为310P =． 【点睛】此题主要考察样本估计总体和古典概型的概率，还考察了运算求解的才能，属于中档题.1l 为曲线22y x x =+-在点〔1,0〕处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥. 〔1〕求直线12,l l 的方程；〔2〕求由直线12,l l 和x 轴所围成三角形的面积【答案】〔1〕1:33l y x =-；2122:39l y x =-- 〔2〕12512【解析】【分析】〔1〕根据22y x x =+-，求导21y x '=+，得到斜率，1|3='=x y ，由点斜式写出方程；再根据12l l ⊥，得213k =-，1213'=+=-y x ，得到切点，写出2l 的方程.〔2〕由3312239y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，切点两直线的交点，再由1:33l y x =-，2122:39l y x =--，令0y = 得与x 的交点，利用三角形面积公式求解.【详解】〔1〕因为22y x x =+-，所以21y x '=+， 所以1|3='=x y ，所以直线1:33l y x =-.因为12l l ⊥，所以213k =-， 令1213'=+=-y x 解得23x =- ，代入22y x x =+-，得：209y =-， 22012:933⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭x l y ，即2122:39l y x =-- 〔2〕由3312239y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得1652x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，15,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 由1:33l y x =-，令0y = 得1x =，1,0A2122:39l y x =--令0y = 得223x =-，22,03B ⎛⎫- ⎪⎝⎭如下图：所以直线12,l l 和x 轴所围成三角形的面积：1225125123212S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 【点睛】此题主要考察导数的几何意义，直线的位置关系和平面图形的面积，还考察了运算求解的才能，属于中档题.C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，假设点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是边长为8的正三角形．〔1〕求C 的方程；〔2〕过点()1,0的直线n 与C 交于,A B 两点，假设23FA FB ⋅=-，求FAB ∆的面积．【答案】〔1〕2y 8x =；〔2〕6．【解析】【分析】 ()1根据等边三角形的性质，即可求出p 的值，那么抛物线方程可求；()2设过点()1,0的直线n 的方程为x ty 1=+，联立直线方程与抛物线方程，得2y 8ty 80.--=利用根与系数的关系结合FA FB 23⋅=-求得t ，进一步求出AB 与F 到直线的间隔 ，代入三角形面积公式求解．【详解】() 1由题知，PF PE =，那么PE ⊥l ．设准线l 与x 轴交于点D ，那么PE //DF ．又PEF 是边长为8的等边三角形，PEF 60∠=，EFD 60∠∴=，1DF EF cos EFD 842∠=⋅=⨯=，即p 4=． ∴抛物线C 的方程为2y 8x =； ()2设过点()1,0的直线n 的方程为x ty 1=+，联立2y 8x x ty 1=⎧=+⎨⎩，得2y 8ty 80--=． 设()11A x ,y ，()22B x ,y ，那么12y y 8t +=，12y y 8=-． ()()()212121212x x ty 1ty 1t y y t y y 11=++=+++=．()21212x x t y y 28t 2+=++=+．由FA FB 23⋅=-，得()()()()11221212x 2,y x 2,y x 2x 2y y -⋅-=--+()()2121212x x 2x x 4y y 128t 24823=-+++=-++-=-，解得t 1=±．不妨取t 1=，那么直线方程为x y 10--=． 2221212AB 1t (y y )4y y 283283=+⋅+-=⋅+=．而F 到直线x y 10--=的间隔 1212d 22⨯-==． FAB ∴的面积为12832622⨯⨯=．【点睛】此题主要考察抛物线的HY 方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线〔圆锥曲线〕方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进展求解，此类问题易错点是复杂式子的变形才能缺乏，导致错解，能较好的考察考生的逻辑思维才能、运算求解才能、分析问题解决问题的才能等．2()2ln 2f x x m x m =--，m R ∈．〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设函数()f x 有极小值，求该极小值的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕：当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0m >时，函数()f x的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(；〔Ⅱ〕(2,e -⎤-∞⎦ 【解析】试题分析:(1)对函数求导得到导函数，根据导函数的正负求得函数的单调性；〔2〕结合第一问得到当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(,所以()()ln 1f x fm m ==-+极小值，对此表达式进展求导，研究单调性，求最值即可.详解： 〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()2222x m m f x x x x-=-='， ①当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞内单调递增，②当0m >时，令()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述：当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(.〔Ⅱ〕①当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞内单调递增，没有极值；②当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(,所以()()ln 1f x f m m ==-+极小值，记()()()ln 1,0h m m m m =-+>，那么()()2ln h m m '=-+，由()0h m '=得2m e -=， 所以()()()22222ln h m h e e e e e -----≤=-+=， 所以函数()f x 的极小值的取值范围是(2,e -⎤-∞⎦ 点睛：这个题目考察了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数获得的函数值，注意分清楚这些概念，还有就是求完导假如出现二次，那么极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2021年高二下学期月测(一)考试数学(理)试题 含答案
2021年高二下学期月测（一）考试数学（理）试题 含答案一、 选择题 1.若，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 2．函数有（ ）A ．极大值，极小值B ．极大值，极小值C ．极大值，无极小值D ．极小值，无极大值3．函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．在区间上的最大值是（ ）(A)－2 (B)0 (C)2 (D)45. 函数y ＝2x3－x2的极大值( )A ．0B ．－9C ．2716 D.27166.抛物线在点M 处的切线倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7. 设f′(x)是函数f(x)的导数，y ＝f′(x)的图像如图所示，则y ＝f(x)的图像最有可能是( )B8. 已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为( ) A．a＝－4，b＝11 B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5 D．以上都不正确二、填空题9. 计算定积分sinxdx＝10．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是11. 由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=2所围成的平面图形的面积为12. 曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线方程13.已知直线与抛物线相切，则14. 已知，当时，．三、解答题15．已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最值．16．计算由曲线，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.17.已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．18.已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.19.已知函数f(x)=lnx-ax2-2x,(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围.(3)当a=-时,关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.20．已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．（1）求；（2）设，，求函数在上的最大值；（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．新兴一中xx 学年高二月考1 理科数学答案一、选择题 DCCCD BBA 二、填空题9. 2 10. 11．(2，＋∞) 12. x-y+2=013. 1/4 14.±2π／3 三、解答题 15．16．132312301011110(1)(3)()|(3)|323S x x x x x x x x =++-=++-=⎰⎰d d 17.解：(1)令f ′ (x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤32(x ＋1x )min ＝3(当x ＝1时取最小值)．∵x ≥1，∴a ＜3，a ＝3时亦符合题意，∴a ≤3. (2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.18.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f ′(x)=1-(x>0),所以f(1)=1,f ′(1)= -1, 所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)由f ′(x)=1-=,x>0可知:①当a ≤0时,f ′(x)>0,函数f (x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f ′(x)=0,解得x=a;因为x ∈(0, a)时,f ′(x)<0,x ∈(a,+∞)时,f ′(x)>0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.19.【解析】(1)由题意,得f′(x)=-(x>0),因为x=2时,函数f(x)取得极值,所以f′(2)=0,解得a=-,经检验,符合题意. (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),依题意,f′(x)≥0在x>0时恒成立,即ax2+2x-1≤0在x>0时恒成立,则a≤=-1在x>0时恒成立,即a≤(x>0),当x=1时,-1取最小值-1,所以a的取值范围是(-∞,-1].(3)当a=-时,f(x)=-x+b,即x2-x+lnx-b=0.设g(x)=x2-x+lnx-b(x>0),则g′(x)=,当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表所以g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2,g(x)极大值=g(1)=-b-,又g(4)=2ln2-b-2,因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,则解得ln2-2<b≤-,所以实数b的取值范围是(ln2-2,-).20．解：（1）， ………………………………1分 ，函数的图像关于直线对称，则．……2分 直线与轴的交点为，，且， 即，且， 解得，． ………………………………………4分 则． ……………………………………5分 （2），222,1,()(1)1, 1.x x x g x x x x x x x x ⎧-≥⎪=-=-=⎨-<⎪⎩ …………………………………7分 其图像如图所示．当时，，根据图像得：（ⅰ）当时，最大值为； （ⅱ）当时，最大值为；（ⅲ）当时，最大值为． ……………………………10分 （3）方法一：， ，， 当时，，不等式恒成立等价于且恒成立， 由恒成立，得恒成立， 当时，，，， ………………………………………12分 又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是． ……………………………14分 方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图）， 的图像过点时，或， 要使不等式对恒成立，必须， …………………………………12分又当函数有意义时，，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是． ……………………………14分方法三：， 的定义域是，要使恒有意义，必须恒成立，O x y 1211-233442-A B，，即或．………………①……………12分由得，即对恒成立，令，的对称轴为，则有或或解得．………………②综合①、②，实数的取值范围是．……………………………14分26603 67EB 柫38658 9702 霂32854 8056 聖c0E21860 5564 啤29282 7262 牢J21245 52FD 勽26687 683F 栿-。
2021年高二下学期第一次月考(单元检测)数学(理)试题 含答案
2021年高二下学期第一次月考（单元检测）数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,满分60分.）1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．2. (2)(3)(4)(12)(,12)----∈>可表示为（）x x x x x N x+A． B． C． D．3. 表示（）A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离C．点到原点的距离 D．以上都不对5.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.26. 除以9的余数是（）A．7 B．0 C．0.3 D．-27.已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（）A． B． C． D．8.若是离散型随机变量，且，又已知，则的值为（）A．3 B． C． D．9.某单位安排7位员工在每10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种10. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．-20 B．-10 C．10 D．2011.盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球，那么取球次数恰为3次的概率是（）A． B． C． D．12.据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案．方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（）A．方案一的平均损失比方案二的平均损失大B．方案二的平均损失比方案一的平均损失大C．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若，其中是虚数单位，则实数的值是________．14.李老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布如下表：请小王同学计算的数学期望，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案________；（用15.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．数字作答）16.设是的展开式中的一次项的系数，则________．三、解答题（满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）（1）5名同学排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有多少种？（2）“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数（如632），那么比666小的三位渐降数共有多少个？18.（12分）（1）已知232421401214(1)(12)x x x a a x a x a x -+-=++++，求的值．（2）已知22011220130122013(1)(2)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，求的值． 19.（12分）为了参加xx 年全省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：（1）从这12名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；（2）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．20.（12分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：（1）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“或”的概率；（2）根据（1）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数，求的分布列及其数学期望；（3）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．21.（12分）设袋子中装有个红球，个黄球，个篮球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分．（1）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列．（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数，若，求．22.（12分）一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个不同的选项，其中有且只有一个是正确的，评分标准规定：每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得0分，某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中，有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因为不理解题意只好乱猜，请求出该考生：（1）得60分的概率；（2）所得分数的分布列与数学期望．参考答案一．选择题1．【解析】，所以对应点的坐标为．2．3. 【解析】由减法的几何意义可知．4.5.6． 【解析】原式012330333333333333331111011110101011111111111101111010111111(11)12181(91)1999(1)(1)1999297C C C C C C C C C C C C M =++++-=+-=-=-=--=⨯-⨯++⨯⨯-+⨯--=⨯-⨯++⨯-=+（为正整数）．7．8. 【解析】由题意，得即，解得，或，又∵，∴，∴．9． 【解析】若丙排10月1日，共有，若丁排10月7日，共有，若丙排1日且丁排7日共有，若不考虑丙，丁的条件限制，共有，∴共有1440-240-240+48=1008（种）．10. 【解析】令，可得各项系数和为，所以．所以555111()(21)()(21)()(12)ax x x x x x x x x+-=+-=-+-，的展开式的通项公式为，当时，；所以展开式的常数项为．11. 【解析】“取球次数恰为3次”意味着第3次取到红球且前两次取到1红1白，故所求概率为．12. 【解析】 用表示方案（）的损失，则2()300000.05150000.2150030004500E X =⨯+⨯=+=．综上可知：采用方案1的平均损失最大．二．填空题13. 4 【解析】由得，所以．14．215. 14 【解析】分三种情况，（1）出现了1个2，3个3，共组成4个不同的数字；（2）出现3个2 ，1个3，共组成4个不同的数字；（3）出现2个2，2个3共组成个不同的数字，所以共组成14个数字．16．17 【解析】令，令，得，∴的展开式中的一次项的系数为： .则23182222 23182318 3331113) a a a C C C+++=⨯+++（，又，故上式22292132181711111181223171811811718=⨯+++⨯⨯⨯⎡⎤=⨯-+-++-⎢⎥⎣⎦=⨯-=（）（）（）（）（），三．解答题17．解：（1）五名同学排成一排在有种排法，其中甲、乙两人相邻有种排法，所以甲、乙两人不相邻的排法有120-48=72种排法．（2）百位是6，十位是5比666小的渐降数有654，653，652，651，650共5个．百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，所以百位是6比666小的渐降数有1+2+3+4+5=15个，同理：百位是5比666小的渐降数有1+2+3+4=10个，百位是4比666小的渐降数有1+2+3=6个，百位是3比666小的渐降数有1+2=3个，百位是2比666小的渐降数有1个，所以比666小的三位渐降数共有15+10+6+3+1=35个．18．解：（1）设．令分别取1，-1，则；．13513(1)(1)1271322f f a a a a ---++++===-， （2）依题意令，得2201122013012201333333(1)(2)(2)(2)(2)22222a a a a -+-+=+-++-+++-+， 令得，则．19.解：（1）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件，则（2）的所有可能取值为0，1，2则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴的分布列为：∴．20．解：（1）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“”的频率为． 从本地区学小学生中任意抽取了一人，其“数独比赛”分数等级为“”的概率约为．（2）由已知得，随机变量的可能取值为0，1，2，3．所以；； 221330331262121(2)()();(3)()()332793327P X C P X C =======． 随机变量的分布列为所以12610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=， （3）设事件：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分． 设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为．显然基本事件的总数为．不妨设，当时，或40或30，其基本事件数为；当时，或30，其基本事件数为；当时，，其基本事件数为； 所以11111111441073673103230)()34()87C C C C C C C C C P M C +++++==（． 所以从这30名学生中，随机选取2 人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为．21．解：（1）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时，此时；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝，蓝红时，此时；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时，此时；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时，此时；当两次摸到的球分别是黄黄时，此时；所以的分布列是：（2）由已知得到：有三种取值即1，2，3，所以的分布列是：所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以， ∴．22．解：（1）设“有两道题可判断两个选项是错误的”选对的为事件，“有一道题可判断一个选项是错误”的选对的为事件；“有一道题不理解题意”选对的为事件，∴，所以，得60分的概率为． （2）得40分的概率为， 得45分的概率为121123111311211722342234223448P C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 得50分的概率为1122112311131121111117223422342234223448P C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 得50分的概率为12111111211113722342234223448P C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 得60分的概率为Eξ=⨯+⨯++⨯+⨯=．39592 9AA8 骨40401 9DD1 鷑31024 7930 礰 ?25389 （3）40(4550)55604848484812632D 挭22625 5861 塡38253 956D 镭28345 6EB9 溹36829 8FDD 违35127 8937 褷)•21817 5539 唹26728 6868 桨。
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上饶中学xx 学年高二下学期第一次月考
2021年高二下学期第一次月考数学试题（理科零班）
含答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．参数方程为表示的曲线是 （ ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线
3. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角
Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
4．已知正方形的顶点为椭圆的焦点，顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ． 5. 函数的大致图像为（ ）
A
B
C D 6、曲线与轴以及直线所围图形的面积为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7. 在复平面内, 复数1 + i 与i 分别对应向量和, 其中为坐标原点,则=（ ） A. B. C. D.
8. 已知直线是的切线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( )
A. 当时，该命题不成立
B. 当时，该命题成立
C. 当时，该命题成立
D. 当时，该命题不成立 10.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ．
11. ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完 一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是
AA 1→A 1D 1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线
必须是异面直线（i ∈N *），设黑白蚂蚁都爬完xx 段后各自
A C
D A 1
停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（）
A．B．1 C．0 D．、
12、平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，
类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．质点运动的速度，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是．
14．如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A1B1
4，则
BE1与DF1所成角的余弦值是
_______________.
15. 已知，若在上是增函数，则的取值范围是
．
16.若在区间[-1, 1]上，函数恒成立，则a的取值范围是___________
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．设命题p:不等式的解集是;命题q:不等式的解集是,若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.
18．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q-BP-C的正弦值．
19. 观察给出的下列各式：
（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101
++=；
（2）tan5tan15tan15tan70tan70tan51
++=．
由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．
20. 已知函数是定义在R上的奇函数，且时，函数取极值1．
（1）求的值；
（2）若对任意的，均有成立，求s的最小值；
21．如图，已知点（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且
（Ⅰ）求动点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B
两点，交直线l于点M，已知，求的值。
22.已知各项为正的数列的首项为（为锐角），，数列满足.
（1）求证：当x时，
（2）求，并证明：若，则
（3）是否存在最大正整数m，使得对任意正整数n恒成立？若存在，
求出m；若不存在，请说明理由.
上饶中学xx学年高二下学期第一次月考
数学参考答案（理科零班）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B A A D B A D C C B
二．填空题
13．质点运动的速度，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是．
14．如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A1B1
4，则BE1与
DF1所成角的余弦值是
_______________.
15. 已知，若在上是增函数，则的取值范围是
．
16.若在区间[-1, 1]上，函数恒成立，则a的取值范围是____
17．解:由得,由题意得.
∴命题p:.
由的解集是,得无解,
即对,恒成立,∴,得.
∴命题q:.
由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.
当p、q均为假命题,则,而.
∴实数a的值取值范围是.
18解:如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系.
(Ⅰ)依题意有，，，
则，，，所以， ，
即 ⊥，⊥.且故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面. ……6分
（II ）依题意有，=，=. 设是平面的法向量，则 即
因此可取 设是平面的法向量，则 可取所以且由图形可知二面角为钝角
故二面角的余弦值为 19. 解：可以观察到：，，故可以猜想此推广式为：若，且都不等于，则有tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=．
证明如下：由，得， 所以，又因为，
所以tan tan tan()(1tan tan )cot (1tan tan )αβαβαβγαβ+=+-=-，
所以tan tan tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )αββγγααβγαβ++=++ tan tan tan cot (1tan tan )1αβγγαβ=+-=． 20.(1)函数是定义在R 上的奇函数, 即对于恒成立，. ,
时，函数取极值1. ∴,解得: ． 故 (2),,
时,上是减函数,
故上最小值为＝－1，最大值为, 因此当时,．
12min ()()Max f x f x s f x f x s -≤⇔-≤（）（），故s 的最小值为2
21．解：
（Ⅰ）设点，则，由得： ，化简得.
（Ⅱ）设直线的方程为：
. 设，，又，
联立方程组，消去得：，，故
由，得：
，，整理得：，，
22.解：（1）令，则故，
∴，即sinx<x
（2）由得又，
∴
22sin
2
a
θ
===
，
3
2sin
4
a
θ
==，猜想：
下面用数学归纳法证明：
①n＝1时，，成立，
②假设n＝k时命题成立，即，则n＝k＋1时，
1
k
a
+
===
即n＝k＋1时命题成立.由①②知对N*成立.
由（1）知，N*
故
1212
1
2[1()]1
24[1()]4
1
2222
1
2
n
n
n n
a a a
θ
θθθ
θθθ
--
-
+++<++++==-<
-
因此时，
（3），故1
1
2sin2sin1
221
sin2sin cos cos
2222
n n
n
n
n n n n
b
b
θθ
θθθθ
+
-
===>，为递增数列，因此要使对任意正整数n恒成立，只需成立，而，因此，故存在最大自然数m＝8满足条件。
24962 6182 憂37741 936D 鍭 R22645 5875 塵36486 8E86 躆24877 612D 愭lp31213 79ED 秭S33361 8251 艑 36571 8EDB 軛。