函数的映射、图像及解析式

映射

引入：初中所学的对应 1）、对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的一点P 和它对应； 2）、对于坐标平面内的任何一个点A ，都有唯一的一个有序实数对（x,y ）和它对应；

在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应——映射。 【预习导引】

1、 关于映射，下列说法错误的是 （ ）

A ． A 集合中的每个元素在

B 集合中都存在元素与之对应； B ． “在B 集合中存在唯一元素和A 集合中元素对应”即A 中的元素不

能对应B 集合中一个以上的元素； C ． A 集合中可以有两个或两个以上的元素对应B 集合中的一个元素； D ． B 集合中不可以有元素不被A 集合中的元素所对应； 2、 判断下列对应是否为A 集合到B 集合的映射和一一映射？

（1）x x f A x R B R A →∈==:,,,； （2）1:,,,-→∈==+x x f A x N B N A ；

（3）{}{}

22:,,,0,,22+-=→∈∈≥=∈≥=x x y x f A x Z y y y B Z x x x A ； （4）[][]()b a x a b y x f A x b a B A -+-=→∈==2:,,,,2,1

1）、引例：观察以下几个集合间的对应，讨论特征

A B

A B

多对一 一对一 ③ ④

A B A B

⑤

⑥

定义1：一般地，设Ａ、Ｂ是两个集合，若按照某种对应法则f ，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作f ：A →B 。

（这种具有对应关系的元素也有自己的名称，引出象与原象的概念。）

定义2：给定一个映射f ：A →B ，且a ∈A,b ∈B ，若元素a 与元素b 对应，则b 叫做a 的象，而a 叫做b 的原象。（以②③④⑥具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象）。

2、映射定义剖析：

1）、映射是由三部分构成的一个整体：集合A 、集合B 、对应法则f ，这一点从映射的符号表示f ：A →B 可看出，其中集合A 、B 可以是数集、点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。（用引例说明）

2）、映射f ：A →B 是一种特殊的对应，它要求A 中的任何一个元素在B 中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。如：引例中①不是映射。又如：设A=｛0、1、2｝，B=｛0、1、

21

｝，对应法则f ：取倒数，可记为f:x →x

1,因A 中0无象，所以不是映射。 3）、映射f ：A →B 中，A 中不同的元素允许有相同的象，即可以“多对一”，如③。

4）、映射f ：A →B 中，不要求B 中每一个元素都有原象，如④。即若映射f ：A →B 的象集为C ，则C ⊆B 。

5）、映射是有顺序的，即映射f ：A →B 与f ：B →A 的含义不同。 3、概念的初步应用

1）、例1、设集合A=｛a,b,c ｝, B=｛x,y,z ｝,从集合A 到集合B 的对应方式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A 到集合B 的映射？

注：判断两个集合的对应关系是否为映射，关键在于抓住“任意”“唯一”这两个关键词，一般性结论是：一对一，多对一是映射。

例2：判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射 ①、A=R ，B=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝,f ：x →y=|x|

②、A=N ，B=N ﹡

，f ：x →y=|x-1|

③A=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝，B=R ，f ：x →y=x 2

注：映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系，它要求集合A 中任意一个元素x ，都可以运用对应法则f 实施运算，运算产生的结果y 一定在集合B 中，且唯一确定。 1、

②、映射与对应的关系如图所示

【随堂反馈】

1、 下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是 （ ）

A 、;1:,-→==+x x f N

B A 对应法则 B 、{}⎩

⎨⎧<≥=→==)0(,2)

0(,1:,2,1,x x y x f B R A 对应法则

C 、;:,x y x f R B A ±=→==

D 、{}

2

:,0,x y x f x x B R A =→>==

2、 已知集合[][],2,2,4,4y x Q P →-=-=下列对应不表示P 到Q 的映射的是（ ） A 、x y =2 B 、()421

2

+=x y C 、24

12-=x y D 、y x 82-= 【课后检测】

1、 在给定的映射()()():,2,,f x y x y x y x y R →+∈的条件下，点11,66⎛⎫

- ⎪⎝⎭

的原象是

（ ）

A 、11,66⎛⎫-

⎪⎝⎭ B 、11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或12,43⎛⎫- ⎪⎝⎭

C 、11,366⎛⎫- ⎪⎝⎭

D 、111,,234⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

2或-3

2、映射:f A B →定义域A 到值域B 上的函数，下列结论正确的是（ ）

A 、A 中每个元素必有象，但

B 中元素不一定由原象； B 、B 中元素必有原象，

C 、B 中元素只有一个原象;

D 、A 或B 可以空集或不是数集；

3、给定映射()()():,2,2f 31___f x y x y x y →+-在映射作用下，的象是

4、已知从A 到B 的映射是1f →：x 2x -1,21

B :,x x

→

2从到C 的映射是f 从A 到C 的映射()f x →______

课后作业1

1.选择题

(1)下列对应不是A 到B 的映射是( )

A.A ＝｛x ｜x ≥0｝，｛y ｜y ≥0｝，f:x →y ＝x 2

B.A ＝｛x ｜x ＞0或x ＜0｝，B ＝｛１｝，f:x →y ＝x 0

C.A ＝｛2,3｝,B ＝｛4,9｝，f:x →y(y 是x 的整数倍)

D.A ＝Ｒ，B ＝R ，f:x →y ＝2x (以上x ∈A ，y ∈B)

(2)若(x,y)在映射f 下的象是(x-y,x+y)，则在f 的作用下象 (1，-3)的原象( )

A.(4，-1)

B.(-1，-2)

C.(-1，-1)

D.(4，-2) (3)在映射f:A →B 中，下列说法中不正确的说法为( )

①集合B 中的任一元素，在集合A 中至少有一个元素与它相对应； ②集合B 中至少存在一元素在集合A 中无原象； ③集合B 中可能有元素在集合A 中无原象；

④集合B 中可能有元素在集合A 中的原象不至一个.

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④ (4)设A 是坐标平面上所有点所组成的集合，如果由A 到它自身的一一映射f ，(x,y)→(y-1，

x+2)，那么象(3，-4)的原象是( )

A.(-5，5)

B.(4，-6)

C.(2，-2)

D.(-6，4) (5)在下列对应中，是A 到B 的映射的有m 个，一一映射的有n 个.

①A ＝｛x ｜x ∈N ｝，B ＝｛-1,1｝，对应法则f:x →(-1)x ； ②A ＝｛x ｜x ∈R ｝，B ＝｛y ｜y ∈R +｝，对应法则f:x →y ＝｜x ｜；

③A ＝｛x ｜x ∈N ｝，B ＝｛y ｜y ∈R ｝，对应法则f:x →y ＝x ； ④A ＝｛x ｜x ≥2｝，B ＝｛y ｜y ≤2｝，对应法则f:x →y ＝-x 2+2x+2；