《正弦定理2-1》(课件)
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高中数学 第二章 解三角形 2_1_1_2 正弦定理的变形及三角形面积公式课件 北师大版必修5
课堂探究 互动讲练 类型一 正弦定理的变形应用 [例 1] 在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求 b 及△ABC 外接圆的半径 R.
【解析】 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1，
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R， 所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
a2＋b2－2abcosπ3＝7， 所以a2＋b2－ab＝7，即(a＋b)2－3ab＝7， 所以(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.
方法归纳
(1)本题采用了整体代换的思想，把a＋b，ab作为整体，求解
过程既方便又灵活．
(2)三角形面积公式有多种形式，根据题中的条件选择最合适
的面积公式．在解三角形中通常选用S＝
＝
40 6＋
2＝10(
6－
2) (km)．
即 C 到灯塔 A 的距离为 10( 6－ 2) km.
方法归纳
解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个 以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然 后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程，解方程得出所要求的解．
(2)若 c＝ 7，且△ABC 的面积为323，求 a＋b 的值．
【解析】
(1)因为
3a＝2csinA，所以sianA＝
2c 3.
由正弦定理知sianA＝sincC，
所以sincC＝ 2c3，所以sinC＝
3 2.
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.
(2)因为c＝ 7，C＝π3，
高中数学第二章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5
中,
sin
=
sin
=
.
sin
【做一做1】
在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则角 B 等于
.
解析:根据已知条件及正弦定理可知 3sin A=2sin Bsin A⇔
3
π
2π
3=2sin B⇔sin B= 2 ,所以角 B 为3 或 3 .
π
2π
答案:3 或 3
知识拓展1.正弦定理的证明
Bcos A,又 sin B≠0,则 sin A= 3cos A,即 tan A= 3,又△ABC 为锐角三
π
角形,所以 A= .
3
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究二
探究四
思维辨析
利用正弦定理解三角形
【例2】 在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5, c=5 3 ,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求
出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
sin
由正弦定理得,b=
sin
1
=
sin 105°=sin(60°+45°)=
(5)在△ABC中,若 cos = 1 + cos2 ,则△ABC为等腰三角形或直
角三角形. (
)
答案:(1)
(2)
(3)× (4)× (5)
探究一
探究二
探究一
探究三
探究四
思维辨析
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D
高二数学正弦定理2精选教学PPT课件
正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
思考： 正弦定理的基本作用是什么？
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如 b sin A a sin B
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如 b sin A a sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值，如 a sin A sin B b
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课堂小结
2. 正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及 一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一 边的对角.
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课后作业
1. 阅读必修5教材P.2到P.4; 2. 教材P.10习题1.1A组第1、2题.
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思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A
A C B
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A 能否用一个等式把 这种关系精确地表示出 C 来？ B
解三角求其他的边和角的过程叫作
解三角形.
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知A＝32.0 ， B＝81.8 ，a＝42.9cm，解三角形.
o o
练习： 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1 , 边长精确到1cm):
正弦定理课件.ppt
解三角形。
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半 径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导
高中数学：11《正弦定理2》课件必修
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的面积表示为已知两边及夹角的函数，或者已 知三边的函数。这种方法在解决一些三角形面积问题时非常有效，特别是当已知 条件不足时。
解三角形
总结词
正弦定理是解三角形问题的重要工具，可以用于解决多种类 型的三角形问题，如求角度、求边长等。
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的角度或边长表示为已知 角度或边长的函数。这种方法在解决三角形问题时非常有效 ，特别是当已知条件不足时。
竞赛习题2
已知三角形ABC中，a=7, b=9, C=135°，求边b的大小 及角A的大小。
05
总结与反思
本节课的收获
掌握了正弦定理的基本概念和应用方法，能够运用正弦定理解决一些实际问题。
通过本节课的学习，对三角函数和三角形有了更深入的理解，提高了数学思维能力 。
学会了如何利用数学软件进行数值计算和图形绘制，提高了数学实验能力。
不足与反思
在解决一些复杂的实际问题时，对于 如何选择合适的角度和边长关系仍存 在困惑。
在课堂互动方面表现不够积极，需要 更加主动地参与课堂讨论和提问。
在运用正弦定理时，对于一些特殊情 况的处理不够熟练，需要加强练习。
下节课的预习建议
01
提前预习下一节内容《 余弦定理》，了解余弦 定理的基本概念和应用 方法。
实际应用
总结词
正弦定理在现实生活中有着广泛的应 用，如测量、建筑、航海等领域。
详细描述
正弦定理可以用于解决实际生活中与 角度和长度相关的问题，如测量山的 高度、建筑物的角度和长度等。此外 ，在航海和航空领域，正弦定理也常 被用于计算距离和角度。
03
正弦定理的拓展
定理的推广
推广到任意三角形
通过正弦定理，我们可以将三角形的面积表示为已知两边及夹角的函数，或者已 知三边的函数。这种方法在解决一些三角形面积问题时非常有效，特别是当已知 条件不足时。
解三角形
总结词
正弦定理是解三角形问题的重要工具，可以用于解决多种类 型的三角形问题，如求角度、求边长等。
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的角度或边长表示为已知 角度或边长的函数。这种方法在解决三角形问题时非常有效 ，特别是当已知条件不足时。
竞赛习题2
已知三角形ABC中，a=7, b=9, C=135°，求边b的大小 及角A的大小。
05
总结与反思
本节课的收获
掌握了正弦定理的基本概念和应用方法，能够运用正弦定理解决一些实际问题。
通过本节课的学习，对三角函数和三角形有了更深入的理解，提高了数学思维能力 。
学会了如何利用数学软件进行数值计算和图形绘制，提高了数学实验能力。
不足与反思
在解决一些复杂的实际问题时，对于 如何选择合适的角度和边长关系仍存 在困惑。
在课堂互动方面表现不够积极，需要 更加主动地参与课堂讨论和提问。
在运用正弦定理时，对于一些特殊情 况的处理不够熟练，需要加强练习。
下节课的预习建议
01
提前预习下一节内容《 余弦定理》，了解余弦 定理的基本概念和应用 方法。
实际应用
总结词
正弦定理在现实生活中有着广泛的应 用，如测量、建筑、航海等领域。
详细描述
正弦定理可以用于解决实际生活中与 角度和长度相关的问题，如测量山的 高度、建筑物的角度和长度等。此外 ，在航海和航空领域，正弦定理也常 被用于计算距离和角度。
03
正弦定理的拓展
定理的推广
推广到任意三角形
课件15：1.1.1 正弦定理（二）
转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化 简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证 明三角恒等式．
课堂小结 1．会用正弦定理的四个变形 (1)(角化边)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. (2)(边化角)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. (3)(边角互换)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
sin
B＝b
sin a
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当
B1＝60°时,C1＝90°,c1＝a
sin sin
AC1＝2
s3insi3n09°0°＝4
3；
当
B2＝120°时,C2＝30°,c2＝a
sin sin
AC2＝2
s3insi3n03°0°＝2
3<1，
所以当 B 为锐角时，满足 sin B＝593的角有 60°<B<90°，
故对应的钝角 B 有 90°<B<120°，
也满足 A＋B<180°，故三角形有两解．
3．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝21bc sin A＝
1 2ac sin B
1 ＝ 2ab sin C
[提示] 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B＝ 2R sin B cos A，移项后就是一个三角恒等变换公式 sin A cos B－cos A sin B＝0.
2．对三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角， 此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中 一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、 两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以 已知 a，b 和 A 解三角形为例说明.
课堂小结 1．会用正弦定理的四个变形 (1)(角化边)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. (2)(边化角)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. (3)(边角互换)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
sin
B＝b
sin a
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当
B1＝60°时,C1＝90°,c1＝a
sin sin
AC1＝2
s3insi3n09°0°＝4
3；
当
B2＝120°时,C2＝30°,c2＝a
sin sin
AC2＝2
s3insi3n03°0°＝2
3<1，
所以当 B 为锐角时，满足 sin B＝593的角有 60°<B<90°，
故对应的钝角 B 有 90°<B<120°，
也满足 A＋B<180°，故三角形有两解．
3．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝21bc sin A＝
1 2ac sin B
1 ＝ 2ab sin C
[提示] 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B＝ 2R sin B cos A，移项后就是一个三角恒等变换公式 sin A cos B－cos A sin B＝0.
2．对三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角， 此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中 一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、 两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以 已知 a，b 和 A 解三角形为例说明.
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理PPT课件
C 教学过程
01 情景导入 02 复习旧知 03 小组探究 04 典例讲解 05 总结提高
End
Part 01
情境导入
前几天，老师在河 边散步，突然想到一个问 题，如何在只有尺子和测 角仪的情况下，快速简便 的测出河对岸任意两点间 的距离？如图所示。
Part 02
复习旧知
（1）在任意三角形中，边、角之间的关系？
abc sin A sin B sin C
正弦定理：在一个三角形中，各边和它对角的正 弦的比相等。即：
abc sin A sin B sin C
Part 04
典例讲解
典例讲解
某地出土一块类似
三角形刀状的古代玉佩(如
A
图),其角已破损.现测得如
下数
D E
据:BC=2.57cm,CE=3.57cm ,BD=4.38cm,B=45°,C=12
大边对大角，小边对小角
（2）初中是在哪种三角形中研究正弦？
直角三角形
（3）在直角三角形中， sin A、sin B、sinC 怎么表示？
A
sin A a c
c b
sin B b c
sin C 1 c
C
B
c
Part 03
小组探究
A
c
b
a
A
b c
Ba
C
无论在锐角三角形还是钝角三角形都有等量关系式：
总结提高
（1）教材47页来练习1
（2）练习册正弦定理作业 习题
谢谢Leabharlann 发现,已知两边和其中一边 的对角,解三角形时会出现 两解的情况.还会出现其他 情况吗?你能从代数或几何 角度给解释吗?
总结提高
问题2：在Rt△ABC中,斜
01 情景导入 02 复习旧知 03 小组探究 04 典例讲解 05 总结提高
End
Part 01
情境导入
前几天，老师在河 边散步，突然想到一个问 题，如何在只有尺子和测 角仪的情况下，快速简便 的测出河对岸任意两点间 的距离？如图所示。
Part 02
复习旧知
（1）在任意三角形中，边、角之间的关系？
abc sin A sin B sin C
正弦定理：在一个三角形中，各边和它对角的正 弦的比相等。即：
abc sin A sin B sin C
Part 04
典例讲解
典例讲解
某地出土一块类似
三角形刀状的古代玉佩(如
A
图),其角已破损.现测得如
下数
D E
据:BC=2.57cm,CE=3.57cm ,BD=4.38cm,B=45°,C=12
大边对大角，小边对小角
（2）初中是在哪种三角形中研究正弦？
直角三角形
（3）在直角三角形中， sin A、sin B、sinC 怎么表示？
A
sin A a c
c b
sin B b c
sin C 1 c
C
B
c
Part 03
小组探究
A
c
b
a
A
b c
Ba
C
无论在锐角三角形还是钝角三角形都有等量关系式：
总结提高
（1）教材47页来练习1
（2）练习册正弦定理作业 习题
谢谢Leabharlann 发现,已知两边和其中一边 的对角,解三角形时会出现 两解的情况.还会出现其他 情况吗?你能从代数或几何 角度给解释吗?
总结提高
问题2：在Rt△ABC中,斜
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
正弦定理 课件
6 4 2
2 =
3 +1.
2
已知△ABC中,a=20,A=30°,C=45°,求B,b,c.
解:因为 A=30°,C=45°, 所以 B=180°-(A+C)=105°,
由正弦定理得 b= a sin B = 20sin105 sin A sin 30
=40sin(45°+60°)
=10( 6 + 2 );
6 =4(
3 +1).
2
所以 A=45°,c=4( 3 +1).
题后反思 已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是: (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形 内角和定理求出第三个角. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再 由正弦定理求另外两边.
所以 cos A = cos B = cosC . sin A sin B sin C
即 sin A = sin B = sin C .所以 tan A=tan B=tan C. cos A cos B cosC
又因为 A、B、C∈(0,π),所以 A=B=C.所以△ABC 为等边三角形.
在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC的形状.
解:由已知有 a2sin(A-B)+b2sin(A-B)=a2sin(A+B)-b2sin (A+B), 即 2a2cos Asin B-2b2cos Bsin A=0, 所以 a2cos Asin B-b2sin Acos B=0. 由正弦定理, 上式可化为 sin2Acos Asin B-sin2Bsin Acos B=0, 即 sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, 因为 sin A≠0,sin B≠0, 所以 sin Acos A-sin Bcos B=0,即 sin 2A=sin 2B,
正弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
由正弦定理，得 a2＋c2－ 2ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A
2
A
A
A
A
3
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A
2
A
A
A
A
3
人教A版高中数学必修第二册《正弦定理》名师课件
,
2
与的夹角为
2
=
=
− .仿照上述方法,同样可得
探究新知
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
=
=
思考1：利用正弦定理解三角形,至少已知几个元素？
思考2：正弦定理可以解决哪类解三角问题？
1.已知三角形的任意两个角与一边;
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
2
2
2
2
求证：(1) cos2A − cos2B = − ; (2)
2 −2
2
=
sin(A−B)
sinC
.
证明
（1）左边= 2 1 − 2sin2 A − 2 1 − 2sin2 B = 2 − 2 − 2(b2 sin2 A −2 sin2 B).
由
=
, 得 bsinA = sinB , ∴ 2 sin2 A − 2 sin2 B = 0
sinA sinB
∴ 左边 = 2 − 2 = 右边
∴ 2 cos2A − 2 cos2B = 2 − 2
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
典例讲授
例4、在△ABC中,: : = 2: 3: 10,则cosC =________.
解析
设角, , 的对边分别为, , ,
∵ : : = 2: 3: 10,
∴ : : = 2: 3: 10.
设 = 2, = 3, = 10, > 0,
《正弦定理说》课件
印度数学家婆什迦罗二世：对三角函数进行了深入研究，提出了正弦、 余弦等概念
中世纪欧洲：三角函数在欧洲得到了广泛应用，如航海、天文等领域
17世纪：牛顿、莱布尼茨等数学家对三角函数进行了深入研究，提出了 微积分等数学工具，为三角函数的发展奠定了基础
19世纪：三角函数在电磁学、光学等领域得到了广泛应用，如麦克斯韦 方程组、傅里叶变换等
添加标题
添加标题
添加标题添加标题来自计算力的合成和分解：利用正弦 定理可以计算力的合成和分解， 从而解决力学问题。
计算力的作用点：利用正弦定理 可以计算力的作用点，从而解决 力学问题。
正弦定理在解三角形中的应用
正弦定理在解三角形中的具体 应用
正弦定理在解三角形中的注意 事项
正弦定理在解三角形中的常见 错误及解决方法
•
正弦定理在十六边形中的应用
•
正弦定理在十七边形中的应用
•
正弦定理在十八边形中的应用
•
正弦定理在十九边形中的应用
•
正弦定理在二十边形中的应用
•
正弦定理在二十一边形中的应用
•
正弦定理在二十二边形中的应用
•
正弦定理在二十三边形中的应用
•
正弦定理在二十四边形中的应用
•
正弦定理在二十五边形中的应用
向量：正弦定理可以用于计算向量的长度和角度 解析几何：正弦定理可以用于计算解析几何中的角度和长度 应用实例：正弦定理在解析几何中的应用实例 推广：正弦定理在向量和解析几何中的推广和应用
正弦定理：在任意三角形中，任意一边的 对边与斜边的比等于该边的正弦值与斜边 的正弦值的比
应用：正弦定理的推广可以用于解决多边 形的面积、周长等问题
推广：正弦定理可以推广到任意多边形 中，即任意多边形的任意一边的对边与 斜边的比等于该边的正弦值与斜边的正 弦值的比
中世纪欧洲：三角函数在欧洲得到了广泛应用，如航海、天文等领域
17世纪：牛顿、莱布尼茨等数学家对三角函数进行了深入研究，提出了 微积分等数学工具，为三角函数的发展奠定了基础
19世纪：三角函数在电磁学、光学等领域得到了广泛应用，如麦克斯韦 方程组、傅里叶变换等
添加标题
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添加标题添加标题来自计算力的合成和分解：利用正弦 定理可以计算力的合成和分解， 从而解决力学问题。
计算力的作用点：利用正弦定理 可以计算力的作用点，从而解决 力学问题。
正弦定理在解三角形中的应用
正弦定理在解三角形中的具体 应用
正弦定理在解三角形中的注意 事项
正弦定理在解三角形中的常见 错误及解决方法
•
正弦定理在十六边形中的应用
•
正弦定理在十七边形中的应用
•
正弦定理在十八边形中的应用
•
正弦定理在十九边形中的应用
•
正弦定理在二十边形中的应用
•
正弦定理在二十一边形中的应用
•
正弦定理在二十二边形中的应用
•
正弦定理在二十三边形中的应用
•
正弦定理在二十四边形中的应用
•
正弦定理在二十五边形中的应用
向量：正弦定理可以用于计算向量的长度和角度 解析几何：正弦定理可以用于计算解析几何中的角度和长度 应用实例：正弦定理在解析几何中的应用实例 推广：正弦定理在向量和解析几何中的推广和应用
正弦定理：在任意三角形中，任意一边的 对边与斜边的比等于该边的正弦值与斜边 的正弦值的比
应用：正弦定理的推广可以用于解决多边 形的面积、周长等问题
推广：正弦定理可以推广到任意多边形 中，即任意多边形的任意一边的对边与 斜边的比等于该边的正弦值与斜边的正 弦值的比
高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5
∴本题有一解.
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3.2正弦定理(共45张ppt)
）
√
）
练习巩固
题型一：已知两角和一边解三角形
例7：在∆ABC中，已知B = 45°，A = 15°，c = 3 + 3，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得：
= 180° − ( + ) = 180° − (15° + 30°) = 120°.
由正弦定理，得： =
=
转化
转化
定量计算的公式：余弦定理及其推论
定量计算的公式
新知探究
问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想
它们之间的联系.
A
根据锐角三角函数，在∆中，有:
= ， = ，
c
b
则：
=
= .
又因为 = 90° = 1，所以
=
= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
a
b
c
新知探究
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
=
=
= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
辨析1：判断正误.
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.（
(2)正弦定理不适用于直角三角形.（
×
×
）
）
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（
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例 4. 非等边三角形ABC的外 接圆的半径为2，最长边BC 2 3， 求sinB sinC的取值范围 .
例 5. 在ABC中，若 B 30，AB 2 3，AC 2，求ABC的面积 .
归纳：在△ABC中，已知a, b
和A时解三角形的各种情况：
归纳：在△ABC中，已知a, b
和A时解三角形的各种情况： 1. 当A为锐角时：
归纳：在△ABC中，已知a, b
和A时解三角形的各种情况：
1. 当A为锐角时：
C a
b
A
B
a<bsinA 无解
归纳：在△ABC中，已知a, b
和A时解三角形的各种情况：
Ca
b A
C
ba
B
AB
a≤b 无解
a > b 一解
练习：
在ABC中，a 2,b 2, 则A的取值范围是 ______ .
判断下列三角形有几解： (1) a 5,b 4, A 120; (2) a 7,b 14, A 150; (3) a 9,b 10, A 60; (4) a 50, b 72, A 135
正弦定理
一、复习旧知，以旧悟新：
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理及正弦定理能够解决
的两类问题：
1. 两角和任意一边，求其它两边 和一角；
2. 两角和其中一边对角，求另一 边的对角，进而可求其它的边 和角 .
二、提出问题，自我练习：
二、提出问题，自我练习：
例 1. 判断下列三角形有几解： (1) a 10,b 20, A 30; (2) a 18,b 20, A 30; (3) a 24,b 20, A 30; (4) a 8, b 20, A 30
二、提出问题，自我练习：
例 1. 判断下列三角形有几解： (1) a 10,b 20, A 30; (2) a 18,b 20, A 30; (3) a 24,b 20, A 30; (4) a 8, b 20, A 30 若A 150呢？
1. 当A为锐角时：
C a
b
C ba
A
B
A
B
a<bsinA 无解 a=bsinA 一解
C ba a
A B2
B1
ห้องสมุดไป่ตู้
bsinA<a<b 两解
C ba a
A B2
B1
C
b
a
A
B
bsinA<a<b 两解 a ≥ b 一解
2. 当A为直角或钝角时：
2. 当A为直角或钝角时：
Ca
b
A
B
a≤b 无解
2. 当A为直角或钝角时：