小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总 It was last revised on January 2, 2021

裂项运算常用公式

一、分数“裂差”型运算

(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

b

a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜

b ，那么有:

(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：

二、分数“裂和”型运算

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）

a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+

（2）a

b b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整

三、整数裂项基本公式

(1)

)1()1(3

1)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n (2) )1()1)(2(4

1)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(3

1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(4

1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=⨯

裂项求和部分基本公式

1.求和： 1

)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：1

111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

2.求和：1

2)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=

n n n n S n 证：1

2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=

n n n n S n 证：)1

31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=

n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=

n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， 特殊数列求和公式

平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-

完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±