高等数学讲义-一元函数微分学
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
(完整版)一元函数微分学课件
（一）求曲线的切线方程与法线方程
当
≠0时，法线方程为
-1/
（二）函数的单调性与极值
1 函数单调性
定理
2 函数的极值
定理（极值的必要条件） 设f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则f'(x0)=0.
（三）函数的最大值与最小值
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0∈[a,b],若对于任意x∈[a,b], 恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上 的最大值（或最小值），称点x0为f(x)在[a,b]上的最大值点（或最 小值点）。 注 极值与最值的区别
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
f
(x)在点 x0处的导数
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
dx
x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
高等数学讲义-一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
(优选)一元函数微分学ppt讲解
x0 x
1
(二)导数的运算 • 基本初等函数的导数公式
导数的四则运算法则
设u=u(x),v=v(x)都可导，则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
隐函数求导法则
设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接由方 程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复 合函数链式法则求之。
★ f (x)在开区间(a,b)内的导函数为f '(x)
f '(a ) lim f '(x) xa
f '(b ) lim f '(x) xb
称为导函数的右极限 称为导函数的左极限
★ 设f (x)在闭区间[a,b]连续， 开区间(a,b)内的可导，记导函数为f '(x) 若f '(a 0)存在，则f (x)在a点右可导， 若f '(b 0)存在，则f (x)在b点左可导
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
Hale Waihona Puke dxx x0关于导数的说明：
★ 导数是因变量在点x0处的变化率，它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. ★ 如果函数 y f (x)在开区间I内的每点
处都可导，就称函数f (x)在开区间I内可导.
★ 对于任一x I ,都对应着f (x)的一个确定的
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
高等数学 一 微积分》讲义
2
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（ 2 ） 因 为 ex2 − 1 ~ x2 ，
sin 3x
~
3x
，1−
cos 2x
~
1 2
(2
x
)2
=
2x2
，
ln(1 + x) ~ x
( ) 所以
e x2 − 1 sin 3 x lim x→0 (1 − cos 2 x)ln(1 +
x)
= lim x→0
x2 ⋅(3x) (2x2)⋅ x
3n+2
=
lim
1 5
−
1 52
( 4 )n−1 5
n→∞ 1 + 3( 3 )n+1
5
=
1− 5
1 52
lim( 4 )n−1 n→∞ 5
=
1
1 + 3lim( 3 )n+1 5
n→∞ 5
（2）
lim
x − cos x
=
lim
1−
cos x x
=1
x→+∞ x − sin x x→+∞ 1 − sin x
=
⎛
1⎜
2
lim
x→0
⎜ ⎜
sin x 2
x
⎞2 ⎟ ⎟ ⎟
=
1 2
2
⎝2⎠
π
(4)lim(nsin π ) =
n→∞
n
limπ
n→∞
sin
⋅
n
π
=π
π
lim(nsin )
n→∞
n
n
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注意：等价无穷小
x → 0时， x ~ sin x, x ~ tan x, x ~ arcsin x ， 1 − cos x ~ x2 2
第2章--一元函数微分学
即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
12
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函 数.
播放 13
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
,
解得
x01
1,
x02
1,
从而知过点(0,-1)可作两条直线与 y x2 相切，
其斜率分别为 k1 2, k2 2,
二直线方程分别为 y 1 2x, y 1 2x.
19
四、可导与连续的关系
定理 若函数y=f(x)在点x0 处可导 则它在点x0 处必定连续 .
证明 设函数 f ( x)在点 x0可导,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
57
三、复合函数和隐函数的求导法
1、复合函数的求导法则
定理 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
★ 若函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，且在左端 点处右可导和右端点处左可导，则称函数f(x)在闭 区间[a,b]内可导。
11
★对于任一x∈ I,都对应着 f (x) 的一个确定的 导数值， 这个函数叫做原来函数f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
《大学数学课件一元函数微积分学》
曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然 后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函 数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的 量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成 的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能 够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股 息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶 导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一 个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象 的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积 分：代换法、分部积分法、 三角函数积分法、有理函 数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第 二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例 子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐 渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、 功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的 形式，从而来研究一些不易计算的函数。
第二章-一元函数微分学.docx
第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。
处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)・f(xo),若果极限点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。
处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)= __________________ = ___________________ •当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= • 注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・ /(兀0 +山)一/(旺)如果y=f(x)在点X 。
及其左侧邻域内有定义，当hm —T —存在时，则称该极值为f(x)在点X 。
处的 ______ 记为—.同理，定义右导数性质 函数y=f(x)在点x 0处可导<・・> ________左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。
处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________存在,则称此极限值为函数沪f(x)在2.(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)= ____ •3.4复合函数的求导法则设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷 -------- = ---------3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则空_ 一一------ 一--------3.7对数求导法对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y = u：两端取对数：___________ ,化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .常见n阶导数公式：(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m<n ）（sin 工）（"）= _____ _______（cos x ）（n ） = ________ _______4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。
第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。
()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。
（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3． 已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
专升本第二章_一元函数的微分学
( x0 ) , 即 同理右导数为f f ( x0 x) f ( x0 ) y ( x0 ) lim f lim x0 x x0 x
定理：函数 y f ( x) 在 x0 点处可导的充要条件是函数 ( x0 ) f ( x0 ) 。 在 x0 点处的左、右导数均存在，且 f
例13. 求由方程 x 2 y 2 r 2 所确定的隐函数 y y ( x) 的导数。
解1：由方程可以解出 y r x ， 所以 1 1 x y (2 x) 2 2 2 r 2 y 看成 x的函数)： x 2 x 2 y y 0 ， y y
y nxn1a x cos x x n a x (ln a) cos x x n a x sin x
3. 复合函数和反函数的导数
定理4.设函数u ( x) 在点 x 可导，又函数y f (u ) 在 对应点u 处可导，则复合函数 y f ( ( x)) 在点 x 处可导， dy dy du 且 f ( ( x)) f (u ) ( x) 或 dx du dx
曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 )
3. 可导与连续的关系
例2. 讨论函数 f ( x) sin x 在 x 0 处的连续性和可导性。
解：y sin x 0 x ,当 x 0时，y 0
e2x , x0 例1. 考虑函数 f ( x) sin 2 x 1, x 0 在点 x 0 处是否可导。
f ( x) f (0) e2 x 1 解：f (0) lim lim 2 x0 x0 x0 x
高等数学课件第4章 一元函数微分学
要
熟
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
记
(12)
1 dxarcsinxC;
1 x2
(13)
2020/3/22
11x2dx微积分a--r不c定t积a分n 概念x 与性 质 C.
12
例1 求积分 (3x22x1)dx
3x2dx 2xdx 1dx
x3x2xC 注:最后结果
x
2
dx
21a(a1xa1x)dx
21a(d(aaxx)d(aaxx))
1(lnaxlnax)C 1 ln a x C公式!
或
2a1 x2
a2
dx
1 ln 2a
xa xa
2a C
ax
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
29
例6
1
dx
116x x2
1 d(x3)
20(x3)2
arcsin(x3)C 20
1 a)(x
dx b)
提示：拆项
[注 : 1 1( 1 1)] (xa)(xb) baxa xb
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
23
作业：
P164： 4-1 (2)(3)(7)(8) 4-3
预习4.2 换元积分法
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
24
复习: F(x)dx F d(xF)(xC) F(x)C
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )， 使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？
第3讲 一元函数微分学
第三章 一元函数微分学本章主要内容有：一元（隐）函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证明、凸函数、导数的应用（极值、函数作图等）等.I 基本概念与主要结果一 导数与微分1 导数定义1 设函数)(x f y =在点0x 某领域内有定义，若极限0)()(lim0x x x f x f x x --→ 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '. 等价形式：.lim )()(lim )()(lim )(00000000xy h x f h x f x x f x x f x f x h x ∆∆=-+=∆-∆+='→∆→→∆ 当上述极限不存在时，可研究其单侧极限，即左右导数.左导数：设函数)(x f y =在点0x 的左领域),(00x x δ-上有定义，若左极限)0()()(lim 000<∆<-∆-∆+-→∆x xx f x x f x δ 存在，则称该极限为函数f 在点0x 左导数，记作).(0x f -' 类似可定义右导数：xx f x x f x f x ∆-∆+='+→∆+)()(lim )(0000（δ<∆<x 0）. 左右导数统称为单侧导数.可导的充要条件：f 在点0x 可导⇔f 在点0x 的左右导数存在，且相等.有限增量公式：设)(x f 在点0x 可导，则x y xx f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆00000lim )()(lim)(， 由此得 ).()(0x o x x f y ∆+∆'=∆称之为f 在点0x 的有限增量公式. 注意，此公式对0=∆x 仍旧成立.若函数f 在区间I 上每点都可导，则称f 为I 上的可导函数，此时，若区间I 为闭区间，则区间的端点处的导数应理解为相应的单侧导数.2 导数的几何意义函数f 在点0x 可导的充要条件是：曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 存在不平行于y 轴的切线.若函数)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线方程为).)(()(000x x x f x f y -'=-注 此说明：可导一定存在切线，但存在切线未必可导.3 导数与连续的关系（1）f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续，但反之不成立.（2）f 在点0x 的左（右）导数存在，则f 在点0x 左（右）连续.4导函数的两大特性：（1）)(x f '无第一类间断点；（2）)(x f '具有介值性.其证明参看例1和例2.5 求导法则（1）四则运算法则设函数)(),(x v x u 在x 可导，则)()(),()(x v x u x v x u ⋅±在x 可导，当0)(≠v v 时，)()(v v x u 在x 可导，且 )()())()((x v x u x v x u '±'='±；)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'='；.)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）复合函数求导的链式法则设)(x u ϕ=在点0x 可导，)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数))((x f y ϕ=在点0x 可导，且).())(()))(((00x x f x f ϕϕϕ''='（3）反函数求导法则设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在点0y 某领域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在点)(00y x ϕ=可导，且.)(1)(00y x f ϕ'=' 6 参数方程求导法则设函数)(x f y =由参数方程 ,),(),(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，若)(t x ϕ=具有反函数，)(),(t t φϕ可导，且0)(≠'t ϕ，则.)()(t t dx dy ϕφ''= 7 基本初等函数求导公式c c ,0='为常数； 1)(-='αααx x ；x x cos )(sin ='； x x sin )(cos -='；x x 2sec )(tan ='； x x 2csc )(cot -='；x x x tan sec )(sec ='； x x x cot csc )(csc -='；211)(arcsin x x -='； 211)(arccos xx --='；211)(arctan x x +='； 211)(arccot xx +-='； a a a x x ln )(='； x x e e =')(；a x x a ln 1)(log ='； .1)(ln x x =' 8 微分定义2 设函数)(x f y =在点0x 某领域内有定义，若y 在点0x 的改变量y ∆可以表示为)(x o x A y ∆+∆=∆，其中A 是与x ∆无关的常数，)(x o ∆表示x ∆的高阶无穷小量，则称函数)(x f y =在点0x 可微，并称x A ∆为)(x f y =在点0x 的微分，记作)d (d 0x A x A y x x =∆== 或 )d ()(d 0x A x A x f x x =∆==. 9 可微与可导的关系函数f 在点0x 可微的充要条件是：f 在点0x 可导.10 一阶微分形式的不变性对函数)(u f y =，不论u 是自变量，还是中间变量，都有.d )(d u u f y '=此性质常用来求函数的导数.11 近似计算与误差估计.)()()(000x x f x f x x f ∆'+≈∆+绝对误差：x x f y ∆'≈∆)(0.相对误差：.)()(00x x f x f y y ∆'≈∆ 12 高阶导数函数)(x f y =一阶导数)(x f '的导数，称为二阶导数，记作)(x f ''；一般地，1-n 阶导数的导数称为n 阶导数，记为)()(x f n 或 n n n n dxy d dx x f d =)(. 二阶以及二阶以上导数都称之为高阶导数.高阶导数运算法则（1） )()())()(()()()(x v x u x v x u n n n ±=±.（2） Leibniz 公式 ∑=-=n k k n k k n n x v x u C x v x u 0)()()()()()]()([. 若干简单函数的n 阶导数：n n x n x -+--=ααααα)1()1()()( ；)2sin()(sin )(πn x x n +=； )2cos()(cos )(πn x x n +=； )1,0(ln )!1()1()(log 1)(≠>--=-a a ax n n n n x a ； n n n xn x )!1()1()(ln 1)(--=-； n x n x a a a )(ln )()(=；.)()(x n x e e =高阶导数的计算经常用到数学归纳法.13 高阶微分函数)(x f y =的一阶微分dy 的微分，称为二阶微分，记作y d 2；一般地，1-n 阶微分 y d n 1-的微分，称为n 微分，记作y d n ，即.)())(()()(1)1(1n n n n n n dx x f dx x f d y d d y d ===---二阶以及二阶以上的微分都称为高阶微分.注 （1）高阶微分不在具有形式不变性；（2）符号)(,,222x d x d dx 意义各不相同，22)(dx dx dx dx =⋅=，x d 2表示x 的二阶微分，而)(2x d 表示2x 的微分.二 微分中值定理1 极值定义3 若函数f 在点0x 的某领域)(0x U 内对一切)(0x U x ∈，都有))()(()()(00x f x f x f x f ≤≥，则称函数f 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点，极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.注 极值是函数的局部性质，因此，极大值未必大于极小值.定理1（极值的第一充分条件）设函数f 在点0x 连续，在某领域),(00δx U 内可导.（1）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ，则)(x f 在点0x 取得极小值；（2）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ，则)(x f 在点0x 取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设函数f 在点0x 的某领域),(0δx U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且.0)(,0)(00≠''='x f x f（1）若0)(0<''x f ，则f 在0x 取得极大值；（2）若0)(0>''x f ，则f 在0x 取得极小值.注 仿定理2，由Taylor 定理可以给出借助于更高阶导数的极值判别充分条件.2 Fermat 定理设函数f 在点0x 某领域内有定义，且在点0x 可导，若0x 为f 的极值点，则必有.0)(0='x f注（1）使得0)(='x f 的点x 称为f 的驻点或稳定点.（2）极值点未必是稳定点，稳定点未必是极值点. 对于可导函数来说，极值点一定是稳定点. 对于一般函数来说，极值点必为f 的稳定点或不可导点.（3）最值点未必是极值点，只有当最值点落在区间内部（即不是区间的端点）时，最值点才是极值点，此性质常用来寻找导数为零的点.（4）最值点必为极值点或区间的端点，或者说，最值点必为稳定点、不可导点或区间端点.3 Rolle 中值定理若函数f 满足如下条件：（1）f 在闭区间],[b a 上连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf注（1） 几何意义：若函数f 满足上述条件，则在曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线（x 轴）.（2）此定理可推广为：若函数f 在开区间),(b a （有界或无界区间）内可导，且)(lim )(lim x f x f bx a x -+→→=， 其中极限可以是有限数，或∞+，或∞-，在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.0)(='ξf4 Lagrange 中值定理若函数f 满足下列条件：（1）f 在闭区间],[b a 上连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.)()()(ab a f b f f --='ξ 注（1） 几何意义：若函数f 满足上述条件，则在曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线.（2）几种不同的表示形式：b a a b f a f b f <<-'=-ξξ),)(()()(；10),))((()()(<<--+'=-θθa b a b a f a f b f ；10,)()()(<<+'=-+θθh h a f a f h a f ；.)()()(ξf a f b f a b '-=-特别注意最后一式在解题中的应用.若令0,x a x b ==，则中值定理又可写成).())(()(00x f x x f x f +-'=ξ5 Cauchy 中值定理若函数)(),(x g x f 满足下列条件：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）在开区间),(b a 内g f '',不同时为零；（4）)()(b g a g ≠，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 几何意义：若在直角坐标平面uv 内的曲线参数方程],,[),(),(b a x x f v x g u ∈⎩⎨⎧== 满足上述条件，则曲线上至少存在一点))(),((ξξv u ，使得该点的切线平行于曲线两端点的连线.6 Taylor 定理（公式）若函数f 在点0x 存在n 阶导数，则称由这些导数构造的n 次多项式∑=-=nk k n x x k x f x T 000)()(!)()( 为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，)(x T n 中的各项系数),,2,1(!)(0)(n k k x f k =称为Taylor 系数.带Peano 型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有).)(()()(0n n x x o x T x f -+=带Lagrange 型余项的Taylor 公式：若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导数，在),(b a 内存在1+n 阶导数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点ξ，ξ介于x 与0x 之间，使得.)()!1()()()(10)1(++-++=n n n x x n f x T x f ξ 当00=x 时，上述两个公式又称为Maclaurin 公式.注意比较两种不同类型余项的Taylor 公式的条件与结论，前者给出了定性的描述，后者给出了定量的刻画，注意它们在不同场合的应用.几种常见函数的Maclaurin 公式：)(!!212n nxx o n x x x e +++++= ；)()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+++-=n n n x o n x x x x x ； )()!2()1(!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= ； )(32)1ln(32n nx o n x x x x x ++++-=+ ； )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα ； ).(1112n n x o x x x x+++++=- 注意以上几个公式在不定式极限计算中的应用.7 微分中值定理之间的关系（1）Rolle Lagrange Cauchy Taylor ⇒⇒⎭⎬⎫； （2）微分中值定理的推广设函数h g f ,,在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，定义)()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F =， 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 .0)()()()()()()()()()(='''='ξξξξh g f b h b g b f a h a g a f F 特别地，若令1)(,)(≡=x h x x g ，即得Lagrange 中值定理（若再有)()(b f a f =，便是Rolle 中值定理）；若令1)(≡x h ，便得Cauvhy 中值定理的另一形式：)].()()[()]()()[(a g b g g a g b g f -'=-'ξξ若附加Cauchy 中值定理的条件，可得到Cauchy 中值定理一样的形式.8 应用（1）判断可导函数在给定区间内根的存在性和根的个数问题；（2）对于给定的可微函数得到某些中值公式，并证明某些等式或不等式；（3）推倒某些可微函数的整体性质，如单调性，有界性，最值，一致连续性，以及某些导函数的极限等问题；（4）求解某些不定式极限问题（L ’Hospital 法则，等价无穷小替换）；（5）研究函数曲线的形态，如曲线的单调性，凹凸性，渐进线，极值等，描绘某些函数的图象；（6）近似计算，方程近似求解等.中值定理的灵活运用是本章重点和难点. 如果要解决的问题中含有未知的“ξ”，首先应分析题目中所给函数的条件，若仅有连续性条件，则只能用闭区间上连续函数的性质，而不能使用微分中值定理；若有可微性条件，往往要用到微分中值定理；若函数二阶可导，往往要两次使用罗尔或拉格朗日中值定理，或直接使用泰勒公式；若存在三阶或三阶以上导数，则泰勒公式是首选. 其次，要对所证明的等式或不等式进行适当的恒等变形，使之符合定理的形式.三 凸函数1 凸函数的几种定义及其等价关系：定义1 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x ∈∀21,，)1,0(∈∀λ，有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数. 反之，如果总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+，则称f 为I 上的凹函数. 式中的不等号改为严格不等号时，称之为严格凹函数.下面仅就凸函数进行讨论.定义2 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x ∈∀21,，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+. 称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义3 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x n ∈∀,,1 ，有2)()()(211x f x f n x x f n ++≤++ . 称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义4 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x n ∈∀,,1 ，1,01=≥∀∑=ni i i λλ，有)()()(21111x f x f x x f n n n λλλλ++≤++ .称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时称为严格凸函数.定义5 设函数)(x f 在区间I 有定义且可导，如果曲线)(x f y =的切线保持在曲线的下方， 称函数)(x f 为I 上的凸函数；若除切点外，切线严格保持在曲线的下方，则称之为严格凸函数.定义 6 设函数)(x f 在区间I 有定义且可导，如果)(x f '单增，称函数)(x f 为I 上的凸函数.注 定义1与定义4等价；定义2与定义3等价；当)(x f 连续时，定义1至定义4均等价；当函数可导时，以上6个定义均等价.由定义6立得定义7 若函数)(x f 在I 存在二阶导数，则)(x f 为凸函数⇔0)(≥''x f .（辽宁师大） 2 凸函数的性质与定理定理1 设函数)(x f 在I 有定义，则下列条件等价：321321,,,x x x I x x x <<∈∀，（1）)(x f 为I 上的凸函数；（2）13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （3）23231313)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （4）23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （5）曲线)(x f y =上三点))(,()),(,()),(,(332211x f x C x f x B x f x A 所围成的有向面积0)(1)(1)(121332211≥x f x x f x x f x . 推论1（清华大学）若函数)(x f 为I 上的凸函数，则321321,,,x x x I x x x <<∈∀，13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--2323)()(x x x f x f --≤. 推论2 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I x ∈∀0，过0x 的弦的斜率0)()(x x x f x f k --= 是x 的增函数，且当函数为严格时凸函数时，斜率k 严格单调递增.推论3 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I 上任意四点v u t s <<<，有uv u f v f s t s f t f --≤--)()()()(. 事实上也是充分条件.推论4 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I x ∈∀0，在0x 的左右导数均存在，皆为增函数，且.int ),()(I x x f x f ∈∀'≤'+-.推论5 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则)(x f 在I int 内连续.定理2（中国科技大学）设函数)(x f 在区间I 有定义，则)(x f 为凸函数的充要条件是：R I x ∈∃∈∀α,0 ，使得I x ∈∀，有)()()(00x f x x x f +-≥α.证 （1）必要性因为)(x f 为凸函数，由推论4知： I x ∈∀0，)(0x f -'存在，且00)()(x x x f x f --单增趋于)(0x f -'（-→0x x ），由此，任取)(0x f -'≥α，则当0x x <时，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.同理，当)(0x f +'≤α时，则当0x x >时，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.而)()(00x f x f +-'≤'，所以存在α：)()(00x f x f +-'≤≤'α，I x ∈∀，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.（2）充分性设321x x x <<是定义域上的任意三点，由已知条件，对2x ，存在α，使得I x ∈∀，有)()()(22x f x x x f +-≥α.分别令31,x x x x ==可得23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤≤--α. 由定理1知)(x f 为凸函数.推论1 设函数)(x f 在I 内可导，则)(x f 为凸函数的充要条件是：,0 I x ∈∀有)())(()(000x f x x x f x f +-'≥.推论2 若函数)(x f 为I 凸函数，则,0 I x ∈∀在曲线)(x f y =上，过点))(,(00x f x 可作一直线l ，使曲线位于直线l 之上.若f 为严格凸函数，则除点))(,(00x f x 外，曲线严格地位于直线l 的上方.II 典型例题与方法一 导函数的两大特性1 导函数无第一类间断点例1（南京大学）设函数)(x f 在),(b a 内处处可导. 证明：),(b a 中的点或为)(x f '的连续点，或为)(x f '的第二类间断点.证 只需证明：若)(x f '在点),(0b a x ∈左右极限存在，则)(x f '在该点连续. 由已知条件知函数)(x f 在点),(0b a x ∈可导，由右导数定义及微分中值定理得)(),(lim )()(lim )()(0000000x x f x x x f x f x f x f x x x x <<'=--='='+→+→+ξξ. 由假设)(x f '在点0x 存在右极限，根据上式可得)0()(lim )(000+'='='+→x f f x f x x ξ. 同理可证：若)(x f '在点0x 存在左极限，则必有)0()(lim )(000-'='='-→x f f x f x x ξ. 因此，)(x f '在点),(0b a x ∈连续，从而无第一类间断点.思考题1（西安交大2003）设)(x f 在),(b a 内可导，证明：（1）),(0b a x ∈∀，)(x f '在0x 处不可能发生第一类间断；（2）当)(x f '在),(b a 内单调时，)(x f '必在),(b a 内连续.思考题2（武汉大学）若函数)(x f 在),(b a 可导，)(x f '在),(b a 内单调，则)(x f '在),(b a 内连续.思考题3（北京大学）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且存在极限l x f a x ='+→)(lim ，则右导数存在，且.)(l a f ='+思考题4（中科院）设⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,)(x x x x f 证明：不存在一个函数以)(x f 为其导函数.2 导函数具有介值性例2（G. Darboux 定理）（西安交大，武汉大学，北京师范大学,北航2001）若函数)(x f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f '<'，则c ∀：)()(b f c a f '<<'，),(b a ∈∃ξ，使得c f =')(ξ.提示： 作辅助函数cx x f x g -=)()(，则)(x g 在],[b a 可导，且0)()(,0)()(>-'='<-'='c b f b g c a f a g .只需证明：),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg .事实上，由于0)()(lim)(<--='+→ax a g x g a g a x ，则当a x >而充分接近a 时，)()(a g x g <. 同理可证：当b x <而充分接近b 时，)()(b g x g <. 这样)(x g 的最小值点ξ必落入),(b a 内，从而为)(x g 的极值点，由Fermat 定理知0)(='ξf .严格证明请读者自己给出.例3（武汉大学）设有界函数)(x f 实数集R 上二次可微. 证明：R x ∈∃0，使得0)(0=''x f .证法一 若)(x f ''在R 上变号，由导函数的介值定理知R x ∈∃0，使得0)(0=''x f . 若)(x f ''在R 上不变号，不妨设0)(>''x f ，此表明)(x f '严增，因此存在0)(,≠'∈c f R c .由泰勒定理得2))((21))(()()(c x f c x c f c f x f -''+-'+=ξ， 其中ξ介于x 与c 之间. 由 0)(>''x f 知0)(>''ξf . 于是，若0)(>'c f ，令+∞→x 得+∞→)(x f ，若0)(<'c f ，令-∞→x 得+∞→)(x f ，这与)(x f 有界矛盾，故)(x f ''在R 上变号，从而结论成立.证法二 若R b a ∈<∃，使得)()(b f a f '='，由Rolle 定理知结论成立. 若,,R b a ∈∀)()(b f a f '≠'，则)(x f '在R 上严格单调. 事实上，若不然，则321x x x <<∃,有)()()(321x f x f x f '>'<' 或 )()()(321x f x f x f '<'>'，由导函数的介值定理知：),,(),,(3221x x b x x a ∈∈∃有)()(b f a f '='，与假设矛盾，故)(x f '在R 上严格单调. 不妨设严格单增，则存在0)(,≠'∈c f R c . 若0)(>'c f ，则当c x >时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(+∞→+∞→-'+=x c x f c f x f ξ.若0)(<'c f ，则当c x <时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(-∞→+∞→-'+=x c x f c f x f ξ.由此得)(x f 在R 无界，这与已知条件矛盾，故命题为真.二 导数与可微问题1 显函数求导问题例4（武汉大学2003）设dt t t x F x ⎰-=1ln )(，求).(x F '解 由左右导数定义得xdtt t dt t t x F x F F x x x ⎰⎰--→→+-=-='++1010ln ln lim )0()(lim )0(xdt t t xdtt t xx xx ⎰⎰++→→==0000ln limln lim0ln lim 0==+→x x x ；同理可求：,0)0(='-F 所以.0)0(='F例5（北京大学2002）设x x x x f arcsin 1)(2+-=，求).(x f ' 解 .121111)(22222x x x x x x f -=-+---='例6（人民大学2001）设2111arcsin )1()(xxe x x xf x +-++=-，求).1(f ' 解 记1)1()(-+=x e x x x g ，则212ln 41)1ln(21)(ln +-++=x x x x g ，两边关于x 求导得]2141)1(21)[()(-++='x x x g x g ， .0)1(='g222222112)1(211)1(11)11(arcsinx x x x x x x x x ++--+-⋅+--='+-，22)11(arcsin12-=+-=x x x ， 所以，.22)1(-='f 例7（北京科技大学1998）设0>x ，⎰=2sin )(x xdu uuxx f ，求).(x f ' 解 0,0>∃>∀αx ，使得)1,(,22+∈ααx x ，在矩形区域]1,[]1,[22+⨯+αααα上，)sin (,sin u uxx u ux ∂∂ 均连续，所以xx x x x du u ux x f x x x 23sin 2sin )sin ()(2-⋅+'='⎰xx x uxdu x x23sin sin 2cos 2-+=⎰xx x x x x x 2323sin sin 2sin sin -+-=.sin 2sin 323xx x -=例8（西北工业大学）设)))((()(,1)(2x f f f x f xxx f n =+=（n 个f ），求).(x f n '解 由数学归纳法易证：.,1)(2+∈+=Z n nx x x f n于是.)1(111)1()(3222222nx x nx nx nx nx nxx x f n +=++-+='+='思考题5 求下列函数的导数： （1）)sin(sin x x xy =（复旦大学1999）；（2）xx y cos tan =（复旦大学1998）； （3）⎩⎨⎧≥+<=,0),1ln(,0,cos 2x x x x y （华东师大1998）（4）1ln arctan 22+-=x xx e e e y （山东大学）；（5）x x x y arcsin 12+-=（北京大学2002）； （6）⎰++=tudu e y sin 111)1( （北京化工大学）；（7）)12sin(212x x x y +++-= （广西大学）.2 分段函数求导问题例9 设.0)0(=f 证明：)(x f 在点0=x 处可微的充要条件是：存在在点0=x 处连续的函数)(x g ，使得)()(x xg x f =，且).0()0(g f ='证 由导数的定义易证充分性成立，只证必要性. 令⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g则由题设及导数定义得)0()0()(lim )(lim)(lim 00f xf x f x x f xg x x x '=-==→→→， 即)(x g 在0=x 处连续，且由)(x g 的定义得)()(x xg x f =.例10（中科院2003，湘潭大学）设m 为自然数，在),(+∞-∞上定义函数f 为⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x x x x f m（1）当m 为何值时，)(x f 在点0=x 处连续； （2）当m 为何值时，)(x f 在点0=x 处可导；（3）当m 为何值时，)(x f '在点0=x 处连续. 解（1）要使0)0(1sin lim )(lim 0===→→f x x x f m x x ，当且仅当.2≥m（2）由导数定义得xx x f x f m x x 1sin lim )0()(lim100-→→=-，要使f 在0=x 处可导，即上式极限存在，当且仅当2≥m ，且.0)0(='f（3）当0≠x 时，,1cos 1sin )(21x x xmx x f m m ---=' （*）要使)(x f '连续，当且仅当极限)0()(lim 0f x f x '='→成立. 由（2）知2≥m ，因此，由（*）式知，当且仅当02>-m ，即.3≥m思考题6（山东大学）试作一函数在),(+∞-∞内二阶可微，使得)(x f ''在0=x 处不连续，其余处处连续.思考题7（华东化工学院） 确定常数b a ,，使函数⎩⎨⎧≤>+=,1,,1,)(2x x x b ax x f 处处连续，且可微.例11（内蒙古大学）讨论函数⎩⎨⎧∈+∈-=,\),1(,),1()(Q R x x x Q x x x x f的连续性和可微性.解 首先证明：)(x f 在0=x 处连续. 事实上0)0(=f ，且)1,0(U x ∈∀时，有x f x f 2)0()(≤-，因此，)1(2,0<=∃>∀δεδε，当),0(δU x ∈时，有ε<-)0()(f x f ，所以，)(x f 在0=x 处连续. 下证)(x f 在任意点00≠=x x 处不连续. 事实上，分别取收敛于0x 的有理点列{}n a 和无理点列{}n b ，有),1()1(lim )(lim 00x x a a a f n n n n n -=-=∞→∞→),1()1(lim )(lim 00x x b b b f n n n n n +=-=∞→∞→显然当00≠x 时，)1()1(0000x x x x +≠-，由海涅定理（归结原则）知极限)(lim 0x f x x →不存在，从而不连续，当然不可微.最后证明：)(x f 在点0=x 处可微. 事实上，当0≠x 时，有x xxx f x f x f =-=--)(1)0()(，从而有1)0()(lim=-→xf x f x ，即.1)0(='f例12（哈尔滨工大）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=,0,,0,cos )()(x a x xxx g x f 其中)(x g 具有二阶连续导数，且.1)0(=g（1）确定a 的值，使)(x f 在点0=x 连续； （2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '在点0=x 处的连续性.解（1）由洛必达法则得)0()sin )((lim cos )(lim)(lim 000g x x g xxx g x f x x x '=+'=-=→→→，要使)(x f 在0=x 处连续，必须使).0(g a '=（2）当0≠x 时，2cos )()sin )(()(xxx g x x g x x f +-+='； 当0=x 时，由定义及洛必达法则得x g x xx g x f x f f x x )0(cos )(lim )0()(lim )0(00'--=-='→→ 20)0(cos )(lim xg x x x g x '--=→ x xg x g x 2sin )0()(lim 0+'-'=→.21)0(21+''=g所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠+-+'='.0),1)0((21,0,cos )()sin )(()(2x g x xxx g x x g x x f（3）由于2cos )()sin )((lim)(lim xxx g x x g x x f x x +-+'='→→x xx g x x g x x g x x 2sin )(sin )()cos )((lim0-'-+'++''=→2cos )(lim 0xx g x +''=→)1)0((21+''=g所以，)(x f '在0=x 处连续.例13（中科院2002，西安电子科技大学）设)(x f 为二次连续可微函数，且.0)0(=f定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g证明：)(x g 连续可微.证 当0≠x 时，2)()()(x x f x f x x g -'='；当0=x 时，200)0()(lim)0()(lim)0(x f x x f x g x g g x x '-=-='→→ x f x f x 2)0()(lim 0'-'=→).0(21f ''=且有)0()0(212)(lim )()(lim)(lim 0200g f x x f x xx f x f x x g x x x '=''=''=-'='→→→， 即)(x g '在0=x 处连续，当0≠x 时，)(x g '显然连续，所以)(x g '连续可微.思考题8（云南大学，吉林大学）设)(x f 在R 上有二阶连续的导数，且0)0(=f . 令⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g证明（1）)(x g 在R 上连续；（2）)(x g 在R 上可微；（3）)(x g '在R 上连续.3 抽象函数的导数与可微问题例14 设在领域),0(δU 内函数g f ,满足)()(x g x f ≤，且 .0)0()0(='=g g 求).0(f '解 由已知条件得0)0()0(=≤g f ，即.0)0(=f 于是),0(0δU x ∈∀，有.)0()()()()0()(0xg x g x x g x x f x f x f -=≤=-≤由0)0(='g 得0)0()(lim=-→x g x g x ，从而由两边夹定理得0)0()(lim=-→xf x f x ，即.0)0(='f例15 设函数)(x ϕ在a x =处连续，分别讨论下列函数在a x =处是否可导： （1）)()()(x a x x f ϕ-=； （2）)()(x a x x f ϕ-=； （3）.)()()(x a x x f ϕ-=解（1）可导. 由)(x ϕ在a x =处连续及导数定义得).()(lim )()(lim)(a x ax a f x f a f a x ax ϕϕ==--='→→ （2）因为)()(lim )()(lim )(a ax x a x a x a f x f a f a x a x ϕϕ=--=--='++→→+；同理可得).()(a a f ϕ-='- 所以当0)(=a ϕ时，)()(a f a f -+'='，可导；否则不可导.（3）类似（1）可得)()(a a f ϕ='，所以可导.例16（人民大学2001）设函数)(x f 连续，)0(f '存在，并且满足：.,,)()(41)()()(R y x y f x f y f x f y x f ∈∀-+=+（1）证明：)(x f 在R 上可微；（2）若,21)0(='f 求).(x f 解（1）令0==y x 得)0(41)0()0(2f f f -=， 解之得.0)0(=f 由)0(f '存在知存在极限).0()(limf hh f h '=→ 从而，R x ∈∀，由假设条件可得hx f h f x f h f x f h x f h x f h h )()()(41)()(lim)()(lim 00--+=-+→→ )()(41)(41)(lim 20h f x f x f h h f h -+⋅=→ )](41)[0(2x f f +'=，所以，)](41)[0()(2x f f x f +'='，即)(x f 在R 上可微.（2）记)(x f y =，则有)41(212y y +='，整理得dx y y d =+2)2(1)2(， 两边积分得c x y +=2arctan ，即).tan(21c x y += 注意到0)0(=y ，由此得0=c ，故所求函数为.tan 21)(x x f y == 例17（中科院2003） 设函数f 在点0=x 连续，且满足.)()2(lim 0A xx f x f x =-→ 求证：)0(f '存在，并且.)0(A f ='证 由极限定义知，0,0>∃>∀δε，当),0(0δU z ∈时，有ε<--A zz f z f )()2(，即.)()2(εε+<-<-A zz f z f A任取),0(0δU x ∈，令n m x z m,,2,1,2 ==-，则有)(2)()2()(2εε+<-<---A xz f z f A m m m m ，.,,2,1n m =将上述n 式相加得).)(21()2()())(21(εε+-<-<-----A xx f x f A n n n令∞→n ，则由f 在0=x 处连续得εε+≤-≤-A xf x f A )0()(，即ε≤--A xf x f )0()(，由导数定义知.)0(A f ='.例18 设函数)(x f 在点a 处连续，且)(x f 在点a 处可导，证明：)(x f 在点a 处也可导.解 若0)(>a f ，由连续函数的保号性知，存在点a 的某领域)(a U ，使得)(a U x ∈时，0)(>x f ，从而有ax a x a x x f ax a f x f a x a f x f =→→'=--=--)()()(lim )()(lim ，即)(x f 在点a 可导.同理可证：当0)(<a f 时，)(x f 在点a 也可导.当0)(=a f 时，由)(x f 在点a 可导，可设其导数为A ，则有a x x f a x a f x f A ax ax -=--=→→)(lim)()(lim，由此知：当+→a x 时，可得0≥A ；当-→a x 时，可得0≤A ，故.0=A 即,0)(lim =-→ax x f a x 则0)(lim =-→a x x f a x ，所以 0)(lim )()(lim =-=--→→ax x f a x a f x f a x a x . 4 隐函数的求导问题例19（浙江大学2001）设可微函数)(x y y =满足方程x x e ye y y x 7sin 2-+-=，求).0(y '解 方程两边关于x 求导得,7cos 2sin 2-+'+-'-='x e x y e ye e y y y y x x将0=x 代入原方程得.0)0(=y 再将0,0==y x 代入上式得72)0()0(-+'-='y y ，故.25)0(-='y5 参数方程求导例20（华东理工大学）设⎰=21ln )(t udu u t x ，⎰=122ln )(tudu u t y ，求.dxdy 解 由参数方程求导公式得.ln 2ln 222225t t t t t dtdx dt dy dx dy -=-== 例21（北京化工大学）已知⎰++=tudu e y sin 111)1(，其中)(x t t =是由⎩⎨⎧==,sin ,2cos v t v x 所确定，求.dxdy解 由所给参数方程可得 2221sin 21t v x -=-=，从而有.4)1(cos 4)1(cos sin 11sin 11t e t t e t dtdx dt dy dx dy t t +++-=-+==6 反函数求导例22（厦门大学）已知k ke x f x,)(='为不等于零的常数，求)(x f 的反函数的二阶导数.解 记)(x f y =，其反函数记为)(y x ϕ=，则)(1)(x f y '='ϕ， 于是.1)]([)())(1())(1()(223x e k x f x f dxdy x f dx d x f dy d y -='''-='='=''ϕ7 高阶导数与高阶微分例23（中国地质大学2002）设)(x f ''存在，且满足方程)(y x f y +=，求.,22dxy d dx dy 解 方程两边关于x 求导得)1)((y y x f y '++'='， （1）解之得.)(1)(y x f y x f y +'-+'=' （2）由（1）式继续关于x 求导得y y x f y y x f y ''⋅+'+'++''='')()1)((2，解之方程，并将得（2）式代入化简可得.))(1()(3y x f y x f y +'-+''='' 注 求二阶导数，往往并不是直接求一阶导数的导数，而是转化为含有一阶导数的方程两边求导问题，这样往往能大大降低计算量.例24（复旦大学1998）已知)()()(2x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ'在a x =的某领域内连续，求).(a f ''解 由于)()()()(2)(2x a x x a x x f ϕϕ'-+-='，所以.0)(='a f 由导数定义及)(x ϕ'的连续性假设得)]()()(2[lim )()(lim )(a a x x ax a f x f a f a x a x ϕϕ'-+=-'-'=''→→).(2a ϕ=例25 已知⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 求.,22dx y d dx dy 解 由参数方程求导公式得ttt a t a dx dy cos 1sin )cos 1(sin -=-=， )cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos )()(2222t a t t t t dt dx dx dydt d dxdy dx d dx y d ----===.)cos 1(12t a --= 注 求参数方程表示的函数的二阶导数，通常情况下并不是直接套用公式，而是求一阶导数（它是参数的函数）关于参变量的导数，再除以自变量关于参变量的导数. 这种方法也适用于更高阶的导数.例26（北京工业大学）设x x x f ωsin )(=，求证：.,2,1),cos 2sin ()1()(122)2( =--=-n x n x x x f n n n n ωωωω解 当1=n 时，x x x x f ωωωcos sin )(+='，x x x x f ωωωωsin cos 2)(2-=''，即1=n 时，结论成立. 假设k n =时结论成立，即)cos 2sin ()1()(122)2(x k x x x f k k k k ωωωω---=，则当1+=k n 时，有]sin 2cos sin [)1()(2122)12(x k x x x x f k k k k k ωωωωωω++-=++]cos sin )12([)1(122x x x k k kkωωωω+++-=，]sin cos cos )12([)1()()1(21212)22(x x x x k x f k k k k k ωωωωωω++++-++-=]cos )1(2sin [)1(12)1(21x k x x k k k ωωωω++++--=，由数学归纳法知结论成立.例27（华中科技大学）设x x f arctan )(=，求).0()(n f解法一 当1<x 时，有∑∞=-=+='022)1(11)(n n n x x x f ， 从而)(x f 的Maclaurin 展式为∑∞=++-=01212)1()(n n nn x x f ， 因此，⎩⎨⎧+=-==.12,)!2()1(,2,0)0()(k n k k n fkn 解法二记)(x f y = ，则211x y +='，即.1)1(2='⋅+y x上式两边关于x 求导得02)1(2='+''⋅+y x y x .利用Leibniz 公式，上式两边求n 阶导数得.0)1()1(2)1()1()2(2=+++++++n n n y n n xy n y x例28（南京大学）求 ).0()ln (2>x x x d n 解 记x x y ln 2=，则x x x y +='ln 2， 3ln 2+=''x y ，,2xy ='''，.3,1)!3(2)1(21)(≥--=--n x n y n n n所以，⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=--.)!3(2)1(,2,)3ln 2(,1,)1ln 2()ln (2122n n n n dx x n n dx x n dx x x x x d注 求高阶导数或高阶微分通常有四种方法：数学归纳法，Leibuniz 公式，递推公式法和幂级数方法.思考题9（同济大学）试用数学归纳法证明：.)1()(11)(11x n n n xn e xe x+--= 例29（华东师大2000）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,1,0,sin )(x x x xx f求).0()(n f解 由x sin 的幂级数展开式得：当0≠x 时，++-+++-=)!12()1(!5!31sin 242n x x x x x n n，从而由幂级数的逐项可微性，有0)0()(lim)0(0=-='→xf x f f x ，31)(!32lim )sin (lim )0()(lim )0(000-=+-='='-'=''→→→x x o x x x xx f x f f x x x ， 031)(10131lim )0()(lim )0(2200=+++-=''-''='''→→xx o x x f x f f x x ， 51)(51lim )0()(lim )0(00)4(=+='''-'''=→→x x o x x f x f f x x ，由数学归纳法易证：.,2,1,2,11)1(,12,0)0()( =⎪⎩⎪⎨⎧=+--==k k n k k n f kn 思考题10（浙江大学2002）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 求).0()(n f8 其它相关问题例30（湖北大学2001）设)(x f 为可导函数. 证明：若1=x 时，有)()(22x f dxd x f dx d =， 则必有0)1(='f ，或 .1)1(=f证 由复合函数求导法则得)(2)(22x f x x f dx d'⋅=， )()(2)(2x f x f x f dxd '=， 由已知条件得)()()(2x f x f x f x '='，将1=x 代入上式得0)]1(1)[1(=-'f f ，从而可得0)1(='f ，或 .1)1(=f例31（四川大学1999）函数xe y -=在0=x 处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么？解 函数xey -=在0=x 处连续，不可导，有极大值，极大值为1. 事实上，ue y =连续，x u -=连续，由复合函数连续性定理知xe y -=在0=x 处连续. 又⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-,0,,0,1,0,x e x x e y xx （1）由洛必达法则（或等价无穷小替换）得1lim 1lim )0(00-=-=-='-→-→+++x x x x e xe y ；1lim 1lim )0(00==-='--→→-x x x x e xe y ，即)0()0(-+'≠'y y ，所以函数在0=x 处不可导. 由（1）式知，函数在0<x 时单调递增，在0>x 时单调递减，所以在0=x 处取得极大值，极大值为.1)0(=y例32（北京科技大学，东北师大）设)(x f 在点a x =某领域有定义，且在该领域内可导，计算极限.0,0,)()(lim≠≠+-+→βαβαtt a f t a f t解 由导数定义得tt a f t a f t )()(lim0βα+-+→ta f t a f t a f t a f t t βββααα)()(lim )()(lim 00-+--+=→→).()(a f '-=βα注（1）不能使用洛必达法则；（2）只要f 在a x =处可导，结论仍然成立.例33（武汉大学）社函数)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内有定义. 证明：到数)(0x f '存在的充要条件是：存在这样的函数)(x g ，它在)(0x U 内有定义，在点0x 连续，且在)(0x U 内成立等式：).()()()(00x g x x x f x f -+=证 充分性显然，下证必要性.令⎪⎩⎪⎨⎧='≠--=.),(,,)()()(00000x x x f x x x x x f x f x g 则容易验证)(x g 满足题目中的条件，所以命题成立.例34 设函数)(x f 定义在R 上，证明：（1）若)(x f 是奇函数，则奇数阶导数是偶函数，偶数阶导数是奇函数； （2）若)(x f 是偶函数，则奇数阶导数是奇函数，偶数阶导数是偶函数； （3）若)(x f 是奇函数，则0)0(,0)0()2(==n f f （n 是正整数）；（4）若)(x f 是偶函数，则.,2,1,0,0)0()12( ==+n fn证（1）若)(x f 是奇函数，则R x ∈∀，有)()(x f x f --=，两边求导得)()(x f x f -'='， )()(x f x f -''-=''，一般地，我们有.,2,1,2),(,12),()()2()12()( =⎪⎩⎪⎨⎧=---=-=-n n k x fn k x f x fn n k由奇偶函数的定义知结论成立.（2）若)(x f 为偶函数，则R x ∈∀，有)()(x f x f -=，仿上可得.,2,1,2),(,12),()()2()12()( =⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-n n k x fn k x f x fn n k由奇偶函数的定义知结论成立.（3）由奇函数的定义得)0()0(f f -=，所以.0)0(=f 同时，由已证结论（1）立得.0)0()2(=n f（4）由（2）立得.0)0()12(=+n f例35（人民大学2001）设,cos 1sin 1)(2425x xxx x f +⋅+=求.)(),0(11)6()6(⎰-dx x f f解 容易验证)(x f 为奇函数，由上题结论知)()6(x f 也为奇函数，所以.0)(,0)0(11)6()6(==⎰-dx x f f例36（东北师大）证明：若)(x f 在R 上连续，且对任意R y x ∈,，有)()()(y f x f y x f =+，则)(x f 在R 上可微.证 若0)(≡x f ，或1)(≡x f ，则命题显然成立. 若)(x f 不恒为零，也不恒等于1，则R x ∈∃0，使得0)(0≠x f ，由此得0)()()()(000≠-=+-=x f x x f x x x f x f ，从而.0)(≠x f 由归纳法，对任意正整数m ，有。
高等数学讲义--一元函数微分学
高等数学讲义--一元函数微分学第二章一元函数微分学S.1导数与微分(甲)内容要点一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数y f(x)在点χo 的某领域内有定义，自变量 X 在X o 处有增量 X ,相应地函数增量y f(x oX ) f (X O )。
如果极限存在，则称此极限值为函数f (X )在X o 处的导数(也称微商)，记作f (X o ),或y X 冷，dy∣ X X 0，df(X) X X 0等，并称函数y f(χ)在点X o 处可导。
如果上面的极限不存在，则dX dx称函数y f (x)在点x 0处不可导。
导数定义的另一等价形式，令X X 0X ， X X X 0 ，则f (X o )Iim f(X) f (X O) X xoX X o我们也引进单侧导数概念。
右导数： f (x o ) Iim f (X) f (X O )Iim f (X OX) f (X O)XXDXX OX OX 左导数： f (X) f(X o )1f (X ox) f(X o ) f (x o ) IimIim XXDXX OX oX则有f (X)在点X o 处可导 f (X)在点X o 处左、右导数皆存在且相等。
2.导数的几何意义与物理意义如果函数y f (X)在点X o 处导数f (X o )存在，则在几何上 f (X o )表示曲线y f (X) 在点(X o ,f (X O ))处的切线的斜率切线方程：y f (x o ) f (X O )(X x o )Iim -ylim f(X o X ) f(X o )XX法线方程：y f(x0) (X X0) (f(x0) 0)f (X o)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S f (t),如果f(t0)存在，则f (t0)表示物体在时刻t0时的瞬时速度。
3.函数的可导性与连续性之间的关系如果函数y f (X)在点X0处可导，则f(x)在点X0处一定连续，反之不然，即函数f (X)在点X。
第2章一元函数微分学教材
第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 （一）导数的定义与几何意义 1．导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，若极限x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x 存在，即在0x 可导0x x -)()(lim)('0x x x f x f x f -=→导数存在，左右导数存在相同； 2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系 1．微分的定义 )()(y 0x x x A ∆+∆=∆ο)(x ∆ο是0→∆x 是比x ∆高阶的无穷小，可微函数y=)(x f 在点0x 处的微分是该函数在点0x 处函数增量的线性主要部分 2.微分的几何意义y ∆是曲线y=)(x f 在点0x 处相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量微分dyx x =是曲线y=)(x f 在点0x 处切线相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 处可微⇒ )(x f 在点0x 处连续但连续不一定可导、可微y=)(x f 在点0x 处可微时dy=dx x f x x f )(')('00=∆（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性若)(x f 在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若)(x f 在区间可导，对于任意x 在区间内，都有对应)(x f 的一个确定的导数值)('x f ，构成一个新的函数，称为导函数，记作dxx df dx dy x f )(;;y )(''； 3.二阶导数及高阶导数二阶导数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d dx y d x f ;;y )(''22''； n 阶导数n nn)(n)(;y )(dxy d x f ； N 阶导数定义xx f x x f x f∆-∆+=→∆)()(lim )(01-n 01-n 0x 0n)(）（）（若)(x f 在0x 处n 阶可导，则)(x f 在0x 的某领域比具有一切比低于n 阶的导数 （五）奇偶函数与周期函数的导数性质)(x f 为奇函数⇒)('x f 为偶函数；)(x f 为偶函数⇒)('x f 为奇函数；不能反推 )(x f 以T 为周期⇒)('x f 也以T 为周期二、按定义求导数及其适用的情形 （一）按定义求导数x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出 情形2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导 情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限xx f x x f ∆-∆+→∆)()(lim000x n n x x f x x f )()(lim 0n -++∞→ 其中0lim n =+∞→n x三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则 （一）基本初等函数导数表与求导法则 1．基本初等函数导数表a x x aa a xx x xx x x x x x t a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )an (22='='⋅-='⋅='-='=' 222211)ot (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcc x x arct x x x x +-='+='--='-=' x xx x x xx e e x x 22'''''sec cos 1)(tan cos )(sin 1)(ln )(0c ======）（)()()())()(sin )(cos ''''x f x f x f x f xx x x x ==-= xx 1)(ln '=2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则[])(')(')()('x g x f x g x f ±=±[])(')()()(')()('x g x f x g x f x g x f +=)()(')(-)()(')()(2'x g x g x f x g x f x g x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡（三）复合函数的微分法则dxdudu dy dx y •=d（四）初等函数求导法 利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用—由复合函数求导法则导出的微分法则 （一）幂指数函数)()(x g x f 的求导法 1.将)()(x g x f 表成)(ln )(ex f x g 后求导2.对数求导法，对)()(x g x f y =两边取对数得)(ln )(ln x f x g y =，两边对x 求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便)()()(21x f x f x f y n •⋅⋅⋅••= 先取绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出的复合函数与是)(),()()(x g v x f u u y x f y v x g ====dxdv u v dx du u u dx y v v •∂∂+•∂∂=）（）（d（二）反函数求导法'1d y dy x = 3'''22-d y y dy x =（三）变限积分的求导法设)(x f 在闭区间连续，)(),(x x ψϕ在闭区间可导⎰=)()(;)(x x dt t f y ϕψ[][])()()()()()('')()(x x f x x f dt t f dx d dt t f dx d dx dy x ax a ψψϕϕψϕ-=-=⎰⎰（四）隐函数微分法设有二元方程F （x ，y ）=0，若存在函数y=y （x ）使得F （x ，y （x ））=0，对区间上任何x 成立，则称y=y （x ）为方程F （x ，y ）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数A x f A x h x g x h x g ====+)(,)()(),()(0'0'0'-00则且若（二）按定义求分界点的导数或左右导数无定义在、000)()(x x h x gx x x h x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆+A)(lim)()(lim)('000000xx x g x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆A)(lim)()(lim)('0-000-00- 上述极限存在且相当，则存在)(0'x f（三）分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值 可导且连续，A x f x x =→)(lim '六、高阶导数及n 阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出)(n y 的公式（二）利用简单得初等函数的n 阶导数公式（1）b ax n n b ax e a e ++=)(）（ x n x e e =)(）（（2）[])2sin()sin()(πn b ax a b ax n n ++=+ [])2sin(sin )(πn x x n += （3）[])2(cos )(cos )(πn b ax a b ax n n ++=+ ())2cos(cos )(πn x x n +=（4）[]n n n b ax n a b ax -++-⋅⋅⋅-=+βββββ))(1()1()()([]n n x n x -+-⋅⋅⋅-=βββββ)1()1()( （5）1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax n a b ax (6) []n n n n b ax n a b ax )(!1-)1()ln(1-)(+-=+）（ []nn n xn x !1-)1(ln 1-)(）（-= (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解)1)(1(1,21+-⋅⋅⋅+-+=+--x x x x x n x n n n n 为奇数时，当 )1-)(1(1-,21x x x x x n x n n n n +⋅⋅⋅+-+=--为偶数时，当2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f （x ）在x=0x 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求)(0)(x f n七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义 1.费马定理及其几何意义)(x f 在x=0x 处可导且取得极值，则导数为0，0x 为驻点，驻点切线与x 轴平行2.罗尔定理及其几何意义[]0)('),(),()(),(,)(=∈=ξξf b a b f a f b a b a x f 使得则存在上可导，又上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于x 轴3.拉格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）[])(')()(),(,),(,)(ξξf ab a f b f b a b a b a x f =--∈使得则存在上可导，上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于割线)10(,)(')()( θθx x x f y x f x x f ∆•∆+=∆=-∆+4.柯西中值定理[])(')(')()()()(),(,0)('),(,)(),(ξξξg f a g b g a f b f b a x g b a b a x g x f =--∈≠使得则存在上可导，且上连续，在在设 （三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，,)(x x g =罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明 1．函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况 3.几何意义单调增加与x 轴锐角；单调减少与x 轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义 左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2．极值第二充分判别定理及其几个意义，具体再讨论极小值，极大值，当当二阶可导，且在点设0)('',0)('',0)('',0)(')(00000==x f x f x f x f x x f几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法 1.凹凸的定义[]凹上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+[]凸上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+2.凹凸性充要判别定理及其几何意义[][]()是单调增函数在是凹的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]()是单调减函数在是凸的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凹的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≥[][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凸的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≤（五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，)(x f 在0x 的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理)(x f 连续，二阶可导，且二阶导数在0x 反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 b kx y y x +=∞→∞→;；[]b kx x f k xx f b kx y x x =-≠=⇔+=+∞→+∞→)(lim ,0)(lim且九、微分学的几何应用与经济应用 （一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线))(('00o x x x f y y -+=2.用隐式方程表示的平面曲线0)(),()(),(),(,0),(000000=-∂∂+-∂∂=y y yy x f x x x y x f y x f y x f 切线方程有连续的一阶偏导数，其中（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念xdx y dydxdyy x Ex y Ex y x y ==E ,E 的弹性记为对 需求函数)(P Q Q =dpdQQ p Ep Q =E收益对价格的弹性dpdRR p Ep R =E 因为pQ R =+=+==1)(1)(1E dp dQp Q Q dp pQ d Q Ep R EpQ E 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间[]的求法和最小值的最大值上连续函数的m M )(,x f b a 1.求出驻点，即一阶导数为0 2.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) )(x f 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法 1．通过一阶导数左右两端符号判断 2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式，皮亚诺余项）（即））（（其中阶导数，则处有在点设0)(lim ),()(),()(!)()(!2)())((')()()(00000)(20000000=-→-=+-++-''+-+=→n n x x nn n n n x x x R x x x x x R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n x x f ο （二）带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式[][]10),()()!1()(),()(!)()(!2)())((')()(,,1),()(0010)1(00)(2000000 θθξξξ且之间，也可表示为与在而，拉格朗日余项其中有阶连续导数，对于任何上有阶导数，在区间内有的区间在包含点设x x x x x x x n f R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f b a x n b a n b a x x f n n n n n n -+=-+=+-++-''+-+=∈+++n n x n f x f x f f x f x !)0(!2)0()0()0()(0)(20++''+'+== 时即为麦克劳林公式：十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 （一）泰勒公式的唯一性!)(,),('),(,)()()()()(0)(01000020201000n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f n n nn n =⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法 1.直接求法))(1,0(,)!1(1)(),()()(!)(!1!211102+∞<<-∞∈+==+=++⋅⋅⋅+++=+=∑x x e n x R x x R x R k x x R x n x x e n x n n n n nk kn n xθοθ其中)()1,0()!12(cos )1()(),()()()!12()1()()!12()1(!5!3sin 1222221121212153+∞<<-∞∈+-==+--=+--+-+-=+=----∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)()1,0()!22(cos )1()(),()()()!2()1()()!2()1(!4!21cos 221121212120212242+∞<<-∞∈+-==+-=+-+-+-=++++++=+∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)1,0(),1,1()1()!1()()1()(),()()(!)1()1(1)(!)1()1(!2)1(1)1(1112∈-∈++--==++--+=++--++-++=++--=∑θθαααοαααααααααααx x x n n x R x x R x R x k k x R x n n x x x n n n n n n nk kn n ，其中(])1,0(,1,1)1()1(1)1()(),()()()1()(1)1(3121)1ln(111111132∈-∈+++-==+-=+-+-+-=++--++=--∑θθθοαx x x x x n x R x x R x R k x x R x n x x x x n n n n nn n n n nk k k n nn ，）（其中2.间接求法 ①四则运算()()()))(()()(m n a x a x a x n m n ≤-=-+-οοο()()())()()(m n m n a x a x a x +-=-•-οοο()()())()(m n m n a x a x a x +-=-•-οο()()有界在其中δοο a x x f a x a x x f mm--=-•0)(),()()(②复合运算 替代变量法③逐项求导或逐项积分））（（））（（））（（时，有阶导数，则处有在点设10102010010100210020201000)(1)(2)()()()(2)(')()()()()(0++---+-+++-+-=-+-++-+=-+-++-+-+=→⎰n n n xx n n n nn n x x x x n A x x A x x A dt t f x x x x nA x x A A x f x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f οοο十三、一元函数泰勒公式的应用 （一）利用泰勒公式求未定式的极限)();(0);()()(lim )()(lim 0,0,)()()()()(),(m n m n n m BA a x a xB a x a x A x g x f B A a x a x B x g a x a x A x f a x x g x f m m nn a x a x m m nn ∞==-+--+-=≠≠-+-=-+-==→→））（（））（（））（（））（（时，有在点设οοοο（二）用泰勒公式确定无穷小的阶阶数数是导数不为零的最小阶无穷小，无穷小的阶的是因此，））（（，则，若））（（时，有阶导数，则处有在点设n a x x f x x x x n x f x f x f x f x f x f x x x x n x f x x x f x f x f x x n x x f nn n n n n n n )()()(!)()(0)(0)()(')(,)(!)())((')()()(000)(0)(0)1-(00000)(00000--+-=≠====-+-++-+=→οο（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求)(0)(x f nn n n n n n n A n x f A x f A x f n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f !)()(')(!)(,),('),(,)()()()()(0)(10000)(01000020201000====⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→，，因此则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x 的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x 的变限积分的导数题型五、求一元函数的n 阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间端点函数值有关的微分中值命题题型十、一元函数的最值问题1. 函数型的最值问题2. 应用型的最值问题题型十一、求泰勒公式1. 求带皮亚诺余项的泰勒公式2. 求带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式题型十二、用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶1. 用泰勒公式求极限2. 用泰勒公式确定无穷小的阶题型十三、用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点。
第二章 一元函数微分学
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y 1 x 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
x0
y x
d f (x) dx x x0
关于导数的说明：
★
点
导
数是
因变量
在点x
处的变
0
化率,
它
反映了因变量随自变量的变化而变化的快
慢程度.
例: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生
产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
o 割线 M N 的斜率为
tan f ( x) f ( x0 )
x x0
切线 MT 的斜率为
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x x0
二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
解 (a x ) lim a xh a x a x lim a h 1
h0
h
h0 h
a x lim ehlna 1
h0
h
a x lim h ln a h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a . 特殊 (e x ) e x .
《高等数学》一元函数微分学.ppt
恒有 f (x) A .
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
的几何解释
0
x0 x0 xx00 x 0 x0 x0 x0 x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
0, 0, 当 0 | x x0 | δ 时 ,
恒有 f (x) A .
lim f ( x) A 的几何解释
x x
y
A的邻域,
A A
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x))
落在绿色区域内.
0
x0 x0 x0
§1 一元函数微分学
主 目 录（1 – 18）
1 函数极限的几何解释
3 x 时的极限
5 数列的极限 7 函数的连续性 9 微分的几何意义
2 函数的左极限
4 x+ 时的极限
6 无穷大 8 导数的几何意义
对函数进行全面讨论并画图：
10 y xex
11 y x
x
13
y
arccos
x x
16 y cos2x
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–N
0
N
x
3. x 趋于无穷大时的极限 lim f (x) A 的几何解释 x A的邻域, N > 0, 对满足 |x| > N 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
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lim
n
an
a.
例 1 用定义证 l i mqn 0 n 0 ， 去找 N
q( 1 )常用
可从 an a 出发解不等式．
例 2 证 lim n a 1 ( a 0 ) 常用 n
例
2例证3 lim证n n
alim1 n
2nn22(a31n
0)1
2
．常用
法 2 提供了一种求 N 的技巧．将 an a 适当放大，使 an a bn ， ――― 插项
an a ，
则称数列an以 a 为极限，或称 an 收敛于 a ，记作
lim
n
an
a
或
an a ( n ) ．
Note:
(1)
一般情况下，用定义证
lim
n
an
a
0 ，去找 N ， 可从 an a 出发解不等式．
(2) 0 , N 的取法不唯一．未必要取到最小的 N
(3)一个数列收敛与否，与前面有限项无关．
的一般项
n
(1)n1 1 n 当n
无 (限1增n)n大1 时越，来a越n 无接限近接于近常于数常1数.
1，
an 1 无a限 •2 接近a•4于零a•6．
O
1 3 51
2 46
a5
•
a• 3
64
53
a1
•
2x
an
n (1)n1 n
1
(1)n1 n
，
an
1
1 n
，
an
1
1 n
任 给 总存在正整数 使当
分段函数
在定义域的不同子区间上用不同的表达式
表示的对应规律．
例
sin x, x 0, f ( x) 2x 1, x 0.
常见的分段函数
（1）符号函数
1,
x 0, x 0.
（2）取整函数 y [x] N
当 n x n1， n 0, 1, 2,L 时， y [x] n N
已知 S 1 g t 2 ，求在 t 2 时的瞬时速度V (2) ． 2
落体在[2, t] 上的平均速度：
V (t) S(t) S(2) 1 g(t 2) ， t2 2
当 t 无限地接近于2 时，V (t) 无限地接近于V (2)2g ．
t 2.1
2.01
2.001 2.0001 2.00001
V (t ) 2.05 g 2.005 g 2.0005 g 2.00005 g 2.000005 g
§2 数列的极限
数列 按自然数顺序排列的一列数：
a1, a2 , L , an , L ， 记为an ．
数列分为无穷数列和有限数列
例
(1)
1 2n
:
11
1
, 2
, 4
L,
2n ,
L
(2)
（3）Dirichlet（狄利克雷）函数 1, x Q,
D(x) 0, x Q.
十分经典的函数
是不是所有的周期函数都有最小的正周期？
Ch2 一元函数的极限与连续性
§1 问题的提出
例1 圆的面积
两个实例
正六边形
正十二边形
割圆术： 割之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而无所失也。
恒有
1 4 1 100 1 1000
4 100 1000
n4 n 100
n1000
1 an 1 4
1 an 1 100
1 an 1 1000
0
N?
n N an 1
Def 1. （ N 定义）
设an为一数列， a --定常数．若对 0 ，
总 正整数 N ，使得当 n N 时，恒有
(1)n
n
:
1
(1)n
1, , L ,
,L
2
n
(3)
an :
0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , L 4 16 64
例
(4)
n
n
1
:
0, 1 , 2 , L , n 1 , L
23
n
(5)
1 (1)n
2
:
0, 1, 0, 1, L
(6)
2( 1)n n
:
11 , 4, , 16, L
再解不等式 bn 来确定 N ．
① 原理： A B, B C A C
② bn 不能放得太大，要保证bn 0，且 bn 要比较简单．
例 4 证 an (1)n 发散．
证
lim
n
an
a
方法： 某个 0>0 ，使 N ，
总有 n0 N ，使 an0 a 0 ．
例5
证
例 1, 2, 3, L , 10, 1 , 1 ,L , 1 , L 11 12 n
因此，一个数列去掉或添加有限项
不影响其敛散性与其极限值．
Note:
（4）如何证
lim
n
an
a
方法： 某个 0>0 ，使 N N ，
比较
总有 n0 N ，使 an0 a 0
0, N N , n N , 恒有 an a .
Ch1 一元函数
一、基本初等函数（5 类）
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数．
二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算， 且只能用一个解析表达式表示的函数．
如
xes i nx ln(1 x )2
y
x5 x4 1
三、非初等函数 高数中常见的非初等函数： 分段函数．
n2
lim
n
a
n
0
(a 1) ．
28
极限存在：n 无限增大时， an 无限地接近于某个常数 a
极限不存在（或发散）： 1．振荡 2．发散到
如n : 1, 2, 3, L ,
当 n 时， an n ；
如n : 1, 2, L ,
当 n 时， an n ．
如何描述数列的极限
例，
n
无限增大时，数列
n(
1)n1 n
A 表示半径为 R 的圆的面积，
An 圆内接正62n1 边形的面积
62n1
1 2
R 2 s in622n1
，
R
圆内接正62n1 边形的面积数列为：
A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，A n ，…，
n 无限增大时，圆内接正 62n1 边形无限地接近于圆， An 就无限地接近于常数 AR2 ．
例 2 自由落体运动的瞬时速度