北师大版高中数学必修二第一章1.1.2简单多面体

1.2 简单多面体

1．多面体

我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．

2．棱柱

两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱．棱柱的侧面是平行四边形．

预习交流1

棱柱是“有两个面是互相平行且全等的多边形，其余各面都是平行四边形的多面体”．这一概念对吗？为什么？

提示：不对．如图，是由两个三棱柱叠放在一起形成的几何体，这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱．

所以棱柱的定义中强调“其余各面是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”．

预习交流2

什么是直棱柱？什么是正棱柱？两者有什么区别？

提示：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．

直棱柱与正棱柱的区别

①直棱柱是在一般棱柱的基础上加一个条件“侧棱与底面垂直”；

②正棱柱是在直棱柱的基础上加一个条件“底面是正多边形”．

3．特殊的四棱柱

4．棱锥

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．

如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形．

预习交流3

棱锥所有的面可以都是三角形吗？

提示：可以．当棱锥的底面为三角形时，其所有的面都是三角形，这样的棱锥叫三棱锥，也叫四面体．

预习交流4

“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体是棱锥吗？

提示：判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面是三角形；③这些三角形有一个公共顶点．这3个特征缺一不可．如图所示的多面体有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但这些三角形没有公共顶点，所以它不是棱锥．

5．棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．

用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形．

预习交流5

(1)如何判断一个多面体是不是棱台？

提示：

(2)你能总结出柱、锥、台体的关系吗？

提示：

1．对简单多面体的理解

如图所示为长方体ABCD­A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．

思路分析：①本题是一个几何体的分割问题；

②分割后是两个几何体．

解题时可先确定两个互相平行的面，然后根据棱柱的定义得出结论．

解：截面BCFE上方部分是棱柱BB′E­CC′F，其中平面BB′E和平面CC′F是其底面，BC，B′C′，EF是其侧棱．

截面BCFE下方部分是棱柱ABEA′­DCFD′，其中平面ABEA′和DCFD′是其底面，AD，BC，EF，A′D′是其侧棱．

给出下列几个结论：

①长方体一定是正四棱柱；

②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；

③多面体至少有四个面；

④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．

其中，错误的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

思路分析：解答本题的依据是棱柱、棱锥、棱台的结构特征，结合已知进行具体分析．解析：对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错；②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是所截棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在直线均相交于同一点，故④是正确的．

答案：B

1．下列命题中，正确的是( )．

A．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面

B．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

D．侧棱与底面两边垂直的棱柱叫直棱柱

解析：在棱柱底面的定义中，两个互相平行的面是特指的，反之，则不一定，如底面是梯形时，有两个侧面互相平行，这两个平行的侧面就不能称为棱柱的底面，故A不正确；棱柱可以是平行六面体，所以B项不正确，C正确；由直棱柱的定义知D错误．答案：C

2．下列说法正确的有( )．

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个B．1个C．2个D．3个

解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．

答案：A

认识一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，

因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．

2．简单多面体有关量的计算

已知正三棱锥V­ABC中，底面边长为8，侧棱长为

思路分析：本题主要考查正三棱锥中基本量的计算，关键是把已知量与未知量放到直角三角形中求解．

解：如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点，

∴△VAO 和△VCD 都是直角三角形． ∵底面边长为8，侧棱长为26， ∴AO ＝

33×8＝8

3

3，CD ＝4， ∴VO ＝VA 2

－AO 2

＝

(26)2

－⎝

⎛⎭⎪⎫8332＝23

6.

VD ＝VC 2－CD 2＝(26)2－42＝2 2.

即正三棱锥的高是2

3

6，斜高为2 2.

正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高为1，试求该棱台的侧棱和斜高．

解：如图，设上、下两底的中心分别是O 1，O ，连接O 1O ，则O 1O 为棱台的高，O 1O ＝1.连接A 1O 1，AO 并延长分别与B 1C 1和BC 相交于D 1，D .由平面几何知识得，D 1，D 分别是B 1C 1和BC 的中点，连接D 1D ，则D 1D 为棱台的斜高．

因为B 1C 1＝3，BC ＝6，所以A 1O 1＝

33×3＝3，AO ＝33×6＝23，O 1D 1＝36×3＝32

，OD ＝

3

6

×6＝ 3. 在直角梯形AOO 1A 1中，A 1A ＝12

＋(23－3)2

＝2；

在直角梯形DOO 1D 1中，D 1D ＝

12

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫3－

322

＝72. 即该棱台的侧棱和斜高分别为2和

72

.

正棱锥中基本量的计算要借助构造的直角三角形，如[活动与探究3]中

的Rt △VAO ，Rt △VOD ，Rt △VCD 等．它们包含了正棱锥的侧棱长、高、斜高、底面边长的一半，底面外接圆半径和内切圆半径．

类似地，在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和相应两底面正多边形的顶点与中心连线组成