2020厦门一中入学数学适应性测试(答案)

17．(本题 8 分) 如图，延长 EF 交 BC 的延长线于 T，设 FB 的中点为 O，连 TO，则 OT⊥BF ∵四边形 ABCD 是正方形，不妨设其边长为 4 ∴AD∥BC，∠A=∠BOT=90° ∴∠AFB=∠OBT ∴△BAF∽△TOB
∴ AF BF ……………………2 分 OB BT
厦门一中 2020 级高一入学数学适应性练习参考答案
一、选择题：（共 10 小题，每题 4 分，计 40 分）
1. B
2. C
3. C
4.A
5.A
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6.A
7.D
8.D
9.C
10.C
二、填空题：（共 4 小题，每题 4 分，计 16 分）
11. 1 2
12．70°
13． 20 3
14． 3 1
三、解答题：（共 5 小题，计 44 分）（须写出详细的解答过程）
AB 4 5
18．(本题 8 分) 解：（1）连接 OC，
∵EC 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE， ∴∠1+∠3＝90°， 又∵OP⊥OA， ∴∠2+∠4＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4，
又∵∠4＝∠5， ∴∠3＝∠5， ∴DP＝DC，即△PCD 为等腰三角形．……………………4 分 （2）如图 2，连接 OC、BC，
15．(本题 8 分)
（1）60……………………2 分
（2）54°……………………4 分
（3）3500 人……………………6 分
（4）所有可能出现的结果共有 10 种，选中 e 的结果有 4 种
4
∴P（选中 e）＝ ＝ ．……………………8 分
10
16．(本题 8 分)
解：（1）当 a＝2 时，方程组为
∵OB= 1 BF 2
∴ BF 2 2 AF BT
设 CT=k 易证△DEF∽△CET ∴DF=3k，AF=4-3k，BT=4+k……………………4 分
∴ 42 4 3k 2 2 4 3k 4 k ……………………6 分
15k 2 8k 0 ∴ k 8 或0 （舍去）
15 ∴tan∠ABF= AF = 4 3k = 3 ……………………8 分
，
①×2+②得 7x＝7，即 x＝1， 把 x＝1 代入①得，3﹣y＝﹣1，即 y＝4，
此方程的解为
；……………………2 分
（2）解这个方程组的解为：
，
由题意，得
，
则原不等式组的解集为 a＞1；……………………5 分 （3）∵a+b＝4，b＞0， ∴b＝4﹣a＞0， ∵a＞1， ∴1＜a＜4， ∵2a﹣3b＝2a﹣3（4﹣a）＝5a﹣12，z＝2a﹣3b， 故﹣7＜z＜8．……………………8 分
所以
或
或
或
，
解得 或
或
或
；
又∵m，n 是整数，所以后面三组解舍去， 故 m＝1，n＝2． 因此，b＝﹣（m+n）＝﹣3，c＝﹣mn＝﹣2， 二次函数的解析式为 y＝x2﹣3x+2． 易求得点 A、B 的坐标为（1，0）和（2，0），点 C 的坐标为（0，2），
所以△ABC 的面积为
．……………………12 分
∵DE 与⊙O 相切于点 E， ∴∠OCB+∠BCE＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠OBC+∠BCE＝90°， 又∵CG⊥AB， ∴∠OBC+∠BCG＝90°， ∴∠BCE＝∠BCG， ∵BF∥DE， ∴∠BCE＝∠QBC， ∴∠BCG＝∠QBC， ∴QC＝QB＝5， ∵BF∥DE， ∴∠ABF＝∠E， ∵sinE＝ ， ∴sin∠ABF＝ ， ∴QH＝3、BH＝4， 设⊙O 的半径为 r， ∴在△OCH 中，r2＝82+（r﹣4）2， 解得：r＝10，
又∵∠AFB＝90°，sin∠ABF＝ ，
∴AF＝12．……………………8 分 19．(本题 12 分)
解：点 P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数 y＝x2+bx﹣c 的图象上， 故 1+b﹣c＝a，4+2b﹣c＝10a， 解得 b＝9a﹣3，c＝8a﹣2；
（1）由 c＜b＜8a 知
，
解得 1＜a＜3， 又 a 为整数，所以 a＝2，b＝9a﹣3＝15，c＝8a﹣2＝14；……………………5 分 （2）设 m，n 是方程的两个整数根，且 m≤n． 由根与系数的关系可得 m+n＝﹣b＝3﹣9a，mn＝﹣c＝2﹣8a， 消去 a，得 9mn﹣8（m+n）＝﹣6，……………………7 分 两边同时乘以 9，得 81mn﹣72（m+n）＝﹣54，分解因式，得（9m﹣8）（9n﹣8）＝10．