高考数学中涂色问题
高考数学二轮专题复习——涂色问题解析
涂色问题解析一、单选题1．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）A．12种B．24种C．48种D．72种【答案】D【分析】先涂C区域，再涂D，涂A，涂B，根据分步乘法计数原理可得解.【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2⨯⨯⨯=种涂法.种涂法，由分步乘法计数原理，共有433272故选：D.2．（21-22高二下·山东滨州·期中）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（）（用数字填写答案）A．24B．48C．72D．120【答案】D【分析】根据图形的位置关系，由分类加法原理计算即可得答案.【详解】对图形进行编号如图所示：第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3种方法，涂区域④有2种方法，涂区域③有2种方法，涂区域②有1种方法，则不同的涂色方案的种数为：4322148⨯⨯⨯⨯=种；第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3种方法，涂区域④有2种方法，涂区域⑥有1种方法，再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有2种方法；若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有1种方法，则不同的涂色方案的种数为：()43212172⨯⨯⨯⨯+=种；根据分类加法计数原理，共有4872120+=种；故选：D.3．（22-23高二下·河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A ．600种B ．1080种C ．1200种D ．1560种【答案】D 【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案.【详解】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即56A 720=种；若用4种颜色，从6种颜色任选4种有46C 15=种，再任选一种颜色涂在其中一组对面上有1142C C 8=种，其它3种颜色作全排有33A 6=，所以，共有1586720⨯⨯=种；若用3种颜色，从6种颜色任选3种有36C 20=种，再任选两种颜色涂在两组对面上23A 6=种，余下的一种颜色涂在底面有1种，所以，共有2061120⨯⨯=种；综上，不同的涂色方案有7207201201560++=种.故选：D二、填空题4．（21-22高二上·四川攀枝花·期中）如图，用4种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有种．【答案】48【分析】先涂色A区,接着涂色B区，再涂色C区，然后涂色D区，由分步计数原理可得答案.【详解】从A开始涂色，A有4种涂色方法，B有3种涂色方法，C有2种涂色方法；由D区与B，C涂不同色，与A区颜色可以同色也可以不同色，则D有2种涂色方法．⨯⨯⨯=种涂色方法．故共有432248故答案为：485．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）如图所示，用4种不同的颜色分别给A，B，C，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种．AB C D【答案】48【分析】通过适当分步，结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】事件给4个区域涂色可分为4步完成，第一步，给A区域涂色，有4种颜色可选；第二步，给B区域涂色，有3种颜色可选；第三步，给C 区域涂色，有2种颜色可选；第四步，给D 区域涂色，由于D 区域可以重复使用区域B 中已有过的颜色，故也有2种颜色可选．由分步计数原理知，共有432248⨯⨯⨯=（种）涂色方法．故答案为：48.6．（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A ，B ，C ，D ，E ，F 六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有种不同的涂色方法.【答案】1200960【分析】直接由分类、分步计数原理即可求解.【详解】第一空：若C ，E 的涂色相同，则共有54323360⨯⨯⨯⨯=种方法；若C ，E 的涂色不相同，则共有()54321322840⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法.故共有1200种不同的涂色方法.第二空：因为区域D 不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种.若C ，E 的涂色相同，则共有44332288⨯⨯⨯⨯=种方法；若C ，E 的涂色不相同，则共有()44321322672⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法.故共有960种不同的涂色方法.故答案为：1200，960.7．（22-23高二下·北京海淀·期中）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是．（用数字作答）【答案】14【分析】根据给定条件，求出涂成红色的方格数为偶数的涂色方法数即可计算作答.【详解】当不涂红色时，有32种，当红色方格数为2时，有232C 种，所以共有：32322C 14+=.故答案为：14.8．（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有．【答案】72【分析】对,A C 进行分类，再利用分步计数原理，进行求解.【详解】分两种情况：①A ，C 不同色，先涂A 有4种，C 有3种，E 有2种，B ，D 有1种，有43224⨯⨯=种；②A ，C 同色，先涂A ，C 有4种，再涂E 有3种，B ，D 各有2种，有432248⨯⨯⨯=种．故不同的涂色方法有482472+=种．故答案为：72三、解答题9．（22-23高二下·全国·课后作业）用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A ，B ，C ，D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？【答案】480(种)【分析】法一、按A ，D 是否涂同色分类计算；法二、按分步计数原理，先涂B 区域，再涂C 区，最后A 、D ，计算即可.【详解】方法一:分类计数，第一类，A ，D 涂同色，有6×5×4＝120(种)涂法，第二类，A ，D 涂异色，有6×5×4×3＝360(种)涂法，共有120＋360＝480(种)涂法．方法二:分步计数，先涂B 区，有6种涂法，再涂C 区，有5种涂法，最后涂A ，D 区域，各有4种涂法，所以共有6×5×4×4＝480(种)涂法．10．（23-24高二上·云南曲靖·期末）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？【答案】1050【分析】利用分类加法计数原理，结合排列应用问题列式计算即得.【详解】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色，用3种颜色涂色，有37A 种方法，用4种颜色涂有47A 种方法，所以不同的涂色方法种数是3477A A 2108401050+=+=.。
高中数学概率中的涂色问题
二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣 ，近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的 数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生 的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总 结涂色问题的常见类型及求解方法1、一•区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色 冋题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有 5种方法，再给②号涂色有 4种方法，接着给③号涂色 方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有 4种涂法，根据分步计数原理， 不同的涂色方法有 5 4 3 4 2402、根据共用了多少种颜色讨论， 分别计算出各种情形的种数， 再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的 6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用 4种颜色，要分四类： (1)②与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；(2)③与⑤同色、④与⑥同色，则有 A 4；(3)②与⑤同色、③与⑥同色，则有A f ；(4) ③与⑤同色、② 与④同色，则有 A 4 ； (5)②与④同色、③与⑥同色，则有A 4；所以根据加法原理得涂色方法总数为5A 4 =120例3、如图所示，一个地区分为 5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种?分析：依题意至少要用 3种颜色1)当先用三种颜色时，区域 2与4必须同色,2) 区域3与5必须同色，故有A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域 2与4同色，4)贝U 区域3与5不同色，有 A 4种；若区域3与5同色，则区域2与4 不同色，有 A 4种，故用四种颜色时共有 2 A J 种。
由加法原理可知满 足题意的着色方法共有 A 3 +2 A 4 =24+224=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论， 从某两个不相邻区域同色与不同 色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
数学选修2-3-涂色问题
涂色问题解题通法定理1(直线型结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的直线型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn L m m -=-种.证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理2（星型结构):用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的星型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn S m m -=-种.证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理3（环形结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(3)n n ≥个区域组成的环形结构图涂色，则总的不同涂法有()()()111nnm n R m m =-+--种。
证明：1m m m n n n R R L -+=(m n L 中头尾不同的涂法数为mn R ，头尾相同时，头尾看作一个区域，涂法数为1m n R -),即()111n m mn n R R m m --+=-，∴()()1111n n mmn n R m R m --⎡⎤--=---⎣⎦，求通项即可 或()()1221mmmn n n R m R m R --=-+-定理4(全连通型结构)：用()m m n ≥种颜色给由n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个区域都连通，如图）涂色，则总的不同涂法有m nn m T A =种.证明：任何两个区域都连通，所以颜色各不相同。
方法应用例1。
将三种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物，不同的种植方法有 种。
(以数字作答)答:结构抽象如右图，涂法数为：()()515132255333122148642L L C ---=⨯--⨯⨯-=-=例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)。
现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。
（以数字作答）答：结构抽象如右图，涂法数为:()()()55354431311120R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦(先涂中间）例3。
高中数学涂色问题
D C
A B
例2、用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求在1,2,3,4
四个区域中相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，
(1)若 n 6 ，为左图着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为右图着色时，共有120种不同的方法，求 n 的值.
（1）
（2）
解：结构抽象如图，
(1)涂法数为： A63 （6-2） 480
(2)涂法数为：T4n An4 nn 1n 2n 3 120 ，∴ n 5
（1）
（2）
例3. 用6种不同的颜色为下图中的5个区域着色， 要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，共 有多少种不同的方法？
解：结构抽象如右图，
An
⑤
A1
A3 A2 ⑤
a 解：设分成 n 个扇形时染色方法为 n 种
(1) 当 n=2 时 A1 、 A2 有 A42 =12 种，即 a2 =12
An
⑤
A1
A3
A2 ⑤
(2)当分成 n 个扇形，如图， A1 与 A2 不同色， A2 与 A3
⑤⑤
An A1 A2
不同色， ， An1 与 An 不同色，共有 4 3n1 种染色方法，
现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽
120 种同样颜色的花，不同的栽种方法有
种.(以数字作答)
变式1：
例、四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂
在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少
种涂法？
P
D C
A B
变式2：
例、四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂
高中数学涂色问题
高中数学涂色问题高中数学里的涂色问题呀，那可真是个有趣又有点小头疼的事儿呢。
咱们就从简单的情况开始说起吧。
比如说有一个简单的图形，像一个正方形被分成了四个小正方形，要给它们涂色，有几种颜色可以选择，而且相邻的正方形不能涂同一种颜色。
这时候咱们就得好好想想啦。
先假设只有两种颜色，那很明显，第一个小正方形可以随便选一种颜色，有2种选择。
到了第二个小正方形，因为不能和第一个同色，那就只有1种选择啦。
第三个小正方形呢，它不能和第二个同色，但是这时候又得看它和第一个小正方形的颜色关系。
如果第一个和第二个颜色不同，那第三个就有1种选择，如果第一个和第二个颜色相同，那第三个就有2种选择。
第四个小正方形也是类似的情况，要考虑它相邻的小正方形的颜色。
再说说如果有三种颜色的情况。
第一个小正方形有3种颜色可以选，第二个就只有2种了，因为不能和第一个一样。
第三个呢，这时候就有点复杂啦。
如果第一个和第二个颜色选得很“巧妙”，那第三个可能有2种选择，如果选得比较“常规”，那可能就只有1种选择。
第四个小正方形同样要综合考虑前面三个小正方形的颜色。
这就像我们在玩一个有规则的游戏一样。
每一步都要小心翼翼，看看前面的“小伙伴”选了啥颜色，然后自己再做出选择。
而且这个过程中呀，很容易出错呢。
有时候觉得自己想得挺对的，结果一检查，发现有相邻的小正方形颜色相同了，就像不小心踩了游戏里的小陷阱一样。
我们在做这种涂色问题的时候，还可以把它想象成给小方格们“穿衣服”。
每个小方格都想穿得与众不同，但是又有规则限制着它们。
如果是更复杂的图形，像三棱柱或者正方体的表面涂色，那就更像一个超级大挑战啦。
比如说正方体，它有六个面呢。
我们给一个面涂了颜色，那和它相邻的四个面就都不能涂这个颜色了。
这就像是在一个小团体里，每个人都有自己的小圈子，这个小圈子里的人不能有重复的特征。
在解决正方体涂色问题的时候，我们可以先固定一个面的颜色，然后再去考虑其他面。
有时候从某个特殊的面开始考虑会更简单哦。
高考中常见的涂色问题
高考中常见的涂色问题ʏ河南省平顶山市第一高级中学 景路明涂色问题是高考中比较常见的一类问题,这类问题新颖独特,具有一定的难度,能全面考查同学们的创新思维能力㊁分析问题与解决问题的能力㊂那么涂色问题主要有哪些呢?一、平面区域的涂色问题图1例1 如图1,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有㊂分析:由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件知宜采用分步处理方法,又相邻区域不同色,可按区域1和区域3是否同色分类求解㊂解:按区域1与3是否同色分类:(1)区域1与3同色,先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A 33种方法,因此,区域1与3涂同色,共有4A 33=24(种)方法;(2)若区域1与3不同色,先涂区域1与3有A 24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有1种方法,第四步涂区域5有3种方法,此时,共有A 24ˑ2ˑ1ˑ3=72(种)方法㊂故由分类加法计数原理可知,不同的涂色种数为24+72=96㊂点评:解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序㊂切实选择好分类标准,分清楚哪些可以同色,哪些不能同色㊂二、立体图形中的点涂色问题例2 如图2,用4种不同颜色给图中的A ,B ,C ,D ,E ,F 6个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的2个端点涂不图2同颜色,则不同的涂色方法共有种㊂分析:先分类,再分步,综合应用分类㊁分步计数原理加以解答㊂解:先涂A ㊁D ㊁E三个点,共有4ˑ3ˑ2=24(种)涂法,然后再按B ㊁C ㊁F 的顺序涂色,分为两类:一类是B 与E 或D 同色,共有2ˑ(2ˑ1+1ˑ2)=8(种)涂法;另一类是B 与E 或D 不同色,共有1ˑ(1ˑ1+1ˑ2)=3(种)涂法㊂所以不同的涂色方法共有24ˑ(8+3)=264(种)㊂点评:求解排列组合问题的思路: 排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘㊂三、立体图形中的面涂色问题图3例3 如图3所示的几何体是由一个正三棱锥P -A B C 与正三棱柱A B C -A 1B 1C 1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有种㊂分析:解答本题要注意底面A 1B 1C 1不涂色这一条件,同时要分清是排列问题还是组合问题㊂解:先涂三棱锥P -A B C 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有C 13ˑC 12ˑC 11ˑC 12=3ˑ2ˑ1ˑ2=12(种)不同的涂法㊂点评:解答排列组合问题,要仔细审题,判断是排列问题还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分类;还要深入分析,注意分清是乘法还是加法,防止重复或遗漏㊂(责任编辑 徐利杰)42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2018年5月。
高考一轮复习 排列与组合——涂色问题
10.2 排列与组合（第3课时）一、教学目标理解排列组合的概念，能利用公式解决一些简单的实际问题。
二、教学重点、难点1、重点：排列、组合的概念和应用；2、难点：解决涂色色问题。
三、教学方法：讲练结合四、教学过程【例1】用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=【方法总结】根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
【例2】用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？【变式练习】用5种颜色给图中的5个车站的候车牌（A 、B 、C 、D 、E ）染色，要求相邻两个车站间的车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方案？【例3】（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？解：依题意至少要用3种颜色当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 1) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 2) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，3) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72种。
【方法总结】根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂3色：3560A =；涂4色：1425240C A =；涂5色：55120A =，∴共有60240120420++=种 涂2色：2520A =；涂3色：1325120C A =；涂4色：45120A =，∴共有20120120260++=种涂色方法种数。
高中数学涂色问题常用技巧
高中数学涂色问题常用技巧公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。
例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法有2种涂法；涂1，2有44A=24例2同色，有多少种涂法法1：1）2）恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。
一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法一、 间空涂色法；法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C 可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。
2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。
法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。
定理：用m 种颜色（可选择）填圆形区域的n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(-⋅-+-m m n n 种。
证明：如图，设有a n 种不同涂法。
不妨把之剪开,化为矩形区域,共有1)1(--n m m 种涂法,但区域1、n 不能涂同色，把1、n 捆绑成一个空，有a n-1种涂法，则其中)1(22-==m m A a m，设1,)1(2-=-=m mb m a b nn n 则 令()r b m r b n n ---=-11，则r=1， 可知，。
高中数学概率中的涂色问题
二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法1、 一.区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120 例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
高考数学中涂色问题的解题策略
高考数学中涂色问题的解题策略作者：吴婕来源：《中学教学参考·理科版》2012年第02期涂色问题包含着丰富的数学思想.解决涂色问题的方法技巧性强且灵活，主要利用排列、组合中的两个基本原理解决涂色问题.（一）线形区域涂色问题——分步计数原理；（二）环形区域涂色问题——分类计数原理.主要分类方法：（1）根据涂色所用颜色种数进行分类；（2）根据可同色区域（不相邻区域）是否涂相同颜色进行分类.【例1】用四种不同颜色给图1中的4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有种不同的涂色方法.分析：方法一：从A区域开始按A、B、 C、 D顺序涂色，A区域有4种方法；B区域因与A区域相邻，只要与A区域不同色，有3种方法；C区域只要与前面的B区域不同色，有3种方法；D区域只要与前面的C区域不同色，有3种方法.所以根据分步计数原理即乘法原理，得涂色方法总数为4×3×3×3=108.方法二：可同色区域为A与C，A与D，B与D.依题意只能选用4种颜色，至少用2种颜色，要分三类：（1）用4色：A与C、A与D、B与D均不同色，则有；（2）用3色：有且只有两个区域同色，即A与C同色，或A与D同色，或B与D同色，共3种情况，则有；（3）用2色：A与C同色、B与D同色，则有；根据涂色种数进行分类，由加法原理得涂色方法总数为通过比较得知方法一较简单，所以线性区域的涂色问题，利用分步计数原理依次对各区域进行涂色会比较容易.适当变形例1，将线形涂色问题自然过渡到环形涂色问题.【例2】用四种不同颜色给图2中的4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有种不同的涂色方法.图2分析：四个区域首尾相连的简单环形区域的涂色问题，是涂色问题另一常见问题.可同色区域为A与C，B与D.依题意只能选用4种颜色，至少用2种颜色，要分三类：（1）用4色：A与C不同色、B与D不同色，则有；（2）用3色：有且只有两个区域同色，即A与C同色，或B与D同色，则有；（3）用2色：A与C同色、B与D同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为【例3】如图3，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有多少种？分析：可同色区域1与3，2与4.依题意只能选用4种颜色，至少用3种颜色，要分两类：图3（1）用4色：有且只有两个区域同色，即1与3同色，或2与4同色，则有；（2）用3色：1与3同色、2与4同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为变式：四棱锥P-ABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？把立体图形的涂色问题转化为环形区域涂色，问题就迎刃而解.将例3的第5区域分成两部分，就得到2003年高考江苏卷的涂色问题.【例4】（2003，江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分6个部分（如图4）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.分析：依题意只能选用4种颜色，至少用4色，具体4色的用法要分五类：（1）2与5同色、3与6同色，则有；（2）2与5同色、4与6同色，则有；（3）3与5同色、2与4同色，则有；（4）3与5同色、4与6同色，则有；（5）3与6同色、2与4同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为涂色问题是一个开放性的问题，它能充分拓宽学生的思路，让学生根据所学的知识应用于实际问题中，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.(责任编辑金铃）。
高考数学中涂色问题的解题策略
方 法二 ： 可同色区域为 Ａ与 Ｃ， 与Ｄ， Ａ Ｂ与 Ｄ． 依题 意只能选 用 ４ 种颜 色 ， 至少用 ２ 种颜色 ， 要分三类 ： （） ４ ： １用 色 Ａ与 Ｃ、 Ａ与 Ｄ、 Ｂ与 Ｄ 均不 同色 ， 有 则 Ａ ；２用 ３ ： （） 色 有且只有两个 区域 同色 ， Ａ与 Ｃ 同色 ， 即 或 Ａ 与 Ｄ 同色 ， Ｂ与 Ｄ 同色 ， ３ 或 共 种情 况 ， 则有 ３ ； Ａｉ （） ２ ： ３用 色 Ａ与 Ｃ 同色 、 Ｂ与 Ｄ 同色 ， 则有 Ａ； ； 根据涂 色种数进行分类 ， 由加法原 理得涂 色方法 总 数 为 Ａ： Ａｉ １８ ＋３ ＋Ａ 一 ０ ． 通过 比较得 知方法 一较 简单 ， 以线性 区域 的涂色 所
两类 ：
方法 ； Ｃ区域 只要与前 面的 Ｂ 区域不 同色 ， ３ 有 种方 法 ； Ｄ区域 只要 与前 面的 Ｃ 区域不 同色 ， ３种方 法． 以 有 所 根 据分步计数原理 即乘法原理 ， 得涂 色方法 总数 为 ４ ×３
× ３× ３ ＝１ ８ ＝ ０ ． ＝
（） ４ ： １ 用 色 有且 只有两个 区域 同色 ， １与 ３同色 ， ２与 ４同 即 或
的花 ， 每部分栽种一种且相邻部分不 能栽种 同样颜 色的 花 ， 同的栽种方法有 不 种．
分 析 ： 题 意 只 能 选 用 ４种 依
【 ２ 用 四种 不 同颜 色 给 图 ２中的 ４个 区域 涂 例 】
色， 如果每 一个 区域涂 一种 颜色 ， 相邻两 区域 不能涂 同 种颜色 ， 共有 种不同的涂色方法．
所 以根据加法原理得涂 色方法总数 为 ＋
Ａ ８ ． ＝ ４
＋
2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题06 染色问题含解析
2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题6染色问题例1.如图所示的几何体由三棱锥尸-力与三棱柱4qG 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面44G 不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）B. 9种 D. 36种例2.如图，用四种不同的颜色给图中的4 B, C, D, E, F, G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A. 192 种B. 336 种C. 600 种D. 624 种例3.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A. 720 种B. 1440 种C. 2880 种D.的20 种例4.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则 不同的种植方法种数是（ ）.A. 6种C. 12 种/ D、A. 420B. 180C. 64D. 25例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域力、B、C、D、E涂色,要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A. 120 种B. 720 种C. 840 种D. 960 种例6.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内, 且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A. 40320 种B. 5040 种C. 20160 种D. 2520 种例7.如图所示，将四棱锥S-/4灰刀的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A. 240B. 360C. 420D. 960例8.如图所示，将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）例9.如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同•种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有.例10.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共 有 种不同着色方法例11.如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供 选择.要求每个区域只涂•种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为.例12.从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂 两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是.C. 64D. 7856oooooo例13.如图一个正方形花圃被分成5份.若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有种例14.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同•种颜色,不同的涂色方法有种.例15.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有种（用数字作答）.例16.四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4 种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为例17.如图，将标号为1, 2, 3, 4, 5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域（有公共边）的颜色不同，则不同的染色方法有种・2例18.某城市在中心广场建造一个花圃，花阚分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.（用数字作答）例19.给图中4 B, C, D, E尸六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有一种不同的染色方案.例20.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用）,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21.给如图染色，满足条件每个小方格染•种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有_种，用5种颜色染色的方案共有_种.例22.如图，用四种不同的颜色给三棱柱48C-48'C'的六个顶点涂色，要求每个点涂•种颜色.若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种.专题6染色问题例1.如图所示的几何体由三棱锥尸-48c与三棱柱48C-4qG组合而成，现用3种不同颜色对这个儿何体的表面涂色（底面431cl不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A. 6种B. 9种C. 12种D. 36种【解析】先涂三棱锥尸一力8c的三个侧面，有C；C；C：=6种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有C；C：C；=2种情况，共有6x2 = 12种不同的涂法.故选：C.例2.如图，用四种不同的颜色给图中的4 B, C, D, E, F, G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 192 种B. 336 种C. 600 种D. 624 种【解析】由题意，点E F, G分别有4, 3, 2种涂法，(1)当力与尸相同时，力有1种涂色方法，此时/有2种涂色方法，①若。
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解【典型例题】例1．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72【答案】D【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；43212区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；43211所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D．例2．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【解析】先给O涂色，有15C种方法，接着给A涂色，有14C种方法，接着给B涂色，有13C 种方法，①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，最后E有2种涂色方法；②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法．综上，涂色方法总数为15C 14C []13C 1322(1322)1200⨯⨯+⨯⨯+⨯=故选：D例3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD −的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．36种C ．12种D ．60种 【答案】A【解析】如下表。
高中数学课件6-2排列组合之专题二：涂色问题
课堂小结
1.环状涂色问题涂法总数公式: an (1)n (m 1) (m 1)n (n≥2，m≥3)
探究新知
问题：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少 种？
解: 按地图A, B, C, D四个区域依次分四步完成: 第一步,m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步,m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,
(其中 n为不同区域数, m为不同颜色数)
2.用 m 不同颜色涂 n 棱锥的顶点涂法总数公式: an m[(1)n (m 2) (m 2)n ] (n≥3，m≥4)
解: 因为 n=6, m=5, 由公式得
an (1)n (m 1) (m 1)n
(1)6 (5 1) (5 1)6
4 46 = 4100
A
F
B
E PC D
巩固练习
1.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要 求公共边的两块不能用同一种颜色，共有____2_6_0____种不同着色 方法 .
2.(2008年全国)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现
有 4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两
块 种不同的花，则不同的种法总数为( B )
A.96
B.84
C.60
D.48
A
D
B
C
典例分析
例2 (2003年高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现
高考数学总复习 23 几何图形的涂色问题课件
【例 4】现用 4 种颜色给三棱柱的 6 个顶点涂色， 要求同一条棱的两端点的颜色不同，4 种颜色全 部用上，问有多少种不同的涂色方案？ 解析 将左侧图形拉伸为右侧图形，则中间三点不 同色，不妨为三颜色1、2、3，又4种颜色全用上， 故外围三点中一定有一点涂第4种颜色，在此情况 下从其余三色中任挑两色，另外两点都只有一种涂 法． 故共有C34A33C13C23＝216种涂法．
备课资讯23 几何图形的涂色问题
空间图形的涂色问题由于其空间位置的特点， 处理问题时容易受空间想像的限制，使问题变得很 不直观，若利用欧拉定理的思想与方法，通过图形 的变换转化为平面图形的涂色问题，可使一类空间 涂色问题得以简化而使问题变得直观．下面给出几 例来看欧拉思想在涂色问题中的应用．
【例 1】某城市在中心广场建造一个
扇环形花圃，花圃分为 6 个部分，如
右图，现要栽种 4 种不同颜色的花，
每一部分栽种一种且相邻部分不能栽
图1
种同样颜色的花，问有多少种不同的栽种方法？
解析 利用欧拉思想进行拉伸变形，
可使图1变形为图2，这两种图形的涂
色其实质是一样的．我们不妨用1、2、
3、4代表四种颜色，在右侧图形中，先
在1、2、3区域涂上1、2、3三种颜色，
方法同例1，解略．有420种涂色方法．
【例 3】用 5 种颜色给正方体 A B C D —A 1B 1C 1D 1 各面
涂色，要求相邻两个面同色，现已将过顶点 A 的 3 个面涂了颜色，那么其余 3 个面涂色方法有多 少种？
解析 分三类，一是剩余三面的颜色与以A 为顶点 的三面的颜色相同，则只能涂其对面颜色，有1种 涂法，二是只有2种与所涂颜色相同，则有C23种方 式，另一种颜色为剩余两种颜色中的一种，故有6 种涂法，三是只有一种颜色与前面所涂相同，有C13 种，剩余涂为两种其它颜色，故也有6种涂法，综 上有13种．
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故总计有 108+432+192=732 种方法。 说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。 如：如图，把一个圆分成 n ( n 2) 个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求 相邻扇形不同色，有多少种染色方法？ 解：设分成 n 个扇形时染色方法为 an 种
2 （1） 当 n=2 时 A1 、 A2 有 A4 =12 种，即 a2 =12
3
1 4
5
当用四种颜色时，若区域 2 与 4 同色，
4 4 则区域 3 与 5 不同色，有 A4 种；若区域 3 与 5 同色，则区域 2 与 4 不同色，有 A4 种，故用 4 3 4 四种颜色时共有 2 A4 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有 A4 +2 A4 =24+2 24=72
2 （2）当相间区域 A、C、E 着色两不同的颜色时，有 C32 A4 种着色方法，此时 B、D、F 有 3 2 2 2 种着色方法，故共有 C32 A4 3 2 2 432 种着色方法。 3 （3）当相间区域 A、C、E 着三种不同的颜色时有 A4 种着色方法，此时 B、D、F 各有 2 种着 3 色方法。此时共有 A4 2 2 2 192 种方法。
1 4
5)
4、 根据相间区使用颜色的种类分类 例 5 如图， 6 个扇形区域 A、B、C、D、E、F，现给这 6 个区域着色，要求同一区域涂同一种颜 色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有 4 种不同的颜色可 A1 解（1）当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时， 有 4 种着色方法，此时，B、D、F 各有 3 种着色方法， 此时，B、D、F 各有 3 种着色方法故有 4 3 3 3 108 种方法。 C D E F B A
4 （1） 四格涂不同的颜色，方法种数为 A5 ；
（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只 有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
1 2 2C5 A4 ； 2 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为 A5 ， 2 1 2 因此，所求的涂法种数为 A5 2C5 A4 A52 260
2 3
法，故有如下递推关系：
an 4 3n 1 an 1
an an 1 4 3n 1 (an 2 4 3n 2 ) 4 3n 1
an 2 4 3n 2 4 3n 1 an 3 4 3n 3 4 3n 2 4 3n 1
4 [3n1 3n 2 (1) n 3] (1) n 3 3n
二、点的涂色问题 方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论， （2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间 问题平面化，转化成区域涂色问题。 例 6、将一个四棱锥 S ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 （1） 若恰用三种颜色， 可先从五种颜色中任选一种染顶点 S， 再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、
3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两 种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例 4 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂
不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 分析：可把问题分为三类：
A1 A2 An A3 A3 A4
（2） 当分成 n 个扇形，如图， A1 与 A2 不同色， A2 与 A3 不同色， ， An 1 与 An 不同色， 共有 4 3n 1 种染色方法， 但由于 An 与 A1 邻， 所以应排除 An 与 A1 同色的情形；An 与 A1 同色时，可把 An 、 A1 看成一个扇形，与前 n 2 个扇形加在一起为 n 1 个扇形，此时有 an 1 种染色
③
④
⑤ ⑥ ② ① ③ ④
例 3、如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种 颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用 3 种颜色 1) 当先用三种颜色时，区域 2 与 4 必须同色， 2 2) 3) 4)
3 区域 3 与 5 必须同色，故有 A4 种；
4 （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A4 ； 4 （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 A4 ； 4 （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 A4 ； 4 4 （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有 A4 ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A4 ； 4 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A4 =120
高考数学中涂色题的常见解法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问 题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力， 有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法 一、区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂 不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ ① ② 分析：先给①号区域涂色有 5 种方法，再给②号涂色有 4 种方法，接着给③号涂色方法有 3 种，由于④ 号与①、②不相邻，因此④号有 4 种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有 5 4 3 4 240 2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方 法种数。 例 2、四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用 4 种颜色，要分四类：