【精选】数字信号处理的有关算法

(n) h(n)
(n m) h(n m)
x(m) (n m) x(m)h(n m)


x(m) (n m) x(m)h(n m)
m
m
h(n)
x(n)
y(n) x(n)* h(n)
x(n)
y(n)

y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m
离散时间系统：将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的变换或运算。
y(n)= T[x(n)]
x (n)
T[ x(n)]
y(n)
1 线性系统
既满足齐次性又满足叠加性的系统
T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)] =ay1(n)+by2(n)
判断y(n)=7x2(n-1)是否是线性系统
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z变换收敛域的特点：
1） 收敛域是一个圆环，或向内收缩到原点，或向外扩展到∞，只有x （n）=δ（n）的收敛域是整个 z 平面。
2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数 （有意义）。
逆z变换
x(n) 1 X (z)z n1dz
2j c
c (Rx , Rx )

1, 0,
n0 n0
（３）矩形序列
1, RN (n) 0,
0 n N 1 n 0, n N
（４）实指数序列
x(n) anu(n)
（５）正弦序列
x(n) sin(n0 )
（6）复指数序列
x(n) Ae( j0 )n Aen (cos0n j sin 0n)
x(n)e jn
n
4 Parseval定理
若有两序列 x（n），y（n），且
X(z)=Z[ x(n)] Y(z)=Z[ y(n)]
Rx-<|z|< Rx+ Ry-<|z|< Ry+
收敛域满足条件： Rx- Ry-<1， Rx+Ry+>1
则 x(n) y * (n) 1 X (v)Y * (1/ v*)v1dv
差分方程——描述系统输入输出之间的运算关系
N阶线性常系数差分方程的一般形式
M
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
离散系统差分方程表示法有两个主要用途：
① 由差分方程得到系统结构； ② 求解系统的瞬态响应；
例：由一阶差分方程 y（n）=ay（n-1）+x（n）画网络结构. 由此得到它的网络结构如图
线性时不变离散系统: y(n) x(n) h(n) 两边取z变换: Y (z) X (z)H (z)
得:
H(z) Y(z)
X (z)
H(z)称为LTI系统的系统函数
注：
1）H（z）是单位脉冲响应h(n)的z变换。所以可以用单 位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。
2）z平面单位圆 z e j 上的系统函数就是系统的频率响
x（n）
y（n）
T a 网络结构
在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解
一阶差分方程系统： y(n) 1.5x(n) 1 y(n 1) 2
输入为
x(n)


(n)

1 0
n0 n0
解：①
设初始条件为n<0时， y（n）=0
y(0) 1.5x(0) 1 y(1) 1.5

稳定性的充要条件： s
h(k)
k
因果系统： 系统的输出y（n）只取决于当前以及过去的输入， 即x（n）， x（n-1），x（n-2）……。
因果性的充要条件：h（n）≡0，n<0
非因果系统： 如果系统的输出y（n）取决于x（n+1），x（n+2），…，即系
统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统 （不可实现，对时间系统而言）
3 线性时不变系统（LTI, Linear Time Invariant）
既满足线性要求又具有时不变性的系统。 线性时不变系统可以用单位脉冲响应h(n)来表示。 问题：LTI系统输入任意的序列x(n), 输出如何？
δ(n)
T[δ(n)] h(n) δ(n) h(n)

x(n)可表示为 x(n) x(m) (n m) m
1 m 1
d m1 ! dzm1
[(z

zk )m F(z)]
z zk
例 已知
解:
X (z)
z2
, 1 z 4
(4 z)(z 1) 4
4
X
(z)

z n1

(4

z n 1 z )( z

1)
4
求z反变换。
1）当n≥-1时, zn1 不会构成极点，所以这时
c内只有一个一阶极点
应
H (e j )

Y (e j ) X (e j )
即单位脉冲响应h(n)的DTFT。
几种常用系统的收敛域
1 因果系统：
单位脉冲响应 h（n）是因果序列的系统，其系统函 数H(z)的收敛域包括∞点，即
Rx- <|Z|≤∞
2 稳定系统：
单位脉冲响应h（n）满足绝对可和的系统即
2 时不变系统
如果 T[x(n)]=y(n)， T[x(n-n0)]=y(n-n0)，即在n时刻输入x(n-n0 )输出亦为y(n-n0) 则称系统是时不变系统。即系统的特性不随时间而变化
判断y(n)=12x(n-1)+11x(n-2)是否是时不变系统？ 判断y(n)=12nx(n-1)+11x(n-2)是否是时不变系统？
2） 归一化数字角频率
ω=ΩT=Ω/fs
ωs=ΩsT=2
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1.3 离散信号的傅里叶变换(DTFT)与z变换
１ 离散信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）
离散信号的DTFT(Discrete Time Fourier Transform)定义

X (e j )
x(n)e jn
n

x(n) x(m) (n m) x(n) (n) m
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1.2 采 样
1) 奈奎斯特采样定理：
要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大 于信号最高频率的两倍。 Ωs≥2Ωmax
实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样 频率总是选得比两倍信号最高频率 max更大些， 如Ωs =(3~5)max。
第一章 离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号 1.2 采样 1.3 离散信号的傅里叶变换(DTFT)与z变换 1.4 离散时间系统 1.5 系统的频率响应与系统函数
1.1 离 散 时 间 信 号
1 几种常用的典型序列
（１）单位脉冲序列

(n)

1, 0,
n0 n0
（２）单位阶跃序列
u(n)
2
y(1) 1.5x(1) 1 y(0) 0.75
2
y(2) 1.5x(2) 1 y(0) 1.5 1 2 0.375
2
2
y(n)

h(n)

1.5


1
n
u(n)
稳定的、因果系统
2
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② 输入相同，但初始条件改为 n>0，y（n）=0
差分方程写为 y(n 1) 2y(n) 1.5x(n)
例：分析单位脉冲响应为h（n）=anu（n）的线性时不变系统的因果性 和稳定性。
稳定的因果系统： 既满足稳定性又满足因果性的系统。 这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可和的，即

h(n) n 0
h(n)



0
n0

| h(n) |
n
5 系统的差分方程描述
逆z变换是一个对X（z）zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条 在X（z）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。
j Im[z]
Rx
0
Re[z]
Rx
c
直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求 z反变换，求解逆z变换的常用方法有：
１ 幂级数 2 部分分式法 3 留数定理法
DTFT中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n)绝对可和，则该 级数绝对收敛(充分条件)。
平方可和序列的DTFT也存在，平方可和序列不一定绝对可和。
离散序列的逆傅里叶变换(IDTFT)为
x(n) = 1 π X(e jω )e jωndω 2π -π
注意：
（1） 由于 e j e j(2 ) ，所以 X (e j ) 是以2π为周期的周期函数。
n
2j c
序列能量计算：
x(n) 2
x(n)x(n)* 1
X (e j ) X * e j d

1
| X (e j ) |2 d
n
n
2
2
即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。 回章首
1.4 离散时间系统
y(0) 2y(1) 1.5x(1) 0
y(1)

2y(0)
1.5x(0)

1.5


1
1

2
y(-2)

2

y(-1)
-1.5x(-1)

-1.5


1 2
-2
y(n) h(n) 1.5 1 n u(n 1) 非因果的、不稳定系统
留数定理法
由留数定理可知：
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Re s[ X (z)zn1]zzk
k


1
2 j
X (z)zn1dz
c
Re s[ X (z)zn1]zzm
m
Re s[F(z)]zzk Re s[F(z)]zzm
k
m
zk 为c内的第k个极点，zm为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。
F(z)的分母z阶次比分子阶次高二阶和二阶以上。
留数的求法：
单极点留数求法：
Re s[F(z), zk ]zzk (z zk ) F(z) zzk
m重极点留数求法：
Re s[F(z), zk ]zzk
当 0 时x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列。
x(n) =e (0.65 + j0.5)nu(n).
２ 序列的运算
1) 序列的相加 z(n)=x(n)+y(n)
2) 序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)
3) 序列的移位 y(n)=x(n-n0)
4) 序列的能量

S x(n) 2
离散卷积（线性卷积或直接卷积）
卷积过程：(图示方法)
① 对 h（ m）绕纵轴折叠，得h（-m）； ② 对 h（-m）移位得 h（n-m）； ③ 将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果 y（n）。
4 系统的稳定性和因果性
稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统
（2） DTFT

X (e j ) x(n)e jn n
正是周期函数 X (e j ) 的傅里叶级数展开，而x(n)是傅里叶级数的系数。 这一概念在以后滤波器设计中有用。
２ ｚ变换

X (z) x(n)z n n
z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。
zr
1 4
因此
x(n)

Re
s[ z n1
/(4

z )( z

1 4
)]
z

1 4

( 1 )n1 4
4
1

1 4n , n 15

1
4
2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成-(n+1)阶极点。因此围线c 内有一阶极点：z=1/4, - (n+1)阶极点z=0为；而在c外仅有 z=4(一阶)这个极点:
n
平方可和序列 绝对可和序列

x(n) 2
n

x(n)
n
有界序列
x(n) Bx
5) 实序列的偶部和奇部
x(n) xe (n) xo (n)
xe
(n)

1 [x(n) 2

x(n)]
xo
(n)

1 [x(n) 2

x(n)]
6) 序列的单位脉冲序列表示
x(n)


Re
s[ z
n 1
/(4

z)(
z

1 4 )]z4

(4)n1
4

1

1 15
4n2 , n

2
4
因此x(n)

1
15

1
4n , 4n2
,
15
n 1 n 2
3 DTFT与z变换的关系

X (e j ) X (z) ze j
2
①、②种情况所表示的是两个不同的单位脉冲响应。可以看出，
同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统， 即
用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件， 才能唯一地确
定一个系统的输入和输出关系，即系统的性能。
1.5 系统的频率响应与系统函数
1 定义 LTI系统的单位脉冲响应h(n)可用来表示该系统的特性