伴随矩阵及习题.ppt

排成的m行n列的数表，
a 11
简称m n矩阵.
记作
A
a21
a 12
a22
a 1n
a2n
A a 简记为
或 A ij mn
mn
a m
1
a m2
a mn
实矩阵: 元素是实数
复矩阵： 元素是复数
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 且 A1 1 A A
推论：设A、B为同阶方阵，若 AB E, 则A、B都可逆，且 A1 B，B1 A
满足规律： ( A )1 1 A, ( AT )1 ( A1)T,
(
A)1
1
A1(
0)
A1 A 1
逆矩阵求法：（1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法
4. 分块矩阵
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
5. 初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换．
初
等
变
换逆
变
换
ri r j (ci c j) ri k(ci k) ri k r j(ci k c j)
ri r j (ci c j)
❖练习 求矩阵 X使满足
AXB C
其中
1
A
2
3
2 2 4
3 1 3
2 B 5
1 3
1 C 2
3
3 0 1
解：若
B 1式，有
即
A1, 存B在1 ，则用 左乘A上式1 ， A1 AXBB1 A1CB1
X A1CB1
可解得 | A，| 2 ，| B故|知1 都可逆A．, B且
右乘上
21
A11 4
满足：1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
对称矩阵和反对称矩阵：
A是对称矩阵 AT A A是反对称矩阵 AT A
幂等矩阵： A为n阶方阵，且 A2 A
伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式
构成的如下矩阵
Aij 所
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
1 交换律：A B B A.
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
数与矩阵相乘：数 与矩阵 A的乘积记作 A 或 A ，规定为 A A (aij )
2 3
23
A21 4
6 3
2 A12 3
1 3
3
1 A22 3
3 6
3
2 A13 3
得
2 2
4
12
A23 3
2 4
2 6 4
A* 3 6
5
2 2 2
23
A31 2
4 1
13
A32 2
5 1
12
A33 2
2 2
所以
1 3 1
A1
1
A*
3
3
5
| A| 2
7. 初等矩阵与初等变换的关系：
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
定理：设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ，
乘法满足 ( AB)C A(BC );
( AB) (A)B A(B), (其中为数);
A(B C ) AB AC , (B C )A BA CA; E m Amn Amn Amn E n .
矩阵乘法不满足：交换律、消去律
方阵的幂： A是n 阶方阵， Ak AAA
并且
k个
Am Ak Amk
数乘满足 ()A (A); ( )A A A; ( A B) A B.
矩阵与矩阵相乘：设 A (aij)ms, B (bij)sn, 规定 AB C (cij)mn,
s
其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1 (i 1,2, ,m; j 1,2, n)
§ 6 伴随矩阵及相应习题
伴随矩阵
❖ 伴随矩阵 设n阶方阵
a11
A
a21
a12 a22
a1n
a2n
an1 an2
ann
由方阵 A中元素 的a代ij 数余子式
Aij (i 1,2, ,n; j 1,2, , n)
按转置方式排成的 阶n方阵，称为方阵 的A伴随矩
阵，记作
A11 A21
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1 An2
A2n Ann
AA A A A E.
3. 逆矩阵
定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
A*
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
Ann
❖定理 n阶方阵 可逆A 的充分必要条件是
并且当 可A 逆时， 的A逆矩阵可表示为
A1 1 A * | A|
| A | 0
其中， A是* 的A伴随矩阵．
上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵 可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方 法．
2
1 1 1
同样可得出
B 1
|
1 B
|
B*
3
5
1
2
于是
1
X
A1CB 1
3
2
1
3 3
1
1
5
2
1
1 2 3
3
0 1
3 5
1
2
1 0
0
1
2 2
3 5
1
2
2
Leabharlann Baidu
10
10
1 4 4
矩阵习题
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2,,m; j 1,2,,n)
11 ri k (ci k ) ri (k)r j(ci (k)c j)
6. 初等矩阵
初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
E(i, j)1 E(i, j) E(i(k ))1 E(i( 1 )) E(ij(k))1 E(ijk(k))
Am k Amk （m,k为正整数）
方阵的多项式：
f (x)
ak x k
a x k 1
k 1
a1 x a0
f
( A)
a Ak k
a A k 1
k 1
a A 1
aE 0
方阵的行列式：
满足: 1 AT A; 2 A n A;
3 AB A B
转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A .