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伴随矩阵及习题
练习 求矩阵 X 使满足 AXB C 其中 1 2 3 1 3 2 1 B A 2 2 1 5 3 C 2 0 3 4 3 3 1
解：若 A , B B1右乘上式，有 即
1 1
1 A 存在，则用 左乘上式，
A1 AXBB1 A1CB1
X A1CB1
A, B 都可逆．且
可解得 | A | 2 ，| B | 1 ，故知
A11
2 1 4 3 2 1 3 3
2
A21
A22
2 3 4 3
6
A31
2 3 2 1 1 3 2 1
4
A12 A13
3
1 3 3 3
6
A32
5
2 2 3 4
2
A23
1 2 3 4
2
A33
1 2 2 2
2
得
6 4 2 A* 3 6 5 2 2 2
所以
1 3 1 A 1 A* | A| 2 1
对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足
1 交换律：A B B A. 2 结合律： A B C A B C . 3 A 0 A, 其中A与O是同型矩阵. 4 A A O .
T
T
A;
T T T T
2 A B A B ; 3 A A ; 4 AB B A .
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
伴随矩阵
伴随矩阵在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。
如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。
然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。
A的伴随矩阵可按如下步骤定义：1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式）2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了）即：n阶方阵的伴随矩阵A*为A11 A12 (1)A21 A22 (2)。
An1 An2 ……Ann例如：A是一个2x2矩阵，a11，a12a21，a22则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式此图片为相应代数余子式的计算过程。
则A的伴随矩阵A* 为A11 A21A12 A22即a22 , -a12-a21, a11（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。
特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。
原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如1 2 32 2 1 ------->3 4 3+2 6 -4-3 -6 52 2 -2其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等基本性质：(1)AA*=A*A=|A|E;(2)|A*|=|A|n-1具体求法①当矩阵是大于等于二阶时：主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的.主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。
求伴随矩阵的方法
求伴随矩阵的方法伴随矩阵（adjoint matrix），也叫伴随阵、共轭矩阵或伴阵，是线性代数中的一个概念。
与一个矩阵A相对应的伴随矩阵，通常表示为adj(A)或A^*，是一个矩阵，通过对原矩阵的转置再对每个元素取复共轭得到。
伴随矩阵在线性代数中具有广泛的应用，特别是在求逆矩阵、解线性方程组和线性变换等问题中。
下面将详细介绍伴随矩阵的方法和应用。
一、伴随矩阵的定义和性质给定一个n阶矩阵A=[a_{ij}]，其中a_{ij}表示矩阵A中第i行第j列的元素。
那么与A对应的伴随矩阵adj(A)是一个n阶矩阵，表示为adj(A)=[b_{ij}]，其中b_{ij}表示的是矩阵A的第i列第j行的余子式。
余子式是指将矩阵A中的第i行和第j列元素删去后，所得到的矩阵的行列式。
余子式可以通过求代数余子式（将每个元素的位置上取代数余子式），再根据行列式的性质进行计算得到。
根据伴随矩阵的定义，可以得到以下性质：1. 矩阵A与它的伴随矩阵adj(A)的乘积等于它们的行列式，即A·adj(A)=，A，·I，其中，A，表示矩阵A的行列式，I是单位矩阵。
2. 如果矩阵A可逆（即行列式不等于0），则A的逆矩阵可以表示为A^{-1}=(1/，A，)·adj(A)。
3. 如果矩阵A是实数矩阵，那么它的伴随矩阵adj(A)是A的转置矩阵的元素取负数后再取共轭得到的。
求解伴随矩阵的方法通常有两种：代数余子式法和性质法。
1.代数余子式法代数余子式法是一种基于代数余子式的计算方法。
它的基本步骤如下：Step 1：确定矩阵A的元素a_{ij}；Step 2：计算a_{ij}的代数余子式M_{ij}，即将矩阵A中第i行和第j列的元素删去后所得到的矩阵的行列式；Step 3：根据伴随矩阵的定义，得到伴随矩阵的元素b_{ij}=(-1)^{i+j}·M_{ij}，即将代数余子式乘以(-1)^{i+j}；Step 4：将得到的元素组成一个矩阵，即为伴随矩阵adj(A)。
伴随矩阵求逆矩阵例题
伴随矩阵求逆矩阵例题摘要：1.伴随矩阵的概念及其性质2.利用伴随矩阵求逆矩阵的方法3.例题讲解4.总结与扩展正文：一、伴随矩阵的概念及其性质伴随矩阵是线性代数中一种重要的矩阵，与一个矩阵A 密切相关。
伴随矩阵B(A) 的元素是矩阵A 的代数余子式，即B(A) 的第i 行第j 列的元素为A 的第(j-i) 行第(i-1) 列的代数余子式。
伴随矩阵具有以下性质：1.伴随矩阵的转置等于原矩阵的逆矩阵，即B(A)^T = A^-1。
2.伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的相反数，即det(B(A)) = -det(A)。
二、利用伴随矩阵求逆矩阵的方法根据伴随矩阵的性质，可以得到求逆矩阵的公式：A^-1 = B(A)^T。
利用这个公式，可以通过计算伴随矩阵来求解逆矩阵。
三、例题讲解例1：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}1 &2 & 37 & 8 & 9end{bmatrix}解：先计算伴随矩阵B(A)：begin{bmatrix}-3 & -6 & -9-8 & -10 & -12-7 & -8 & -9end{bmatrix}然后计算B(A)^T：begin{bmatrix}-3 & 6 & 98 & 10 & 127 & 8 & 9end{bmatrix}最后，A^-1 = B(A)^T = begin{bmatrix} -3 & 6 & 98 & 10 & 127 & 8 & 9end{bmatrix}例2：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}0 & 2 & 00 & 0 & 3end{bmatrix}解：先计算伴随矩阵B(A)：begin{bmatrix}2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}然后计算B(A)^T：begin{bmatrix}2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}最后，A^-1 = B(A)^T = begin{bmatrix} 2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}四、总结与扩展本篇文章介绍了如何利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，通过计算伴随矩阵及其转置，可以方便地求得逆矩阵。
伴随矩阵-专业文档
伴随矩阵伴随矩阵是一种特殊的矩阵，它与原矩阵有着密切的关系。
在介绍伴随矩阵之前，我们首先需要了解什么是逆矩阵。
逆矩阵是矩阵的一种重要概念。
在矩阵运算中，如果有一个矩阵A，存在另一个矩阵B，使得AB=BA=E（其中E是单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵。
在这种情况下，A也被称为可逆矩阵。
如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的。
然而，如果A不是可逆的，那么它仍然有一个唯一的伴随矩阵。
这个伴随矩阵可以通过以下方式计算：假设A是一个n x n的矩阵，它的元素是a_{ij}(1 <= i, j <= n)。
那么A 的伴随矩阵A*可以通过以下方式计算：A的元素是a_{ji}(1 <= i, j <= n)，其中i是行索引，j是列索引。
换句话说，A的元素是A的元素在行列索引交换后的值。
例如，考虑一个3x3的矩阵A：A=[[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]]那么A的伴随矩阵A*是：A*=[[a11,a21,a31],[a12,a22,a32],[a13,a23,a33]]在数学上，伴随矩阵有着重要的性质。
首先，伴随矩阵与原矩阵有着紧密的关系。
如果A是可逆的，那么AA*=A*A=E，其中E是单位矩阵。
这意味着伴随矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，反之亦然。
其次，伴随矩阵可以用来计算行列式的值。
行列式是矩阵的一种重要属性，它表示为一个值的代数表达式。
对于一个n x n的方阵A，其行列式定义为：|A|=det(A)=∏(i=1 to n) a_{ii}。
如果A是可逆的，那么其行列式的值可以通过伴随矩阵来计算：|A|=(-1)^n * det(A*)。
这是因为行列式的定义可以看作是对角线元素的乘积减去其他元素的乘积，而在计算伴随矩阵时，我们将元素的位置进行了交换，因此需要引入一个负号。
在实际应用中，伴随矩阵可以用于求解线性方程组、求解逆矩阵、进行矩阵分解等操作。
矩阵及其运算习题课2课件
(6) 主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角 矩阵;
(7) 行列式 | A | 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下
矩阵
A
A11 A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2
Ann
称为矩阵A 的伴随矩阵.
性质: AA* = A*A = | A | E.
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
矩阵及其运算习题课2
n 1 1
例1: 设
A
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
,
计算A2
1 n
1 n
1 n
n 1 n
例2: 设A ac db, 试将 f() = | E–A |写成的多项式, 并验证 f(A) = O.
例3:
设A,
(2) 证明: AB|A||DCA 1B|. CD
矩阵及其运算习题课2
二、 典 型 例 题
n 1 1
例1: 设
A
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
, 计算A2 .
1 n
1 n
1 n
n 1 n
解: 由于
An1n 111
1
n1
1
1 1
n 1
矩阵及其运算习题课2
n1
1
1
2
证明(1): 当A = O时, | A |的所有代数余子式均为0,
从而A* = 0, 故| A* | = 0.
当 A O且| A | = 0时, 用反证法证明.
假设| A* | 0, 则有A*(A*)–1 = E,
2024版第5章矩阵分析ppt课件
矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
伴随矩阵的性质与应用_考研必看
( )
*
证明 (1) 当秩 ( A) = n 时 A A* = A
n
A ≠ 0 ，由于 AA* = A E ，两边同时取行列式，得 故秩 A* = n . A E得AA* = 0
所以 A* ≠ 0
( )
(2) 当秩 ( A) = n − 1时， A = 0 ，由 AA* =
从而可知 A* 的每一列都是方程组 AX = 0 的解向量,故由此可得 A* ≤ n − 秩( A) = 1 ， 又因为 所以
-2-
k n −1 A21 k n −1 A22 n −1 k A2 n
k n −1 An1 A11 n −1 k An 2 n −1 A12 =k A k n −1 Ann 1n
A21 An1 A22 An 2 n −1 * =k A A2 n Ann
n −1
(
)
*
(A
−1
−A
* *
)
1 * 1 1− A * = − 1 A* = = − A A A A A
*
*
(A )
* *
1− A = A
n −1
A
n−2
*
1.8 A*
( ) = (A )
T
T *
证明 由于 AA* = A* A = A E 所以 又
(A )
* T
AT AT
* T
( ) = (A )
*
* T
AT E = AT A*
* T T *
( )
T
= A A*
T T *
【暑期必备46个知识点：37】：伴随矩阵
【暑期必备46个知识点：37】：伴随矩阵你好，欢迎来到《46个知识点》栏目，我是老编~今天讲一个重要的矩阵，叫做伴随矩阵，为什么称它为伴随，因为它是从原矩阵衍生出来的，可以说没有原矩阵，就没有伴随矩阵。
问题索引：伴随矩阵的定义是什么？伴随矩阵需要记忆的结论有哪些？如何求伴随矩阵？说到伴随矩阵的定义，就不得不提到一个概念——代数余子式，这个概念是从行列式这一章中提出来的，简单来说是这样：如果有一个元素a ij，那么这个元素的代数余子式就是把i行j列去掉，剩下的部分，如果把这些代数余子式按照一定的顺序排列，形成矩阵，这个矩阵就是伴随矩阵。
接下来就是详细定义：设A ij为元素a ij的代数余子式，定义A*=(A ji)为矩阵A的伴随矩阵。
请注意脚标，伴随矩阵一定要“交换行列”：ij元素的代数余子式要放在ji的位置上，这点一定要注意，不然会出现各种各样啼笑皆非的错误。
那么伴随矩阵有哪些需要记忆的小结论呢？首先，最核心的结论就是第一条，在第一条的基础上如果加上了A可逆的条件，那么后面的2,3就顺理成章了，而4,5两条为一组，5是在4的基础上推出来的。
这些结论在计算伴随矩阵时候就显得尤为重要，你可能从定义中看出来了，如果通过一个一个计算代数余子式来计算伴随矩阵，那就太麻烦了，通常都是使用这种小结论来辅助，比如下面这道题：如果直接按定义算，那么可就麻烦了，首先要求9个代数余子式，还要再通过初等变换的方法求逆，想想就脑袋疼，但是有了小结论就好办了，根据第3条，直接把这个矩阵的行列式算出来就大功告成了，而这个行列式是什么？正好是一个上三角行列式，计算起来非常方便。
答案：恭喜你，又学会了一个知识点。
今天是学习的第37/46天，每天进步一点点，46天带你完成蜕变。
伴随矩阵求法
伴随矩阵求法在线性代数中，矩阵是一个重要的概念，它是由数个数排列成的矩形阵列。
在矩阵的运算中，伴随矩阵是一个非常重要的概念，它可以用来求解矩阵的逆矩阵、解线性方程组等问题。
本文将介绍伴随矩阵的定义、性质和求解方法，希望对读者有所帮助。
一、伴随矩阵的定义伴随矩阵是指一个矩阵的每个元素的代数余子式所组成的矩阵的转置矩阵，也就是说，如果矩阵A的元素a[i][j]的代数余子式为A[i][j]，则A的伴随矩阵记作adj(A)，它的元素为adj(A)[j][i] = A[i][j]。
例如，对于一个3*3的矩阵A，它的伴随矩阵为：adj(A) = |A[1][1] A[2][1] A[3][1]||A[1][2] A[2][2] A[3][2]||A[1][3] A[2][3] A[3][3]|二、伴随矩阵的性质1. 伴随矩阵和原矩阵的乘积等于原矩阵的行列式乘以单位矩阵。
即：A*adj(A) = det(A)*E，其中E为单位矩阵。
证明：根据矩阵的定义，有：A*adj(A) = |a[1][1] a[1][2] ... a[1][n]| * |A[1][1]A[2][1] ... A[n][1]||a[2][1] a[2][2] ... a[2][n]| |A[1][2] A[2][2] ...A[n][2]||... ... ... ... ||a[n][1] a[n][2] ... a[n][n]| |A[1][n] A[2][n] ...A[n][n]|其中，A[i][j]表示矩阵A的元素a[i][j]的代数余子式。
根据代数余子式的定义，有：A[i][j] = (-1)^(i+j) * M[i][j]其中，M[i][j]为矩阵A去掉第i行和第j列后的行列式。
因此有：A*adj(A) = |a[1][1] a[1][2] ... a[1][n]| *|(-1)^(1+1)M[1][1] (-1)^(2+1)M[2][1] ... (-1)^(n+1)M[n][1]||a[2][1] a[2][2] ... a[2][n]| |(-1)^(1+2)M[1][2](-1)^(2+2)M[2][2] ... (-1)^(n+2)M[n][2]||... ... ... ... ||a[n][1] a[n][2] ... a[n][n]| |(-1)^(1+n)M[1][n](-1)^(2+n)M[2][n] ... (-1)^(n+n)M[n][n]|将每一行展开，有：A*adj(A) = (-1)^(1+1)*a[1][1]*M[1][1] +(-1)^(2+1)*a[1][2]*M[2][1] + ... + (-1)^(n+1)*a[1][n]*M[n][1](-1)^(1+2)*a[2][1]*M[1][2] + (-1)^(2+2)*a[2][2]*M[2][2] + ...+(-1)^(n+2)*a[2][n]*M[n][2] ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...(-1)^(1+n)*a[n][1]*M[1][n] + (-1)^(2+n)*a[n][2]*M[2][n] + ... + (-1)^(n+n)*a[n][n]*M[n][n]根据行列式的定义，有：det(A) = a[1][1]*M[1][1] + a[1][2]*M[2][1] + ... +a[1][n]*M[n][1]因此，有：A*adj(A) = det(A)*E2. 如果矩阵A的行列式不等于0，则A的逆矩阵为：A^-1 = (1/det(A))*adj(A)证明：根据矩阵的定义，有：A*A^-1 = E即：A*(1/det(A))*adj(A) = E因此，有：A^-1 = (1/det(A))*adj(A)三、伴随矩阵的求解方法1. 求解伴随矩阵的元素对于一个n*n的矩阵A，求解它的伴随矩阵的元素，需要先求出每个元素的代数余子式，然后将它们组成一个矩阵，并将该矩阵转置得到伴随矩阵。
1伴随矩阵和Crammer法则
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 a x + a x + ⋯ + a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = 0
称为n元齐次线性方程组 称为 元齐次线性方程组. 元齐次线性方程组
d − b A = − c a
∗
AA =
a11 a 21 ⋮ a n1 ⋯ a1n A11 a 22 ⋯ a 2n A12 ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a n 2 ⋯ a nn A1n a12 An1 A22 ⋯ An 2 ⋮ ⋯ ⋮ A2n ⋯ Ann A21 ⋯
一定有解 零解
定理2 若齐次方程组的系数行列式 定理
D ≠ 0 则方程组有惟一零解 则方程组有惟一零解.
定理2 若齐次方程组有非零解， 定理 * 若齐次方程组有非零解，则它 ＝ 的系数行列式 D＝0
例1：λ为何值时，方程组有非 零解？ λx + y − z = 0 x + λy − z = 0 2 x − y + λz = 0
对于范德蒙行列式,我们的任务就是 利用它计算行列式,因此要牢记范德 蒙行列式的形式和结果.
你能识别出范德蒙行列式吗？ 你能识别出范德蒙行列式吗？! 你会用范德蒙行列式的结果做题吗？ 你会用范德蒙行列式的结果做题吗？!
如：
1 1 D= 2 1 4 1 1 3 9 1 4 16 D= 1 2 1 1 1 3 4 1 9 8 1 27 = ? − 12
若方程组有非零解,则其系数行列式为零 则其系数行列式为零,即 解 若方程组有非零解 则其系数行列式为零 即
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方阵的多项式：
f (x)
ak x k
a x k 1
k 1
a1 x a0
f
( A)
a Ak k
a A k 1
k 1
a A 1
aE 0
方阵的行列式：
满足: 1 AT A; 2 A n A;
3 AB A B
转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A .
❖练习 求矩阵 X使满足
AXB C
其中
1
A
2
3
2 2 4
3 1 3
2 B 5
1 3
1 C 2
3
3 0 1
解：若
B 1式，有
即
A1, 存B在1 ，则用 左乘A上式1 ， A1 AXBB1 A1CB1
X A1CB1
可解得 | A，| 2 ，| B故|知1 都可逆A．, B且
右乘上
21
A11 4
7. 初等矩阵与初等变换的关系：
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
定理：设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ，2来自323A21 4
6 3
2 A12 3
1 3
3
1 A22 3
3 6
3
2 A13 3
得
2 2
4
12
A23 3
2 4
2 6 4
A* 3 6
5
2 2 2
23
A31 2
4 1
13
A32 2
5 1
12
A33 2
2 2
所以
1 3 1
A1
1
A*
3
3
5
| A| 2
满足：1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
对称矩阵和反对称矩阵：
A是对称矩阵 AT A A是反对称矩阵 AT A
幂等矩阵： A为n阶方阵，且 A2 A
伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式
构成的如下矩阵
Aij 所
数乘满足 ()A (A); ( )A A A; ( A B) A B.
矩阵与矩阵相乘：设 A (aij)ms, B (bij)sn, 规定 AB C (cij)mn,
s
其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1 (i 1,2, ,m; j 1,2, n)
2
1 1 1
同样可得出
B 1
|
1 B
|
B*
3
5
1
2
于是
1
X
A1CB 1
3
2
1
3 3
1
1
5
2
1
1 2 3
3
0 1
3 5
1
2
1 0
0
1
2 2
3 5
1
2
2
10
10
1 4 4
矩阵习题
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2,,m; j 1,2,,n)
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
1 交换律：A B B A.
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
数与矩阵相乘：数 与矩阵 A的乘积记作 A 或 A ，规定为 A A (aij )
乘法满足 ( AB)C A(BC );
( AB) (A)B A(B), (其中为数);
A(B C ) AB AC , (B C )A BA CA; E m Amn Amn Amn E n .
矩阵乘法不满足：交换律、消去律
方阵的幂： A是n 阶方阵， Ak AAA
并且
k个
Am Ak Amk
11 ri k (ci k ) ri (k)r j(ci (k)c j)
6. 初等矩阵
初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
E(i, j)1 E(i, j) E(i(k ))1 E(i( 1 )) E(ij(k))1 E(ijk(k))
判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 且 A1 1 A A
推论：设A、B为同阶方阵，若 AB E, 则A、B都可逆，且 A1 B，B1 A
满足规律： ( A )1 1 A, ( AT )1 ( A1)T,
(
A)1
1
A1(
0)
A1 A 1
逆矩阵求法：（1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法
A*
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
Ann
❖定理 n阶方阵 可逆A 的充分必要条件是
并且当 可A 逆时， 的A逆矩阵可表示为
A1 1 A * | A|
| A | 0
其中， A是* 的A伴随矩阵．
上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵 可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方 法．
排成的m行n列的数表，
a 11
简称m n矩阵.
记作
A
a21
a 12
a22
a 1n
a2n
A a 简记为
或 A ij mn
mn
a m
1
a m2
a mn
实矩阵: 元素是实数
复矩阵： 元素是复数
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1 An2
A2n Ann
AA A A A E.
3. 逆矩阵
定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
§ 6 伴随矩阵及相应习题
伴随矩阵
❖ 伴随矩阵 设n阶方阵
a11
A
a21
a12 a22
a1n
a2n
an1 an2
ann
由方阵 A中元素 的a代ij 数余子式
Aij (i 1,2, ,n; j 1,2, , n)
按转置方式排成的 阶n方阵，称为方阵 的A伴随矩
阵，记作
A11 A21
4. 分块矩阵
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
5. 初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换．
初
等
变
换逆
变
换
ri r j (ci c j) ri k(ci k) ri k r j(ci k c j)
ri r j (ci c j)