人教A版数学选修21-空间向量与立体几何3-【完整版】
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0＝λ＋μ. 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
①{a，b，x}；②{x，y，z}； ③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组是____(填序号)． 解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→D，c ＝A→A1，则 x＝A→C，y＝A→D1，z＝A→B1，a＋b ＋c＝A→C1.由 A，B1，C，D1 四点不共面可知， 向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b，c，z；x，y，a＋b ＋c 也不共面． 答案：②③④
解：(1)连接 AN(图略)，则M→N＝M→A＋A→N. 由 ABCD 是平行四边形，得A→C＝A→B＋A→D＝a＋b， 则M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)． 又A→1D＝A→D－A→A1＝b－c， 故A→N＝A→D＋D→N＝A→D－N→D＝A→D－13A→1D＝b－13(b－c)． 故M→N＝M→A＋A→N＝－13(a＋b)＋b－13(b－c)＝13(－a＋b ＋c)．
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(2)连接A→D1(图略)，则M→D1＝M→A＋A→D1. M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)，A→D1＝A→D＋A→A1＝b＋c， 故M→D1＝M→A＋A→D1＝－13(a＋b)＋b＋c＝－13a＋23b＋c.
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归纳升华
1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一
点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这
样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，
即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点
落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角
A.A→B，A→C，A→D
B.A→B，A→A1，A→B1
C.D→1A1，D→1C1，D→1D
D.A→C1，A→1C，C→C1
解析：在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，只有 C 中的三
个向量D→1A1，D→1C1，D→1D不共面，可以作为空间向量的一
个基底．
答案：C
3．长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若A→B＝3i，A→D＝2j，
[变式训练] 已知 a，b，c 是不共面的三个向量，则
能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：由平面向量基本定理知 C 正确．
答案：C
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
系 Axyz，如题图所示．则D→C＝(0，1，0)，M→N＝M→A＋A→P ＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)＝ －12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，
从而可知M→N＝－12，0，12.
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[ 变 式 训 练 ] 如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1，M→A＝－13A→C，N→D＝13A→1D.设A→B＝a，A→D＝b， A→A1＝c.
(1)试用 a，b，c 表示M→N； (2)试用 a，b，c 表示M→D1.
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类型 3 空间向量的坐标表示(互动探究)
[典例 3] 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，
M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA＝AD＝1.在如图
A→A1＝5k，则A→C1＝( )
A．i＋j＋k
B.13i＋12j＋15k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
解析：由向量的加法法则知 C 正确．
答案：C
4．如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间 直角坐标系．已知 AB＝AD＝2，BB1＝1.5，则A→D的坐标 为_______，A→C1的坐标为_______，A→C的坐标为________．
又因为O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， 所以G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. 所以O→G＝13(a＋b＋c)；G→H＝－13a.
归纳升华 1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表 示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一 的． 2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问 题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的 应用．
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C＝M→A＋ A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)＝－12A→B＋A→P＋12(－A→P＋A→D＋A→B) ＝12A→P＋12A→D＝12e3＋12e2.所以M→N＝0，12，12.
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的把直角边放在坐标轴上．
2．求空间向量坐标的一般步骤．
(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
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解析：根据已建立的空间直角坐标系 知 A(0，0，0)，C(2，2，0)，C1(2，2，1.5)，
D(0, 2，0)，则A→D的坐标为(0，2，0)， A→C1的坐标为(2，2，1.5)，A→C的坐标为(2，2，0)． 答案：(0，2，0) (2，2，Fra Baidu bibliotek.5) (2，2，0)
5．设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是 空间的一组基底，给出下列向量组：
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c 全不
是零向量；
③如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个
基底，则一定有 a 与 b 共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
解析：①④错误，②③正确．
答案：C
D．3
2．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量 的一个基底的是( )
类型 1 基底的概念与判断(自主研析) [典例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b， b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解：假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ，μ 使 得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以 a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. 因为{a，b，c}为基底．所以 a，b，c 不共面． 所以11＝＝μλ，， 此方程组无解，所以 a＋b，b＋c，c＋a
第三章 空间向量与立体几何
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
[学习目标] 1.空间向量基本定理(重点)． 2.用基底 表示已知向量(难点)． 3.在不同坐标系中向量坐标的相 对性(易错点)．
[知识提炼·梳理] 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
所示的空间直角坐标系中，求向量M→N的坐标．
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解：因为 PA＝AD＝AB＝1， 所以可设A→B＝e1，A→D＝e2，A→P＝e3.
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(3)空间向量的坐标表示：空间任一向量 p 作正交分 解可得 p＝xi＋yj＋zk，则 x，y，z 称作向量 p 在单位正交 基底{i，j，k}下的坐标，记作 p＝(x，y，z)．
温馨提示 空间一点的坐标的确定方法
对空间的一点 P(x，y，z)，如图①所示，过点 P 作面 xOy 的垂线，垂足为 P′，在面 xOy 中，过 P′分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z| ＝PP′，根据点 A，C，D 的位置即可确定 x，y，z 的符号．
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[迁移探究 1] (改变问法)其他条件不变，典例 3 问 法改为：求向量N→D的坐标．
解：因为 PA＝AD＝AB， 设A→B＝e1，A→D＝e2，A→P＝e3， 因为N→D＝M→D－M→N＝A→D－A→M－12A→P＋12A→D＝ 12A→D－12A→B－12A→P＝－12e1＋12e2－12e3， 所以N→D＝－12，12，－12.
温馨提示 1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知 向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而 且表示的结果是唯一的． 2．空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共 面向量均可作为空间向量的基底．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
例如，在图②所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB ＝3，AD＝2，AA1＝1，则 A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0， 3，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3， 1)，D1(0，0，1)．
[思考尝试·夯基] 1．给出的如下四个命题． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
解：因为 PA＝AD＝AB，且 PA⊥平面 ABCD，AD ⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3.
分别以 e1，e2，e3 为单位正交基底建立空间直角坐标
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[迁移探究 2] (变换条件)其他条件同典例 3，空间直 角坐标系的建立不同于典例 3.建立如图所示的空间直角 坐标系，求M→N，D→C的坐标．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
①{a，b，x}；②{x，y，z}； ③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组是____(填序号)． 解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→D，c ＝A→A1，则 x＝A→C，y＝A→D1，z＝A→B1，a＋b ＋c＝A→C1.由 A，B1，C，D1 四点不共面可知， 向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b，c，z；x，y，a＋b ＋c 也不共面． 答案：②③④
解：(1)连接 AN(图略)，则M→N＝M→A＋A→N. 由 ABCD 是平行四边形，得A→C＝A→B＋A→D＝a＋b， 则M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)． 又A→1D＝A→D－A→A1＝b－c， 故A→N＝A→D＋D→N＝A→D－N→D＝A→D－13A→1D＝b－13(b－c)． 故M→N＝M→A＋A→N＝－13(a＋b)＋b－13(b－c)＝13(－a＋b ＋c)．
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(2)连接A→D1(图略)，则M→D1＝M→A＋A→D1. M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)，A→D1＝A→D＋A→A1＝b＋c， 故M→D1＝M→A＋A→D1＝－13(a＋b)＋b＋c＝－13a＋23b＋c.
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归纳升华
1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一
点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这
样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，
即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点
落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角
A.A→B，A→C，A→D
B.A→B，A→A1，A→B1
C.D→1A1，D→1C1，D→1D
D.A→C1，A→1C，C→C1
解析：在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，只有 C 中的三
个向量D→1A1，D→1C1，D→1D不共面，可以作为空间向量的一
个基底．
答案：C
3．长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若A→B＝3i，A→D＝2j，
[变式训练] 已知 a，b，c 是不共面的三个向量，则
能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：由平面向量基本定理知 C 正确．
答案：C
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
系 Axyz，如题图所示．则D→C＝(0，1，0)，M→N＝M→A＋A→P ＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)＝ －12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，
从而可知M→N＝－12，0，12.
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[ 变 式 训 练 ] 如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1，M→A＝－13A→C，N→D＝13A→1D.设A→B＝a，A→D＝b， A→A1＝c.
(1)试用 a，b，c 表示M→N； (2)试用 a，b，c 表示M→D1.
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类型 3 空间向量的坐标表示(互动探究)
[典例 3] 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，
M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA＝AD＝1.在如图
A→A1＝5k，则A→C1＝( )
A．i＋j＋k
B.13i＋12j＋15k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
解析：由向量的加法法则知 C 正确．
答案：C
4．如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间 直角坐标系．已知 AB＝AD＝2，BB1＝1.5，则A→D的坐标 为_______，A→C1的坐标为_______，A→C的坐标为________．
又因为O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， 所以G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. 所以O→G＝13(a＋b＋c)；G→H＝－13a.
归纳升华 1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表 示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一 的． 2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问 题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的 应用．
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C＝M→A＋ A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)＝－12A→B＋A→P＋12(－A→P＋A→D＋A→B) ＝12A→P＋12A→D＝12e3＋12e2.所以M→N＝0，12，12.
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的把直角边放在坐标轴上．
2．求空间向量坐标的一般步骤．
(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
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解析：根据已建立的空间直角坐标系 知 A(0，0，0)，C(2，2，0)，C1(2，2，1.5)，
D(0, 2，0)，则A→D的坐标为(0，2，0)， A→C1的坐标为(2，2，1.5)，A→C的坐标为(2，2，0)． 答案：(0，2，0) (2，2，Fra Baidu bibliotek.5) (2，2，0)
5．设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是 空间的一组基底，给出下列向量组：
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c 全不
是零向量；
③如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个
基底，则一定有 a 与 b 共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
解析：①④错误，②③正确．
答案：C
D．3
2．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量 的一个基底的是( )
类型 1 基底的概念与判断(自主研析) [典例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b， b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解：假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ，μ 使 得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以 a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. 因为{a，b，c}为基底．所以 a，b，c 不共面． 所以11＝＝μλ，， 此方程组无解，所以 a＋b，b＋c，c＋a
第三章 空间向量与立体几何
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
[学习目标] 1.空间向量基本定理(重点)． 2.用基底 表示已知向量(难点)． 3.在不同坐标系中向量坐标的相 对性(易错点)．
[知识提炼·梳理] 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
所示的空间直角坐标系中，求向量M→N的坐标．
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解：因为 PA＝AD＝AB＝1， 所以可设A→B＝e1，A→D＝e2，A→P＝e3.
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(3)空间向量的坐标表示：空间任一向量 p 作正交分 解可得 p＝xi＋yj＋zk，则 x，y，z 称作向量 p 在单位正交 基底{i，j，k}下的坐标，记作 p＝(x，y，z)．
温馨提示 空间一点的坐标的确定方法
对空间的一点 P(x，y，z)，如图①所示，过点 P 作面 xOy 的垂线，垂足为 P′，在面 xOy 中，过 P′分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z| ＝PP′，根据点 A，C，D 的位置即可确定 x，y，z 的符号．
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[迁移探究 1] (改变问法)其他条件不变，典例 3 问 法改为：求向量N→D的坐标．
解：因为 PA＝AD＝AB， 设A→B＝e1，A→D＝e2，A→P＝e3， 因为N→D＝M→D－M→N＝A→D－A→M－12A→P＋12A→D＝ 12A→D－12A→B－12A→P＝－12e1＋12e2－12e3， 所以N→D＝－12，12，－12.
温馨提示 1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知 向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而 且表示的结果是唯一的． 2．空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共 面向量均可作为空间向量的基底．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
例如，在图②所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB ＝3，AD＝2，AA1＝1，则 A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0， 3，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3， 1)，D1(0，0，1)．
[思考尝试·夯基] 1．给出的如下四个命题． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
解：因为 PA＝AD＝AB，且 PA⊥平面 ABCD，AD ⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3.
分别以 e1，e2，e3 为单位正交基底建立空间直角坐标
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何 3 - 精品课件pp t( 实用版)
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[迁移探究 2] (变换条件)其他条件同典例 3，空间直 角坐标系的建立不同于典例 3.建立如图所示的空间直角 坐标系，求M→N，D→C的坐标．