递推数列的特征根法

合集下载

特征方程特征根法求解数列通项公式

特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p).（2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则λ=1/（1-2）= -1那么A（n+1）+1=2（An+1）二：再来个有点意思的,三项之间的关系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],则m+k=p, mk=q（2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意：①m n为（※）两根。

②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。

例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。

那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。

求递推数列通项的特征根法与不动点法

求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa B a Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ．此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++ 由12,a =得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-．。

特征根法求通项公式

特征方程法‎ 解递推关系‎中通项公式一、（一阶线性递‎推式）若已知数列‎}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个‎,1,0≠≠c c 数列的通项‎公式。

采用数学归‎纳法可以求‎解这一问题‎，然而这样做‎太过繁琐，而且在猜想‎通项公式中‎容易出错，这里提出一‎种易于掌握‎的解法——特征方程法‎：针对问题中‎的递推关系‎式作出一个‎方程称之为‎,d cx x +=特征方程；借助这个特‎征方程的根‎快速求解通‎项公式.下面以定理‎形式进行阐‎述.定理1：设上述递推‎关系式的特‎征方程的根‎为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征‎,1,0≠c 方程得作换‎.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两‎例，说说说说明‎定理1的应‎用.例1．已知数列满‎}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为‎}{n b 31-公比的等比‎数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满‎}{n a 足递推关系‎：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数‎i 单位。

特征根法简介及数列求和应用

定义特征根法是解常系数线性微分方程的一种通用方法。

特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。

r*r-p*r-q称为二阶齐次线性差分方程: a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。

方法对微分方程：设特征方程r*r-p*r-q=0两根为r1，r2。

1 若实根r1不等于r2y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).2 若实根r1=r2y=(c1+c2x)*e^(r1x)3 若有一对共轭复根a±biy=e^ax*[c1cos(bx)+c2sin(bx)]对差分方程：1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则a(n)=c1*r1^n+c2*r2^n其中常数c1,c2由初始值a(0)=a,a(1)=b唯一确定。

(1) c1r1+c2r2=a;(2) c1r1^2+c2r2^2=b2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=ra(n)=(c1+nc2)r^n其中常数c1,c2由初始值唯一确定。

(1) a=(c1+c2)r(2) b=(c1+2c2)r^23 若特征方程有一对共轭复根a±bi=re^±iφa(n)=r^n*[c1cos(nφ)+c2sin(nφ)]a(0)=c1a(1)=r*[c1cosφ+c2sinφ]一类重特征根对方程解的简便解法对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.有关数列的特征根法--可以解决下面两种常见数列的通项公式.一、形如1n n n Aa Ba Ca D++=+令Ax B x Cx D+=+，解得1x α=，2x β=①若αβ=，则1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；②若αβ≠，则n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列.例1（1）若113n n n a a a +-=+，12a =，求n a .（2）若123nn n a a a +=+，12a =，求n a .（3）若1261n n n a a a ++=+，12a =，求n a .解：（1）令13x x x -=+，1x =-，则11111n n a a +-++=12所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为13，公差为12的等差数列，11126n n a =-+，7331n na n -=-. （2）略（3）令261x x x +=+，12x =-，23x =.11331242n n n n a a a a ++--=-++，则数列32n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为14-，公比为14-的等比数列，从而3124nn n a a -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，52114n na =-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.二、形如21n n n Aa Ba Ca D++=+，其中2C A =.令2Ax Bx Cx D+=+，解得1x α=，2x β=，则211n n n n a a a a ααββ++⎛⎫--= ⎪--⎝⎭.例2若2112n n n a a a ++=，12a =，求n a .解：令2112x x x x+=⇒=±. 2111111n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭.而111113a a -=+，则213331111log log 2log 111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫---== ⎪+++⎝⎭，所以数列31log 1n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为-1，公比为2的等比数列，从而()131log 121n n n a a --=-⋅+， ()1121211313n n n n a a ---⋅-⎛⎫== ⎪+⎝⎭，1122113113n n n a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.或由2111111n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭得到 124212112*********n n n n n n n a a a a a a a a -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=== ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1213n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，以下略。

一类线性递推数列求通项的特征根法的探讨

（临沂大学继续教育学院，山东费县２３０）７４０
摘
要：求线性递推数列的通项是高考中的重点和难点，此类问题的解法繁琐且易出错，本文探讨了常见的特征根
法，出了相关例子，明其普遍性、给说实用性。
关键词：推数列；项公式；征根法递通特
１１二阶递推式数列解的性质．由递推式
口＋＝Ａａ＋＋２２ｌｌＡａ，（）２
确定的通项公式的解的性质。性质１若ｎ和ｇｎ分别是满足递推式数列（）的通项０）（）２式的解，则ｎｇ））＋（也是满足（）的２式通项ｎ的解。
（＋１Ａｎｌ＋（一）＝。）十ＡＡＢｌ１０
两边同乘以非零的Ａ，等式仍然成立，上即
（＋１Ａ＋忍１＋１一１Ａ一０），ＡＢ（４）＝，
从而可以知道ｎ也是给定递推式数列（）的一个特解。因此有ＣＡＡ２１＋Ｃｎ定递推式数列（）２Ａ给２的
作者简介：佩民（９７）男，赵１６一，山东费县人，副教授，要从事动态课堂生成与数学教育方面研究。主
６０
长
春
大
学
学
报
第２卷ｌ
（）当Ａ＝；４。ｏ时，３有两个相等的实数Ａ显然Ａ是（）２Ａ一Ｂ＝（），ห้องสมุดไป่ตู้ ２的一个特解，并且ｎＡ也是（）２的

浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用

浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用以往浙江每年高考理科数学都会考数列，而且往往以压轴题出现，难度都比较大， 09年浙江高考理科没有考数列大题，文科考了等差数列，题目相对简单，但在全国其它省市中（如安徽、山东、广东、宁夏、海南、天津、江西等）经常考数列大题，题目有难有易，比如广东和江西的较难。

而各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

如：（08年广东高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………2）求数列{x n }的通项公式。

3）若1=p ，41=q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年江西高考)各项均为正数的数列{}n a 中都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，=+++)1)(1(m n mn a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++， 1）当时，求通项54,21==b a n a 。

像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。

本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。

类型一递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。

先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足⎩⎨⎧-==+qx x px x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。

特征根法求数列通项推导

特征根法求数列通项推导
特征根法是一种求解线性递推数列通项的方法。

该方法先求出数列的递推关系式，然后通过特征根分解的方式得到数列的通项公式。

具体步骤如下：
1. 求出数列的递推关系式：
设数列为{an}，递推式为an=ra(n-1)+sa(n-2)，其中r和s为常数。

2. 将递推式改写成矩阵形式：
设矩阵A为[ r s 1 0 ]，列向量Xn为[an an-1 an-2 1]，则有Xn=AXn-1。

3. 求出矩阵A的特征多项式：
特征多项式为det(A-λE)，其中E为单位矩阵，λ为特征值。

4. 求出矩阵A的特征值：
解特征多项式得到矩阵A的特征值λ1、λ2、λ3、λ4。

5. 求出矩阵A的特征向量：
将λ1、λ2、λ3、λ4带入(A-λE)X=0中，解出矩阵A的特征向量。

6. 将矩阵A分解成特征向量的形式：
将特征向量组合成矩阵P，将特征值组合成对角矩阵D，得到
A=PDP^-1。

7. 求出数列的通项公式：
将A=PDP^-1带入Xn=AXn-1中，得到数列的通项公式为an=c1λ
1^n+c2λ2^n+c3λ3^n+c4λ4^n，其中c1、c2、c3、c4为常数，根据初始条件可求出。

数列特征根和不动点法解题原理

数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。

1. 原理。

- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。

- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。

- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。

- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。

2. 例题。

- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。

- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。

- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。

- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。

- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。

- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。

- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。

- 所以a_n=-1 + 2^n。

- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。

- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。

- 解得x_1=x_2=1。

- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。

- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。

- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。

- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。

- 所以a_n=n。

二、数列不动点法。

1. 原理。

- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。

求数列通项公式之特征根法

求数列通项公式之特征根法好的，以下是为您生成的关于“求数列通项公式之特征根法”的文章：在咱们学习数列的奇妙世界里，求通项公式可是个关键的大关卡。

今儿个，咱就来好好唠唠这个特征根法。

咱先来说说啥是特征根法。

这就好比给数列这个神秘的家伙找个独特的密码，有了这个密码，咱就能清楚地知道它的规律和走向。

比如说，对于形如$a_{n + 2} = pa_{n + 1} + qa_{n}$这样的递推关系，咱们就可以通过特征方程$x^2 = px + q$来找特征根。

举个例子吧，有这么个数列，$a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - 2a_{n}$，咱先写出特征方程$x^2 = 3x - 2$，解这个方程，算出特征根$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。

这时候，通项公式就可以写成$a_{n} = A\times 1^n +B\times 2^n$。

接下来，咱就得根据初始条件，比如给了$a_1$和$a_2$的值，去求出$A$和$B$。

记得我当年教学生的时候，有个小家伙就被这个特征根法给绕晕了。

那是个下午的数学课，阳光透过窗户洒在教室里，照得人有点懒洋洋的。

可咱这课还得继续上呀。

我在黑板上写了一道例题，正讲得眉飞色舞呢，一回头，就看见那小家伙一脸迷茫，眉头皱得能夹死苍蝇。

我走过去问他：“咋啦，没听懂？”他可怜巴巴地点点头。

我就又从头给他讲，一步一步，慢慢地，直到他的眼睛里终于有了亮光，恍然大悟地说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。

再比如说，要是特征方程有重根，那情况又有点不一样啦。

假设特征方程的根是$x_0$，那通项公式就变成$a_{n} = (An + B)x_0^n$。

这里的$A$和$B$还是得靠初始条件来确定。

这特征根法呀，虽然刚开始学的时候可能会觉得有点头疼，但只要多做几道题，多琢磨琢磨，就能发现其中的乐趣和规律。

就像解一个神秘的谜题，每解开一道，那种满足感简直爆棚。

而且，这特征根法在解决一些复杂的数列问题时，那可是大显身手。

「学习笔记」特征根法求解数列问题

「学习笔记」特征根法求解数列问题听说特征法是数学中解常系数线性微分⽅程的⼀种通⽤⽅法。

⽽这⾥简单谈谈特征根法的运⽤：⽤数列的递推公式求通项公式，⽤通项公式求递推公式特征根⽅法的证明需要线性代数相关知识，留坑。

斐波那契数列的公式推导：定义Fibonacci数列：f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n−1)+f(n−2),n≥2考虑这个递推式：f(n)=f(n−1)+f(n−2)，找到⼀个⼀元⼆次⽅程与之对应（⼆次项对应f(n)，⼀次项对应f(n−1)，常数项对应f(n−2)）x2=x+1这个⽅程称为特征⽅程。

解出来特征根：x1=1+√52,x2=1−√52则f(n)=c1x n1+c2x n2。

把f(0)=0,f(1)=1代⼊，得到了：c1+c2=0,c1x1+c2x2=1解得：c1=1√5,c2=−1√5，整理后得到：f(n)=1+√52n−1−√52n√5⼀般递推式的解法形式化地，考虑形如f(n+2)=pf(n+1)+qf(n)的递推式⼦我们把上⾯的式⼦换成：f(n+2)−(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0显然x1+x2=p,x1x2=−q。

所以x1,x2是x2−px−q=0的两个根f(n)就可以表⽰成C1x n1+C2x n2,C1,C2是常数没有实数解怎么办？⽤复数。

反求递推式某些时候通项公式可能不好计算，我们只能求出递推式然后矩阵快速幂求看⼀个例⼦：f(n)=(√a+b)n+(√a−b)n2令x1=√a+b,x2=√a−b特征根⽅程即x2−2bx+(b2−a)=0（韦达定理）所以f(n)=2bf(n−1)−(b2−a)f(n−2)()() Processing math: 100%。

特征根法求数列的通项公式

=
��1��−1
��1
=
4
+
3 2
=
121,��
=
11 2
−1
3
��−1
��
=
−3
2
+
��
=
−
3 2
+
11 2
−1
3
��−1
, �� ∈ ��.
��+2 = ��+1 + ��
证明
证明：若数列 �� 满足��1 = ��,��+1 = �� + ��, 其中�� ≠ 0、1,证明：这个数列的通项公式为�� = �� + ��，其中数列 �� 是以��为公比的等比数列，�� = ��1��−1, ��1 = ��1 − ��.
例1
已知数列
��
满足：��1
= 4,��+1
=
−
1 3
��
− 2，
�� ∈ ��, 求��的通项公式.
解：做方程��
=

数列高中数学特征根法

数列高中数学特征根法
特征根法是一种解决数列问题的有效方法，特别是对于一些特定类型的数列问题，如差分方程、递推关系等。

这种方法的关键在于找到一个特征方程，该方程的根决定了数列的某些性质。

以下是一个使用特征根法解决数列问题的基本步骤：
1.确定数列的性质：首先，你需要确定数列的性质，例如是否是等差数列、
等比数列或者具有其他特定的递推关系。

2.建立递推关系或差分方程：基于数列的性质，建立一个递推关系或差分方
程。

这个方程描述了数列中项与项之间的关系。

3.找到特征方程：对于一些特定的递推关系或差分方程，可以找到一个与之
相关的特征方程。

这个特征方程是关于该递推关系的根的方程。

4.求解特征方程：求解特征方程，找到它的根。

这些根（特征根）决定了数
列的某些性质，例如数列的通项公式、周期性等。

5.应用结果：使用特征根来求解或分析数列的其他性质。

例如，如果特征根
是实数，那么数列可能是周期的；如果特征根是复数，那么数列可能是振荡的。

求递推数列通项的特征根法

龙源期刊网
求递推数列通项的特征根法
作者：王秀泽
来源：《中学教学参考·理科版》2013年第02期
递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明.因而求递推数列的通项公式问题成为高考命题中颇
受青睐的考查内容.下面给出求递推数列通项公式的几种常用特征根法.通过仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键.。

(完整版)特征根法求数列通项

特征根法求解数列递推公式类型一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列（二阶线性递推式）形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①（1）若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）（2）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=类型二、形如1n n n Aa B a Ca D++=+的数列（分式递推式）对于数列1n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② （1）若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数）代入12,a a 的值可求得c 值。

(完整版)数列中最难问题

求递推数列通项的特征根法高二文科段杜幼兰2008年全国共37套高考数学试题（包括文、理试题），有25套（10套文科试题、15套理科试题）在数列的解答题考查了“递推数列”，本文对求递推数列通项的一个重要方法——特征根法作一小结如下。

一、形如d ca a n n +=+1（d c ,是常数）的数列形如m a =1，d ca a n n +=+1（d c ,是常数）的一阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为d cx x +=，若c ＝1，则数列为等差数列，其通项公式易得。

若c ≠1，由特征方程d cx x +=，得cd x -=1 则)(1x a c x a n n -=-+，∴x c x m a n n +-=-1)(二、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+ 例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴= 三、形如DCa B Aa a n n n ++=+1的数列对于数列D Ca B Aa a n n n ++=+1，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题求递推数列通项的特征根法
一、形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得
例1已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
例2已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，
二、形如的数列
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。

这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。

这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得
例3已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，
例4已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，。