递推数列的特征根法

专题求递推数列通项的特征根法

一、形如是常数）的数列

形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①

若①有二异根，则可令是待定常数）

若①有二重根，则可令是待定常数）

再利用可求得，进而求得

例1已知数列满足，求数列的通项

解：其特征方程为，解得，令，

由，得，

例2已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，

二、形如的数列

对于数列，是常数且）

其特征方程为，变形为…②

若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。

这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得

若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。

这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得

例3已知数列满足，求数列的通项

解：其特征方程为，化简得，解得，令

由得，可得，

数列是以为首项，以为公比的等比数列，

，

例4已知数列满足，求数列的通项

解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，

数列是以为首项，以为公差的等差数列，

，