圆和圆的位置关系经典例题+练习

例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ，它们相交于A 、B 两点，且AB 长24cm ，求O 1O 2长。

分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧；

因此，我们必须分两种情况来解。 解：（1）连结O 1O 2交AB 于C （2）连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥，且O O AB AC AB cm 121

2

12=

= 在Rt △AO 1C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 22222213125=

-=-=

∴如图（1） O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm

如图（2） O 1O 2=O 1C －O 2C=4cm

例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。

例2. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ，AP 交⊙O 2于D ，求证：

（1）PC 平分∠BPD

（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。 证明：（1）过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C

∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC

在⊙O1中，由弦切角定理：

∠BPM=∠A

∵∠CPD为△APC的外角

∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC

∴PC平分∠BPD。

（2）两圆内切时仍有这样的结论。

证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M

∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP

∴∠MPC=∠MCP

∴∠MPB=∠A

∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A

又∠MPC=∠MPB+∠BPC

∴∠BPC=∠CPA

即PC平分∠BPD。

在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。

从这道题我们还可以联想到做过的两道题，

①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129例4）

②当APD经过O1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。

例3. 如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：

（1）AC=CE

（2）AC2=DB2－BC2

分析：（1）易证

（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。

证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G，

∵OA为⊙O1直径∴OC⊥AE

在⊙O中OC⊥AE ∴AC=CE

（2）在⊙O中，∵DG⊥直径AF ∴DB=GB

由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）

∵AC=CE ∴AC2＝DB2－BC2

本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。

例4. 如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，

（1）求证：PA·PE=PC·PD

（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。

分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。

（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。

（1）证明：∵PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线

∴·∴PA PB PD PB PA PD

2

2 ==

在⊙O2中由相交弦定理

PA PC PB PE PB PA PC

PE

··∴·

==

∴

·

∴··PA

PD

PA PC

PE

PA PE PC PD 2

==

（2）连结AB、CE

∵CA切⊙O1于A AB为弦∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E

∴∠D=∠E ∴AD ∥CE

∴

∵PC PA PE

PD

PC PA PD ====2612

∴·×PE PC PD PA =

==212

6

4 由相交弦定理：··∴×PB PE PC PA

PB ==

=26

4

3 ∴BE=3+4=7 DB=12－3=9

由切割线定理 AD 2=DB ·DE=9×(9+7) ∴AD=12 解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。

例5. 如图，已知：⊙O 与⊙B 相交于点M 、N ，点B 在⊙O 上，NE 为⊙B 的直径，点C 在⊙B 上，CM 交⊙O 于点A ，连结AB 并延长交NC 于点D ，求证：AD ⊥NC 。

分析：要证AD ⊥NC ，我们可证∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，这里可用到的是①NE 为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC ，而∠ECM=∠ENM ，又可利用圆内接四边形的性质得∠ENM=∠CAD ，从而得证。 证明：连结EC

∵EN 为直径 ∴∠ECM+∠ACD=90°

∵四边形ABNM 内接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE

∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠ADC=180°－90°=90° ∴AD ⊥NC

从证明中可见点B 在⊙O 上这一条件的重要性。

例6. 如图：已知△DEC 中DE=DC ，过DE 作⊙O 1交EC 、DC 于B 、A ，过A 、B 、C 作⊙O 2，过B 作BF ⊥DC 于F ，延长FB 交⊙O 1于G ，连DG 交EC 于H ，

（1）求证：BF 过⊙O 2的圆心O 2

（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG 的长。

分析：要证BF 过⊙O 2圆心O 2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF 交⊙O 2于M ，连CM ，去证∠MCA+∠ACB=90°，而连AB 后可得∠MCA 转移到∠MBA ，