圆和圆的位置关系经典例题+练习
专题05 圆和圆的位置关系4种常见压轴题型全攻略(原卷版)
专题05圆和圆的位置关系4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一由半径和圆心距的关系求两圆相交的计算】 (1)【考点二两圆相切时求半径和圆心距的相关计算】 (2)【考点三由交点个数求两圆位置关系的计算】 (2)【考点四动点问题在两圆位置关系中拓展应用】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一由半径和圆心距的关系求两圆相交的计算】如果两圆的半径分别是和，圆心距为，那么这两圆的位置关系是（O1O2的长度是（）A．2B．8C．2或8D．2＜O2O2＜8【变式3】已知圆A和圆B相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（）．A．5cm B．11cm C．3cm D．5cm或11cm【考点三由交点个数求两圆位置关系的计算】．．．A ．5B ．6C ．7【变式3】如图，已知⊙C 有两点A 、B ，且OA OB =【过关检测】一、单选题1．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（）A ．内切B ．外切C ．内含D ．外离2．如果⊙O 1和⊙O 2内含，圆心距O 1O 2=4，⊙O 1的半径长是6，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是（）A ．02r <<B ．24r <<C ．>10D ．02r <<或>103．如图，在梯形ABCD 中，已知AD BC ∥，3AD =，9BC =，6AB =，4CD =，分别以AB 、CD 为直径作圆，这两圆的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离4．若两圆的半径分别是3和4，圆心距为8，则两圆的位置关系为（）A ．相交B ．内含C ．外切D ．外离5．点P 到⊙O 的最近点的距离为2cm ，最远点的距离为7cm ，则⊙O 的半径是（）A ．5cm 或9cmB ．2.5cmC ．4.5cmD ．2.5cm 或4.5cm6．已知两圆半径r 1、r 2分别是方程x 2-7x +10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A ．相交B ．内切C ．外切D ．外离7．圆心距为6的两圆相外切，则以这两个圆的半径为根的一元二次方程是（）A ．B ．2610x x -+=C ．2560x x -+=D ．2690x x ++=二、填空题．若相切两圆的半径分别是方程的两根则两圆圆心距的值是三、解答题17．如图，⊙1O 和⊙2O 相交于A 、B 两点，12O O 与AB 交于点C ，2O A 的延长线交⊙1O 于点D ，点E 为AD 的中点，AE=AC ，连接1O E ．（1）求证：11O E OC =；（2）如果1O 2O ＝10，16O E =，求⊙2O 的半径长．18．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点T ，经过点T 的直线与⊙O 1、⊙O 2分别相交于点A 和点B ．(1)求证：O1A∥O2B；(2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．19．如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、点C，AC与BD交于点P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以点P为圆心作圆，圆P与直线BC相切．①求圆P的半径长；②又BC＝8，以BC为直径作圆O，试判断圆O与圆P的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB、CD为直径的两圆外切，求证：△ABC与△BCD相似．。
圆与圆的位置关系(含答案)
圆与圆的位置关系一、选择题1．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________． 【答案】3或172．已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切 【答案】B3．已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是 A ．1 cm B ．5 cmC ．1 cm 或5 cmD ．0.5cm 或2.5cm【答案】C4．已知两圆的半径分别为3cm ，5 cm ，且其圆心距为7cm ，则这两圆的位置关系是（A ）外切 （B ）内切 （C ）相交 （D ）相离 【答案】C5．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，圆心距O 1O 2=2cm ，这两圆的位置关系是A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含 【答案】C6．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)外离 【答案】B7．如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1,⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水 平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm,弧AB 的最低点到l 1的距离为30 mm,公切线l 2与l 1间的 距离为100 mm.则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm 【答案】B8．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）． A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 【答案】B ．9．外切两圆的半径分别为2 cm 和3cm ，则两圆的圆心距是A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．5cm【答案】D第10题图AB单位：mml 1l 210．已知两圆的半径分别是3和2，圆心的坐标分别是（0，2）和（0，-4），那么两圆的位置关系是（ ）A.内含B.相交C.相切D.外离 【答案】D11．已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d 的取值满足 （）A ．9d >B ． 9d =C ． 39d <<D ．3d = 【答案】D12．如图（四）在边长为1的小正方形组成的网格中，半径为2的1O 的圆心1O 在格点上，将一个与1O 重合的等圆向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到2O ，则2O 与1O 的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离图（四） 【答案】C13．已知圆O 1、圆O 2的半径不相等，圆O 1的半径长为3，若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3，则圆O 1与圆O 2的位置关系是（ ）A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含 【答案】A14．两圆的圆心距为7cm ，半径分别为5cm 和2cm ，则两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．外离D ．内含 【答案】B15．已知两圆的半径分别是2㎝和4㎝，圆心距是6㎝，那么这两圆的位置关系是 （A ）外离 （B ）外切 （C ）相交 （D ）内切 【答案】B16．如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（ ）．A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D17． 若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切 【答案】B18． 已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）外切 （C ）外离 （D ）内含 【答案】A 19． 已知⊙O 1的半径为5㎝, ⊙O 2的半径为6㎝,两圆的圆心距O 1 O 2=11㎝,则两圆的位置关系为( )A ．内切B ． 外切C ．相交D ．外离 【答案】B20．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B21．已经⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5cm,、8cm ，且他们的圆心距为8cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系为（ ）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含 【答案】B22．已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2cm 和3cm ，两圆的圆心距为5cm ，则两圆的位置关系是（ ） A ．外切 B ．外离 C ．相交 D ．内切 【答案】A23．有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d ，若两圆有公共点，则.71<<d 其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A24．已知方程0452=+-x x 的两根分别为⊙1与⊙2的半径，且O 1O 2＝3，那么两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 【答案】C25．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为2和3，两圆相交，则两圆的圆心距m 满足（ ）A ．m =5B ．m =1C ．m ＞5D ．1＜m ＜5 【答案】D26．已知两圆的半径分别为R 和r （R ＞r ），圆心距为d ．如图，若数轴上的点A 表示R －r ，点B 表示R ＋r ，当两圆外离时，表示圆心距d 的点D 所在的位置是（A ）在点B 右侧 （B ）与点B 重合（C ）在点A 和点B 之间 （D ）在点A 左侧 【答案】A27．已知大圆的半径为5，小圆的半径为3，两圆圆心距为7，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含 【答案】C28．在数轴上，点A 所表示的实数是－2，⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为1，若⊙B 与⊙A 外切，则在数轴上点B 所表示的实数是： （ ）A ．1B ．－5C ．1或 －5D ．―１或―3 【答案】C29．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B30．）已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A.内含 B.内切 C.相交 D.外切【答案】B31．两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则反映这两圆位置关系的为图（ ）。
圆与圆的位置关系(含答案)
一、选择题1. （2011浙江台州，8,4分）如图，图2 是一个组合烟花（图1）的横截面，其中16个圆的半径相同，点O1、O2、O3、O4分布是四个角上的圆的圆心，且四边形O1O2O3O4正方形。
若圆的半径为r ，组合烟花的高度为h ，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（解缝面积不计）（ ）A. 26πrhB. 24rh ＋πrhC. 12rh －2πrhD. 24rh ＋2πrh2. （2011浙江温州，8，4分）已知线段AB ＝7cm ．现以点A 为圆心，2cm 为半径画⊙A ；再以点B 为圆心，3cm 为半径画⊙B ，则⊙A 和⊙B 的位置关系是( ) A ．内含 B ．相交 C ．外切 D ．外离 3、（2012年浙江金华四模）已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为1，则两圆的位置关系是 （ ）Ａ．相交 Ｂ．内切 Ｃ．外切 Ｄ．内含4、（2012年浙江金华五模）如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱组成，小刚准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的俯视图应该是（ ） A ．两个相交的圆 B ．两个内切的圆 C ．两个外切的圆D ．两个外离的圆5、(2012温州市泰顺九校模拟)在R t △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A ．π825 B ．π425C ．π1625 D ．π3225 6、（2012年浙江省金华市一模）已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7、（2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）两圆的圆心都在x 轴上，且两圆相交于A ，B 两点，点A 的坐标是（3，2），那么点B 的坐标为 （ ）A ．（–3，2）B ．（3，–2）C ．（–3，–2）D ．（3，0）. 8．（2010浙江绍兴）如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O1,⊙O2均与⊙O 的弧AB 相切,且O1O2∥l1( l1为水平线)，⊙O1,⊙O2的半径均为30 mm,弧AB 的最低点到l1的距离为30 mm,公切线l2与l1间的距离为100 mm.则⊙O 的半径为( ) A.70 mm B.80 mm C.85 mm D.100 mm(第4题图)第5题图第9题图9．（2012广西贵港）如图所示，在矩形ABCD 中，8=BC ，6=AB ，经过点B 和点D 的两个动圆均与AC相切，且与DC AD BC AB 、、、分别交于点F E H G 、、、，则GH EF +的最小值是A ．6B ．8C ．6.9D ．1010. （盐城市亭湖区2012年第一次调研考试）要在一个矩形纸片上画出半径分别是9cm 和4cm 的两个外切圆，该矩形纸片面积的最小值．．．是（ ）。
圆与圆的位置关系典型例题
圆与圆的位置关系典型例题
一、两个圆的半径分别为3和5，圆心之间的距离为7，则这两个圆的位置关系是？
A. 相离
B. 外切
C. 相交
D. 内切
（答案）C
二、已知两圆的半径之和为10，半径之差为4，圆心距为6，那么这两个圆的位置关系是？
A. 内切
B. 外切
C. 相交
D. 相离
（答案）A
三、设两圆的半径分别为R和r，且R > r，圆心距为d，若d = R - r，则两圆的位置关系为？
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 相离
（答案）C
四、两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离为1，则两圆的位置关系是？
A. 相离
B. 外切
C. 内切
D. 相交且一圆内含于另一圆
（答案）D
五、圆O1和圆O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距O1O2为5cm，则圆O1和圆O2的位置关系是？
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 相离
（答案）B
六、两个圆的半径分别为6和8，圆心之间的距离为2，则这两个圆的位置关系是？
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 一圆内含于另一圆
（答案）D
七、已知两圆的半径分别为5和3，圆心距为8，那么两圆的位置关系是？
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 无法确定
（答案）B
八、两个圆的半径分别为4和6，圆心之间的距离为10，则这两个圆？
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 相离
（答案）B。
圆与圆的位置关系同步练习3.doc
%1.填空题：1. 两圆的半径分别是4cw和2cm ,圆心距是5w?,则两圆的位置关心是；2. 两个圆有三条公切线，那么这两个圆的位置关系是；3. 若两园外切，圆心距为16an ,且两园的半径之比为5： 3,则大圆的半径为,小圆的半径为;4. 若两园外切，半径分别为6cm和4m,则其外公切线的长为:5. 若两园相切，半径分别为10函和5cm,则两园的圆心距的长为；6. 已知G)Q与的半径分别是3和2,如果它们既不相交又不相切，那么它们的圆心距6/的范围是；7. 已知两圆半径分别为3cm和7cm,如果两圆相交，则圆心距d的范围是, 如果两圆外离，则圆心距d的范围是；8. 相切两圆的连心线，必经过,相交两圆的连心线；9. 已知两圆的半径分别为2、3,如果它们既不相交，又不相切，则圆心距d的取值范围是;10. 已知两圆的圆心距是5,两圆的半径是方程4x2-20x4-21= 0的两实根，则两圆的位置关系是:11. 若两圆相切，则两圆的公切线的条数是；12. 己知两圆的半径为3和4,这两个圆的圆心距是方程X2-8X-20= 0的一个根，则这两个圆的公切线的条数是:%1.选择题：13. 如果两圆的半径为5、9,圆心距为3,那么两圆的位置关系是( )3.3与圆的位置关系同步练习A 外离B 相切C 相交14. 。
0］和。
2相内切，若0)02=3,。
0］的半径为7,则A 4B 6C 015. 如果半径分别为10 cm和8 cm的两圆相交，公共弦长12 cm, 氏为_ 252 肝cm一cmD 内含2的半径为( )D 以上都不对且两圆的圆心在公共弦两旁，则圆心距( )32^7D -------- cm16.巳知两圆外切时,圆心距为10 cm,距为A 小于10 cmB 小于2 cm 且这两圆半径之比为3：C 小于5 cm2,如果两圆内含时，( )D 小于1 cm那么这两圆的1员1心17.已知两圆的半径分别为6 cm和3 cm,圆心距为10 cm,则两圆公切线的条数为( )18.19. 20. 外离外切相交在两圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系中,已知两圆有旦只有两条公切线，则两圆的位置关系是内切外离外切D 内切公切线条数少于三条的共有相交22.外离外切相交两圆的半径的比为2： 3,当两圆内切时，圆心距是4 cm,20 cm14 cm11 cm 内切当两圆外切时圆心距为( 5 cm 23. A 、 外离 B 、 外切 C 、相交 D 、内切24.两圆的半径分别是R 和r,圆心距d, 且满足关系式(R + r)(R -r) = dQR - d)，则两圆的公切线共A、1条 B 、 3条C、4条 D 、(A)16 (B)(C)2或16 (D)以上答案都不对.在下列四个命题中,正确的是A 两圆的外公切线的条数不小于它们的内公切线的条数B相切两圆共有三条公切线C 无公共点的两圆必外离D 两圆外公切线的长等于圆心距己知两圆的半径之和为12cm,半径之差为4cm,圆心距为4cm,则两圆的位置关系如果两圆共有四条公切线，那么这两网的位置关系为圆心距为6,宜径分别是方程X 2-6X + 7 = 0的两根的两圆位置关系是25 .若半径为7和9的两圆相切，则这两圆的圆心距长一定为26 .若。
(完整版)初中中考复习之圆与圆的位置关系(精编含答案)
中考复习之圆与圆的位置关系一、选择题：1.如果两圆的半径长分别为 6 和2，圆心距为 3，那么这两个圆的位置关系是【】A.外离B．相切C．相交D．内含2.若两圆的半径分别为 2cm 和6cm，圆心距为 4cm，则这两圆的位置关系是【】A.内含 B．内切 C．外切 D．外离3.如图，用邻边分别为 a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以 a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则 a 与b 满足的关系式是【】A．b= a B．b= 5+1a2C．b=5a2D．b= 2a4.已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【】A.13cm.B. 8cmC. 6cmD. 3cm5.已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【】A.外离B.内切C.相交D.内含6.若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离7.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】A.外切B．相交C．内切D．内含8.⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm 和4cm，如果O1O2＝7cm，则这两圆的位置关系是【】A.内含B．相交C．外切D．外离9.若两圆的半径分别为2 和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为【】A.外切B. 内切C. 外离D. 相交10.如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为 1.点⊙P（a,0），⊙P的半径长为 2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a 的值为【】（A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1，±311.已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【】A.8cm B．5cm C．3cm D．2cm12.⊙O1的半径为3 厘米，⊙O2的半径为2 厘米，圆心距O1O2=5 厘米，这两圆的位置关系是【】A.内含B．内切C．相交D．外切13.已知两圆的半径分别为1 和3，当这两圆内含时，圆心距d 的范围是【】A. 0<d<2B. 1<d<2C. 0<d<3D. 0≤d<214.圆心距为2 的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1 或2 (D)1 或315.第三十奥运会将于 2012 年7 月27 日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，下图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是【】 A 外离 B 内切 C 外切 D 相交16.已知两圆相外切，连心线长度是 10 厘米，其中一圆的半径为 6 厘米，则另一圆的半径是【】A．16 厘米B．10 厘米C．6 厘米D．4 厘米17.如果两圆的半径分别为4 和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是【】A.内含B．外离C．相交D．外切18.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为4 和6，O1O2＝2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】A.内切B．相交C．外切D．外离19.如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为【】A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm220.已知两圆的半径分别是3 和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为：【】A.外离B．相交C．内切D．外切21.已知两圆半径为5cm 和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是【】A.相交B．内含C．内切D．外切22.定圆O 的半径是4cm，动圆P 的半径是2cm，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是【】A.2cm 或6cm B．2cm C．4cmD．6cm23.若两圆的半径是方程x2﹣5x+6=0 的两个根，且圆心距是5，则这两圆的位置关系是【】A.内切B．相交C．外切D．外离24.已知两圆的直径分别为2cm 和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是【】A.相交B．外切C．外离D．内含25.已知两圆的半径分别为3cm、4cm，圆心距为8cm，则两圆的位置关系是【】A.外离B．相切C．相交D．内含二、填空题：1.半径分别为3cm 和4cm 的两圆内切，这两圆的圆心距为cm．2.如图，⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为cm。
2.5.2圆与圆的位置关系7题型分类(讲+练)(学生版) 24-25学年高二必修一数学同步知识题型
2.5.2 圆与圆的位置关系7题型分类一、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．2．判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，联立方程得{x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含二、圆与圆位置关系的应用设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．三、圆与圆的公切线1．公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数43210 2．公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离d=r求解.（一）圆与圆位置关系的判断判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出（二）圆与圆相交有关的问题1．圆系方程一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.3．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程．（三）圆与圆的位置关系的应用1．公切线的条数：由圆与圆的位置关系求解.2．公切线的方程：由圆心到切线的距离d=r求解.3.与圆有关的最值问题：利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．则圆1C 与圆2C ：222440x y x y +--+=的公切线共有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条4-5．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆1C ：2261020x y x y +---=与圆2C ：2241440x y x y ++++=公切线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型5：两圆的公切线方程5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆2221:(0)C x y m m +=>与圆222:24200C x y x y +---=恰有两条公切线，则满足题意的一个m 的取值为 ；此时公切线的方程为.5-2．（2024高二上·山东聊城·期末）已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22860+-++=x y x y m 相内切，则1C 与2C 的公切线方程为（ ）A ．3450x y --=B ．3450x y -+=C ．4350x y --=D ．4350x y -+=5-3．（2024·陕西渭南·二模）写出与圆221x y +=和圆226890x y x y ++-+=都相切的一条直线的方程.题型6：两圆的公切线长6-1．（2024高一·全国·课后作业）求圆221:4C x y +=与圆222:20840C x y x +++=的内公切线所在直线方程及内公切线的长．6-2．（2024高二上·广东云浮·期中）已知圆A 的方程为222270x y x y +---=，圆B 的方程为222220x y x y +++-=.(1)判断圆A 与圆B 是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.题型7：与圆有关的最值问题7-1．（2023秋·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校考阶段练习）已知圆22:20C x y x m +-+=与圆(1)求2212r r +的值；(2)若直线l 与圆1O ､圆2O 分别切于,P Q 两点，求||PQ 的最大值.一、单选题1．（2024高二上·贵州黔东南·期末）已知圆221:1C x y +=与圆()()()2222:221C x y r r -+-=>有两个交点，则r 的取值范围是（ ）A ．()1B ．()1,1C ．(1ùûD ．1,1éùëû2．（2024高二上·湖南郴州·期末）与两圆221:(1)(2)1C x y -++=和222:(1)(3)9C x y ++-=都相切的直线有（ ）条A ．1B ．2C ．3D ．43．（2024·山西·模拟预测）已知圆221:(2)5C x y +-=和222:(2)5C x y ++=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A B ．C D ．4．（2024高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆221:244C x y x y +-+=，圆222:68240C x y x y ++++=，则圆1C ，2C 的位置（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离5．（2024高二上·全国·课后作业）已知圆2212610C x y x y ++-+=：与圆22242110C x y x y +-+-=：，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）A ．3460x y ++=B ．3460x y +-=C ．3460x y --=D ．3460x y -+=6．（2024高二上·浙江丽水·期末）若圆221:4C x y +=与圆2222:20C x y mx m m +-+-=外切，则实数m =（ ）A ．－1B ．1C ．1或4D ．47．（2024高二上·福建宁德·期中）圆()22(2)21x y -+-=与圆()()221225x y +++=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．内含D ．外离8．（2024高二上·安徽滁州·期末）已知圆C ：()()22124x y -++=，P 为直线l ：250x y -+=上的一点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，当PC AB ×最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．220x y +-=C ．220x y --=D ．230x y --=9．（2024高二下·河南洛阳·期末）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆1C ：()()22411x y -+-=与圆2C ：()2241x y +-=上的点，则||PM PN +的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．2D ．110．（2024高二上·广西河池·期末）已知点P 是圆221:(2)(10)4C x y +++=上的一点，过点P 作圆222:(3)(2)1C x y -+-=的切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1B ．C ．1D ．2+11．（2024·全国·模拟预测）已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．0条12．（2024高二上·上海杨浦·期末）两个圆1C ：()222240x y ax a a +++-=ÎR 与2C ：()222210x y by b b +--+=ÎR 恰有三条公切线，则a b +的最大值为（ ）A ．B ．-C ．6D ．－613．（2024高二上·河北保定·期末）若圆221:240C x y x y m +-++=与圆222:210C x y x ++-=恰有两条公共的切线，则m 的取值范围为（ ）A ．(13,3)-B ．(3,5)C ．(,5)-¥D ．(3),-¥14．（2024高二上·全国·课前预习）圆221x y += 与圆222210x y x y ++++= 的交点坐标为（ ）A ．(1,0) 和()0,1B ．(1,0)和()0,1-C ．(1,0)-和()0,1-D ．()1,0-和()0,115．（2024·河北唐山·二模）已知圆1C ：2220x y x +-=，圆2C ：()()22314x y -+-=，则1C 与2C 的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离16．（2024高二上·贵州遵义·期末）圆221:(2)(4)25C x y +++=与圆222:(1)9C x y ++=的公切线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知圆221:1O x y +=与圆()2222201：O x y x y F F +-++=<相交所，则圆2O 的半径r =（ ）A ．1B C 或1D 18．（2024·广东茂名·二模）已知平面xOy 内的动点P ，直线l ：sin cos 1x y q q +=，当q 变化时点P 始终不在直线l 上，点Q 为C e ：2282160x y x y +--+=上的动点，则PQ 的取值范围为（ ）A ．B ．2ùûC ．)2D ．)2-19．（2024·北京通州·模拟预测）在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C 满足||||OB OC ==uuu r uuu r 0OB OC ×=uuu r uuu r ，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP uuu r 的取值范围是（ ）A ．[]28,B ．[]3,8C ．[]2,7D ．[]3,720．（2024·北京海淀·二模）已知动直线l 与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，且120AOB Ð=°．若l 与圆22(2)25x y -+=相交所得的弦长为t ，则t 的最大值与最小值之差为（ ）A ．10-B ．1C ．8D ．221．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(),0A a ，(),0(0)B a a ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB Ð>°，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,6B ．()4,+¥C ．[)4,+¥D ．()6,+¥22．（2024高二上·陕西西安·期末）已知两圆2226940x y ax a +++-=和222290x y by b ++--=恰有三条公切线，若R a Î，R b Î，且0ab ¹，则2211a b +的最小值为（ ）A ．1625B ．3225C ．169D ．329二、多选题23．（2024高二上·云南大理·期末）点P 在圆1C ：221x y +=上，点Q 在圆2C ：226490x y x y +-++=上，则（ ）A ．PQ 的最小值为3B ．PQ 的最大值为C ．两个圆心所在的直线斜率为23-D ．两个圆公共弦所在直线的方程为64100x y --=24．（2024高二·全国·课后作业）已知圆()()22:211M x y -+-=，圆()()22:211N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ）A ．y ＝0B ．3x －4y ＝0C ．20x y -=D ．20x y -=25．（2024高二下·河南·阶段练习）已知圆221:650C x y y +-+=和圆222:870C x y x +-+=，则下列结论正确的是（ ）A ．圆1C 与圆2C 外切B ．直线y x =与圆1C 相切C ．直线y x =被圆2C 所截得的弦长为2D ．若,M N 分别为圆1C 和圆2C 上一点，则MN 的最大值为10三、填空题26．（2024高一·全国·课后作业）圆221:1C x y +=与圆222:2210C x y x y ++++=的交点坐标为 .27．（2024高二·全国·课后作业）圆22230x y x +--=与224230x y x y +-++=的交点坐标为 .28．（2024·广西玉林·二模）写出一个半径为1，且与圆22(1)4x y -+=外切的圆的标准方程： ．29．（2024高二上·四川资阳·期中）已知圆2221:(0)C x y m m +=>与圆222:24150C x y x y +---=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围 ．30．（2024高三·天津·专题练习）已知圆221:4C x y +=与圆()222:9(0)C x y a a +-=>外切，此时直线:30l x y +-=被圆2C 所截的弦长为 ．31．（2024·天津和平·二模）圆2244120x y x y +-+-=与圆224x y +=的公共弦所在的直线方程为 ．32．（2024·河南郑州·一模）经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为 ．33．（2024高三下·河南濮阳·开学考试）已知圆1C ，2C 的圆心都在坐标原点，半径分别为1与5．若圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且与圆1C ，2C 均内切，则圆C 的标准方程为 ．34．（2024高二上·贵州遵义·阶段练习）圆1C ：22640x y x y ++-=和圆2C ：2260x y y +-=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是 .35．（2024高二下·广东广州·期末）写出与圆()()224316x y -++=和圆221x y +=都相切的一条直线的方程 .36．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆221:()4C x a y -+=与()222:()1,R C x y b a b +-=Î交于,A B 两点.若存在a ，使得2AB =，则b 的取值范围为 .37．（2024高三下·安徽池州·阶段练习）已知22:2210M x y x y +--+=e ，直线:220,l x y P ++=为l 上的动点，过点P 作M e 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当PM AB ×最小时，直线AB 的方程为 .38．（2024·河北衡水·三模）若圆221:1C x y +=和2221:2502C x y ay a a æö+---=>ç÷èø有且仅有一条公切线，则a = ；此公切线的方程为四、解答题39．（2024高二上·河北保定·期末）已知圆221:10C x y +=与圆222:2270C x y x y +++-=(1)求证：圆1C 与圆2C 相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线60x y +-=上的圆的方程．40．（2024高二上·全国·课后作业）如图，已知点A 、B 的坐标分别是(3,0),(3,0)-，点C 为线段AB 上任一点，P 、Q 分别以AC 和BC 为直径的两圆12O O ，的外公切线的切点，求线段PQ 的中点的轨迹方程.41．（2024高二·全国·课后作业）已知圆22:10M x y +=和圆22:22140N x y x y +++-=，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．42．（2024高一下·山东临沂·期末）已知圆2268210C x y x y +--+=：．(1)若直线1l 过定点()11A ，，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线220l x y -+=：上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．43．（2024高二上·全国·单元测试）求过两圆221:240C x y y +--=和圆222:420C x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.44．（2024高二上·浙江·期中）已知圆22:1O x y +=，圆22:(2)(1)9M x y -+-=．(1)求两圆的公共弦长；(2)求两圆的公切线方程．45．（2024高一下·江苏无锡·期中）已知圆C ：（x +1）2+y 2＝a （a ＞0），定点A （m ，0），B （0，n ），其中m ，n 为正实数．(1)当a ＝m ＝n ＝3时，判断直线AB 与圆C 的位置关系；(2)当a ＝4时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA ＝λPO 成立（O 为坐标原点），求实数m ，λ的值；(3)当m ＝2，n ＝4时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围．46．（2024高二下·上海黄浦·阶段练习）已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆2222:(4)(5)(0)-+-=>C x y r r (1)若圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点，求r 的取值范围，并求直线AB 的方程（用含有r 的方程表示）(2)若直线:1l y kx =+与圆1C 交于,P Q 两点，且4OP OQ =×uuu r uuu r ，求实数k 的值47．（2024高二下·上海黄浦·期中）已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=.(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设直线l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .证明：Q ，A ，B ，C 四点共圆，并探究当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.。
圆和圆的位置关系基础练习精品.doc
和圆的位置关系基础练习一、填空题1.如果两圆没有公切线，那么这两圆的位置关系是.2.两圆半径分别是9和12,两圆的圆心距是26,则两圆的位置关系是3、两圆的半径分别为3和2,当圆心距d满足1 VdV5时，有条分切线.4、两圆的半径比是5:3,外切时圆心距是32cm的，当两圆内切时，圆心距为cm.5、若两圆的半径分别为2cm和7cm,圆心距为13cm,则两圆的一条外分切线的长是cm.6、两圆的直径分别为3和4,这两个圆的圆心距是5,这两个圆最多可以有条公切线.7、两圆外高，半径分别为3和5,当一条内公切线与连心线所成的角为45° 时，内公切线的长为:圆心距为-8、半径为16cm和10 cm的两圆外切，作这两圆的外公切线和内公切线,则夹在两条外公切线间的内公切线的长为.9、两圆的圆心距为13cm,两圆的半径分别为7cm和2cm,那么这两圆的一条外公切线的长为_______ -挣、■己笙：oo.ffloa外切，外公切线与连心线的夹角为，且半径分别为R.2+疗，土，则咋度.二、选择题1.若半径为7和9的两圆相切，则这两圆的圆心距长一定为（）.（A）16 （B） 2 （C） 2或16 （D）以上答案都不对2.若两圆半径为7和5,圆心距为5,则两圆的分切线的条数是（）.（A） 2 条（B） 3 条（C） 4 条（D） 5 条3.若两圆既有外分切线，又有内公切线，半径为R和r,圆心距为d,则下面各式中一定正确的是（）.(A) dVR+r (B) dWR+r (C) d>R+r (D) d》R+r4.在下列四个命题中，正确的是（）.（A）两圆的外公切线的条数不小于它们的内公切线的条数（B）相切两圆共有三条公切线（C）无公共点的两圆必外离（D）两圆外公切线的长等于圆心距5.若。
Oi和相装TA、B两点，。
0|和的半径分别为2和2 ,公共弦长为2, Z0.A0,的度数为（）.（A） 105*（B）75*或IT （O 105* 或仔（D）仔6.命题：（1）两圆相切，连心线段过切点；（2）两圆相交公共弦一定不平分连结两圆心的线段；（3）两圆内切, 过切点有一条内公切线，其中正确的个数是（）（A） 0 个（B） 1 个（C） 2 个（D） 3 个7.如图47-1,两圆内切于A,过A作公切线，P为公切华§一点,PB圾公圆于B, PC切大圆于C, 若匕律打，翁（）.（A）65 （B）75 （C）（D）85三、解答题1、如图，已知。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系【基础知识点】12例题1、如图 ,⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切，⊙A、⊙B、⊙C的半径分别是,2+，∠BAC=60°，求BC的长。
2-62,2623、两圆的公切线：和两个圆都想切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线、内公切线。
（1）外公切线：两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线。
（2）内公切线：两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
（3）公切线的长：公切线上两个切点间的距离叫做公切线的长。
4、两圆相交的重要定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
例题2、已知⊙1和⊙2的半径分别为8cm和5cm，它们相交于A、B，且AB=6cm，求圆心距O1O2.(自己作图，考虑两种情况，分类讨论：圆心在AB同侧或者异侧)例题3、如图，已知直角三角形ABC的斜边AB为4，内切圆半径为26 ，求三角形ABC的面积。
例题4、（2011•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．例题5、（2008•威海）如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？例题6、（2011•绵阳）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC 相切．（1）求证：OB⊥OC；（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．例题7、（2007•南充）如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B、C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，BC长为8米．求EF的长．例题8（2011•黄石）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC=CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论足否成立．例题9、（2006•成都）已知：如图，⊙O与⊙A相交于C，D两点，A，O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点△CDE，连接BD．（1）求证：△ACG∽△DBG；（2）求证：AC2=AG•AB；6，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长（3）若⊙A，⊙O的直径分别为5【课堂练习】一、填空与选择1、（2010•宁夏）如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是__米．2、（2010•菏泽）如图，在正方形ABCD中，O是CD边上的一点，以O为圆心，OD为半径的半圆恰好与以B为圆心，BC为半径的扇形的弧外切，则∠OBC的正弦值为________3、（2008•绍兴）如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为S1，Ss，S3，…，Sn，则S12：S4的值等于__________。
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支【答案】D【解析】设动圆的圆心坐标为（x，y），半径为，由于动圆与圆和圆都外切，所以，所以，根据双曲线的定义可知动圆的轨迹为双曲线的一支.【考点】1.圆与圆的位置关系；2.双曲线的定义.2.已知动圆C与圆及圆都内切，则动圆圆心C的轨迹方程为．【答案】.【解析】记两已知圆圆心为A（-1,0），B（1,0），设动圆半径为r，由动圆和两已知圆都内切得：BC+r=5，AC+1=r，两式相加得BC+AC=4＞AB=2，所以C的轨迹是椭圆，即可得其轨迹方程.【考点】（1）两圆相切的性质；（2）椭圆的定义.3.与圆都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】A【解析】两圆方程配方得：，，∴圆心距= ,∴圆和圆相内切，所以与两圆都相切的直线有1条.【考点】平面内两个圆的位置关系.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，与圆C截得的弦长是6.【答案】(1) 两圆相离 (2) 4x－7y＋19＝0【解析】(1)先由圆方程确定圆心坐标和半径，然后根据两圆心之间的距离与两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系；(2)由条件可知两弦长分别是两圆的直径，故所求直线过两圆圆心，故求连心线的直线方程即可.试题解析：(1)圆C1的圆心C1(－3,1)，半径r1＝2；圆C2的圆心C2(4,5)，半径r2＝2.∴C1C2＝＝>r1＋r2，∴两圆相离.（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x－7y＋19＝0.【考点】1.两圆位置关系的判断；2.直线方程.5.已知一个动圆与圆C：相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________.【答案】【解析】设动圆的圆心为P（x,y）,半径为r，由题意，,∴,∴动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以a=5,c=4,∴,∴动圆圆心的轨迹方程是【考点】本题考查了轨迹方程的求法点评：熟练掌握椭圆的定义是解决此类问题的关键，属基础题6.圆和圆的位置关系是( )A．外切B．内切C．外离D．内含【答案】A【解析】因为圆和圆的圆心坐标分别是（0，0）和（0，3），而半径内分别是1，和2，那么可知圆心距离，利用两点的距离公式可知为3，半径1+2=3，可知满足两圆相互外切的情况，故选A.【考点】本题主要是考查圆与圆的位置关系的判定问题。
高考100题直线与圆：专题六 圆与圆的位置关系
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系．【解析】（法一）圆1C 与圆2C 的方程联立得到方程组22222880,4420.x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩①②①-②得210x y +-=， ③ 由③得12xy +=． 把上式代入①并整理得2230x x --=． ④ 方程④的判别式()()22413160∆=--⨯⨯-=>， 所以方程④有两个不等的实数根,即圆1C 与圆2C 相交． （法二）把圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，化为标准方程，得()()221425x y +++=与()()222210x y -+-=．圆1C 的圆心是点()1,4--，半径长15r =； 圆2C 的圆心是点()2,2，半径长210r = 圆1C 与圆2C 的连心线的长为22(12)(42)35--+--=圆1C 与圆2C 的半径长之和为12105r r +=，半径长 之差为12105r r -=而51035510<<，即121253r r r r <<-+， 所以圆1C 与圆2C 相交，它们有两个公共点A B 、． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016年山东高考】已知圆M ：2220(0)x y ay a 截直线0x y所得线段的长度是22则圆M 与圆N ： 22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 【答案】B【例3】﹙2014年湖南高考文科﹚若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-11 【答案】C【解析】圆2C 配方得()()223425x y m -+-=-，则圆心为()23,4C 25m -250m ->，得25m <．根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m -+-=-9m ⇒=,故选C.【例4】﹙2014年北京高考卷﹚已知圆C ：()()22341x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点00（，）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有公 共点即可．由题意知两圆的圆心距22345d =+=，根据两圆有公共点可知|1|51m m -≤≤+所以46m ≤≤， 所以m 的最大值为6，故选B ． 【例5】【2013重庆高考卷】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）（ ）A ．4B 1C ．6-D 【答案】A【解析】两圆的圆心和半径分别为12(2,3),(3,4)C C ，121,3r r ==，两圆相离．()()221:231C x y -+-=关于x的对称圆的方程为()()223:231C x y -++=，圆心3(2,3)C -，所以13PC PC =，所以动点P 到圆心 32(2,3),(3,4)C C -的距离之和的最小值为23C C ===PM PN +的最小值为23134C C --=，故选A ．【例6】【2012高考山东高考卷】圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径 分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，故选B ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第129页例3．【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的．对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较．【命题意图】本类题主要考查两圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是单独命题在选择题与填空题中考查，不可能在解答题中出现，难度偏下．【难点中心】比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点． III ．理论基础·解题原理考点一 几何法判断圆与圆的位置关系判断圆心距d 与两圆半径R ，r （R ＞r ）的和与差的大小关系考点二判断圆1C 与圆2C 的方程组22111222220x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩解的个数： ①若有两组实数解，则圆1C 与圆2C 相交；②若有一组实数解，则圆1C 与圆2C 相切（外切与内切）； ③若无实数解，则圆1C 与圆2C 相离（外离与内含）． 考点三 圆系方程方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与2C ：222220x y D x E y F ++++＝的交点的圆系方程C ：22111x y D x E y F +++++222220()x y D x E y F λ++++=(1λ≠-)．当1λ=-时，12()D D x -＋1(E －2120)E y F F +-＝表示两圆的公共弦所在直线方程．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度较易，通常考查两个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的轨迹等主要问题． 【技能方法】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和12r r +与差12r r -的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式（组）求解．【易错指导】（1）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错； （2）将由几何法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；（3）2222111222()(0)x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=表示过圆1C ：221110x y D x E y F +++=+和2C ：222220x y D x E y F +++=+的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆2C 的方程．如果在解题中不注意对圆2C 的方程进行验证．V ．举一反三·触类旁通考向1 圆与圆的位置关系的判断【例7】【2016江苏南京市三模】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：()()()22310x a y a a -++-=>，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为___________． 【答案】3【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆 半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)求解．【跟踪练习【2016黑龙江大庆一中下期开学考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．34 B ．43 C ．12 D ．14【答案】A【解析】圆C 的方程为228150x y x +-+=，即22(4)1x y -+=，表示以(4,0)C 为圆心，半径等于1的圆，要 使直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要2y kx =-和 圆22(4)4x y -+=有公共点，即点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离为2|402|21k d k --=≤+，即2340k k -≤解得403k ≤≤，则k 的最大值是43，故选A ． 考向2 两圆的公共弦问题【例8】【2016届湖南省高三六校联考】已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________． 【答案】53【解析】两圆公共弦AB 所在直线方程为22(214)(22)5210160b x b y a b b -+++--+-=，设其中一圆的圆心为(2,1)C -．∵OA OB =，∴OC AB ⊥，∴1OC AB k k ⋅=-，得53b =． 【方法点睛】本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了．【跟踪练习【2017重庆五区开学抽测】若圆224x y +=与圆22260x y ay -++=（0a >）的公共弦长为23，则a ＝__________. 【答案】1考向3 两圆公切线问题【例9】【2016江苏清江中学考前一周双练】已知圆22:(2)1C x y +-=，D 为x 轴正半轴上的动点，若圆C 与圆D 相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆D 的方程是___________．【答案】22(23)9x y -+=【解析】设内公切线l 的方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=，因为直线l 与圆C 相切，所以C 到直线l 的距离211d k ==+，解得3k =．直线CD 的方程是323y x =-+，令0y =，解得D 坐标(23,0)，22(23)24CD =+=，所以圆D 的半径等于3，圆D 方程是22(23)9x y -+=．【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线；（2）根据公切线方程求相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，并求角相关问题．求解此类题的方法与求解直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题． 考向4 两圆位置关系中的最值问题【例10】【2016浙江诸暨市教学质检】）已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ,使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则=r _________；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ,2π≥∠EQF ,则EF 的最小值是________．【答案】424【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为(1)y x =--，即1y x =-+，与直线3y x =+联立求解得(1,2)P -，再根据对称性知过点(1,2)P -的两条切线必与坐标轴垂直，即为1x =-，2y =，易得2r =；由题意，知EF 取得最小值时，一定关于直线1y x =-+对称，如图所示，因此可设以点(1,2)P -为圆心，以R 为半径的圆，即222(1)(2)x y R ++-=与圆C 内切时，EF 的最小值即为2R ，由相切条件易知22(222)24R ==．【名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所涉及到的几何量及其相互间 的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案．【跟踪练习】【2016海南省文昌中学上期期末】在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆0964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 012222=++++y x y x 的切线),(为切点与B A PB PA ，若PB PA =若O 为原点，则OP 的最小值为（ ） A ．2 B ．54 C ．53D ．5 【答案】B【例11】点P 在圆0114822=+--+y x y x 上，点Q 在圆012422=++++y x y x 上，则||PQ 的最小值 是（ ）A ．5B ．0C ．5 5D ．5－5【答案】C【解析】圆0114822=+--+y x y x 的圆心坐标为)2,4(M ，半径为31=R ；圆012422=++++y x y x 的圆心坐标为)1,2(--N ，半径为22=R ，且53||=MN ，则||PQ 的最小值为553-，故选C ．【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识分析直线、圆心之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就是通过建立某些变量的关系表达式，然 后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值．【跟踪练习】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．524B 171-C ．622-17 【答案】A【解析】如图：如图圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()32-，A ，半径为1，圆2C 的圆心坐标()43，，半 径为3，|PN PM +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即：()()42531342322-=--++-,故选A ．考向4 与圆有关的轨迹问题【例12】已知圆()221:21C x y ++=，圆222:4770C x y x +--=，动圆P 与圆1C 外切，与圆2C 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________．【答案】2212521x y +=【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题，通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常与椭 圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合圆锥曲线的定义来解．【跟踪练习】已知动圆M 与圆1C ：2251)6(x y ++=外切，与圆2C ：2251)6(x y -+=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________．【答案】221(0)169x y x -=> 【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，由圆1C 方程可知圆心()15,0C -,半径14r =，由圆2C 方程可知 圆心()25,0C ，半径24r =．因为圆M 与圆1C 外切，所以11MC r r =+．因为圆M 与圆2C 内切，所以22MC r r =-，所以()()1212128MC MC r r r r r r -=+--=+=，即128MC MC -=，又因为 12810C C <=，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的右支，此时28,5a c ==，所以4a =，2229b c a =-=，所以点M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>． 考向6 圆系方程的应用【例13】圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆2x +2y 6y +28-=0交点的圆的方程为___________．【答案】227320x y x y +-+-=【跟踪练习】经过点22M -（，）以及圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为___________． 【答案】22320x y x +--=【解析】设过圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为2222640x y x x y λ+-++-=（）…①．把点M 的坐标22-（，）代入①式得1λ=，把1λ=代入①并化简 得22320x y x +--=，∴所求圆的方程为：22320x y x +--=． 考向6 直线与圆和其它知识的交汇 【例14】若圆221:0C xy ax与圆222:2tan 0C x y ax y 都关于直线210x y 对称，则sin cos（ ）A ．25 B ．25 C ．637 D ．23【答案】B【解析】圆1C 的圆心为,02a ⎛⎫-⎪⎝⎭,2C 的圆心为tan ,2a θ⎛⎫--⎪⎝⎭,圆心都在直线210x y ,所以有 tan 10,2102a a θ--=-+-=,解得222sin cos tan 21,tan 2,sin cos sin cos tan 15a θθθθθθθθθ⋅=-=-⋅===-++. 【思维点睛】解答圆与其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化与之交汇相关的数学结论，再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的数学结论，再求解．【跟踪练习】两个圆2221240()C x y ax a a +++-=∈R ：与2222210()C x y by b b +--+=∈R ：恰有三条公切线，则a b +的最小值为（ ）A 、6-B 、3-C 、32-D 、3 【答案】C。
圆与圆的位置关系复习
检测：
2．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两 相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离 为（ ）
2 3 2
A
3 3 2
B
2 2 3 2
2
2
C
D
3.如图，在边长为3cm的正方形
ABCD中，⊙O1与⊙O2相外切，
且⊙O1分别与DA、DC边相切，
⊙O2分别与BA、BC边相切，则
圆心距O1 O2为
圆与圆的位置关系练习题
学习目标
熟练运用圆与圆的位置 关系解题。
巩固圆与圆的位置关系。
自学指导：
互相交流，回 忆圆与圆的位 置关系有几种？ 怎样判断？
比较点与圆， 直线与圆，圆 与圆的位置关 系。
5分钟后检测。
两个半径相等的⊙O1和 ⊙O2分别与⊙O外切和内切，
并且O1O=7cm， O2O=5cm，则⊙O与⊙O1 的半径分别是___________。
。D O1AFra bibliotekCO2 B
小结：
圆圆 与和 圆圆 的的 位置关位置 系关 系
外离 内含 外切 内切
相交
没
有 公
相
共
点
离
一
个
公
共 点
相 切
两
个
公
共 点
相 交
当堂训练： • P103 16 17
如图，王大伯家房屋后有一块长
12m,宽8m的
D
C
矩形空地，他在以长边BC为直径的
O
半圆内种菜.
A
B
他家养的一只羊平时拴在A处的一
棵树上，拴羊 的绳长为3m.问羊是否能吃到菜？
为什么？
O
D
C
圆和圆的位置关系经典例题+练习
例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ，它们相交于A 、B 两点，且AB 长24cm ，求O 1O 2长。
分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。
解：（1）连结O 1O 2交AB 于C （2）连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥，且O O AB AC AB cm 121212== 在Rt △AO 1C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 22222213125=-=-=∴如图（1） O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm如图（2） O 1O 2=O 1C －O 2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。
例2. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ，AP 交⊙O 2于D ，求证：（1）PC 平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。
证明：（1）过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC在⊙O1中，由弦切角定理：∠BPM=∠A∵∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。
（2）两圆内切时仍有这样的结论。
证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。
在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支【答案】D【解析】设动圆的圆心坐标为（x，y），半径为，由于动圆与圆和圆都外切，所以，所以，根据双曲线的定义可知动圆的轨迹为双曲线的一支.【考点】1.圆与圆的位置关系；2.双曲线的定义.2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，与圆C截得的弦长是6.【答案】(1) 两圆相离 (2) 4x－7y＋19＝0【解析】(1)先由圆方程确定圆心坐标和半径，然后根据两圆心之间的距离与两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系；(2)由条件可知两弦长分别是两圆的直径，故所求直线过两圆圆心，故求连心线的直线方程即可.试题解析：(1)圆C1的圆心C1(－3,1)，半径r1＝2；圆C2的圆心C2(4,5)，半径r2＝2.∴C1C2＝＝>r1＋r2，∴两圆相离.（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x－7y＋19＝0.【考点】1.两圆位置关系的判断；2.直线方程.3.已知一个动圆与圆C：相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________.【答案】【解析】设动圆的圆心为P（x,y）,半径为r，由题意，,∴,∴动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以a=5,c=4,∴,∴动圆圆心的轨迹方程是【考点】本题考查了轨迹方程的求法点评：熟练掌握椭圆的定义是解决此类问题的关键，属基础题4.如图，已知圆，圆．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆、圆的周长．①求证：动圆圆心在一条定直线上运动；②动圆是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）或（2）①求出圆心的轨迹方程为直线即可；②动圆过定点和【解析】（1）由题意可知，，，由图知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为……3分解得或，所以直线的方程为或．……6分（2）①证明：设动圆圆心，由题可知则化简得，所以动圆圆心在定直线上运动．……10分②动圆过定点设，则动圆的半径为动圆的方程为整理得……14分，解得或所以动圆过定点和．……16分【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系.点评：求解直线与圆的位置关系，主要看圆心到直线的距离与半径的关系，设直线方程时要注意直线的适用条件.5.圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】两个圆的圆心距等于所以两个圆相交.【考点】本小题主要考查两个圆的位置关系.点评：判断两个圆的位置关系，主要是根据两个圆的圆心距与半径的和或差的关系.6.已知两圆x2+y2="1" 和 (x+1)2+(y－3)2=10相交于A、B两点, 则直线AB的方程是________．【答案】【解析】两圆方程作差可得直线AB的方程是.【考点】本小题主要考查两圆的公共点所在直线的方程.点评：两个圆相交时，两个圆的方程相减即可得到直线AB的方程.7.两圆相交于点,两圆的圆心均在直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两圆的相交弦所在的直线与圆心连线的直线垂直，且被其平分，因此可知AB的中点坐标在直线上，代入可知为将m的值代入上式解得c=2，因此可知m+c=-1，选A.【考点】本试题考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的综合运用。
《圆和圆的位置关系》练习题
达标训练楼基础·巩固·达标 1．圆和圆有五种不同的位置关系，它们是_________、_________、_________、_________、_________. 提示：根据圆和圆的五种位置关系的意义. 答案：外离 相交 外切 内切2.两圆相切是指这两个圆___________或___________两种.答案：相内切 外切3.已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有________个.提示：要全面分析所有的情况，包括都外切，都内切，一内切一外切.这样的圆共有5个，如右图，它们是⊙A ，⊙B ，⊙C ，⊙D ，⊙E .答案：54.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为___________.提示：如右图,三个圆两两外切，利用两圆外切的性质，d=R ＋r ，列方程解.设三个圆半径分别是x cm ，y cm ，z cm ，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+③②①.12,13,5z x z y y x ⎪⎩⎪⎨⎧===.10,32z y x解得答案：2 cm ，3 cm ，10 cm5.已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２-2（Ｒ＋ｒ）ｘ＋ｄ２=０没有实数根，其中Ｒ、ｒ分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２Ａ.外离 Ｂ.相交 Ｃ.外切 Ｄ.提示：因为关于ｘ的一元二次方程ｘ２-2（Ｒ＋ｒ）ｘ＋ｄ２=０没有实数根，所以Δ＜0，即［2(R+r)］2-4d 2＜0，所以（R+r+d ）(R+r-d)＜0,因为Ｒ、ｒ分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，ｄ为两圆的圆心距，所以 R+r+d ＞0，所以R+r-d ＜0，即R+rd ，所以⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是外离.答案：6.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关A.相交B.内含C.内切D.提示:内切,外切分别对应d=R+r,d=R-r,它们起着分界作用,在⊙O 1和⊙O 2 相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距逐渐变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先计算d+r 和d-r ，因为圆心距d=3<R-r,所以“内含” 答案：B7.一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线.若分别以这个梯形的上底和下底为直径A.相离B.C.外切D.提示：两个圆心都在梯形的两底上，并且是两底中点，故梯形的高恰好是圆心距.梯形中位线=2下底上底 ，故d=R ＋r.这是等腰梯形与两圆位置关系的综合题，合理准确的绘图有利于思路的发现.答案：C8.如图24-2-25，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m 的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是___________. 提示：由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形的边长为2 m 的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径.等边三角形的高是1×sin60°=23×1=23，故最高点到地面的距离是（1＋23） m.答案：1+23回顾·热身·展望9．（2010北大附中下学期调研）已知两个圆有3条公切线，那么这两个圆之间的位置关系为________________. 提示：公切线即为两圆公共的切线. 答案：10.经典回放)两圆的圆心坐标分别是（3，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5A.相离B.相交C.外切D.提示：这是一道坐标系与两圆位置关系的综合题，它还综合了勾股定理的应用以及两圆相切的性质.由勾股定理求得圆心距为2，恰好是两圆半径之差，所以内切.答案：D11.（1）如图24-2-26①，两个半径为r的等圆⊙O1与⊙O2外切于点P.将三角板的直角顶点放在点P，再将三角板绕点P旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1相交于A，另一边PB与⊙O2相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切），在转动过程中线段AB的长与半径r之间有什么关（2）如图24-2-26②，设⊙O1和⊙O2外切于点P，半径分别为r1、r2（r1＞r 2），重复（1）中的操作过程，观察线段AB的长度与r1、r2之间有怎样的关系，并说明理由.①图24-2-26提示：两圆相切，连心线必过切点，这一性质在本题中起重要作用.答案：（1）AB与半径r的关系为AB=2r.证明如下：连接O1A、O2B、O1O2. ∵⊙O1与⊙O2切于点P∴点P在O1O2上. ∴∠A P B=90°. ∴∠O1P A＋∠O2P B=90°.A=∠O1A P，∠O2P B=∠O2B P，∴∠O1＋∠O2=180°. ∴O1A∥O2B.∵∠O∵O1A=O2B=r，∴四边形O1ABO2为平行四边形. ∴AB=O1O2=2r.（2）AB与r1和r2的关系为2r2＜AB＜2r1.证明：连接O1A、O2B、O1O2，同（1）中可证明O1A∥O2B.O1A于C，则四边形O1CBO2过B作BC∥O∴O2B=O1C=r2，O1O2=BC=r1＋r2，AC=r1-r2.在△ABC中，由三角形三边关系定理，得BC-AC＜AB＜AC＋BC即r1＋r2-（r1-r2）＜AB＜r1＋r2＋（r1-r2），2r2＜AB＜2r1.∴AB与两圆半径的关系为2r 2＜AB＜2r1.回顾·热身·展望12．江苏南通模拟若两圆外切，圆心距为8 cm，一个圆的半径为3 cm，则另一个圆的半径为_____________cm.提示：两圆外切，圆心距等于两圆半径的和.因为这两圆的圆心距为8 cm，一个圆的半径为3 cm，所以另一个圆的半径为8-3=5（cm）.答案：513.(湖北武汉模拟 )已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4 cm，圆心=10cm，那么⊙O1和⊙O2距OA.内切B.相交C.外切D.提示：因为两圆的半径分别为3 cm和4 cm，半径的和为3+4=7（cm），而圆心距O1O2=10 cm，所以⊙O1和⊙O2的位置关系是外离.答案：D14.(江苏泰州模拟) 两圆的半径R、r分别是方程x2-3x＋2=0的两根，且圆心距d =3A.外切B.内切C.外离D.提示：因为两圆的半径R、r分别是方程x2-3x＋2=0的两根，所以解方程得R=2，r=1，又因为两圆的圆心距为3，所以这两圆的位置关系为外切.答案：A15．（四川内江课改区模拟）在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加ｍ米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加ｎ米长的铁丝，则ｍ与ｎ的大小关系A. B. C.ｍ=D.不能确定提示：设地球仪的半径为r，地球的半径为R，在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，增加的铁丝ｍ= 2π(r+1)-2πr=2π（米）.地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，增加的铁丝ｎ=2π(R+1)-2πR=2π（米）.所以ｍ=ｎ.答案：C。
初三数学圆和圆的位置关系同步练习及答案
初三数学圆和圆的位置关系同步练习及答案
圆和圆的位置关系
一、填空题:
1.两圆半径区分为8、6,假定两圆内切,那么圆心距为______;假定两圆外切,那么圆心距为__ _.
2.两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x2-8x+1=0的两根,那么这两圆的位置关系是______.
3.圆心都在y轴上的两圆⊙O1、⊙O2，⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为1,O1 的坐标为(0,-1),O2的坐标为(0,3),那么两圆⊙O1与⊙O2的位置关系是________.
4.⊙O1和⊙O2交于A、B两点,且⊙O1经过点O,假定AO1B=90,那么AO2B 的度数是__.
5.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,假设区分以A、C为圆心的两圆相切,点D在⊙C内, 点B在⊙C外,那么圆A的半径r的取值范围是__________.
6.两圆半径长区分是R和r(Rr),圆心距为d,假定关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数根,那么两圆的位
置关系是_________.
二、选择题
7.⊙O的半径为2, 点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P 为圆心,且与⊙O 相切的圆的半径一定是( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或4
8.直径为6和10的两上圆相外切,那么其圆心距为( )
A.16
B.8
C.4
D.2
9.如图1,在以O为圆心的两个圆中,大圆的半径为5,小圆的半径为3, 那么与小圆相切的大圆的弦长为( ) A.4 B.6 C. 8
D.10
(1) (2) (3)。
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.圆和圆的公切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】由圆整理得，它的圆心坐标，半径为1.由圆整理得，它的圆心坐标，半径为2.,所以两个圆相交，所以两个圆的公切线有2条．【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定.2.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程3.圆与圆的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】由两圆的方程可知，，∴，故两圆的位置关系为外切．【考点】圆与圆的位置关系．4.圆和的位置关系为（）A．外切B．内切C．外离D．内含【答案】A【解析】两圆的圆心为，半径为，而，则两圆相外切.【考点】本题考查两圆的位置关系，可以通过圆心距与半径和差的大小比较来判断.5.已知圆，交于A、B两点；（1）求过A、B两点的直线方程；（2）求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）过圆与圆交点的直线，即为两圆公共弦的直线.所以过A、B两点的直线方程. 5分（2）设所求圆的方程为. 6分则圆心坐标为 8分∵圆心在直线上∴将圆心坐标代入直线方程，得 9分解得. 11分∴所求圆的方程为. 12分【考点】圆与圆的位置关系与圆的方程点评：两圆相交时，其公共弦所在直线方程只需将两圆方程相减即可，求解圆的方程的题目常采用待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于参数的方程组，解方程组得到参数值最后写出方程6.圆和的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【答案】D【解析】根据题意，由于圆的圆心（1,0），半径为1，和的圆心为（-2,0），半径为4，则可知圆心距d=3,而半径和为5，半径差为3，可知圆心距小于半径差，因此可知是两圆的相互内切，故选D.【考点】两圆的位置关系点评:解决两圆的位置关系的关键是根据圆心距和半径和的关系来确定，属于基础题，也是重要的知识点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ，它们相交于A 、B 两点，且AB 长24cm ，求O 1O 2长。
分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。
解：（1）连结O 1O 2交AB 于C （2）连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥，且O O AB AC AB cm 121212== 在Rt △AO 1C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 22222213125=-=-=∴如图（1） O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm如图（2） O 1O 2=O 1C －O 2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。
例2. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ，AP 交⊙O 2于D ，求证：（1）PC 平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。
证明：（1）过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC在⊙O1中，由弦切角定理：∠BPM=∠A∵∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。
（2）两圆内切时仍有这样的结论。
证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。
在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。
从这道题我们还可以联想到做过的两道题，①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129例4）②当APD经过O1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。
例3. 如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：（1）AC=CE（2）AC2=DB2－BC2分析：（1）易证（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。
证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G，∵OA为⊙O1直径∴OC⊥AE在⊙O中OC⊥AE ∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直径AF ∴DB=GB由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）∵AC=CE ∴AC2＝DB2－BC2本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。
例4. 如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，（1）求证：PA·PE=PC·PD（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。
分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。
（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。
（1）证明：∵PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线∴·∴PA PB PD PB PA PD22 ==在⊙O2中由相交弦定理PA PC PB PE PB PA PCPE··∴·==∴·∴··PAPDPA PCPEPA PE PC PD 2==（2）连结AB、CE∵CA切⊙O1于A AB为弦∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E∴∠D=∠E ∴AD ∥CE∴∵PC PA PEPDPC PA PD ====2612∴·×PE PC PD PA ===21264 由相交弦定理：··∴×PB PE PC PAPB ===2643 ∴BE=3+4=7 DB=12－3=9由切割线定理 AD 2=DB ·DE=9×(9+7) ∴AD=12 解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。
例5. 如图，已知：⊙O 与⊙B 相交于点M 、N ，点B 在⊙O 上，NE 为⊙B 的直径，点C 在⊙B 上，CM 交⊙O 于点A ，连结AB 并延长交NC 于点D ，求证：AD ⊥NC 。
分析：要证AD ⊥NC ，我们可证∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，这里可用到的是①NE 为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC ，而∠ECM=∠ENM ，又可利用圆内接四边形的性质得∠ENM=∠CAD ，从而得证。
证明：连结EC∵EN 为直径 ∴∠ECM+∠ACD=90°∵四边形ABNM 内接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠ADC=180°－90°=90° ∴AD ⊥NC从证明中可见点B 在⊙O 上这一条件的重要性。
例6. 如图：已知△DEC 中DE=DC ，过DE 作⊙O 1交EC 、DC 于B 、A ，过A 、B 、C 作⊙O 2，过B 作BF ⊥DC 于F ，延长FB 交⊙O 1于G ，连DG 交EC 于H ，（1）求证：BF 过⊙O 2的圆心O 2（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG 的长。
分析：要证BF 过⊙O 2圆心O 2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF 交⊙O 2于M ，连CM ，去证∠MCA+∠ACB=90°，而连AB 后可得∠MCA 转移到∠MBA ，再由圆内接四边形的性质转移到∠CDG ，而DH ⊥EC ，于是可证。
（1）证明：延长BF 交⊙O 2于M ，连MC 、AB ∵四边形ABGD 内接于⊙O 1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG ⊥EC 于H ∴∠ADG+∠DCH=90° ∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM 为⊙O 2直径 ∴BF 过⊙O 2的圆心O 2。
（2）解：∵四边形ADEB 内接于⊙O 1 ∴∠CAB=∠E∵DE=DC ∠E=∠DCB∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA ∽△CDE ∴CD EC BC AC ===44856. ∴设CD=5k ，EC=6k∵DH ⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k ，∴k=2 ∴CD=10 在Rt △DHE 中，由勾股定理： DH =-=106822∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH ·HG=EH ·HB ∴·×HG EH HB DH ====2683215.∴DG=8+1.5=9.5【试题】 一、选择题1. 两圆的圆心距为6，两圆半径为方程x x 2540-+=的两根，则两圆（ ） A. 外切 B. 外离 C. 相交 D. 内切2. 两圆半径分别为5和8，若它们共有3条公切线，则圆心距d 为（ ）A. d=3B. 3<d<13C. d=13D. d>133. 半径分别为2、1的两圆相交于A 、B 两点，圆心为O 1、O 2，若O 1H ⊥O 2H ，则公共弦AB 的长为（ ） A.55B.255C.5D.4554. 两圆半径分别为4、1，一条公切线长为4，则两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 相交或相切5. 半径分别为1和2的两个圆外切，与这两个圆都相切且半径为3的圆共有（ ）个 A. 6B. 5C. 4D. 36. 如图：⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O1的圆心交⊙O1于C、D，若AC∶CD∶DB=3∶4∶2，则⊙O1与⊙O2的的直径之比为（）A. 2∶7B. 2∶5C. 1∶4D. 1∶37. 如图：⊙O'和⊙O外切于点A，外公切线BC与⊙O'、⊙O分别切于B、C，与连心线OO'的延长线交于点P，若∠BPO'=30°，则⊙O'与⊙O的半径比为（）A. 1∶2B. 1∶3C. 2∶3D. 3∶48. 下列各图形中标记的直角符号，是某同学边画图，边推理标注上去的，请你仔细观察图形，认真思考，判断哪个是错误的（）二、填空1. 两圆直径分别为7+t，7－t，圆心距为t，两圆位置关系为__________2. 两圆半径之比为5∶7，外切时圆心距为6，两圆半径为__________3. 三角形三边长为3、4、5，以各顶点为圆心的圆两两外切时，三个圆的半径为__________4. ⊙O1交⊙O2于A、B两点，O2在⊙O1上，O1在⊙O2上，则O1O2∶AB=_________5. ⊙O1、⊙O2连心线与一条内公切线夹角为45°，⊙O1与⊙O2直径分别为8cm，10cm，则内公切线长____________6. ⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，AB交O1O2于G，若AB=48，⊙O1、⊙O2半径分别为30、40，则△AO1O2的面积为____________7. ⊙O1与⊙O2外切于点P，它们半径之比为3∶2，AB为外公切线，A、B为切点，AB=46，则⊙O1与⊙O2的圆心距为____________8. 两圆半径之和为7cm，内公切线长230cm，外公切线长12cm，则两圆半径为___________三、已知：如图：⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB延长线于F。
（1）求证：BC是⊙P的切线（2）若CD=2 CB=22求EF的长（3）若设k=PE∶CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
四、如图：已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O于点D，CD延长线交⊙O1于点N（1）过A作AE∥CN交⊙O1于点E求证：PA=PE（2）连PN 若PB=4，BC=2，求PN的长五、如图：AB为⊙O直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E。