高考二轮复习三角函数专题第2讲.ppt

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题型一 三角变换及求值 例 1 (1)已知 0<β<π2<α<π，且 cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)
＝23，求 cos(α＋β)的值； (2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17， 求 2α－β 的值．
思维启迪 (1)(α－β2)－(α2－β)＝α＋2 β； (2)α＝(α－β)＋β，2α－β＝α＋(α－β)．
a 2＋b2－c2＝2abcos C.
6．面积公式 S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C.
7．解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求 解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．
由余弦定理，知 b2＋c2－a2＝2bccos A.
又 a2－c2＝b2－mbc， 可得 cos A＝m2 ，∴m＝1.
(2)由余弦定理及 a＝ 3，A＝π3，
可得 3＝b2＋c2－bc，
再由基本不等式 b2＋c2≥2bc，∴bc≤3，
∴S△ABC＝12bcsin A＝12bcsin π3＝ 43bc≤343，
解 (1)∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，
∴cos(α2－β)＝ 1－sin2(α2－β)＝ 35，
sin(α－β2)＝ 1－cos2(α－β2)＝495， ∴cosα＋2 β＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)
第 2 讲 三角变换与解三角形
【高考真题感悟】
(2011·山东)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为
a，b，c.已知cos
A－2cos cos B
C＝2c－b a.
(1)求ssiinn CA的值；
(2)若 cos B＝14，△ABC 的周长为 5，求 b 的长．
解 (1)由正弦定理，可设sina A＝sinb B＝sinc C＝k，
探究提高 (1)注意角的变换，(α－β2)－(α2－β)＝α＋2 β； (2)先由 tan α＝tan[(α－β)＋β]，求出 tan α 的值，再求 tan 2α 的值，这样能缩小角 2α 的取值范围； (3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运 用条件中角的函数值可使问题简化．
题型二 正、余弦定理
规律方法总结
1．证明三角恒等式的常用方法 (1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简． (2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)． (3)运用分析法，证明其等式成立．
2．三角恒等变形的基本思路 (1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒 等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同 次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如 β＝(α＋β)－α，2α ＝(α＋β)＋(α－β)等．
押题依据 本题将三角函数、余弦定理及基本不等式巧妙 地结合在一起，突出了对重点知识的重点考查．体现了高 考题在知识的交汇处出题的理念，故押此题． 押题级别 ★★★★★
解 (1)∵ 2sin A＝ 3cos A，∴2sin2A＝3cos A，
即 2cos2A＋3cos A－2＝0， 解得 cos A＝12或－2(舍去)， 又 0<A<π，∴A＝π3.
例 2 (2011·大纲全国)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分
别为 a、b、c，asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B.
(1)求 B；
(2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
解 (1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2，
由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos
B，故
所以 b＝2a.又 a＋b＋c＝5，所以 a＝1，因此 b＝2.
考题分析 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等变 换等基础知识．考查了考生的运算能力，以及运用知识综 合分析、解决问题的能力．题目典型常规、难度适中．
易错提醒 (1)注意化归思想的应用、即将题中的条件都转 化为角的关系或都转化为边的关系． (2)不能正确进行三角恒等变换． (3)易忽略隐含条件：三角形内角和为 π.
3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况
以已知 a，b，A 为例
(1)当 A 为直角或钝角时，若 a>b，则有一解；若 a≤b，
则无解．
(2)当 A 为锐角时，如下表：
a<bsin A a＝bsin A bsin A<a<b a≥b
无解
一解
两解 一解
4.三角形中的常用结论
(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π. (2)A>B>C⇔a>b>c⇔sin A>sin B>sin C.
故△ABC
面积的最大值为3
4
3 .
返回
(3)a＝bcos C＋ccos B.
5．在△ABC 中，三边分别为 a，b，c(a<b<c) (1)若 a2＋b2>c2，则△ABC 为锐角三角形． (2)若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形． (3)若 a2＋b2<c2，则△ABC 为钝角三角形．
名师押题我来做
1．已知 cosπ4－α＝1123，π4－α 是第一象限角， 则ssiinnπ2π4－＋2αα的值是________． 押题依据 同角三角函数的基本关系式，诱导公式及倍角 公式都是高考的热点，本题题点设置恰当，难度适中，体 现了对基础和能力的双重考查，故押此题．
3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．
(2)等式的两边同时变形为同一个式子．
(3)将式子变形后再证明．
4．正弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R(2R
为△ABC
外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
5．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
押题级别 ★★★ห้องสมุดไป่ตู้★
解析 ∵π4－α 是第一象限角，∴sinπ4－α＝153， 于是ssiinnπ2π4－＋2αα＝scinos2π4π4－－αα ＝2sinπ4－α＝1103.
答案
10 13
2．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c， 已知 2sin A＝ 3cos A. (1)若 a2－c2＝b2－mbc，求实数 m 的值； (2)若 a＝ 3，求△ABC 面积的最大值．
主干知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝1t∓atnanα±αttaannββ.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝1－2tatannα2α.
＝(－19)× 35＋495×23＝7275， ∴cos(α＋β)＝2cos2α＋2 β－1＝2×4792×95－1＝－273299.
(2)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－ant(aαn－(αβ－)＋β)ttaannββ＝1＋12－12×17 17＝13，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αttaann((αα－－ββ))＝1－13＋13×12 12＝1. ∵tan α＝13>0，∴0<α<π2，∴0<2α<π. 又 tan 2α＝1－2tatannα2α＝34>0，∴0<2α<π2. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π， ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－34π.
则2c－b a＝2ksinkCsi－n Bksin
A＝2sin
C－sin sin B
A，
所以cos
A－2cos cos B
C＝2sin
C－sin sin B
A，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又 A＋B＋C＝π，所以 sin C＝2sin A．因此ssiinn CA＝2. (2)由ssiinn CA＝2，得 c＝2a.由余弦定理及 cos B＝14， 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.
cos
B＝
2 2.
又 B 为三角形的内角，因此 B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝
2＋ 4
6 .
故 a＝bssiinnBA＝
2＋ 2
6＝1＋
3，c＝bssiinnBC＝2×ssiinn 6405°°＝
6.
探究提高 正、余弦定理与三角函数恒等变换综合考查是 高考的一个方向．本题突破的关键是先根据三角变换化 简，再利用正、余弦定理求解．