高中数学复习教案：直线、平面垂直的判定及其性质

第五节直线、平面垂直的判定及其性质

[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

1．直线与平面垂直

(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直．

(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直．

(3)推论：如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面．

(4)直线和平面垂直的性质：

①垂直于同一个平面的两条直线平行．

②直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的任一直线．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

2．直线和平面所成的角

(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．

(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.

(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.

3．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.

4．平面与平面垂直

(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判

定定理一个平面过另一个平面的垂

线,则这两个平面垂直

⎭

⎬

⎫

l⊥α

l⊂β

⇒α⊥β

性质定理两个平面垂直,则一个平面内

垂直于交线的直线与另一个平

面垂直⎭

⎬

⎫

α⊥β

l⊂β

α∩β＝a

l⊥a

⇒l⊥α

[常用结论]

1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面．

2．一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直．

3．两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面．

4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α. ()

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()

(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行．()

(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)×

2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出

“直线a与平面M垂直”,反之可以,所以是必要不充分条件．故选B.] 3．(教材改编)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.() A．若l⊥β,则α⊥βB．若α⊥β,则l⊥m

C．若l∥β,则α∥βD．若α∥β,则l∥m

A[∵l⊥β,l⊂α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确．]

4．如图所示,已知P A⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角

三角形的个数为________．

4[∵P A⊥平面ABC,

∴P A⊥AB,P A⊥AC,P A⊥BC,

则△P AB,△P AC为直角三角形．

由BC⊥AC,且AC∩P A＝A,

∴BC⊥平面P AC,从而BC⊥PC.

因此△ABC,△PBC也是直角三角形．]

5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为________．a[如图所示,取BD的中点O,连接A′O,CO,

则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角．

即∠A′OC＝90°,又A′O＝CO＝

2 2a,

∴A′C＝a2

2＋

a2

2＝a,

即折叠后AC的长(A′C)为a.]

直线与平面垂直的判定与性质

►

【例1】(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB＝BC＝22,P A＝PB＝PC＝AC＝4,O 为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上,且MC＝2MB,求点C到平面POM的距离．[解](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4,O为AC的中点,

所以OP⊥AC,且OP＝2 3.

连接OB.因为AB＝BC＝

2

2AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB＝

1

2AC＝2.

由OP2＋OB2＝PB2知,OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC,OB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,OB∩AC＝O,知PO⊥平面ABC. (2)作CH⊥OM,垂足为H.

又由(1)可得OP⊥CH,OP⊂平面POM,OM⊂平面POM,OP∩OM＝O,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC＝1

2AC＝2,CM＝

2

3BC＝

42

3,∠ACB＝45°.

所以OM＝25

3,CH＝

OC·MC·sin∠ACB

OM＝

45

5.

所以点C到平面POM的距离为45 5.

►考法2直线与平面垂直的性质

【例2】(2017·江苏高考)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.