线性代数复旦大学出版社练习题答案

线性代数复旦大学出版社练习题答案习题一

1.2.3

4. ∵

∴ 为偶数

故所求为

∵

∴所求为397281564

5.∵

∴项前的符号位

∵

∴ 项前的符号位

6.

原式=

7.8

9. ∵

∴

10. 从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得

按第一列展开：

习题二

1.2.3.4.5

6. 设为与可交换的矩阵，则有

即

解之得

7. ，记为

，记为

即

8

9.

10.

=

11. ∵

∴

反之若 , 则 ,即

12. 设∵∴

又∵∴

又

当时，有

∴

设，则

∵∴

当时，有

故即

13. ∵∴为对称矩阵

同理也为对称矩阵

∵

∴为对称矩阵

又∵

∴ 为反对称矩阵

∵

由知，为对称矩阵，为反对称矩阵

故可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。

14. 必要性：∵

∴

充分性：∵

∴

必要性：∵

∴

充分性：∵

∴

必要性：∵

∴

即

充分性：∵

∴

15

16. ∵

∴ 可逆。

且

17. ∵

∴ 可逆，且

18.

19. ∵,若可逆，则

∴故可逆，且

20.设，∵是对称矩阵∴ 记，则

，即为对称矩阵，又∵ , ∴ 为对称矩阵。

21.设，则

∵ ∴

又∵

∴

于是即

∵ ∴

于是

∵ 可逆∴ ∴

22. ∵∴

23.4.

25. ∵ ∴

∴ 可逆，且 26. ∵ ∴

又∵, ,

∴

27

28. ∵ ∴

又∵∴

故

29.

∵∴

∴

30.

31.

32.

33. ∵

∴

∵

∴

习题三

1.2.3.4

5. ∵ 不能由线性表示

∴线性方程组无解

不妨假设能由线性表示，则存在一组数，使

从而

此式与方程组无解矛盾。

故不能由的任何部分组线性表示

6. 依题意

所以

即

7. ∵ ∴

令∵

∴可逆，于是

即

8．

9.当即当或时，线性相关

否则线性无关。

10 .设

则

∴ 即

故线性无关。

设

则

∵ 线性无关∴ 解之得

11. 一方面，向量组能由基本单位向量组线性表示；

另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为

∴ 向量组与向量组等价。

12. 一方面可由向量组线性表示；另一方面由于与有相同的秩，所以就是向量组的一个极大无关组，从而可以由线性表示.

故

13.设是向量组中任意一个向量

∵可由线性表示

又，∴ 线性无关

∴是的一个极大无关组。

14. ∵ 可由线性表示，而也可由线性表示

∴ 从而

故线性无关。

15.必要性：∵是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量都可由线性表示。

充分性：∵ 任意维向量都可以由线性表示，∴基本单

位向量组可由线性表示，故∴从而线性无关。

《线性代数》第三、四章测验题

专业 __________ 姓名 __________ 学号 _______ 一、填空题

?x1?x2?3x3?0,

1．线性方程组?的基础解系是。

2x?2x?6x?0,23?1

?123?

??

2．矩阵?456?的秩是。

?789

??1??1?

2

3．向量组?2

??3??3??4??4?

34?2?,13?1?,

的秩为2，则a? 。

?12a?,?311?

?x1?x2?2x3?t,?

4．已知方程组?3x1?x2?6x3?t?2,有无数个解，则t? 。 ?x?4x?11x?t?3,

23?1

5．若向量组?1,?2,?3线性无关，且向量组a?1??2,b?2??3,c?3??1线性相关，

则a,b,c应满足的关系式是。二、选择题3??1??

1. 矩阵??2?4?6?的可能的最大秩是。

?02t

0; 1;;.

2. 设?1,?2,?,?m是一组n维向量，则下列结论正确的是。

如果存在m个全为零的数k1,k2,?,km使得k1?1?k2?2km?m?0，则?1,?2,?,?m线性无关；

若向量组?1,?2,?,?m线性相关，则?m可由其它向量线性表出; 向量组?1,?2,?,?m线性无关的充要条件是?1不能由其它m?1个向量线性表出;

若向量组?1,?2,?,?m不线性相关，则一定线性无关。

3. 设向量组?1,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关，则。 ?1必能由?2,?3,?4线性表出； ?2必能由?1,?3,?4线性表出； ?3必能由?1,?2,?4线性表出；

?4必能由?1,?2,?3线性表出。

4. 设?1,?2,??s和?1,?2,??t是两个n维的向量组，且两个向量组的秩都为r，则。两个向量组等价；

向量组?1,?2,??s,?1,?2,??t的秩也是r；

当?1,?2,??s可由?1,?2,??t线性表出时，?1,?2,??t