2017年全国高中数学联赛陕西赛区预赛真题(Word)

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2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案

一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，那么)100(-f 的值为__________.2.假设实数y x ,满足1cos 22=+y x ，那么y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，那么四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.假设一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，那么称其为“平稳数〞.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，那么棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，那么这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.假设3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，那么AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，那么11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z 〔其中)Re(z 表示复数z 的实部〕. 〔1〕求)Re(21z z 的最小值；〔2〕求212122z z z z --+++的最小值.二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,〔不同于点B 〕.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.假设相邻连个小方格的颜色不同，那么称它们的公共边为“分隔边〞.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不一样的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.6.7. 8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试〔B 卷〕一、填空题：本大题共8个小题,每题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，22a =，333a 1201172017a a a a ++的值为. 2.设复数z 满足91022z z i +=+，那么||z 的值为.3.设()f x 是定义在R 上的函数，假设2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，那么(1)f 的值为. 4.在ABC ∆中，假设sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，那么cos A 的值为.5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，那么DEF ∆的面积为.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，那么这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，那么a 的值为.8.假设正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，那么数组(,,)a b c 的个数为.二、解答题〔本大题共3小题，共56分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，XX 数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.〔1〕证明：数列{}n b 也是等差数列；〔2〕设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试〔B 卷〕一、〔此题总分值40分〕设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、〔此题总分值40分〕给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d 〔可以一样〕，满足ab cd m -=.三、〔此题总分值50分〕如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、〔此题总分值50分〕设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.5,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比拟两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||5z =3.答案：74-。

2017年全国高中数学联赛一试试卷

2017年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有(3)(4)1f x f x +⋅-=-．又当07x <≤时，2()log (9)f x x =-，则(100)f -的值为．2.若实数,x y 满足22cos 1x y +=，则cos x y -的取值范围是．3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为．4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是．5.正三棱锥P ABC -中，1AB =，2AP =，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为．6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，的概率为．7.在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点，若3A π∠=，△ABC 的面积为，则AM AN ⋅ 的最小值为．8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：10102017a b =<，对任意正整数n ，有21n n n a a a ++=+，12n n b b +=，则11a b +的所有可能值为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设,k m 为实数，不等式2||1x kx m --≤对所有[,]x a b ∈成立，证明：b a -≤10.（本题满分20分）设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求321231(35)35x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值和最大值．11.（本题满分20分）设复数12,z z 满足1Re()0z >，2Re()0z >，且2212Re()Re()2z z ==（其中Re()z 表示复数z 的实部）．(1)求12Re()z z 的最小值；(2)求1212|2||2|||z z z z +++--的最小值．。

2017年全国高中数学联赛陕西赛区试题(一试)解析pdf版

abc （ a ≥1 且 a Z ） abc
f '(a )
bc(a b c) abc b 2 c bc 2 ≥0 (a b c) 2 (a b c) 2
所以 f ( a ) 在 [1, ) 上单调递增所以 f ( a ) min f (1) 令 g (b)
A、
1 2
B、
1 3
C、
2 2
D、
3 3
【解析】由 AOB 60 ， OA OB b ，得 A
3 1 2 a, 2 a , B (0, a ) ，所以直线 AB 为
y
3 xa 3
3 y xa 3 由 2 2 x y 1 a 2 b2
A
Q
D P Q1 B
C
1 1 1 AC , PP AC , QQ1 AC ， 1 2 2 2
P1 C1 B1
因为 AC PR, AC PQ, AC QR ，所以 RR1 平面
R D1 A1 R1
PQR ， PP 1 平面 PQR ， QQ1 平面 PQR ，所以三棱柱

4
)4∴Βιβλιοθήκη 4≤
4
≤
5 4
∴
2 ≤ sin( ) ≤ 1 2 4
∴ 4 5 ≤ 10 sin(

4
) 4 ≤ 4 10
∴ B y 4 5 ≤ y ≤ 4 10

∵A 中的元素是 3 的倍数的正整数，而 B 中的元素是 3 的倍数的有 3 和 6 ∴集合 A B 中元素的个数有 2 个所以选 B 8、设 x ≥ y 0，若存在实数 a, b 满足 0≤ a ≤ x ，0≤ b ≤ y ，且

2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []13,1+-★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]3,3-∈x ，21cos 2x y -=，所以()1121cos 2--=-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]13,1+-。

2017A 3、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为 ◆答案：2113 ★解析：由题意得()0,3A ，()1,0F ，设P 点的坐标为()θθsin 10,cos 3，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，则 ()ϕθθθ+=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆sin 2113cos 321sin 10321OFP OAP OAPF S S S ，可得面积最大值为2113。

2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数是 ◆答案： 75★解析：考虑平稳数abc 。

①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；②若1=b ，则{}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数；综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。

2017年全国高中数学联赛陕西赛区预赛

其中的一个零点．
（１）求．厂（２）的取值范围；（２）试讨论直线：Ｙ＝一１与曲线Ｃ：
＝厂（）的公共点的个数．．
Ｐ
Ｑ
图３
五、（３０分）设口、６、Ｃ为正实数，且满足
（ａ＋ｂ）（ｂ＋Ｃ）（ｃ＋ａ）＝１．
矾＋＋１，／ｂｃ＋１／ｃａ＋ｌ＋／ａｂ≥吉．
５．已知函数
ｒ２＋４＋１，＜０；
）２
＞０．
Ｉｘ，
‘
则Ｙ＝＿厂（）（ ∈ Ｒ）的图像上关于坐标
原点０对称的点共有（）对．
（Ａ）０（Ｂ）ｌ（Ｃ）２（Ｄ）３
６．如图２，在棱长
Ｃ
为１的正方体ＡＢＣＤ一
（Ａ）３（Ｂ）譬（ｃ）（Ｄ）１６
４．如图Ｉ，ＪＶ
々
０
椭圆Ｅ：＋告
Ｂ
ａ
ｏ
＝１（ａ＞ｂ＞０），
ｏ０：。＋Ｙ＝ａ
一
膏
与Ｙ轴正半轴
交于点Ｂ，过点
Ｂ的直线与椭圆Ｅ相切，且与
冈１
ｏ０交于另一点Ａ．若ＡＯＢ＝６０。，则椭圆Ｅ
且（一ａ）＋（Ｙ—ｂ）＝＋ｂ＝Ｙ＋ａ．①
则的最大值为（）．
）
（Ａ）半（Ｂ）ｄＹ（ｃ）（Ｄ）１
二、填空题（每小题８分，共３２分）
２０１８年第１期
９．设函数（）＝ａｘ．若（厂（））＝
恒成立，则实数ａ的值为— — ．１０．袋中装有两个红球、三个白球、四个

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛真题(Word)

2.在平面直角坐标系中，不等式组

x
−
3y + 2≥0 表示的平面区域的面积为

y≥0
A. 3 2
B. 3
C. 2
（） D. 2 3
( ) ( ) 3.设 a,b,c 为同一平面内的三个单位向量，且 a ⊥ b .则 c − a c − b 的最大值为
A. 2 +1
B. 1− 2
C. 2 −1
的外接球 2
C. 3
D. 4
8.设非负实数 a、b、c 满足 ab + bc + ac = a + b + c 0.则 ab + bc + ac 的最小值为
（）
A. 2
B. 3
C. 3
D. 2 2
二、填空题（每题 8 分，共 4 小题，共 32 分）
9.在数列an中， a4 = 1, a11 = 9 ，且任意连续三项的和均为 15.则 a2016 = _____.
四、（本小题满分 30 分）
设函数
f
(x)
=
ln
x
+
a

1 x
−1(a R)，且
f
( x) 的最小值为
0.
（1）求 a 的值；
（2）若数列an满足 a1 =1, an+1 = f (an ) + 2(n Z+ ) ，记 Sn = a1 +a2 + + an ，m 表示不超过实数
10.设 m、n 均为正整数，且满足 24m = n4.则 m 的最小值为______.
11.设 f ( x)、g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数、偶函数，且 f ( x)+g ( x) = 2x. 若对 x 1, 2 ，不等式 af ( x) + g (2x)≥0恒成立，则实数 a 的取值范围为_______. 12.设 x R ，则函数 f ( x) = 2x −1 + 3x − 2 + 4x − 3 + 5x − 4 的最小值为________.

全国高中数学联赛陕西省预赛试题

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题一、填空题（每小题6份，共60分，本题共10小题，要求直接将答案写在横线上）1.已知集合}1|2||{≤-∈=x R x A ，}025|{>--∈=x x R x B ，则B A ⋂= ；2．图1是一个算法流程图，若输入,1=n 则最终输出的数据是；3．设圆122=+y x 的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则||AB 的最小值为；4．已知函数⎩⎨⎧≥+<=-2),1(log 2,2)(32x x x x f x ，若关于x 的方程 m x f =)(有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是用区间形式表示）5．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)1(=f ，当0>x 时，)(x f 是增函数，且对任意的x 、R y ∈，都有)(y x f +)()(y f x f +=，则函数)(x f 在敬意[-3,-2]上的最大值是6．对于,+∈N n 若12+⋅n n 是3的整数倍，则n 被6除所得余数构成的集合是。

7．如图2，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两个动点，且CD ∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD 周长的最大值是 8．如图3，在△ABC 中，AB=3，AC=5，若O 为 △ABC 的外心，则⋅的值是9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= 10．把长为a 的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为二、解答题（每小题20分，共60分）11．设,0πα<<,2πβπ<<若对任意的R x ∈，等式)sin()cos(βα+++x x +0cos 2=x 恒成立，试求α、β的值。

12．如图4,已知两点)0,5(-A 、)0,5(B ，ABC ∆的内切圆的圆心在直线2=x 上移动。

(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。

2017年全国高中联合竞赛竞赛一试(A卷)数学试题含答案

2017年全国数学联合竞赛一试（A 卷）试题一、填空题：本大题共8小题,每小题8分，共64分.1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅→+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=,则)100(-f 的值为________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是________。

3。

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点,A 为C 的右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为________。

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是________。

5.正三棱锥ABC P -中，21==AP AB ，,过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________。

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为________。

7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点。

若ABC A ∆=∠，π3的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为________。

8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为________。

二、解答题（本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9。

设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b 。

10。

设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求()⎪⎭⎫⎝⎛++++5353321321x x x x x x 的最小值和最大值。

2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文

可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。

）1．已知函数()()2438f x x x x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。

若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（） A．0a <<．02a << C．a >a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（） A ．2 B ．3 C ．5 D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。

2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式

x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ；又 x1 3 x 2 5 x 3 x1

x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：

2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛真题(Word)

2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、填空题（每题5分，共10小题，共50分）1.已知集合{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8,10A B ==.若集合{}|,,C x x a b a A b B ==+∈∈，则集合C 中元素的个数为_______.2.已知函数()0,01,0x f x x <⎧=⎨⎩≥，则()()f f x =_______.3.已知sin 1,cos αβαβ==()cos αβ−=的值为_______.4.在三棱锥S-ABC 中，已知AB=AC ，SB=SC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为_______.5.如图，以双曲线()222210x y a b a b −=>、上一点M 为圆心的圆与x 轴相切于双曲线的一个交点F ，且与y 轴交于P 、Q 两点.若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率为_______.6.设O 为△ABC 的外心，且满足OA OB OC +=，则=ACB ∠_______.7.在△ABC 中，若tan tan 122A B +=，则tan 2C的最小值为_______.8.某人抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为12，构造数列{}n a ，使得1,1n n a n ⎧=⎨−⎩第次正面向上，第次反面向上，记12n n S a a a =+++.则20S ≠，且82S =的概率为_______.9.若正整数m 、n 满足()!5040!m n n +=，则!m n 的值为_______.10.设单调递增数列{}n a 的各项均为正整数，且()721120,n n n a a a a n Z +++==+∈，则8a =_______.二、填空题（每题8分，共4小题，共32分） 9.设函数()23axf x x =+.若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为_____. 10.袋中装有两个红球、三个白球、四个黄球，从中取出四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为______.11.设a 、b 、c 为互不相同的正整数，则abca b c++的最小值为_______.12.设方程()6xy x y =+的全部正整数解为()()()1122,,,,,,.n n x y x y x y 则()1nk k k x y =+∑________.第二试一、（本小题满分15分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112.2n n a S n Z ++=+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个实数，使这n +2个数依次组成公差为n d 的等差数列.设数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：()154n T n Z +<∈.二、（本小题满分15分）设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .且满足()sin sin cos cos sin A B A B C +=+. （Ⅰ）证明：△ABC 为直角三角形；（Ⅱ）若1a b c ++=ABC 面积的最大值.三、（本小题满分15分）如图，设H 为锐角△ABC 的垂心，过点H 作BH 的垂线，与AB 交于点D ，过点H 作CH 的垂线，与AC 交于点E ，过点C 作BC 的垂线，与直线DE 交于点F ，证明：FH =FC .四、（本小题满分15分）如图，在直角坐标系xoy 中，22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，()()222:20A x y r r −+=>与O 交于B 、C 两点. （Ⅰ）求AB AC ⋅的最小值；（Ⅱ）设点P 为O 上异于B 、C 的任一点，直线PB 、PC 与x 轴分别交于点M 、N ，求POMPONS S⋅的最大值.五、（本小题满分20分）已知函数()()()2ln ,3f x x x g x x ax a R ==−+−∈.（1）若对任意的()0,x ∈+∞，恒有不等式()()12f x g x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，有12ln x x exe >−.六、（本小题满分20分）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，已知()()221111,2,.k k i k a k i +−===∑证明：11112nk k k a a =⎛⎫⎡⎤⎡⎤++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑.。

2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)R e()R e(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.感恩和爱是亲姐妹。

2017年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为A卷)(教师版)

综上所述，的所有可能值为
二、解答题：（本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤）.
9、（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立，证明： .
证明：令则于是
当时不等式等号成立，故所求的最小值为1.
因为
当时不等式等号成立，故所求的最大值为
11.（本题满分20分）设复数满足且（其中表示复数的实部）.
2017年全国高中数学联赛一试试题参考答案
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1、设是定义在上的函数，对任意实数有 .又当时，，则的值为.
【答案】
【解析】由条件知，
2、若实数满足，则的取值范围是.
【答案】
3、在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为.
所以
又易知直线在平面上的射影是直线
所以
故棱与平面所成的角的余弦值为
6、在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率为.
【答案】
【解析】易知中有9个点，故在中随机取出三个点的方式数为种.
将中的点按图标记为，其中有8对点之间的距离为，由对称性，考虑取两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有个三点组（不计每组中三点的顺序），对每个，中恰有两点与之距离为（这里下标按模8理解），因而恰有这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为，进而所求概率为 .
【答案】
【解析】易知设的坐标是则
其中时，四边形面积的最大值为
4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是.