上海交通大学版大学物理学习题答案之8机械波习题思考题说课讲解

习题

8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距m 0.2的两质点A 与B ，B 点振动相位比A 点落后

6

π

，已知振动周期为s 0.2，求波长和波速。 解：根据题意，对于A 、B 两点，m x 2612=∆=-=∆，π

ϕϕϕ

而相位和波长之间又满足这样的关系：πλ

πλϕϕϕ221

212x x x ∆-

=--

=-=∆

代入数据，可得：波长λ=24m 。又已知 T=2s ，所以波速u=λ/T=12m/s

8-2． 已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为

)cos(ϕω+=t A y ，波速为u ，求:

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何?

解：（1）根据题意，距坐标原点O 为1x 处P 点是坐标原点的振动状态传过来的，其O 点振动状态传到p 点需用 u

x t 1

=∆，也就是说t 时刻p 处质点的振动状态重复u

x

t -

时刻O 处质点的振动状态。换而言之，O 处质点的振动状态相当于u

x t 1

+

时刻p 处质点的振动状态，则O 点的振动方程为：]cos[1

ϕω++

=）（u

x t A y

波

动

方

程

为

：

11

cos[]cos[()]x x x x y A t A t u u u

ωϕωϕ-=+

-+=-+（）

（2）若波沿x 轴负向传播， O 处质点的振动状态相当于u

x t 1

-

时刻p 处质点的振动状态，则O 点的振动方程为：]cos[1

ϕω+-

=）（u

x t A y 波

动

方

程

为

：

11

cos[]cos[()]x x x x y A t A t u u u

ωϕωϕ+=-

-+=-+（）

8-3. 一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知

A 点的振动规律为)2cos(ϕπν+=t A y ，试写出：

（1）该平面简谐波的表达式；

（2）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d

处）。

解：（1）仿照上题的思路，根据题意，A 点的振动规律为)2cos(ϕπν+=t A y ，它的振动是O 点传过来的，所以O 点的振动方程为：]2cos[ϕπν++=）（u

l

t A y 那么该平面简谐波的表达式为：]2cos[ϕπν+++

=）（u

x u l t A y （2）B 点的振动表达式可直接将坐标x d l =-，代入波动方程：

]2cos[]2cos[ϕπνϕπν++=+-++

=）（）（u

d t A u l d u l t A y 也可以根据B 点的振动经过u d

时间传给A 点的思路来做。

8-4. 已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，s 3

1

=t 时的波形如图所示，且周期T 为s 2.

（1）写出O 点的振动表达式；

（2）写出该波的波动表达式；

（3）写出A 点的振动表达式； （4）写出A 点离O 点的距离。 解：由图可知A=0.1m ，λ=0.4m ，由题知T= 2s ，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s 。 波动方程为：y=0.1cos ［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O 点的初始相位。 （1） 由上式可知：O 点的相位也可写成：φ=πt+Ф0

由图形可知： s 31

=

t 时y ０=-A/2，v ０＜0，∴此时的φ=2π／3， 将此条件代入，所以：03132ϕππ+= 所以3

0π

ϕ=

O 点的振动表达式y=0.1cos ［πt+π/3］m

（2）波动方程为：y=0.1cos ［π(t-x/0.2)+π/3］m （3）A 点的振动表达式确定方法与O 点相似由上式可知：

A 点的相位也可写成：φ=πt+ФA0

由图形可知： s 3

1

=

t 时y ０=0，v ０>0，∴此时的φ=-π／2， 将此条件代入，所以：0312A ϕππ+=- 所以6

50π

ϕ-=A

A 点的振动表达式y=0.1cos ［πt-5π/6］m

（4）将A 点的坐标代入波动方程，可得到A 的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos ［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos ［πt-5π/6］

可得到：m x A 233.030

7

==

8-5. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。

解：由图可知A=0.5cm ，原点处的振动方程为：y=Acos （ωｔ＋φ） t=0s 时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1=3

π- t=1s 时 y=0 v<0 可知其相位为φ2=2

π 代入振动方程， φ=3

π-

ω＋φ=

2

π 可得：ω=

6

5π

T=2π/ω=12/5 则 y=0.5cos （65πｔ-3

π

）cm

（2）沿x 轴负方向传播，波动表达式：

555y=0.5cos[(t+)-]=0.5cos[(t+)-]a 63643

x x u ππππ

cm

（3）根据已知的T=12/5，m/s 8.0=u ，可知：m 25

48

=λ

那么同一时刻相距m 1的两点之间的位相差： 3.27rad 24

25

2==∆=∆πλπϕx

8-6. 一正弦形式空气波沿直径为cm 14的圆柱形管行进，波的平均强度为

m )J/(s 100.93⋅⨯-，频率为Hz 300，波速为m/s 300。问波中的平均能量密度和

最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：(1)∵ I=w u

∴u

I w =

=9.0×10-3／300=3×10-5 J ·m -3

w max =2w =0.6×10-4 J ·m -3

(2) W=ν

πλπωu

d w d w V 224141==

=3×10-5

×1π/4×（0.14）２

×300/300=4.62×10-7

J