高考数学二项式定理(理科专用)专题卷
专题38二项式定理(原卷版)
备战2024高考数学一轮复习（新高考）专题38二项式定理№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练专题38二项式定理→➊考点精析←一、 二项式定理1. 二项式定理(a+b )n =C n 0a n +C n 1a n -1b+…+C n r a n -r b r +…+C n n b n(n ∈N *)2. 二项展开式的通项T r+1=C n r a n -r b r ,它表示第r+1项3. 二项式系数C n 0，C n 1，…，C n n二二项式系数问题1.C n 0=1，C n n =1，C n+1m =C n m -1+C n m .2.C n m =C n n -m (0≤m ≤n )..当n 为偶数时,第n2+1项的二项式系数最大,最大值为C n n 2;当n 为奇数时,第n+12项和第n+32项的二项式系数最大,最大值为C n n -12或C n n+12.4.各二项式系数和:C n 0+C n 1+C n 2+…+C n n =2n ，C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+C n 5+…=2n -1.→➋真题精讲←1.（2023北京卷5） 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）． A. 80-B. 40-C. 40D. 802. （2023天津卷11）在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．→➌模拟精练←2．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式()()()()10210012101111x a a x a x a x -=+++++++，则7a =（ ） A ．－960B ．960C ．－480D ．48011．（2023·广东·高三统考模拟预测）在()()26121x x ++展开式中，2x 的系数是________．（用数字作答）12．（2023·广东茂名·统考一模）81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为______（用数字作答）.→➍专题训练←1．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知多项式()()562560125621x x a a x a x a x a x -+-=+++⋅⋅⋅++，则1a =（ ）A ．11B ．74C ．86D ．1-2．（2023·山东德州·三模）若()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-+-，则（ ） A ．01a =-B ．1201231011123a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-+=-C ．12122a a a ++⋅⋅⋅+=-D ．1211122111212222a a a a ++⋅⋅⋅++=- 3. 523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．604.若1721701217(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋯++，则012316a a a a a ++++⋯+=_____.5.()()()()()234511111x x x x x -----的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（ ） A ．0 B ．55C ．90D ．1206.(2x 6的展开式中，4x的系数是（ ）A ．20B ．20-C ．160D ．160-7.若34270127(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则0246a a a a +++=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6n n a t +++ 的展开式的第(8)+∈ax a R 13．（2023·广东深圳·统考一模）()51x -的展开式中3x 的系数为______（用数字做答）． 14．（2023·广东梅州·统考一模）()51(2)x x +-展开式中3x 的系数为___________.15．（2023·广东韶关·高三统考模拟考试）432x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______________.16．（2023·广东揭阳·高三统考模拟考试）()623x y ++中4x y 的系数为__________（用数字作答）.17．（2023·广东肇庆·统考一模）()()6x y x y +-的展开式中34x y 的系数是________．（用数字作答）18．（2023·广东佛山·统考一模）在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）19．（2023·广东汕头·高三统考模拟考试）在5(21)x y ++的展开式中，32x y 的系数为__________.C n nn x ++=1C 1n +++23．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知()220212202301220231(2)(1)(1)(1)xx a a x a x a x +-=+-+-++-，则122023a a a +++=______.24．（2023·山东青岛·统考三模）若13nx ⎛ ⎝展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为______．（用数字作答）。
(完整版)二项式定理高考题(带答案)
1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数.9.【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n ab -+T =． 11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5-的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A23.（2016年天津高考）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】56-24.（2016年全国I 高考）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10。
二项式定理高考试题及其答案总
二项式定理历年高考试题荟萃(一)一、选择题 ( 本大题共 58 题)1、二项式的展开式中系数为有理数的项共有………（）A.6项B.7项C.8项D.9项2、对于二项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（）①存在n∈N，展开式中有常数项；②对任意n∈N，展开式中没有常数项；③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N，展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与①3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，154、（2x3－）7的展开式中常数项是………………………………………………………（）A.14B.－14 C.42 D.－425、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………()(A)28 (B)38 (C)1或38 (D)1或286．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（）A.8B.9C.10D.127 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………()A.6B.12C.24D.488、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（）A.15B.－15 C.20 D.－209、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（）A.14B.－14 C.42 D.－4210、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（）A.8B.9C.10D.1211、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于A．4 B．6 C．8D．1012、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A.4项B.3项C.2项D.1项13.(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是（A）840 （B）-840 （C）210 （D）-21014.的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项 B．3项 C．2项 D．1项15、若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）A.5B.7C.9D.1116、3.若的展开式中的系数是( )A B C D17、在的展开式中的系数是（）A.－14B.14C.－28 D.2818、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）19、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）20、设k=1,2,3,4,5,则（x+2）5的展开式中x k的系数不可能是（A）10 （B）40 （C）50 （D）8021、7.在()n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于A.3B.6C.9D.1222、已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(A)-1 (B)1 (C)-45 (D)4523、的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B．4项 C．5项 D．6项24、在二项式(x+1)6的展开式中，含x3的项的系数是(A)15 (B)20 (C)30 ( D)4025、(若多项式,则（A）9 （B）10 （C）-9 （D）-1026、(的值为（）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63Ｄ．6427、在(x-)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于A．23008B．-23008C．23009D．-2300928.在（）24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B.4项 C.5项 D.6项29、的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0 （B）2 （C）4 （D）630、在（x-）的展开公式中，x的系数为（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）1531、（2x-3）5的展开式中x2项的系数为（A）-2160 （B）-1080 （C）1080 （D）216032．若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是A．-2 B．2 C．D．233、的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（A）－540 （B）－162 （C）162 （D）54034、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-，其中i2＝-1，则展开式中常数项是(A)-45i (B)45i (C)-45(D)4535.若对于任意的实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a2的值为A.3B.6C.9D.136、在的二项展开式中，若只有的系数最大，则A.8B. 9C.10 D.1137、.的展开式中，常数项为15，则n=A.3B.4C.5D.638、若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为A.10B.20C.30D.12039、.已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于A.4B.5C.6D.740、设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为A.－2B.－1 C.1 D.241、展开式中的常数项是(A) -36 (B)36 (C) -84 (D) 8442、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.3B.5C.6D.1043、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.10B.6C.5D.344、((2x+1)6展开式中x2的系数为(A)15 (B)60 (C)120(D)24045、（-）12展开式中的常数项为（A）-1320 （B）1320 （C）-220 (D)220 46、在的展开式中，含的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 47、展开式中的常数项为A．1 B．C．D．48、在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27449、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4D．550、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1251、展开式中的常数项为A．1 B．46 C．4245 D．424652、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D ．453、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1254、的展开式中的系数为（）A．10 B．5 C．D．155、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D ．456、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4D．557、若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为( )A.6B.7C.8D.958、的展开式中常数项是A.210B.C.D.-105二项式定理历年高考试题荟萃(二)一、填空题 ( 本大题共 55 题)1、在二项式（x－1）11的展开式中，系数最小的项的系数为.（结果用数值表示）2、展开式中的常数项是.3、在二项式（x－1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .（结果用数值表示）4、在代数式(4x2－2x－5)(1+)5的展开式中，常数项为______________.5、在(x－)6的二项展开式中，常数项为 .6、.(x+1)10的二项展开式中x3的系数为.7、若在（）n的展开式中，第4项是常数项，则n= .8、（x2+1）（x－2）7的展开式中x3项的系数是.12、（x2－）9展开式中x9的系数是.17.若（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）= .（用数字作答）18、已知a为实数，（x+a）10展开式中x7的系数是－15，则a= .19、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为－80，则a= .20、的展开式中各项系数的和是128,则展开式中x5的系数是 .(以数字作答)21.（x2+）9的展开式中的常数项为（用数字作答）.22、若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .(结果用分数表示)23、（x－）8展开式中x5的系数为 .24、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为－80，则a= .25、若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n= .26、若(x＋－2)n的展开式中常数项为－20,则自然数n＝.27、（x－）8展开式中x5的系数为 .28、如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.29、.在（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6的展开式中，x2项的系数是.（用数字作答）30、二项式的展开式中常数项为__________（用数字作答）.31、. 若，且，则.32、（展开式中的常数项是（用数字作答）.33、的展开式中，常数项为。
关于二项式定理的高考题
关于二项式定理的高考题类型一：利用通项公式求展开式中某项的系数的问题1 、(2006 年北京理 10) 在( x - )7 的展开式中， x2 的系数是 。
2 、(2006 年陕西理 14) (3x - )12 展开式中 x -3 的系数为 。
x3、(2005 年广东 13) 已知(x cos9 +1)5 的展开式中 x 2 的系数与 (x+ 5)4 的展开式中 x 3 的4系数相等，则 cos9= 。
4、(2004 年全国 II 13 文)已知 a 为实数， (x + a)10 展开式中 x 7 的系数是－15，则 a = 。
5 、(2006 年安徽理 13) 设常数a ＞0， (ax 2 + 1 )4 展开式中 x 3 的系数为 3，则x 2lim ( a + a 2 + … a n ) = 。
n)w6、若(|(x 2+ ax1))|6 的二项展开式中的 x 3 系数为 25，则 a = (用数字作答) 。
7 、(2x- 1) 6 展开式中 x 2 的系数为。
( )A ． 15B ． 60C ． 120D ． 2408、在(1+ x)n (n =N*)的二次展开式中，若只有 x 5 的系数最大，则 n = ( ) A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 119、(1 + 2x)5 的展开式中 x 2 项的系数．．是 。
(用 D 1C 1B数字作答) 1110、已知 (1+ kx 2 )6 (k 是正整数)的展开式中， x 8 的系 E F 数小于 120，则 k = 。
Dx C 11 、 (1+ ) 5 的展开式中 x 2的系数( )2A B2 xA 12A ． 10B ． 5C ．D ． 1512 、 |x - | 的二项展开式中， x 2 的系数是(用数字作答) 。
2 x114 、若(x+ )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中 x 4 项的系数为 ( )2xA ． 6B ． 7C ． 8D ． 9115 、 (x+ ) 9 展开式中x 3 的系数是 。
二项式定理-高考题(含答案)精选全文
3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在 2x2-⎪的二项展开式中，x的系数为（D）5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）⎛x+1⎫⎪的展开式中常数项为(B)(A)35精选全文完整版（可编辑修改）学习好资料欢迎下载二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同(1+x)7的展开式中x2的系数是（D）（A）42（B）35（C）28（D）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x)5的展开式中，x2的系数等于（B）（A）80（B）40（C）20（D）10⎛1⎫5⎝x⎭(A)10(B)-10(C)40(D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在(x-2)6的二项展开式中，x2的系数为（C）2x（A）-15153（B）（C）-（D）448388⎝2x⎭3535(B)(C)(D)10516846.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）(1-3x)5的展开式中x3的系数为(A)(A)-270(B)-90(C)90(D)2707.(2013·大纲版全国卷高考理科·T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(D)8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）⎛ x + a ⎫⎪⎛ 2x - 1 ⎫⎪的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常 （ 12.（2011·湖北高考理科·T11） x - ⎪ 的展开式中含 x 15的项的系数为 17 .）16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设（x - 1)21 = a + a x + a x 2 + + a x 21 ，则17.（2011·广东高考理科·Ｔ10） x( x - )7的展开式中， x 4 的系数是___84___ (用数字作答)A.56B.84C.112D.1685 ⎝x ⎭⎝ x ⎭数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4) (1 + 3x) n (其中 n ∈ N 且 n ≥ 6 )的展开式中 x 5 与 x 6 的系数相等,则 n =( B)(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910． 2011·陕西高考理科·T4） (4 x - 2- x )6 （ x ∈ R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ） -20（B ） -15（C ）15 （D ）20二、填空题11. ⎛ 1 ⎫6（2013·天津高考理科·Ｔ10） x - ⎪ 的二项展开式中的常数项为 15 .⎝ x ⎭⎛ 1 ⎫18⎝ 3 x ⎭13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1- x )20 的二项展开式中，x 的系数与 x 9 的系数之差为0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13 （x + 1)9 的展开式中 x 3的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11) (1 + 2 x) 6的展开式中 x 4 的系数是240 .0 1 2 21a +a =0 .10112x18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若 x-x2⎪⎭19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，120.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若 x+3x⎭x4的系数为7，则实数a=_________。
2023年高考数学真题分训练 排列组合、二项式定理(理)(含答案含解析)
专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。
高考数学(理)专题辅导：60 二项式定理 Word版含解析
课时分层训练(六十) 二项式定理A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(·广东3月测试)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516D [T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0得r ＝4，所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.] 2．(·四川高考)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4 A [T r ＋1＝C r 6x6－r i r ，由6－r ＝4得r ＝2. 故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.]3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10C [(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，则x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.]4．(2015·湖南高考)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3B ．－3C ．6D ．－6 D [T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－2r 2，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.]5．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( )【导学号：57962457】A ．－2B ．－3C ．125D ．－131C [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2.又a 0＝C 07(－1)020＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125.]6．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32A [逆用二项式定理，得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.]二、填空题7．(·天津高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) －56 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r ，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.]8．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________．150x [由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2，令4－3r 2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .]9．(2014·全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)－20 [x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.]10．(·郑州质检)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎠⎛－2a x 2d x 的值为________．73 [∵T r ＋1＝C r 6(ax)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36rx 6－r ， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1， ∴⎠⎛a －2x 2d x ＝⎠⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝73.] B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n )．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.]2．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210C [在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4， 所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.]3．(·济南调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．2 [⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3.由C 36a6－3b 3＝20得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2.] 4．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为________.【导学号：57962458】4 [∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.]。
备考2020年高考数学一轮复习：59 二项式定理(理科专用)
备考2020年高考数学一轮复习：59 二项式定理（理科专用）一、单选题(共10题；共20分)1．（2分）设复数 x =2i 1−i（ i 是虚数单位），则 C 20191x +C 20192x 2+C 20193x 3+...+C 20192019x 2019= （ ） A ．iB ．−iC ．−1+iD ．−1−i2．（2分）(x 2√x)6 展开式中常数项为( )A ．−160B ．160C ．−240D ．2403．（2分）若 (x −1x)n的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中含 x 3 项的系数是( ) A ．792B ．-792C ．330D ．-3304．（2分）(x 2+x +2)(1x2−1)5 的展开式的常数项是（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．35．（2分）(1+x 2)(x −2x)6 展开式的常数项为（ ）A ．-160B ．-5C ．240D ．806．（2分）在（x-2)2019的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为M ，含x 的偶次幂的项之和为N ，则当x=-1时，M-N=（ ） A ．（-3）2019B ．-1C ．1D ．320197．（2分）已知（1+x ）（1-ax ）5的展开式中x²的系数为 −58，则a=（ ）A ．1B ．12C ．13D ．148．（2分）若 (1+mx)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8 且 a 1+a 2+⋯+a 8=255 ，则实数m 的值为（ ） A ．1或﹣3B ．﹣1C ．﹣3D ．19．（2分）设 a ∈Z ，且 0≤a <100 ，若 9192+a 能被100整除，则 a 等于（ ）A ．19B ．91C ．18D ．8110．（2分）若二项式 (√x +1x)n的展开式中各项的系数和为 32 ，则该展开式中含 x 项的系数为（ ） A ．1B ．5C ．10D ．20二、填空题(共7题；共8分)11．（1分）在 (x 1√x)6的展开式中，常数项等于 ．12．（2分）在二项式（ √2 +x ）9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是13．（1分）(2x −18x3)8是展开式中的常数项为 . 14．（1分）已知 (x −m)7=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 7x 7 的展开式中 x 4 项的系数是-35，则 a 1+a 2+...+a 7= .15．（1分）已知 (ax +1)n 的展开式中，二项式系数和为 32 ，各项系数和为 243 ，则a = ．16．（1分）若 (2x −1x )n 展开式中含 1x 2 项的系数与含 1x4 项的系数之比为-4，则 n = ．17．（1分）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为 .三、解答题(共5题；共35分)18．（5分）已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为 m . （I ）求 m 的值；（II ）求 (√x +2x)3m4 的展开式中的常数项. 19．（10分）已知 (√x +13x 2)n的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是 14:3 .（1）（5分）求 n ；（2）（5分）求展开式中有理项．20．（10分）已知 (√1x4+√x 23)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）（5分）含 x 3 的项； （2）（5分）系数最大的项．21．（5分）已知 (√x −3x2)n (n ∈N ∗) 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 9∶1 ．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．22．（5分）若(2x−a)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，且a4=−560.（Ⅰ）求实数a的值;（Ⅱ）求a1+a22+a322+⋯+a726的值.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】 x =2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ， C 20191x +C 20192x 2+C 20193x 3+...+C 20192019x2019=C 20190+C 20191x +C 20192x 2+C 20193x 3+...+C 20192019x2019−1 =(1+x)2019−1=i 2019−1=i 3−1=−i −1 ， 故答案为：D.【分析】根据复数的除法运算求出x ，逆用二项式定理的，即可求出式子的值.2．【答案】D【解析】【解答】解: Tr+1=C 6r x 6−r(−2)r x −r 2=C 6r (−2)r x 6−32r ，令 r =4 得展开式中常数项为 C 64(−2)4=240 ，故答案为：D.【分析】根据二项式展开式的通项，令x 的次数为0，求出r ，即可得到展开式的常数项.3．【答案】C【解析】【解答】因为 (x −1x )n的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，所以 n =11 通项为 T n+1=C 11r x 11−r (−1x)r=(−1)r C 11r x 11−2r ， 令 11−2r =3 得 r =4所以展开式中含 x 3 项的系数是 (−1)r C 11r =(−1)4C 114=330故答案为：C.【分析】利用二项式定理求出展开式中通项公式，再利用通项公式求出二项式系数，再利用(x −1x)n的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，所以 n =11，从而求出r 的值，进而求出展开式中含 x 3 项的系数。
二项式定理-高考题(含答案)汇编
二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x 的展开式中2x 的系数是（ D）（A ）42（B ）35（C ）28（D ）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）103.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x 的二项展开式中，x 的系数为（ D ）(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在62()2x x 的二项展开式中，2x 的系数为（ C ）（A ）154（B ）154（C ）38（D ）385.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821xx 的展开式中常数项为( B )(A)1635(B)835(C)435(D)1056.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x 的展开式中3x 的系数为( A )(A)270(B)90(C)90(D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)8411+x y 的展开式中22x y 的系数是( D )A.56B.84C.112D.1688.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512ax x x x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4)n x)31((其中nN 且6n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n ( B ) (A)6(B)7(C)8(D)910．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x （x R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20（B ）15（C ）15 （D ）20二、填空题11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）61x x 的二项展开式中的常数项为15 .12.（2011·湖北高考理科·T11）1813x x 的展开式中含15x 的项的系数为17 .13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x （的展开式中3x 的系数是84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x 的展开式中4x 的系数是240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x （，则1110a a = 0 . 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62ax x 的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若n x x )1(的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若83ax x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a =____12_____。
高考数学复习题库 二项式定理
高考数学复习题库二项式定理一.选择题1.二项式6的展开式中的常数项是( )A.20B.－20C.160D.－160 解析二项式(2x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－)6的展开式中的常数项是C·26－3·(－1)3＝－160. 答案 D2.若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( ). A.6 B.10 C.12 D.15 解析 Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12. 答案 C3.(1－t)3dt的展开式中x的系数是( )A.－1B.1C.－4D.4 解析 (1－t)3dt＝＝－＋，故这个展开式中x的系数是－＝1.答案 B4.已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( ). A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 解析由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38. 答案 C5.设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( ). A.－150 B.150 C.300 D.－300 解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 答案 B6.2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为( )A.120B.252C.210D.45 解析根据二项式系数的性质，得2n＝10，故二项式2n的展开式的通项公式是 Tr＋1＝C()10－r·r＝Cx5－－，根据题意5－－＝0，解得r＝6，故所求的常数项等于C＝C＝210.正确选项为C. 答案 C7.在(x－)2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于( ). A.23 008 B.－23 008 C.23 009 D.－23 009 解析 (x－)2 006＝x2 006＋Cx2 005(－)＋Cx2 004(－)2＋…＋(－)2 006，由已知条件S＝－C()2 006－C()2 006－…－C()2 006＝－22 005·21 003＝－23 008. 答案 B二.填空题8.(1＋x)3(1＋)3的展开式中的系数是________. 解析利用二项式定理得(1＋x)33的展开式的各项为Cxr·Cx－n＝CCxr－n，令r－n＝－1，故可得展开式中含项的是＋＋＝，即(1＋x)33的展开式中的系数是15. 答案159. 设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3＝________. 解析 x6＝[1＋(x－1)]6，故a3＝C＝20. 答案2010.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________. 解析令x ＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝. 令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364. 答案36411.已知(1＋x＋x2)n 的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________. 解析 n展开式中的通项为 Tr＋1＝Cxn－rr ＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知 n＝5. 答案 n＝512.若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin＝________. 解析由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ＝2，∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－. 答案－三.解答题13.若n的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x的整数次幂的项. 解析令x＝1，则22n＝1 024，∴n＝5. Tr＋1＝C(3x)5－rr＝C·35－r·，含x的整数次幂即使为整数， r＝0.r＝2.r＝4，有3项，即 T1＝243x5，T3＝270x2， T5＝15x－1.14.在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律：（2）在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561 … … 解析(1)C＝C＋C（2）1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5 由＝，得＝即3n－7r＋3＝0① 由＝，得＝即4n－9r－5＝0② 解①②联立方程组得 n＝62，r＝27 即C∶C∶C＝3∶4∶5.15.已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式. 解析等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，等比数列2,4,8，…的通项公式为bk ＝2k ，令3n－1＝2k ，n∈N*，k ∈N*，即n ＝＝＝，当k ＝2m－1时，m∈N*， n＝∈N*， Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*).16.已知f(x)＝.(1)试证：f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；（2）若n∈N*，且n≥3，试证：f(n)＞. 证明(1)任取x1，x2∈(－∞，＋∞).设x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝－＝＝，由x1＜x2则2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，因此f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.（2）当n∈N*且n≥3，要证f(n)＞，即＞，只须证2n＞2n＋1，∵2n＝C＋C＋C＋…＋C＞C＋C＋C＝2n＋1.∴f(n)＞.。
高考数学(理科)- 排列组合、二项式定理-专题练习(含答案与解析)
高考数学（理科）专题练习 排列组合、二项式定理[A 组高考题、模拟题重组练] 一、排列、组合1．(2016·全国甲卷)如图221，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图221A ．24B ．18C ．12D ．9 2．(2016·四川高考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．723．(2016·全国丙卷)定义“规范01数列”{a n }如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意122k k m a a a ≤⋯，，，，中0的个数不少于1的个数．若4m ＝，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个4．(2012·全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种D ．8种5．(2016·哈尔滨一模)某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理解析[A组高考题、模拟题重组练]一、排列、组合1．B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G．从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F．因为从A到F 或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18．]2．D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]3．C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1．不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C．]4．A[分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得，不同的选派方案共有2×6＝12(种)．]5．B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种．根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B．]6．A[从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7，2＋6，3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8．四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5．A中，x8的系数是1＋3＋1＝5(x8，x·x7，x2·x6，x3·x5，x·x2·x5)，B中，x8的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C49＞8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C49)．因此只有A是正确的，故选A．]7．B[法一：五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即C14；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一种情况下有C13种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集)，在第二种情况下有1种分法(剩下三名同学各分到一本小说)，在第三种情况下有C13种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说)，这样第二步骤共有情况数是C13＋1＋C13＝7，故本题的答案是7C14＝28，选B．法二：将3本相同的小说记为a，a，a；2本相同的诗集记为b，b，将问题分成3种情况，分别是①aa，a，b，b，此种情况有A24＝12种；②bb，a，a，a，此种情况有C14＝4种；③ab，a，a，b，此种情况有A24＝12种，总共有28种，故选B．]二、二项式定理8．C[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2．其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5．所以x5y2的系数为C25C13＝30．故选C．法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30．故选C．]9．B[(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C m2m，∴a＝C m2m．同理，b＝C m＋12m＋1．∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1．∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ＋1！m ！． ∴m ＝6．] 10．D[(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D ．]11．10[(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·．令5－r2＝3，得r ＝4．故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10．]12．－2[T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5·a5－r ．令10－52r ＝5，解得r ＝2．又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2．]13．3[设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5． 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5．① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5．②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3．] 14．－20[x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20．]15．0[设(1＋x )6＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 6x 6，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知 b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝12(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0．] [B 组“10＋5”模拟题提速练] 一、选择题 1．B[因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案， ①2，2，1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有C 23×A 33＝18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有C 12×A 33＝12种．所以选派方案共有18＋12＝30种，故选B ．] 2．D[因为(1＋x )10＝(－2＋1－x )10，所以a 8等于C 810(－2)2＝45×4＝180．故选D ．]3．B[甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A 44A 22种排法，甲乙相邻且在两端有C 12A 33A 22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A 44A 22－C 12A 33A 22＝24(种)．]4．D[令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20．]5．D[T r ＋1＝C r 4·(ax 6)4－r·⎝⎛⎭⎫b x r ＝C r 4a 4－r b r x24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5．] 6．C[由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 24＝18种，故选C ．]7．B[不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 14×A 22×A 33＝192，故选B ．]8．B[分2步进行分析：第1步，先将3个歌舞类节目全排列，有A 33＝6种情况，排好后，有4个空位， 第2步，因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目， 分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C 12A 22＝4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在两端，有2种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2＝48种； ②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A 22＝2种情况， 排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6＝72种． 则同类节目不相邻的排法种数是48＋72＝120，故选B ．] 9．C[因为⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎡⎦⎤1＋x ＋1x 2 01510 ＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C ．]10．B[由题意，⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n 的展开式的项为T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r＝，令6n －152r ＝0，得n ＝54r ，当r ＝4时，n 取到最小值5．]32T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 7·37－r ·x 7－r ·(－x )r＝(－1)r C r 737－rx ，由7－53r ＝－3，得r ＝6，所以1x 3的系数是C r 7·(－1)6·3＝21．]1418[由题意，不考虑特殊情况，共有C316种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C34种取法，两种红色卡片，共有C24C112种取法，故所求的取法共有C316－4C34－C24C112＝560－16－72＝472．]11/ 11。
专题12 排列组合二项式定理 高考理科数学名校好题分项版汇编
专题12 排列组合二项式定理一、选择题1．【2019届安徽省黄山市一模】在展开式中，含的项的系数是( )A．36 B．24 C．－36 D．－24【答案】D【解析】由题意知，含的项有两部分，即，故系数为，故答案为D.2．【2019届江西省新余市期末】把1，2，3，，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？A．31 B．30 C．28 D．32【答案】B【解析】该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当6前有1个数字时，有种，当6前有2个数字时，有种，当6前有3个数字时，有种，当6前有4个数字时，有种，根据分类计数原理，共有种，故选：B．3．【2019届上海市浦东新区一模】将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种．A．72 B．36 C．64 D．81【答案】B【解析】将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有．4．【2019届广东省佛山市质检（一)】展开式中的系数为（）A．B．120 C．160 D．200【答案】B【解析】展开式中的项为,则展开式中的系数为120，故选5．【2019届浙江省杭州高级中学期中】有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有()A．1260 B．2520 C．2025 D．5040【答案】B【解析】先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙丙任务，故可列出：C104•C42•A22＝2520，故选：B．6．【2019届上海市静安区期末】电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】先排4个商业广告,有,然后利用插空法,有5个空,插2个,有,所以共有,故选A. 7．【2019届四川省广元市期末】在我市举行“四川省运动会”期间，组委会将甲、乙、丙、丁四位志愿者全部分配到三个运动场馆执勤.若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（）A．24 B．36 C．72 D．96【答案】B二、填空题8．【2019届山东省德州市期末】设，则的值为__________．【答案】1【解析】由条件，令x=0,则有=0，再令x=-1,则有-1=，∴.9．【2019届湖南省湘潭市一模】某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若甲不安排去北京，则不同的安排方法有__________种．【答案】24【解析】若安排一人去北京，共有种；若安排两人去北京，共有种，总共24种. 10．【2019届湖北省1月联考】某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10【解析】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10．11．【2019届贵州省遵义市第一次联考】若二项式展开式的二项式系数之和为，常数项为，则实数的值为__________．【答案】【解析】根据题意，展开式中二项式系数之和是32，有2n＝32，则n＝5，则展开式的通项为T r+1＝C5r•（）5﹣r•（）r＝m r•C5r•，令0，可得r＝1，则展开式中的常数项为T2＝m•C51，则有m•C51＝10，即m＝2．12．【2019届河南省郑州市第一次质测】《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】14413．【2019届北京市通州区期末】的展开式中含的项的系数是______．【答案】【解析】（x）6的展开式的通项公式为T r+1•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为15．14．【2019届广东省清远市期末】的常数项是__________．【答案】-7【解析】展开式中的常数项为，展开式中含的项为.由此.15．【2019年上海市浦东新区一模】已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为______．【答案】【解析】已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为，则，故展开式中的第五项为，16．【2019届河南省部分省示范性1月联考】已知，则__________．【答案】【解析】令可得；令，可得，所以.17．【2019届河北省衡水中学七调】已知的展开式中，含项的系数为，则实数的值为__________．【答案】【解析】展开式的通项公式为T r+1•（﹣2x）r，∴（2+ax）（1﹣2x）5的展开式中，含x2项的系数为，解得a＝1．18．【2019年上海市普陀区一模】设，则______结果用数值表示【答案】0【解析】因为，则，故答案为：0．19．【2019届天津市耀华中学二模】6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【答案】114【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有种，去掉选中甲乙的1种情况，有(－1)种选法，安排去3个学校，共有(－1)＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有种取法，安排去3个学校有()种，两类共有＋()＝72种；若按2、2、2分配有2·＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．20【2019届吉林省高中期末】．已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从中选4个球，规定每种球至少选1个，则不同的选法共有__________．（请用数字作答）【答案】16【解析】选1个排球、1个足球、2个篮球有种选法；选1个排球、2个足球、1个篮球有种选法，一共有16种选法,故答案为16.。
高中试卷-专题28 二项式定理(含答案)
专题28 二项式定理一、单选题1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）A ．B ．C ．20D ．160【答案】A 【解析】展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为，故选：A.2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【解析】的二项展开式的通项为．令，解得．含的项的系数是．故选：B3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】D 【解析】612x x æö-ç÷èø160-20-612x x æö-ç÷èø()()()66621662112r r r r rr r r r T C x x C x ----+=××-×=-×××620r -=3r =612x x æö-ç÷èø368160C -×=-10212x x æö+ç÷èø11x 10212x x æö+ç÷èø2102031101011()22r rr r r r r T C x C x x --+æöæö==ç÷ç÷èøèø20311r -=3r =11x 33101152C æö=ç÷èø()522111x x æö+-ç÷èø3-4-展开式中的第项为，当，即时，此时；当，即时，此时.则.故选:D.4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】当取 时， 取8个，则，当 取时， 取7个，则，所以 .故选：A5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）A ．第项B ．第项C ．第项D ．第项【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为：，要使系数最大，则r 为偶数，且r 只可能从2，4，6中选，故，且，所以，且，所以，且，经验证：当时，符合，所以的展开式中系数最大的项为第五项，5211x æö-ç÷èø1k +()()52101552111kkkk k k k T C C x x --+æö=-=-ç÷èø2102k -=-4k =()44515C -=2100k -=5k =()55511C -=-514-=()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++8a =45-2727-45()1x -1()91-x x 1891a C =-´()1x -x -()91-x x ()278911a C =-´´-()27189911145a C C =-´´--´=-()712x -4578()712x -()()17722+=-=-r rrr r r T C x C x ()()227722---³-rr rr C C ()()227722++-³-rr rr C C ()()()7!7!4!7!2!9!r r r r ´³×--×-()()()7!7!4!7!2!5!r r r r ³´×-+×-()()()41198³---r r r r ()()()()147621³--++r r r r 4r =()712x -6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36【答案】A 【解析】由题意，解得，则，则二项式的展开式的通项公式为，令即，则.故选：A.8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5、6项D ．第6、7项【答案】A 【解析】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等所以，所以所以展开式里系数最大的项是第6项()131x -11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-13(1)r rC -r 13(1)r rC -7r =121(2)n x x+264n=6n =1162211(2(2)n x x x x+=+1621(2)x x +6133622166122rrr r rr T C x C x x ---+æöæö=××=××ç÷ç÷èøèø3302r -=2r =6426622240r r C C -×=×=()nx y +()nx y +37n n C C =10n =二、多选题9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC 【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n ＝8或n ＝9故选：ABC .10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】CD 【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.故选：CD11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )A ．所有项的二项式系数和为32B ．所有项的系数和为0C ．常数项为D ．二项式系数最大的项为第3项【答案】BC 【解析】解：二项式展开式的通项为()na b +()na b +4n C 7n =1(nx x+27,n n C C 9n =91152-+=91162++=61x x æö-ç÷èø20-61x x æö-ç÷èø()66216611rr r r r r r T C x C x x --+æö=-=-ç÷èø令，解得，则常数项为，故C 正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D 错误；二项式系数和；令，得所有项的系数和为0，故A 错误，B 正确；故选：BC12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】对于，因为，，所以，即正确；对于，，故正确；对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；对于，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故正确.故选：ABD620r -=3r =()3346120T C =-=-012345666666666264C C C C C C C ++++++==1x =mn mn nC C -=11m m n n mC nC --=111m mmn n n C C C +++=+()()()()22220122nn nn nn nC C C C C +++×××+=A !!()!mn n C m n m =-!!()![()]!!()!n m n n n C n m n n m m n m -==----m n mn n C C -=AB !(1)!!()!(1)!()!mn n n n mC m m m n m m m n m ×-=×=×-×-×-(1)!(1)![(1)(1)]!n n m n m -=×-×---11m n nC --=BC 1m n ==221C ==1112123C C =+=+=C D 2(1)(1)(1)n n n x x x +×+=+n x 011220nn n n n n n nn n n nC C C C C C C C --×+×+×++×L 001122n n n n n n n n n n C C C C C C C C =×+×+×++×L =0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L n x 2nn C ()()()()2222122n n nn n n n C C C C C +++×××+=D三、填空题13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.【答案】64【解析】在中，令可得，.所以故答案为：64.14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.【答案】【解析】由题得原式=.故答案为：15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是 【答案】40【解析】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x 的项的系数是__________．【答案】128 84 【解析】由题意所有二项式系数的和为，题中二项式展开式通项公式为，令，，6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+0126a a a a +++×××+=6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+1x =()6012611a a a a +=+++×××+60126264a a a a +++×××+==012393n nn n n n C C C C ++++=L 4n 0011223333(13)4n n n nn n n n C C C C ++++=+=L 4n252(x x-4x ()()()52110315522rrrrr r r T C x x C x ---+=×-=-××1034,2r r -==4x ()225240C -×=722x x æö+ç÷èø72128=77317722(2r rrr r r r T C xC x x--+==731r -=2r =所以含x 的项的系数是．故答案为：128；84．四、解答题17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求（1）的值； （2）的值.【答案】（1）；（2）1093【解析】（1）令，则；（2）令，则①令，则②由①②得，即18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：（1）含的项；（2）二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）展开式的通项为，由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，，解得，则展开式通项为，227284C =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a ++¼+0246a a a a +++1-1x =()7017121a a a ++¼=--=1x =-0123672187a a a a a a -+-+¼+-=0x =01a =12372a a a a \+++¼=-+()02462218722185a a a a +++=-=2461092a a a =++0246110921093a a a a \+++=+=1nx x æö+ç÷èø454x 4120x 2521n x x æö+ç÷èø211n rr r rr n r nn T C x C x x --+æö=×=×ç÷èø45245n C =()1452n n -=2900n n --=n N *ÎQ 10n =210110rr r T C x-+=×令，解得，因此，展开式中含的项为；（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意知，又展开式的通项为：展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项所以，（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，也即在，，，中产生，而，， ，故系数最大的项为第5项20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（xn 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）,,．【解析】2104r -=7r =4x 744810120T C x x =×=5610252T C ==2nx ö-÷ø14280T x -=-525560T x-=525560T x-=34n n C C =7n \=72x ö÷ø()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ---+æö=-=-=-ç÷èø()793312472280T C xx--=-=-()71254422572560T C xx--=-=0r =2461T 3T 5T 7T 721T x =12384T x =525560T x -=1127448T x -=525560T x-=5n =51T x =2352T x =5516T x=二项式展开式的通项公式为，；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得，即,解得；（2）二项式展开式的通项公式为，；当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为,,．21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求系数最大的项．【答案】（1），，（2）和【解析】(nx 32112rrn r n rr r nn T C x C x--+æö=××=××ç÷èø()0,1,2r n =×××2121122nn C C æö×=×ç÷èø()111242n n n -=×5n =3521512rrr r T C x -+æö=××ç÷èø()0,1,2r n =×××0,2,4r =00551512T C x x æö=××=ç÷èø22532351522T C x x -æö=××=ç÷èø44565515216T C x x -æö=×=ç÷èøn +（1）∵由题设可知解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项据题意，必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r≤8∴ r=0，4，8，故x 的有理项为，，（2）设第r+1项的系数t r+1最大，显然t r+1>0，故有≥1且≤1∵， 由≥1得r≤3又∵，由≤1得：r≥2∴ r=2或r=3所求项为和22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或舍去．即n 的值为6．2nx æçèn 66032160x (2nx ()()01211222n n n n n C C C n -++=++=6n =7(n =-)2由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为．()36662166(2)2k k k k k k k T C x C x ---+==3602k -=4k =\1264642416260T C x --+==()3n Q .\936363223162160T C x x --+==。
二项式定理—(2018-2022)高考真题汇编
二项式定理—（2018-2022）高考真题汇编一、单选题(共4题；共20分)1．（5分）（2022·北京）若 (2x −1)4=a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0 ，则 a 0+a 2+a 4=（ ） A ．40B ．41C ．-40D ．-41【答案】B【解析】【解答】当 x =1 时， a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=1 ，当 x =−1 时， a 0−a 1+a 2−a 3+a 4=81 ，两式相加得 a 0+a 2+a 4=41 . 故答案为：B【分析】令 x =1 和 x =−1 ，所得两式相加即可求解.2．（5分）（2020·新课标Ⅰ·理）(x +y 2x)(x +y)5 的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】【解答】 (x +y)5 展开式的通项公式为 T r+1=C 5r x5−r y r （ r ∈N 且 r ≤5 ） 所以 (x +y 2x) 与 (x +y)5 展开式的乘积可表示为：xT r+1=xC 5r x 5−r y r =C 5r x 6−r y r 或 y 2x T r+1=y 2xC 5r x 5−r y r =C 5r x 4−r y r+2 在 xT r+1=C 5r x 6−r y r 中，令 r =3 ，可得： xT 4=C 53x 3y 3 ，该项中 x 3y 3 的系数为10， 在 y 2x T r+1=C 5r x 4−r y r+2 中，令 r =1 ，可得： y 2x T 2=C 51x 3y 3 ，该项中 x 3y 3 的系数为 5 所以 x 3y 3 的系数为 10+5=15 故答案为：C【分析】求得 (x +y)5 展开式的通项公式为 T r+1=C 5r x 5−r y r （ r ∈N 且 r ≤5 ），即可求得 (x +y 2x)与(x +y)5 展开式的乘积为 C 5r x 6−r y r 或 C 5r x 4−r y r+2 形式，对r 分别赋值为3，1即可求得 x 3y 3 的系数，问题得解.3．（5分）（2020·北京）在 (√x −2)5 的展开式中， x 2 的系数为（ ）．A ．-5B ．5C ．-10D ．10【答案】C【解析】【解答】 (√x −2)5 展开式的通项公式为： Tr+1=C 5r (√x)5−r(−2)r =(−2)r C 5r x 5−r2，令5−r2=2可得：r=1，则x2的系数为：(−2)1C51=(−2)×5=−10.故答案为：C.【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定x2的系数即可.4．（5分）（2019·全国Ⅰ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．24【答案】A【解析】【解答】解：∵(1+x)4的通项公式为T r+1=C4r x r，∴展开式中x3的系数为1×C43+2×C41=4+8=12，故答案为：A.【分析】由已知利用(1+x)4的通项公式为T r+1=C4r x r，结合(1+2x2)即可求出展开式中x3的系数.二、多选题(共1题；共5分)5．（5分）（2021·新高考Ⅰ卷）设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，其中a i∈{0,1}，记ω(n)=a0+a1+⋯+a k．则（）A．ω(2n)=ω(n)B．ω(2n+3)=ω(n)+1C．ω(8n+5)=ω(4n+3)D．ω(2n−1)=n【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，ω(n)=a0+a1+⋯+a k，2n=a0⋅21+a1⋅22+⋯+a k−1⋅2k+ a k⋅2k+1，则ω(2n)=a0+a1+⋯+a k=ω(n)，故A正确；对于B，取n=2，2+3=7=1·20+1·21+1·22，则ω(7)=3，而2=0·20+1·21，则ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B错误；对于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+a k·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1·24+……+a k·2k+3所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+a k，4n+3=a0·22+a1·23+……+a k·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+……+a k·2k+2，所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+a k，所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正确；对于D，2n-1=20+21+……+2n-1，所以ω(2n-1)=n，故D正确.故答案为：ACD【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.三、填空题(共13题；共65分)6．（5分）（2022·浙江）已知多项式 (x +2)(x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5 ，则a 2= ， a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= ．【答案】8；-2【解析】【解答】（x +2）（x ﹣1)4＝x(x −1)4+2(x −1)4，∴a 2＝C 43(−1)3+2C 42(−1)2=8；令x ＝0，则a 0＝2，令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝0， ∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝−2． 故答案为：8，﹣2．【分析】a 2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x ﹣1)4展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x ﹣1)4展开式中的二次项系数之和；分别给x 辅助令x ＝0，x ＝1，即可求得a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的值．7．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）(1−y x )(x +y)8 的展开式中 x 2y 6 的系数为 (用数字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为T r+1=C 8r x 8−r y r (r =0，1，2，……，8)， ①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 x 2y 6 项为1×C 86x 2y 6=28x 2y 6，②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 x 2y 6 项为(−y x )×C 85x 3y 5=−56x 2y 6，则展开式中 x 2y 6 项为−28x 2y 6， 故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.8．（5分）（2022·上海）在 (x 3+1x )12 的展开式中，含 1x 4项的系数为【答案】66【解析】【解答】解：由题意得 (x 3+1x )12的通项公式为T r+1=C 12r (x 3)12−r(x −1)r=C 12r x36−4r (0≤r≤12，r∈N) 令36-4r=-4，得r=10，则T 11=C 1210x−4=66x −4， 则1x4 项的系数为66.故答案为：66【分析】根据二项式定理直接求解即可.9．（5分）（2021·北京）(x 3−1x )4展开式中常数项为 ．【答案】-4【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为T k+1=C 4k (x 3)4−k (−1x )k=C 4k (−1)k x12−4k 令12-4k=0，得k=3故常数项为T 4=T 3+1=C 43(−1)3=−4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.10．（5分）（2021·浙江）已知多项式 (x −1)3+(x +1)4=x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4 ，则a 1= ， a 2+a 3+a 4= .【答案】5；10【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:a 1x 3=C 30x 3(−1)0+C 41x 3·13=5x 3,故a 1=5; 同理a 2x 2=C 31x 2·(−1)1+C 42x 2·12=3x 2,故a 2=3; a 3x 3=C 32x 1·(−1)2+C 43x 1·13=3x +4x =7x,故a=7,a 4=C 33x 0·(−1)3+C 44x 0·14=0,所以 a 2+a 3+a 4= 10. 故答案为：5，10.【分析】因为指数不高，直接展开。
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高考数学二项式定理（理科专用）专题卷
一、单选题
1.的展开式中的一次项系数是( )
A. -20
B. 14
C. 20
D. 35
2.（x﹣1）5的展开式中第3项的系数是（）
A. ﹣20
B. 20
C. ﹣20
D. 20
3.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）
A. B. C. D.
4.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）
A. -40
B. -20
C. 20
D. 40
5.（）
A. B. C. D.
6.在的展开式中，x4的系数为( )
A. －120
B. 120
C. －15
D. 15
7.的展开式中的系数为（）
A. B. 1024 C. 4096 D. 5120
8.的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）
A. -40
B. -20
C. 20
D. 40
10.在展开式中的常数项为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 7
二、填空题
11.除以的余数为________．
12.在的展开式中常数项等于________
13.的展开式中的一次项系数为________
14. （x+1）2（x-2）5的展开式中含x3项的系数为________．
15.的展开式中，的系数是________．（用数字填写答案）
16.在的展开式中，含的项的系数是________．
17.的展开式中的系数为________．
三、解答题
18.已知（x+ ）n的展开式中前三项的系数成等差数列。
（1）求展开式的二项式系数的和；
（2）求展开式中含x2的项。
19.已知二项式．
（1）求展开式中的常数项；
（2）设展开式中系数最大的项为求的值。
20.设展开式中仅有第1010项的二项式系数最大.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
21.函数角度看，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是.
（1）证明：
（2）试利用1的结论来证明：当为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当为奇数时的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.
22.已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
答案
一、单选题
1. C
2.D
3. B
4. D
5. B
6. C
7. C
8. C
9. D 10. D
二、填空题
11. 7 12. 9 13. 200 15. 28 16. 12 17. -40
三、解答题
18. （1）解：二项展开式中前三项的系数依次为C n0，C n1，C n1，
∴C n0+ C n1=2× C n1，
n2-9n+8=0，解得：n=8或1（舍去），
二项展开式的二项式系数的和为C80+ C81+…+ C88=28=256
（2）解：通项公式T r+1=C8r·x8-r·（）r=C8r·x8-r·（）r
=（）r C8r（0≤r≤8，且r∈N）
令8- r=2，∴r=4 故展开式中含x2的项为T5= x2
19. （1）解：展开式中的通项，令得所以展开式中的常数项为
（2）解：设展开式中系数最大的项是，则
所以代入通项公式可得.
20. （1）解：由二项式系数的对称性，得展开式共计2019项，，
.
（2）解：的展开式中各项系数和为，
令，可得，再令，可得，
所以.
（3）解：给原式两边同时求导得到
当，令，得.
21. （1）证明：因为，又因为，所以.
则成立.
（2）解：设，因为，，
所以.令，所以，
则（等号不成立），所以时，成立，
反之，当时，成立.
所以最大，即展开式最中间一项的二项式系数最大；
当为奇数时，设，其最中间有两项且，
由（1）知，显然，
，令，可得，
，当时，，且这两项为二项展开式最中间两项的系数，
所以时，成立；
由对称性可知：当时，成立，
又，故当为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.
22. （1）解：因为，所以，即，解得. （2）解：令，得，令，得，
所以。