矩阵的初等变换与逆矩阵

0.8 0.0 0.6
R 0.0 1.0 0.0
0.6 0.0 0.8
解 因为
0.8 0.0
0.0 1.0
0.6 0.0
1 0
0 1
0
0
5r1
5r3
4 0
0 1
3 0
0.6 0.0 0.8 0 0 1
3 0 4
1
r 1 r3
0
3
1
215r 3
0
0
所以
0 7 5
设A、B均为n阶可逆矩阵，数 ，0 方阵的逆的运算
满足如下规律：
(1) A1可逆，且 ( A1)1 A
(2)A可逆，且 (A)1 1 A1
(3) AB可逆，且 ( AB)1 B1A1
(4) A 可逆，且 (A)1 (A1)
初等行变换求逆矩阵 在给定的n阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵I形成 一个n×2n的矩阵 (AI ) ，然后对矩阵 (AI ) 实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位 矩阵I，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得 到的矩阵就是A的逆矩阵 A1，即
6.2 矩阵的初等变换与逆矩阵
6.2.1 矩阵的初等变换 6.2.2 逆矩阵的概念及用初等行变换 求解逆矩阵 6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程
6.2.1 矩阵的初等变换
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例 [投资组合]
某人用60万元投资A、B两个项目，其 中项目A的收益率为7％，项目B的收益率为 12％，最终总收益为5.6万元．问他在A、B 项目上各投资了多少万元？
0.12x2 x2 60
5.6
(1) (2)
(1)、(2)互换
0.07
x1 x1
x2 60 0.12x2
5.6
(1) (2)
100×(2)
7
x1 x2 60 x1 12x2 560
(1) (2)
增广矩阵变换的过程
0.07 0.12 5.6
1 1 60
第一行与第二行互换
1 1 60
1/5乘以第二行
1 1 60
0 1 28
第二行的-1倍加到第一行
1 0 32
0 1 28
从这个案例的求解过程还可以看出：求解线性方 程组的过程实际上是对方程组接连地进行了以下 三种运算：
(1)将两个方程的位置互换； (2)将一个方程乘以一个非零的常数； (3)将一个方程的k倍加到另一个方程上． 对应的增广矩阵经过了相应的三种变换． (1)互换矩阵的两行； (2)用一个非零数乘矩阵的某一行； (3)将矩阵的某一行乘以数k后加到另一行．
4
132
5 174
1 30 0
0
1
4
5
r2 33r1 0 9
1 30
0
11 10
1
1
4
5
9
r2
0
1
1 30
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
11 90
1 9
4
0
r1 5r2 0 1
即
58 90
5 9
11 90
1 9
1 4
r1
1 0
0 1
58 360
5 36
11 90
1 9
29
A1
180
( AI ) 初等行变换 (I A1)
三、进一步的练习
练习1 [用电度数] 我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费， 鼓励夜间用电．某地白天(AM8：00—PM11：00) 与夜间(PM11：00—AM8：00)的电费标准为P， 若某宿舍两户人某月的用电情况如下：
白天 夜间
一 二
113220
二、 概念和公式的引出
矩阵的初等变换 矩阵的如下三种变换 (1)互换矩阵的两行，常用 ri rj表示第i行与第j行
互换； (2)用一个非零数乘矩阵的某一行，常用 k ri
表示用数k乘以第i行； (3)将矩阵的某一行乘以数k后，加到另一行，常用
rj kr表示第i行的k倍加到第j行． 称为矩阵的初等行变换.
把定义中的“行”换成“列”(所用记号把“r”换成 “c”，即得矩阵的初等列变换. 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的 初等变换.
rj kr
6.2.2逆矩阵的概念及 用初等行变换求解逆矩阵
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例[汽车销售量]
某一汽车销售公司有两个销售部，矩阵S给
0.07 0.12 5.6
100乘以第二行
1 1 60
7 12 560
(2)-(1)×7
x1 5x2
x2
60 140
(1) (2)
1/5×(2)
x1
x2
x2
60 28
(1) (2)
(1)- (2)
x1 x2
32 28
第一行的-7倍加到第二行
1 1 60
0 5 140
出了两个汽车销售部的两种汽车的销量
一二
S
18
24
15 大
17
小
月末盘点时统计得到两个销售部的利润，用矩阵表示为
W=(37200 35050) ．设两种车的销售利润为矩阵P=(a,b)
则有 PS=W，问公司如何从PS=W中得到两种车的销售
利润 P?
分析 要解决这一问题，需要引入类似于数的除法的
11 90
5 36
1 9
所以
29
P
A1F
180
11 90
5 36
1 9
90.29 101.41
0.4620 0.2323
即白天的电费标准为0.462元/度， 夜间电费标准为0.2323元/度.
练习2 [转动矩阵] 机器人手臂的转动常用矩阵表示．其中的元素为转 动角的三角函数值．求下面转动矩阵R的逆阵．
解 设他在A、B项目上各投资了x1、x2万元，根据 题意，建立如下的线性方程组
0.07
x1 x1
0.12x2 x2 60
5.6
下面用高斯消元法求解此方程组，我们把方程消元 的过程列在下表的左栏，系数及常数项对应的矩阵 (增广矩阵)变换过程列在下表的右栏．
方程组消元的过程
0.07
x1 x1
150 174
所交电费F=(90.29 101.41)，问如何用矩阵的运算 表示当地的电费？
解
令 A 113220
150 174
，因为 AP ，F
等式两边同时左乘以矩阵 A,1
可以得到当地的电费标准为 下面用初等变换求 A1
P A1F
120 150 132 174
1 0
0
1
1 30
r1
运算．从矩阵的角度来看，单位矩阵E类似于数1的
作用．一个数 a 0 的倒数 a1可用
来表示．
aa1 a1a 1
二、 概念和公式的引出
逆矩阵 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使
AB BA I 则称方阵A是可逆的（简称A可逆），并称B是A的逆 矩阵，记作 A1 B
即
AA1 A1A I