矩阵的初等变换与逆矩阵

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求逆矩阵的四种方法

求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。

但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。

下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。

而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。

2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。

伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。

3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。

当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。

假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。

4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。

当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。

综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。

初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。

初等变换法求逆矩阵

1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（

2） 1 A01

0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13

3 3
2
1
3532 .
2 11

52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵；（2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E

1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（

1）

0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点一、初等变换法求逆矩二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵计算量太大,不易实施.

逆矩阵及初等变换

先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0，即矩阵A是可逆的
则有下列公式：则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换，即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换，当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
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例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆则A 也可逆且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
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例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0，可逆。经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵的伴随阵
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由定理1和定理2可得：矩阵由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵否则称为非奇异方阵，当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。奇异阵。推论），则若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。（），

线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法

上两式表明：A 经一系列初等行变换化为 E ，则 E
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1

初等变换及其矩阵求逆

《线性代数》结束
5.3
求逆矩阵的初等变换方法
定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.
证：因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 ≠ 0.
将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
4r2
1 5 - 7
下页
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结束
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
r3-3r1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
下页结束
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
a22 a 21 a 23 a 24
a32 a31 a33 a34
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A
的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.

12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
对调I的两行
对调I的两列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
返回
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
1.7（2）（5）
1.10
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍.

3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法

1 2
r2
12 r3
1 0
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
即：初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。引理初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 , , Pt
使 Pt Pt1 P1A E ，即 Pt Pt1 P1E EA1 。于是
Pt Pt1 Pt Pt1
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 Et 1。若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。

矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆

转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操作，如交换两行、将某一行乘以非零常数或加到另一行等，使得矩阵变为另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的对角线元素不变，非对角线元素互换。

初等矩阵与逆矩阵的求法

阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡次初等行变换化为单位阵E.
等矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.

矩阵的初等变换与逆矩阵的求法汇总

这三种变换都称为初等变换。如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。
定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。
此性质在矩阵中如何体现呢？
2.1.2 矩阵的初等变换

1
12r2
0

1 1
1 1
2
0
1

2
0 3 3 2
0 3 3 2
1 0
1 2
1
2

r1 r2 r3 3r2
0
0
1 0
1 2
3
1
2

7

2 2
1
23 r3
0
0 1

2x2 x3 1
2x1 x2 x3 2
解将矩阵的增广矩阵作行初等变换
1 1 1 0
1 1 1 0
0
2
1
1

r3 2r1 0
2
1
1

2 1 1 2
0 3 3 2
1 1 1 0 2 1
0 1
1

O

1
Rijຫໍສະໝຸດ ()Cij
(
)

MO
L 1

O

1
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？

线性代数课件-逆矩阵与矩阵的初等变换

所以
0 1 A . 1 2
1
定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0.
当 A 0时,
当 A 0时,
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
1 A 则矩阵称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所得之矩阵称为初等矩阵．相应的三种初等矩阵分别是
（1）互换E的 i，j 两行(两列)所得之矩阵
（2）用（ 0）乘E的第i行（列）所得之矩阵
将E的j行（i列）的倍加到i行（j列）上去（ i j）所得之矩阵（3）
引理：对矩阵 A (aij )mn 施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左（右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C 2 0 , 设 A 2 2 1 , B 5 3 3 4 3 3 1

矩阵的初等变换与逆矩阵

取定 k 行 k 列 [ k m in ( m , n )]，则位于这 k 行和 k列交点上的元素 , 按原顺序可构成一个 k阶行列式，称这个 k阶行列式为矩阵 A 的一个 k 阶子式.
k k 注： n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m C n个 . m
（ k c i ：数k乘第i列， 0 ） k
（3）将矩阵的某一列乘以数k后加到另一列，（ c i k c j ：第j列的k倍加到第i列上）
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
当矩阵A经过的初等变换变成矩阵B时，记作 A B. 注：这是矩阵的演变，A与B一般不相等.
0 例1 利用初等行变换将矩阵 A 1 2 化为单位矩阵. 1 3 0 0 0 0 1
3 2 0
2 1 1
2 3 ，求该矩阵的秩． 5
解
1 0 2
0.
1 0
3 2
2 0,
1 2 3 2 0 2
计算A的3阶子式，
3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 0, 5
3 2 0
2
, 1 00
0 3 2, 1
3 00 , 5
3 例4 3 设 A 2 1 秩． 2 2 0 6 0 3 1 4 5 6 5 1 0 1 ,求矩阵 A的 3 4
1 A 1 0
2 1 3
3 1 , 5
2 B 1 1
1 1 5
1 3 . 11
注： ① 上述方法中只能用初等行变换，不能
用初等列变换. ② 初等行变换过程中若发现虚线左边某一行的元素全为零时，说明矩阵不可逆.

初等变换的关系及可逆矩阵的分解

初等变换的关系及可逆矩阵的分解引言初等变换是线性代数中重要的概念之一，它是对矩阵进行的一系列基本操作，可以改变矩阵的性质。

可逆矩阵则是一种特殊的矩阵，它可以通过初等变换来转化为单位矩阵，具有许多重要的性质和应用。

本文将详细讨论初等变换的关系以及可逆矩阵的分解。

初等变换的种类在矩阵的初等变换中，主要包括三种基本操作：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数和某一行（列）加上另一行（列）的倍数。

这些操作是可逆的，也就是说可以通过一系列的逆操作恢复原矩阵。

初等变换可以改变矩阵的行列式的值、秩的值以及解的形式。

初等变换的关系几种常见的初等变换操作之间存在一些重要的关系，这些关系可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和进行相关的计算。

交换两行（列）的关系交换两行（列）的次序不会改变矩阵的秩，也不会改变矩阵的行列式的值。

但是，交换两行（列）会改变矩阵的特征向量和特征值。

数乘某一行（列）的关系数乘某一行（列）会改变矩阵的行列式的值，但不会改变矩阵的秩。

数乘某一行（列）会改变矩阵的特征向量和特征值。

两行（列）相加的关系两行（列）相加不会改变矩阵的行列式的值和秩。

两行（列）相加会改变矩阵的特征向量和特征值。

可逆矩阵的定义可逆矩阵是一个非奇异矩阵，也就是行列式的值不为零。

可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。

可逆矩阵的性质可逆矩阵具有许多重要的性质和特点，这些性质对于矩阵的计算和应用具有重要意义。

可逆矩阵的乘法两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，且可逆矩阵的乘法满足结合律和分配律。

可逆矩阵的转置可逆矩阵的转置仍然是可逆矩阵。

可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵的逆矩阵也是可逆矩阵，且可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵为原矩阵。

方阵的可逆性判断方阵是可逆矩阵的充要条件是其行列式的值不为零。

可逆矩阵的分解对于可逆矩阵，我们可以通过初等变换将其分解为一系列特殊的矩阵，从而更好地理解和应用可逆矩阵。

行变换的分解对于可逆矩阵A，存在一系列初等矩阵E1、E2、…、En，使得E1E2…EnA为阶梯形矩阵。

求逆矩阵的方法

求逆矩阵的方法逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、微积分、概率统计等领域都有着广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要对矩阵进行逆运算，以便求解方程组、进行线性变换等。

那么，如何求逆矩阵呢？下面我们将介绍几种常用的方法。

1. 初等变换法。

初等变换法是求逆矩阵的一种常用方法。

首先，我们将待求逆的矩阵写成增广矩阵的形式，即将单位矩阵拼接在原矩阵的右侧，然后通过一系列的初等行变换，将原矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右侧就是所求的逆矩阵。

这种方法简单直观，适用于小规模矩阵的求逆运算。

2. 初等矩阵法。

初等矩阵法是另一种常用的求逆矩阵的方法。

我们知道，对一个矩阵进行一系列的初等行变换，实质上可以看作是左乘一个初等矩阵，因此，如果我们能够找到一系列的初等矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵，那么这些初等矩阵的逆矩阵的乘积就是原矩阵的逆矩阵。

这种方法适用于大规模矩阵的求逆运算，因为可以通过计算初等矩阵的逆矩阵，避免直接进行行变换。

3. 克拉默法则。

克拉默法则是另一种求逆矩阵的方法，它适用于方阵且可逆的情况。

根据克拉默法则，一个矩阵的逆矩阵可以通过它的伴随矩阵来求解，具体的求解过程可以通过矩阵的代数余子式和行列式来完成。

这种方法在理论上很有意义，但在实际计算中往往效率较低，因此一般不适用于大规模矩阵的求逆运算。

4. 特征值和特征向量法。

特征值和特征向量法是一种更加高级的求逆矩阵的方法。

通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，从而进一步求得矩阵的逆矩阵。

这种方法在理论上非常有深度和广泛的适用性，但在实际计算中往往较为复杂，因此一般适用于特定的矩阵结构和特定的求逆问题。

综上所述，求逆矩阵的方法有很多种，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。

在实际应用中，我们往往会结合多种方法，以求得更加高效和精确的结果。

希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，谢谢阅读！。

矩阵的逆的求法

矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。

利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。

2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。

如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。

同时，用右乘上式两端，得到（2）式。

比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。

这种方法在实际应用中比较简单。

3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。

利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。

4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。

例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。

需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。

同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。

逆矩阵与初等行变换(习题)

习题三：求矩阵的秩与等价标准型
01
02
03
1. 求矩阵$A = begin{pmatrix} 1 & -2 -1 & 4 end{pmatrix}$ 的秩和等价标准型。
2. 如果矩阵$A$不可逆，解答说明理由。
04
05
1. 对于矩阵$A =
2. 如果矩阵$A$不可逆，
begin{pmatrix} 1 & -2 那么它的行列式$|A| =
将矩阵中的某一行乘以一个非零数。
某行加到另一行某行乘以非零数
将矩阵中的任意两行进行交换。
交换两行
初等行变换的性质
01
初等行变换不改变矩阵的秩。
02
初等行变换不改变矩阵的行列式值。
初等行变换不改变矩阵的线性方程组的解。
03
初等行变换的操作
识别可交换的行
检查是否可以通过交换两行的位置来简化矩阵。
03
2. 对于矩阵$begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 2 & -4 & 6 -1 & 2 & -3 end{pmatrix}$，通过初等行变换，将其化为行最简形矩阵$begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$。
矩阵的等价标准型
矩阵的等价标准型是指经过有限次初等行变换或初等列变换，将一个矩阵化为标准型。标准型矩阵具有一些特殊的性质，如对角线元素为1，其余元素为0。
具体步骤包括：对矩阵进行初等行变换和初等列变换，将矩阵化为标准型；观察标准型矩阵的特性，了解其性质和特点。

矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

矩阵。
做法：将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，原来的I部分就成为A的逆。
例题
设
，求
解：
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
作业
P34 1.7（2）（5） 1.10
初等变换
1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
本节内容
1. 线性方程组的同解变换； 2. 矩阵的初等变换； 3. 初等矩阵； 4. 用初等行变换求逆矩阵.
线性方程组的同解变换
同解变换，就是变换后的线性方程组与原线性方程组同解。
初等变换就是线性方程组的同解变换。定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程
组，则新方程组与原方程组同解。（证明看课本第9页）
矩阵的初等变换
定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 1. 对换矩阵的两行（或两列）；
记为 ri rj(ci cj)
2. 以任意数(0)乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或ri列(）ci)的每个元乘以同一常数加到另一行
（或列）的对应元上去. 记为
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程组的同解变换。
初等矩阵
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初等矩阵。由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有三种类型。（1）对调I的两行（或两列）；（2）非零数乘以I中的某行（或某列）；（3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。初等矩阵都是可逆的，并且
矩阵的初等行变换的定义，完全对应着方程组的同解变换。因此，对矩阵进行初等行变换使其成为阶梯形矩阵的过程，实际上就是对方程组进行同解变换使其变为阶梯形状的过程。

高等数学9.4矩阵初等变换与逆

推广 A1 A 2LAm 1 AmL 1 A 2 1A1 1 .
2020/4/30
(5) 若A可逆, 则AT 也可逆, 且 (AT ) 1 (A 1)T.
(6) 若A可逆, 则有
A 1
1 A
判定：n 阶方阵A 可逆
r
n 阶方阵A 可逆 detA0 A ~ E
n 阶方阵A 不可逆 detA0
2
3
3
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方法2：直接求 A 1B 。
( A B ) 初等行变换 ( E A 1 B )
1 2 3 2 5 (A B)2 2 1 3 1
3 4 3 4 3 r22r1 1 2 3 2 5
0 2 5 1 9 r3 3r1 0 2 6 2 12
2020/4/30
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 r2 5r3
1 0 0 3 2 0 2 0 4 6 0 0 1 1 3
2020/4/30
r1 2r3 r2 5r3
1 0 0 3 2 0 2 0 4 6 0 0 1 1 3
r2 （2） 1
r3
（1）
0 0
0 1 0
0 0 1
如果矩A经阵有限次初等矩变阵换 B，变就称矩A与阵B等价，记 A~作 B．
2020/4/30
任意矩阵A都可经过初等变换，可化成下列形式．
1 0 L 0 0 L
0
1
L
0 0L
M M
MM
A ＝
0
0
L
1 0L
0 0 L 0 0 L
M M
MM
1 0 4 02 4L 3 0 0 L

初等行变换法求逆矩阵原理

初等行变换法求逆矩阵原理对于一个n阶矩阵A，若存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=In，其中In为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1矩阵求逆的初等行变换法是通过一系列初等行变换将原矩阵化为对角矩阵，然后对角矩阵的对角线上的元素取倒数即可求得原矩阵的逆矩阵。

1.交换两行的位置；2.用一个非零常数乘其中一行的所有元素；3.用一个非零常数乘其中一行的所有元素之和加到另一行对应位置的元素上。

下面我们以一个2阶矩阵为例进行逆矩阵的求解过程。

设A为一个2阶矩阵：A=[ab;cd]，要求逆矩阵A^-1=[xy;zw]。

首先，将A和单位矩阵I并排写成[A，I]=[ab，10;cd，01]。

然后，通过一系列初等行变换将[A，I]化为对角矩阵[DI，B]，其中DI为对角线上的元素均为1的对角矩阵。

具体的操作过程如下：1. 将R2乘以-a，然后加到R1上，得到新的第1行和第2行：[a b，1 0; 0 d-ac，-a 1]；2. 将R1乘以1/(a(d-ac))，得到新的第1行：[1 b/a，1/(ad-ac)-a/(ad-ac); 0 d-ac，-a 1]；3. 将R2乘以1/(d-ac)，得到新的第2行：[1 b/a，1/(ad-ac) -a/(ad-ac); 0 1，(-a)/(ad-ac) 1/(ad-ac)]；4. 将R1乘以-a/(ad-ac)，然后加到R2上，得到新的第2行：[1 b/a，1/(ad-ac) 0; 0 1，1/(ad-ac) 1/(ad-ac)]。

至此，矩阵[A，I]已经变为[DI，B]的形式，其中DI为对角线上的元素均为1的对角矩阵，B为矩阵[A，I]经过一系列初等行变换得到的新矩阵。

继续求解[DI，B]的逆矩阵，将[DI，B]进行最后一步的行变换：将R2乘以1/(ad-ac)，得到新的第2行：[1 b/a，1/(ad-ac) 0; 0 1，1/(ad-ac) 0]。