坡度和坡角
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沪科九年级数学上册第23章2 第4课时 坡角、坡度问题
2m .
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =
B
h
C
l
A
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直
角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
k
x2 x1
α
O
x
1.如图，直线y=2x+1向上的方向与x轴的正方向所夹的锐角为α.那么
(1)tan α=
2
；(2) sin α=
2 5
5 ；(3) cos α=
y
α
O
x
5
5
.
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一 象 限 中 ， 有 一 点 P(x ， y) ， 记
r=|OP|= ² + ².
要计算斜坡AB的坡角α，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：3；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=6 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算AB，在Rt△ABE中求解即可.
α
β
E F
A
23
6
B C
D
解：分别过点B、C作垂线，交AD于E、F点，垂足分别为E点、F点，则有
D
2.如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6 m，
坝高为23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i'=1∶2.5，求：
(1)斜坡AB的坡角α的值(精确到1°)；
(2)坝底宽AD和斜坡AB的值(精确到0.1 m).
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =
B
h
C
l
A
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直
角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
k
x2 x1
α
O
x
1.如图，直线y=2x+1向上的方向与x轴的正方向所夹的锐角为α.那么
(1)tan α=
2
；(2) sin α=
2 5
5 ；(3) cos α=
y
α
O
x
5
5
.
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一 象 限 中 ， 有 一 点 P(x ， y) ， 记
r=|OP|= ² + ².
要计算斜坡AB的坡角α，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：3；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=6 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算AB，在Rt△ABE中求解即可.
α
β
E F
A
23
6
B C
D
解：分别过点B、C作垂线，交AD于E、F点，垂足分别为E点、F点，则有
D
2.如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6 m，
坝高为23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i'=1∶2.5，求：
(1)斜坡AB的坡角α的值(精确到1°)；
(2)坝底宽AD和斜坡AB的值(精确到0.1 m).
2534坡度坡角及其应用PPT课件
i1:3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出.
（3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
C
1.2
1.2
30°
A
B
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
H
G
D M 6米 N C
A
E
F
B
思考：如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形 ABCD表示它的横断面,原计划设计的坡角为 A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现考虑到在短期内车流 量会增加,需增加路面宽度,故改变设计方案,将图中 1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面EFGH为等 腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的 用土量不变,问:路面宽将增加多少?
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
坡度与坡角解析
第二步：利用正弦，通过坡角、斜边求对边
Pα
M
牛刀小试
1、某水坝的坡度为i = 1∶ 3 ，则坡角为 30°。
2、已知 ABC 中，∠C = 90°, ∠A的坡度i=1∶1, 则
∠A= 45° 。 第一二题：利用正切，通过坡度求坡角
3、如图，高2米的某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度
i=1∶2，则AB的长为 2 5 米。 B 第一步：利用正切，通过坡度
P
lM
查表可求得 ∠α 约为29°3′ ；第一步：利用正切，通过坡度求坡角
在直角三角形PMN中， ∠M=90°∠P= 29°3′ 。 PN=240m.由于NM是∠P的对边，PN是斜边，因此，
sin
α
=
NM PN
=
NM 240
.
即MN=
240·sinα
；可求
N
得 NM 240sin 293 116.5m.. 240米
坡度越大，山坡越陡．
(1)
(2)
自学指导
例６．一山坡的坡度i＝1:1.8，小刚从山坡脚下点P上 坡走了240m到达点N，他上升了多少米（精确到 0.1m）？这座山坡的坡角是多少度（精确到1'）？
分析
N
已知坡度i = 1:1.8，用α 表示坡角的大小，
h
由于 tan α =
1 1.8
0.5556.
。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，求斜坡高为
_______米。
如果桃源水库某大坝的横断为等腰梯形，
大坝的顶宽(即等腰梯形的上底长)为11.6m，
巩固练习
大坝的坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为12m.你能 求出坝基的底宽AB和坡角α吗？
28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角
解:设 BC=x 米,在 Rt△ABC 中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,所以 AB= BC ≈ BC = 5 x(米), tan 50 1.20 6
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),
解直角三角形的应用——坡度、坡角
3.坡度与坡角的关系：
i=h:l=tanα
坡度越大，坡角就越 大 ，坡面 就越陡
自学检测：
知识点一 坡度与坡角
1.以下对坡度的描述正确的是（ B ）
A.坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B.斜坡是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
C.斜坡式指斜坡的水平宽度与铅垂高度的比
D.坡度是指倾斜角度的度数
2、若斜坡的坡角为 5 6 ∘ 1 9 、，坡度i=3:2，则（ C ）
x- 2
AF =
=
°=
ta n ∠ D A F
ta n 3 0
3 (x - 2 )
AF=BE=BC+CE
即 3 (x - 2） = 2 3 &6.
DE=6米
物体通过的路程为 3 5 .
再试牛刀:
知识点二 坡度、坡角及实际问题
1. 如图，河堤横切面迎水坡AB的坡比是1：
，堤
3
高BC=10m,则坡面AB的长度是（ C ）
A.15m
B. m 2 0 3
C.20m
D. 1 0 3 m
2、如图是拦水坝的横切面，斜坡AB的水平宽度为
12m,斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为（ B ）
拓展提升:
如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内 一颗树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前 的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30度，朝着这 棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰 角为60，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 1: 3 ,且B、C、E三点在同一条直线上，请根据以上 条件求出树DE的高度（测角器的高度忽略不计）
A. 4 3 m
B.6 5 m
C. 1 2 5 m
初三上数学课件(华东师大)-坡度与坡角
h
坡度 (或坡比)，记作 i，即 i＝ l .坡度一般写成 1∶m 的形式．坡面
与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α，有 i＝hl ＝ tanα α 就 越大 ，坡面就 越陡 ．
.坡度越大，坡角
1．下列对坡度的描述正确的是( B )
A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B．坡度是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
解：(1)∵FD∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡 AB 长 60 2米，D 是 AB 的中点，∴BD＝30 2米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝30 2× 22＝30(米)， BF＝DF＝30 米．∵斜坡 BE 的坡比为 3∶1，∴BEFF＝ 13，∴EF＝10 3米， ∴DE＝DF－EF＝(30－10 3)米，∴休闲平台 DE 的长是(30－10 3)米； (2)设 GH＝x 米，则 MH＝GH－GM＝(x－30)米，DM＝AG＋AP＝33＋30 ＝63(米)，在 Rt△DMH 中，tan30°＝MDMH，即x－6330＝ 33，解得 x＝30＋21 3， ∴建筑物 GH 的高为(30＋21 3)米．
11．为邓小平诞辰 110 周年献礼，广安市政府 对城市建设进行了整改．如图，斜坡 AB 长 60 2 米，坡角(即∠BAC)为 45°，BC⊥AC，现计划 在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡，修建一个平行 于水平线 CA 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE(下面两个小题结果都保留根号)． (1)若修建的斜坡 BE 的坡比为 3∶1，求休闲平台 DE 的长； (2)一座建筑物 GH 距离 A 点 33 米远(即 AG＝33 米)，小亮在 D 点测得建筑 物顶部 H 的仰角(即∠HDM)为 30°.点 B、C、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、A、G 在同一条直线上，且 HG⊥CG，问建筑物 GH 高为多少米？
2.4三角函数应用——坡度
解：（1）在Rt△ABE中，AB=26， ∠BAD=68° ∴sin∠BAD= ，
∴BE=AB·sin∠BAD=26×sin68°≈24.18 米；
（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处， 问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin68°≈0.93， cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12'≈0.85，tan49°30'≈1.17）
（2）过点F作FM⊥AD于点M，连结AF， 则BF=11，FM=BE=24.18，EM=BF=11， 在Rt△ABE中， cos∠BAE= ，
∴AE=AB·cos∠BAE=26×cos68°≈9.62米，
∴AM=AE+EM ≈ 9.62+11 ≈ 20.62，
在Rt△AБайду номын сангаасM中，
tan∠FAM=
≈1.17，
4．按照精确度进行计算，确定答案以及注明单 位．
随堂练习 课本49页 随堂练习
2个概念： 坡度与坡角,
(1)坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度
坡度一般用i来表示，即 i=1:m,如i=1:5
i
h l
,一般写成
(2)坡面与水平面的夹角 叫坡角
i h tan
l
i=h：L
h
α
L
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高22m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5， 求斜坡AB的坡角α。坝底宽AD和斜坡AB的长(精确 到0.1m)．
∴∠FAM≈49°30'＜50°，这样改造能确保安全。
小结
1．弄清坡度、坡角等概念的意义，明确各术语与 几何图中的什么元素对应，恰当地把实际问题转 化为数学问题,构建数学模型。
∴BE=AB·sin∠BAD=26×sin68°≈24.18 米；
（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处， 问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin68°≈0.93， cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12'≈0.85，tan49°30'≈1.17）
（2）过点F作FM⊥AD于点M，连结AF， 则BF=11，FM=BE=24.18，EM=BF=11， 在Rt△ABE中， cos∠BAE= ，
∴AE=AB·cos∠BAE=26×cos68°≈9.62米，
∴AM=AE+EM ≈ 9.62+11 ≈ 20.62，
在Rt△AБайду номын сангаасM中，
tan∠FAM=
≈1.17，
4．按照精确度进行计算，确定答案以及注明单 位．
随堂练习 课本49页 随堂练习
2个概念： 坡度与坡角,
(1)坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度
坡度一般用i来表示，即 i=1:m,如i=1:5
i
h l
,一般写成
(2)坡面与水平面的夹角 叫坡角
i h tan
l
i=h：L
h
α
L
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高22m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5， 求斜坡AB的坡角α。坝底宽AD和斜坡AB的长(精确 到0.1m)．
∴∠FAM≈49°30'＜50°，这样改造能确保安全。
小结
1．弄清坡度、坡角等概念的意义，明确各术语与 几何图中的什么元素对应，恰当地把实际问题转 化为数学问题,构建数学模型。
24.4.3坡度、坡角问题课件
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
P.121 12.； P123页13
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
D
12.51
C
28⁰
【分析】
4.2 A
32⁰
E 12.51 F
B
（1）对于梯形问题通常怎么做辅助线？把它转化成 什么问题？ （2）要求下底AB的长，可以分别求哪些线段的长？ （3）怎么求AE，BF？
变式训练：
如图，某地计划在河流的上游修建一条 拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形， 坝顶宽BC=6米，坝高25m，迎水坡AB的坡 度 i=1： ，背水坡CD的坡角为450 求（1）求坡角α ; （2）求拦水大坝的底面AD的宽.
——坡度、坡角
裴营一初中 余超
学习目标
1、知道坡度、坡角的意义。 2、能将h、L、i各量的计算问题转化为 解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、会运用解直角三角形有关知识解决 与坡度、坡角有关的实际问题。 4、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； (2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: sinA＝ a b cosA＝ c a tanA＝ b Ａ Ｂ
解直角三角形----坡度、坡角问题
5 12
4.如下图，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡 AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（ C ） A.1：3 B.1：2.6 C.1:）如图，一水库大坝的横断面为 梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡 AB的坡度 i1＝1∶3，斜坡CD的坡度 i 2＝1∶2．5．求： （1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0．1米）
——坡度坡角问题
1、理解坡角、坡度的概念；
2、运用解直角三角形有关知识解决与 坡角、坡度有关的实际问题； 3、注意数形结合的数学思想和方法。
阅读课本P115“读一读”，解决以下问题：
1、什么是坡角？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
i= h : l
坡面
2、什么是坡度（坡比）？
α
h
水平面
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是_______
h α
L
坡度在日常生活中的应用也很广泛!
例 如图，一段路基的横断面是梯形，高 为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡 面与地面的倾角分别是32°和28°．求 路基下底的宽．（精确到0.1米）
例
如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别 是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
450
）m 3
AD AE EF FD
3）m
答：坝底宽AD为（10+4
米，斜坡AB的长为8米．斜坡CD的坡 角α为45°。
课堂检测 1.一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动 65 米，则物体升高 1 米． 了_____ 2.如下图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线 距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡 30° 的坡角为_____ ． 3.如上图，已知一商场自动扶梯的长为13米，高度h为5米， 自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____
4.如下图，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡 AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（ C ） A.1：3 B.1：2.6 C.1:）如图，一水库大坝的横断面为 梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡 AB的坡度 i1＝1∶3，斜坡CD的坡度 i 2＝1∶2．5．求： （1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0．1米）
——坡度坡角问题
1、理解坡角、坡度的概念；
2、运用解直角三角形有关知识解决与 坡角、坡度有关的实际问题； 3、注意数形结合的数学思想和方法。
阅读课本P115“读一读”，解决以下问题：
1、什么是坡角？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
i= h : l
坡面
2、什么是坡度（坡比）？
α
h
水平面
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是_______
h α
L
坡度在日常生活中的应用也很广泛!
例 如图，一段路基的横断面是梯形，高 为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡 面与地面的倾角分别是32°和28°．求 路基下底的宽．（精确到0.1米）
例
如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别 是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
450
）m 3
AD AE EF FD
3）m
答：坝底宽AD为（10+4
米，斜坡AB的长为8米．斜坡CD的坡 角α为45°。
课堂检测 1.一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动 65 米，则物体升高 1 米． 了_____ 2.如下图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线 距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡 30° 的坡角为_____ ． 3.如上图，已知一商场自动扶梯的长为13米，高度h为5米， 自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____
坡度与坡角
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△C的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
A
α
23
EF D
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度 i=1∶2.5，求：坝底AD与斜坡AB的长度。（精确
到0.1m ）
分析：（1）由坡度i会想到产
生铅直高度，即分别过点B、
C作AD的垂线。
A
6
i 1 : 3B
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h—
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：坝 底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
C.80sin 20m
D.80cos 20m
5、如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, (1)如果斜坡AB=10m,大坝高为8m,则斜坡AB的 坡度 iAB ____ . (2)如果坡度 iAB 1: 3,则坡角B ____ .
(3)如果坡度 iAB 1: 2, AB 8m,则大坝高度为___.
直角三角形的应用 第3课时
人教版九年级下册数学课件：28.2解直角三角形坡度与坡角
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直” 的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把 山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一 部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近 似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰 角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1l. h
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
化整为零，积零为整，化曲为直，
以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根 据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测 量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝 的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要 测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了， 这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
解直角三角形（3）
坡度与坡角 如图 28-2-4，坡面的铅垂高度(h)与水平长度(l)的比叫做坡
h l 面的坡度(或坡比)， 记作 i， 即 i＝________；而坡面与水平面
的夹角叫做__坡__角____， 记作α，即 i＝_t_a_n_α____.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
铅垂 h
分析： 1．引导学生将实际问题
转化为数学问题． 2．要求S等腰梯形ABCD，
坡度和坡度角
道路设计：坡度 角是道路设计中 重要的参数，用 于确定道路的倾 斜度和排水系统 的布置。
排水系统：坡度 决定了排水系统 的水流速度和流 向，坡度角的大 小影响排水沟的 设计和施工难度。
防洪排涝：在城 市排水设计中， 合理利用坡度和 坡度角，可以有 效地防止洪水、 内涝等自然灾害 的发生。
景观设计：在景 观设计中，可以 利用坡度和坡度 角的变化，创造 出优美的景观效 果，提高城市的 环境品质。
人为因素的影响
道路设计：道路的坡度与坡度角受到设计者的理念和习惯影响 施工方法：施工方法的选择会影响到坡度和坡度角的实现 维护管理：道路的维护和保养也会影响坡度和坡度角的变化 交通流量：交通流量的大小对坡度和坡度角的要求不同
感谢您的观看
汇报人：XX
坡度和坡度角的影响因素
第五章
地形地貌的影响
地形起伏：坡度的变化影响水流、土壤侵蚀等自然现象
坡度角大小：影响土壤的发育和植物生长，进而影响生态系统的结构和功能
地貌类型：不同的地貌类型对坡度和坡度角有不同的影响，如山地、平原、河流等 地形地貌的演变：地形地貌的长期变化会对坡度和坡度角产生影响，如河流的冲刷、 山地的抬升等
土木工程中的应用
道路设计：坡度角是道路设计中重要的参数，用于确定道路的排水和行车安全。
斜坡稳定性分析：坡度角的大小影响斜坡的稳定性，土木工程师需要根据坡度角的大 小进行斜坡稳定性分析。
土压力计算：在挡土墙设计中，坡度角是计算土压力的重要参数。
边坡防护：根据坡度角的大小，采取相应的边坡防护措施，如植草防护、挡土墙等。
土壤和地质的影响
土壤类型：不同类型的土壤对坡度和坡度角的影响不同，例如沙土和粘土的稳定性不同
土壤湿度：土壤湿度对土壤的承载能力和稳定性有影响，进而影响坡度和坡度角
坡度坡角的概念
坡度坡角的概念
坡度和坡角是两个相关概念，常用于测量地形特征或平面特征。
坡度是指一个平面向上或向下开口的陡峭程度或高低差率，以单位长度为单位。
它可以用来衡量地势的陡峭程度，可以衡量山坡的高度和山坡的深度，也可以衡量河流的坡度。
坡角是指地形特征中，两个面间夹脚的角度大小。
它可以表示不同斜坡的分类。
通常，人们定义45度以下为斜坡，45-90度之间定义为陡峭斜坡，90度以上定义为悬崖。
坡度和坡角这两个概念之间有很多相互关联的关系。
当坡度增加时，坡角也会随之增大，反之，坡度降低时，坡角也会随之减小。
另外，当坡度固定时，坡角也会受空间限制（地形特征设置）的影响，只要坡度没有发生变化，坡角也不会发生变化。
因此，坡度和坡角这两个概念是彼此联系的，它们是地形特征中非常重要的概念，它们也是非常值得了解和研究的概念。
解直角三角形(坡度和坡角)讲义
解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。
3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。
变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。
3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。
坡度与坡角
学习目标
1 理解坡度、坡角的概念
2
会运用解直角三角形有关知识解决与坡度坡角有
关的实际问题 （重点）
3 注意数形结合的数学思想和方法 （难点）
理解教材
1、坡角
坡面
i= h : l
h
α 水平面
l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h—
坡度与坡角
导入
当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝 的坡面长度l，就能算出h=lsina但是，当我们要测量如图所示 的山高h时，问题就不则简单了，这是由于不能很方便地得到 仰角a和山坡长度l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲” 的，怎样解决这样的问题呢？
A BE
D C
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的 宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1 米 2 1.414 3 1.732 ）
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
效果检测
资料整理
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
ihl tan 坡度等于坡角的正切值
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
深钻教材
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：坝 底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
解直角三角形的应用——坡度问题.2_解直角三角形(坡度问题)
h i tan l
的关系
h i l h 水库 α
显然，坡度越大，坡角
就越大，坡面就越陡.
l
h α
L
45 度。 1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______
1: 3 。 2、斜坡的坡角是300 ，则坡比是 _______
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______
C
i 1: 3
α D
A
E
F
BC EF 4, AE DF 6 3 AD AE EF DF 6 3 4 6 3 12 3 4
• （2） tan i 1 : 3
30
答：路基下底宽AD为 12 3 4 米，坡角 为 30 。
结束寄语
业精于勤而荒于嬉
B
C
(
24°
5.5 A
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的 高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就 不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长 度l
中考语录
•中考是一场跳高比赛，取 胜关键在于你起跳时对大 地用力多少!
28.2解直角三角形的应用
——坡度问题
1.坡度与坡角
(1)坡面的铅直高度h 和水平宽度 l的比叫做坡度
h 坡度一般用i来表示，即 i ,一般写成 l
i=1:m,如i=1:5 （或坡比）
(2)坡面与水平面的夹角 叫坡角 2.坡度与坡角
坡度、坡比、坡脚的区别
坡度、坡比、坡脚的区别
坡脚、坡比、坡度的区别和联系
一、坡角坡比（坡度坡率）坡向
1、坡角是个角度值，指的是斜坡的度数
2、坡度：把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），坡角的正切值，用字母i表示。
3、坡度的表示方法有百分比法、度数法、密位法和分数法四种，其中以百分比法和度数法较为常用。
(1) 百分比法表示坡度最为常用的方法，即两点的高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：
坡度＝ (高程差/水平距离)x100%
使用百分比表示时，
即：i=h/l×100％
例如：坡度3% 是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)3米；1%是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)1米。
以次类推！5% 是这个坡的垂直长度和水平长度的比。
也有用几分之一表示的。
（2）分数法坡度一般写成1∶m的形式，其中m=1/k，m称为边坡系数, 坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡，如
1：2>1：3，则1：2对应的坡角大，坡面较陡。
坡向定义为坡面法线在水平面上的投影的方向。
简单的来讲，坡度是指坡面的倾斜程度。
坡向是指地形坡面的朝向。
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D
4.2米 A
32 °
12.51米
C
28 ° B
9
D
12.51米
C
4.2米 A
32 ° E
∟
∟
28 °
F
B
解：作DE AB,CF AB,垂足分别为E、F .由题意可知
DE CF 4.（2 米），CD EF 12.5（1 米）.
在Rt△ADE中， i DE 4.2 tan 32 , AE AE
α
A
EF
D
=184′，AD=132.5 m，AB=23 10 m
3
问题探究
4
如图，坡面的铅锤高度（ h）和水平长度（ l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作 i ,即 i h .
l 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i 1 : 6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .
i h:l h
l
5
7
④堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=__43___,AD=
____5___;
若AB=10，CD=4，i= 1
5
3
,则h=___5___.
D
C
h
i
∟
∟
AE
F
B
8
例1：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
完成该工程需要多少土方？
ED C
α FA
B
11
解：作DG AB于G,作EH AB于H . CD∥AB, EH DG 5米.
ED C
DG 1 , AG 6米. AG 1.2
EH 1 , FH 7米.Байду номын сангаасF
FH 1.4
α A
H
FA FH GH AG 7 1 6 （2 米）.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 坡度和坡角
1
情境引入
2
如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m,
坝高23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB
的长.（精确到0.1 m）
i=1∶3
BC 6m
i=1∶2.5
∟∟
2.5 5
16
3.某商场门前的台阶截面如图所示.已知每级台阶 的宽度（如CD）均为30 cm,每级台阶高度（如BE） 均为20 cm,为了方便残疾人行走，商场决定将其中一 个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计 斜坡的倾斜角为9 ° .请计算从斜坡起点A到台阶前的 点B的水平距离.（参考数据：sin 9 ° ≈0.16,cos 9 ° ≈ 0.99,tan 9 ° ≈ 0.16）
根据题意，BE CF 23.5,
i1
BE AE
1 , AE 3
3 23.5
70.5(米).
i2
CF DF
1 , DF 2.5
2 23.5 47(米).
AB 23.52 70.52 74.3(米).
AD AE DF EF 70.5 47 6.2 123.7(米).
(2) tan 1 2 , 22 .
GB
S四边形ADEF
1 ED
2
AF
EH
1 1 2 5 7.5(平方米)
2
V 7.5 4000 30000(立方米）.
12
巩固练习
13
1.在坡角为 30 的斜坡上两树间的水平距
离 AC 为 2m，则两树间的坡面距离 AB为
（C）
A.4m
B. 3m
C. 4 3 m D.4 3m 3
20
课堂小结
21
本节课你有什么收获？
22
（1） 坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度 是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比 值.坡角与坡度之间的关系是：i h tan
l
（i 是坡度，h表示高度，l 表示水平距离， 表示坡角）.
23
（2）在涉及梯形问题时，常常首先把梯 形分割成我们熟悉的三角形（直角三角形）、 平行四边形（矩形），再借助这些熟悉图形 的性质与特征来加以研究.
AE 4.2 6.7（2 米）. tan 32
在Rt△BCF中，同理可得BF 4.2 7.9（0 米）. tan 28
AB AE EF BF 6.72 12.51 7.90 27.（1 米）.
答：路基下底的宽约为27.1米.
10
例2：某堤坝的横截面是梯形ABCD,背水坡AD的 坡度i（即tan α）为1∶1.2，坝高为5米.现为了提高 堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝， 要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度 为1∶1.4.已知堤坝总长度为4 000米.
CD
E
A
BF
17
解：过C作CF AB于F ,
根据题意，CF 80cm, BF 90cm.
CF tan 9 , AF CF ≈ 80 500(cm).
AF
tan 9 0.16
AB AF－BF 500－90 410(cm).
答：从斜坡起点A到台阶前点B的水平距离为410cm.
CD
E
思考：坡度与坡角有 什么关系？
i h = tan
l
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
6
①一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为 __3_3__；
②坡度通常写成1∶___m__ 的形式.如果一 个坡的坡度为1∶2.5，则这个坡角为_2_1__4_8_′_；
③等腰梯形的较小底长为3，腰长为5，高 为4，则另一个底长为__9___ ，坡度为__43___；
14
2.如图，一水库大坝的横截面为梯形ABCD,坝 顶宽为6.2米，坝高为23.5米，斜坡AB的坡度 i1=1∶3，斜坡CD的坡度 i2 =1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）； （2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）.
BC
A
D
15
BC
A
EF
D
解：(1)过B作BE AD于E,过C作CF AD于F，
A
BF
18
4.如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD ,
DC∥AB，迎水坡AD长为 2 3 米，上底DC长为2
米，背水坡BC 长也为2米，又测得∠DAB=30°， ∠CBA=60°，求下底AB的长.
D
C
30° A
60° B
19
D
C
30°
A
E
60° FB
解：过D、C分别作DE AB于E,CF AB于F . 在直角△ADE中，A 30 ，AD 2 3. DE AD sin 30 3，AE AD cos 30 3. 在直角△CBF中，BF BC cos 60 1， AB AE EF BF 3 2 1 6. 答：下底的长为6米.