高三数学概型练习1
2020届高三数学一轮复习强化训练精品――几何概型
14 分
因此∠ ACC′= 180 30 =75°, 2
A =90-75=15 ， Ω =90，因此， P〔D〕= 15 = 1 . 90 6
例 5 甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去. 求两人能会面的概率 .
解 以 x 轴和 y 轴分不表示甲、 乙两人到达约定地点的时刻， 那么两人能够会面的充要条件是 | x- y| ≤15. 在如下图平面直
1 000
记事件 B：〝取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子〞 .
9分
那么 P〔 B〕= 30 =0.03 ，即取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为 1 000
0.03.
例 4 在 Rt△ ABC中，∠ A=30°，过直角顶点 C 作射线 CM交线段 AB于 M，求使 | AM| ＞| AC| 的概率 . 解 设事件 D〝作射线 CM，使 | AM| ＞| AC| 〞. 在 AB上取点 C′使 | AC′|=| AC| ，因为△ ACC′是等腰三角形，
的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，那么落入 E 中的概率为
.
2 的点构成的区域， E 是到原点
答案 16
3. 如下图，有一杯 2 升的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水，求小杯水中含有那个细菌的概率 .
解 记〝小杯水中含有那个细菌〞为事件 A，那么事件 A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件
角坐标系下，〔x, y〕的所有可能结果是边长为 60 的正方形区域，而事件 A〝两人能够会面〞的可能结果由图中的阴影部
分表示 . 由几何概型的概率公式得：
P〔A〕 = SA = 602 452 = 3 600 2 025 = 7 .
高三 概率训练(1-3)含答案
概率训练(一)基础巩固练一、选择题1．在下列六个事件中，随机事件的个数为()①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A．2 B．3 C．4 D．5[解析]①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．故选A．[答案] A2．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“出现两次正面”，事件N：“只出现一次反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件．其中，真命题是() A．①②④B．②④C．③④D．①②[解析]对于①，“出现两次正面”的对立事件应为“只出现一次反面”或“出现两次反面”，故①错误．对于②，对立事件必是互斥事件，故②正确．对于③，互斥事件不一定是对立事件，故③错误．对于④，事件A，B互为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故④正确．故选B．[答案] B3．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是() A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生[解析]在所选的4名同学中，“恰有2名男生”的实质是选出“2名男生和2名女生”，它与“恰有4名男生”不可能同时发生．所以A选项是互斥事件，但不是对立事件；“至少有3名男生”包括“3名男生，1名女生”和“4名男生”两种结果，这与“全是男生”可同时发生．所以B选项不是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，这与“全是女生”不可能同时发生，且其中必有一个发生．所以C选项是互斥事件，且是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，“至少有1名女生”包括“3名男生，1名女生”、“2名男生，2名女生”、“1名男生，3名女生”和“4名女生”四种结果，它们可能同时发生．所以D选项不是对立事件．故选C．[答案] C4．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡[解析]至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A．[答案] A5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5；43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是( )A ．16B ．13C ．12D ．23[解析] 根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为2266＝13，由频率估计概率得P ＝13.故选B ．[答案] B二、填空题6．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为__________．[解析] 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.[答案] 0.37．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235， 现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．[解析] 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.[答案] 17358．一只不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．[解析]由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件．故至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝14 15.[答案]8151415三、解答题9．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区数)；(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．[解](1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54，0.52，0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.10．某超市有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C ．求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解] (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120.(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)P (A ∪B )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.能力提升练11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件[解析] 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的V enn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D ．[答案] D12．(2019·湖北黄石联考)天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的10组随机数如下：613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为( )A ．12，38B ．12，18C ．13，15D ．13，29[解析] 由题意可得，每天下雨的概率P (A )＝26＝13；由10组数据可得三天中有两天下雨的概率P (B )＝210＝15.故选C ．[答案] C13．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级产品的概率为0.03，丙级产品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．[解析] 记“生产中出现甲级产品、乙级产品、丙级产品”分别为事件A ，B ，C ．又事件A ，B ，C 彼此互斥．由题意可得，P (B )＝0.03，P (C )＝0.01.故所求事件“抽得正品”即事件A ，其对立事件为B ∪C ． 因为事件B ，C 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可得P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.03＋0.01＝0.04.所以所求事件的概率P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－0.04＝0.96.[答案] 0.9614．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．[解]记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N*，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”．∴P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.拓展延伸练15．若p：“事件A与事件B是对立事件”，q：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．[答案] A16．(2019·河南平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为________．[解析] 白球没有减少的情况有：①抓出黑球，放入任意球，概率为58.②抓出白球放入白球，概率为38×511＝1588，所求事件概率为：58＋1588＝3544.[答案] 3544概率训练(二)基础巩固练一、选择题1．(2019·福建厦门月考)甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23[解析] 由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9(种)不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13.故选B ．[答案] B2．利用计算机在区间(0,4)内产生随机数a ，则不等式log 2(2a －1)<0成立的概率是( )A ．78B ．34C ．14D ．18[解析] 由log 2(2a －1)<0，可得0<2a －1<1，即12<a <1.由几何概型的概率计算公式，可得所求概率P ＝1－124－0＝18，故选D ． [答案] D3．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为( )A ．π8B ．π4C ．12D ．14[解析]如图所示，以AB 为直径作圆，则圆在正方形ABCD 内的区域为半圆(阴影部分)，其面积S ＝12×π×12＝12π，且满足条件∠AMB >90°的点M 在半圆内，故满足∠AMB >90°的概率P ＝S S 四边形ABCD ＝12π22＝π8，故选A ．[答案] A4．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A ．12B ．13C ．23D ．56[解析] 设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为B ．则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.故选C ．[答案] C5．(2019·商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A ．79B ．13C ．59D ．23[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.故选D ．[答案] D二、填空题6．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是__________．[解析] 所有没有重复数字的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32，共9个，其中所得两位数为偶数的有10,12,20,30,32，共5个，所以所求概率为59.[答案] 597．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12，∴P ＝1－π12. [答案] 1－π128．某单位从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有一人被录用的概率是________．[解析] 从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种情况．而A 、B 2人中至少有1人被录用的情况有5种，所以A ，B 两人中至少有一人被录用的概率为56.[答案] 56三、解答题9．(2019·郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？[解] 用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件， 则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C ．事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35.因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．10．(2019·陕西西安期末)为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取人，所得成绩如下：57,63,65,68,72,77,78,78,79,80,83,85,88,90,95.(1)作出抽取的人的测试成绩茎叶图，以频率为概率，估计所有志愿者中成绩不低于90分的人数；(2)从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的人中恰有一人的成绩不低于90分的概率．[解] (1)以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的人的测试成绩的茎叶图如图所示，由样本得成绩不低于90分的频率为215，故志愿者测试成绩不低于90分的人数约为215×1500＝200(人)．(2)设抽取的15人中，成绩不低于80分的志愿者为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中E ，F 的成绩不低于90分，则从成绩不低于80分的志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，D }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，E }，{A ，D ，F }，{A ，E ，F }，{B ，C ，D }，{B ，C ，E }，{B ，C ，F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{B ，E ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，{C ，E ，F }，{D ，E ，F }，共20种．其中选取的3人恰有一人成绩不低于90分的不同取法有{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，E }，{A ，D ，F }，{B ，C ，E }，{B ，C ，F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，共12种．所以选取的人中恰有一人的成绩不低于90分的概率为1220＝35.能力提升练11．(2019·唐山质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A ．34B ．12C ．13D ．35[解析] 作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC 上运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝l MmC 圆的周长＝12.故选B ． [答案] B12．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A ．14B ．38C ．12D ．58[解析] 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b a >1，(a ，b )的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，总基本事件数有16个，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为38.故选B ．[答案] B13．(2019·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是__________．[解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12. [答案] 1214．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，因试验发生包含的事件有：当a ＝1时，b ＝－1,1,2,3,4；当a ＝2时，b ＝－1,1,2,3,4；当a ＝3时，b ＝－1,1,2,3,4，共15种．函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a ≤1，即2b ≤a ，若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1；故事件包含基本事件的个数是5个，故所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为：⎩⎪⎨⎪⎧ (a ，b )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0构成所求事件的区域为三角形部分， 由⎩⎨⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83， ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.拓展延伸练15．(2019·成都市高三二诊)两位同学约定下午5∶30～6∶00在图书馆见面，且他们在5∶30～6∶00到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A ．1136B ．14C ．12D ．34[解析]如图所示，以5∶30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34. [答案] D16．(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为__________．[解析] 根据题意，点(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点即圆心(2,0)到直线的距离小于或等于半径r ，可得|2a |a 2＋b2≤2，化简得a ≤b ，满足条件的(a ，b )情况如下： ①a ＝1时，b ＝1,2，…，6，共6种；②a ＝2时，b ＝2,3，…，6，共5种；③a ＝3时，b ＝3,4,5,6，共4种；④a ＝4时，b ＝4,5,6，共3种；⑤a ＝5时，b ＝5,6，共2种；⑥a ＝6时，b ＝6,1种．总共有：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，故所求概率P ＝2136＝712.[答案] 712概率训练(三)1．(2019·河南豫南九校联考)下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x ＝年份－2013.(1)已知y 并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋D ．[解] (1)由题意得x ＝2.5，y ＝200，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14x i y i ＝2355，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x－2＝2355－4×2.5×20030－4×2.52＝71，所以a ^＝y －－b ^x －＝200－71×2.5＝22.5，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝71x ＋22.5.由于2018－2013＝5，所以当x ＝5时，y ^＝71×5＋22.5＝377.5， 所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元．(2)由题可得2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝55×50×30×75≈6.109. 由于6.109>5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．2．(2018·合肥第二次质量检测)某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．[解] (1)茎叶图如图，由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以甲组同学的成绩差异较大．(也可通过计算方差说明，s2甲＝101.6，s2乙＝37.4，s2甲>s2乙)(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3；乙组成绩在90分以上的三位同学为B1，B2，B3.从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；(B1，B2)，(B1，B3)；(B2，B3)．其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个，所以所求概率P＝915＝3 5.3．(2018·江西新余二模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．[解] (1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x ＝0.05，∴x ＝120.(2)设中位数为a ，则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．4．(2018·湖南五校联考)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1n x 2i －n x 2＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y ^－b ^x ，参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092，112＋132＋122＋82＝498 [解] (1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件A ．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率为P (A )＝515＝13.(2)由数据得x ＝11，y ＝24，由公式得b ^＝187.则a ^＝y －b ^x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2； 同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2. 所以，该小组所得线性回归方程是理想的．。
高中数学必修三3.3.1几何概型习题新人教A版必修3
A′，连接 AA′，它是一条弦，
1
31 1
A. B. C. D.
2
23 4答案： C3．已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点
1 AD
为 2，则 AB＝ (
)
P，使△ APB的最大边是
AB”发生的概率
1 13
7
A. B. C. D.
2 42
4
答案： D
几何概型
1．如图所示，在一个边长分别为
A 组 基础巩固 a， b( a>b>0) 的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分
aa 别为 3， 2，且高为 b. 现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是
()
7
5
A. 10 B. 7
55 C. D.
12 8
答案： C
2. 如图， A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点
所以
P( A) ＝
r ， a] 的长度 [0 ， a] 的长度
＝
a－ a
r
.
10．在长度为 10 cm 的线段 AD上任取两点 B， C在 B， C处折此线段而得一折线，求此折线
能构成三角形的概率．
解：设 AB， AC的长度分别为 x， y，由于 B， C在线段 AD上，因而应有 0≤ x，y≤10，
1 所以 GS∥ CD， GS＝ 2CD.
又 AB∥ CD， AB＝ CD，
1 所以 GS∥ AB，且 GS＝ 2AB，
又 M为 AB中点，所以 GS＝ AM， 所以四边形 AGSM为平行四边形． 所以 AG∥ MS， 又 MS? 平面 FMC， AG?平面 FMC， 所以 AG∥平面 FMC， 即 GP∥平面 FMC.
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)6-2 古典概型及条件概率(精练)(解析版)(1)
6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）题组一古典概型1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.分组频数频率[)6,6.550.10[)6.5,780.16[)7,7.5x0.14[)7.5,812y(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率． 5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．232（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B =B ．1()6P C =C ．()()P C P AB = D ．(|)(|)P A C P B C =3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B =D ．()1|2P A B =题组二 条件概型4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．275．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．1106．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．147．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．498．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）A ．()()()P M N P M P N ⋃=+ B ．()()1P MN P MN =- C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B =D ．()922P B =题组三 古典与条件综合运用1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（）A．14，14，12B．14，14，14C．13，13，12D．14，13，122．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a ；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.【答案】(1)0.020a =(2)74.4分钟(3)310【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，解得0.020a =.（2）因为(0.0100.020)100.30.5+⨯=<，(0.0100.0200.045)100.750.5++⨯=>.则中位数位于区间[70,80)内，设中位数为x ，则0.3(70)0.0450.5x +-⨯=，解得74.4x ≈，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.（3）由题意，阅读时间位于[50,60)的人数为1000.110⨯=，阅读时间位于[60,70)的人数为1000.220⨯=，阅读时间位于[80,90)的人数为1000.220⨯=，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为515010=，则抽取的5人中位于区间[50,60)有1人，设为a ，位于区间[60,70)有2人，设为1b ，2b ，位于区间[80,90)有2人，设为1c ，2c .则从5人中任取3人，样本空间()()()(){12111221Ω,,,,,,,,,,,,a b b a b c a b c a b c =()()()()()()}2212121122112212,,,,,,,,,,,,,,,,,a b c a c c b b c b b c b c c b c c .含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅题组一 古典概型读时间在[80,90)”，()()(){}12112212,,,,,,,,A a c c b c c b c c =，含有3个样本点.所以3()10P A =，所以恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率为310. 2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表.(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.【答案】(1)1800人，7,0.24,8x y z ===(2)35【解析】(1)设该校学生总数为n ，由题意1501505045660n --=，解得1800n =， ∴该校学生总数为1800人.由题意0.1450x=，解得127,0.2450x y ===，()505812108.z x =-----= (2)记“选中的2人恰好为一男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为12,F F ，男生为123,,M M M ， 从中任选2人有以下情况：()()()()()()()12111213212223,,,,,,,,,,,,,F F F M F M F M F M F M F M ，()()()121323,,,,,M M M M M M ，基本事件共有10个，其中事件A 包含的基本事件有6个，故()63105P A ==， 所以选中的2人恰好为一男一女的概率为35.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.【答案】(1)73分(2)35【解析】(1)由频率分布直方图可知()0.0050.040.030.005101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以这100人的平均成绩为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 即这100人的平均成绩为73分.(2)依题意可知成绩在[]90,100的有1000.005105⨯⨯=人，其中2位男生、3位女生，设3位女生分别为a 、b 、c ，2位男生为A 、B ，从中任取3人的取法有(),,a b c 、(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,a A B ，(),,b c A ，(),,b c B ，(),,b A B ，(),,c A B 共10种取法，其中恰有一个男生的有(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,b c A ，(),,b c B 共6种， 所以恰有一位男生的概率63105P ==. 4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．【答案】(1)25(2)23（元）(3)35【解析】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有20105540+++=（位）， 所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率4021005P == (2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为603030-=（元）， 第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.953027⨯-=（元）， 第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.903024⨯-=（元）， 第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.853021⨯-=（元）， 第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.803018⨯-=（元） 所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为302724211818236+++++=（元）(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人， 这6人中，将消费3次的会员分别记为a ，b ，c ，d ，消费4次的会员分别记为e ，f 从6人中随机抽取3人的情况有(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b e a b f ;(,,),(,,),(,,)a c d a c e a c f ;(,,),(,,)a d e a d f ;(,,)a e f ;(,,),(,,),(,,)b c d b c e b c f ;(,,),(,,)b d e b d f ；(,,)b e f ；(,,),(,,)(,,)c d e c d f c e f ；(,,)d e f ，共20种设“抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次”为事件A ，则事件A 包含的情况有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b e a b f a c e a c f a d e a d f b c e b c f b d e b d f c d e c d f ，共12种．根据古典概型的概率计算公式可得，()123205P A ==5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 【答案】(1)众数为70，平均数为65；(2)815【解析】(1)由频率分布直方图可知，众数为6080=702+； 5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均数为 100.05300.1500.2700.35900.365⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为12、a a ；第二组抽4人，记为1234b b b b 、、、，则121112131421222324121314232434{,,,,,,,,,,,,,,}a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b Ω=， 设事件A 为抽到的2人来着不同的组，则1112131421222324{,,,,,,,}A a b a b a b a b a b a b a b a b =，所以8()15P A =. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．23【答案】D【解析】设事件A 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数为奇数”，题组二 条件概型事件B 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，两次点数和不大于7”， 则1()2P A =，121()363P AB ==,所以1()23()1()32P AB P B A P A ===.故选：D. 2（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B = B ．1()6P C =C ．()()P C P AB =D ．(|)(|)P A C P B C =【答案】D【解析】由题知，从6个数中随机抽取2个数，共有2615C =种可能情况，则1()15P A =，1()15P B =．对于A 选项，“恰好抽取的是2，4”和“恰好抽取的是4，5”为互斥事件，()0P AB =，()()0≠P A P B ，故A 错误；对于B 选项，1526C 1()C 3P C ==，故B 错误； 对于C 选项，()0P AB =，故C 错误；对于D 选项，由于1()()15P AC P BC ==，故由条件概率公式得()()()()(|)(|)P AC P BC P A C P B C P C P C ===，故D正确． 故选:D ．3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B = D ．()1|2P A B =【答案】C 【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以()25P A =，故选项A 正确； 因为236()5525P AB =⨯=，所以()()()6325|255P AB P B A P A ===，故选项B 正确； 因为()233212555525P B =⨯+⨯=，故选项C 错误；因为()2365525P AB =⨯=，所以()()()6125|12225P AB P A B P B ===，故选项D 正确. 故选：C .4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．27【答案】D【解析】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为27.故选：D 5．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．110【答案】A【解析】()()()152365P AB P B A P A ===.故选：A. 6．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．14【答案】A【解析】令事件1A =“玩手机时间超过1h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过1h 的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，则样本空间12ΩA A =⋃，且12,A A 互斥，()()()()1210.2,0.8,0.5,0.45P A P A P B A P B ====∣， 依题意，()()()()()()112220.20.50.80.45P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=∣∣∣， 解得()2716P BA =∣，所以所求近视的概率为716. 故选：A .7．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．49【答案】D【解析】设事件B 表示小明第二关闯关成功，可得()()P AC P ABC =， 由条件概率的计算公式，可得()()()143394P ABC P CA P A ===∣.故选：D. 8．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ） A ．()()()P M N P M P N ⋃=+B ．()()1P MN P MN =-C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =【答案】CD【解析】对A ，当,M N 不互斥时，()()()P M N P M P N ⋃=+不成立，故A 错误；对B ，当,M N 为对立事件时，()()0P MN P MN ==，则()()1P MN P MN =-不成立，故B 错误； 对C ，当()0P M =时，()()()|0P MN P M P N M ==成立，当()0P M ≠时，根据条件概率的公式()()()|P MN P N M P M =可得()()()|P MN P M P N M =成立，故C 正确；对D ，根据条件概率的公式，结合C 选项可得()()()()()()||P MN P N M P M P M N P N P N ==成立，故D 正确；故选：CD 9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B = D ．()922P B =【答案】BD【解析】由题意知：()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =，()1511P B A =，()2411P B A =，()3411P B A =， ()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=++1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=，D 正确；()()()()()()11111552119922P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，B 正确；()()()22214451155P A B P A P B A ==⨯=，C 错误；()()()333346101155P A B P A P B A ==⨯=，()()339271022220P A P B =⨯=， ()()()33P A B P A P B ∴≠，∴事件B 与事件3A 不相互独立，A 错误.故选：BD. 1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）A ．14，14，12B ．14，14，14C ．13，13，12D ．14，13，12【答案】A【解析】4号卡片“第一次被抽到的概率”114P =， “第二次被抽到的概率”2311434P =⨯=，“在整个抽样过程中被抽到的概率”313114432P =+⨯=． 故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？题组三 古典与条件综合运用(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)答案见解析 (2)（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【答案】(1)23(2)25(3)35【解析】(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB ，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为()26A 30n Ω==，根据分步计数原理有()1145A A 20n A ==，所以()()()202303n A P A n Ω===.(2)由(1)知，()24A 12n AB ==，所以()()()122305n AB P AB n Ω===. (3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ()()()235253P AB P B A P A ===.。
高三数学概率综合试题
高三数学概率综合试题1.随机变量η的分布列如下:x=;P(η>3)=;③P(1<η≤4)=.【答案】①0②0.45③0.45【解析】由概率分布的性质可得:0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,解得:x=0.显然P(η>3)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=0.1+0.15+0.2=0.45.P(1<η≤4)=P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)=0+0.35+0.1=0.45.2.某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．(1)从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一个及格的概率；(2)从甲班10人中取两人，乙班10人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）【解析】(1)由茎叶图可知甲班有4人及格，乙班5人及格．事件“从两班10名学生中各抽取一人，至少有一人及格”记作A，则P(A)＝1－＝1－＝.(2)X取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＋＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X0123因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3.一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为，设，则.【答案】【解析】，连续取3次球，它的取法共有，，其中有３种，有１２种，有１２种，因此它们的概率分别为，故．【考点】概率与统计．4.袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】不妨设甲取2号球．若乙取1号，则丙4丁3；若乙3，则丙4丁1；若乙4，则丙丁3．共3种情况．类似的，甲取3或4号球，各有3种情况，故共9种，而基本事件的总数为，故所求的概率为故选B．本题是一个错位排列模型．【考点】求错位排列的概率．5.（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【答案】（Ⅰ）输出y 的值为1的概率为；输出y 的值为2的概率为；输出y 的值为3的概率为（II ）乙同学所编程序符合算法要求的可能性大【解析】（I ）当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1=；当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2=； 当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3=；∴输出y 的值为1的概率为；输出y 的值为2的概率为；输出y 的值为3的概率为； （II ）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i （i=1，2，3）的频率如下：6. 袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （I ）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II ）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数 都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列及数学期望E . 【答案】（1）（2）随机变量的分布列为：【解析】解: （Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为 2分从8个球中摸出2个小球的种数为 4分故所求概率为 5 分（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种 6分一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有种， 7分一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种. 9分由题意知，随机变量的取值为1，2，3.其分布列为：13分【考点】排列组合与分布列点评：主要是考查了分布列和排列组合的运用，属于基础题。
高三数学古典概型试题答案及解析
高三数学古典概型试题答案及解析1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，满足条件得事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到，故选A.【考点】古典概型及其概率计算公式.2.甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.【答案】（1）;（2）这种游戏规则是公平的.【解析】（1）设“两个编号和为8”为事件A,计算甲、乙两人取出的数字等可能的结果数，事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，按古典概型概率的计算公式计算；（2）首先按古典概型计算两人分别获胜的概率，通过比较大小，作出结论.所以这种游戏规则是公平的.试题解析：（1）设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）等可能的结果，故 6分（2）这种游戏规则是公平的. 7分设甲胜为事件B,乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)所以甲胜的概率,乙胜的概率＝ 11分所以这种游戏规则是公平的. 12分【考点】古典概型概率的计算.3.（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数； （2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）； （3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ， 由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除， 所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】 由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率． 【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的 解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率． 【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】 （1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。
高三数学古典概型试题
高三数学古典概型试题1.从正四面体的6条棱中随机选择2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】从正四面体的6条棱中随机选择2条，共有种方法。
其中相对棱互相垂直，共有3种方法，所以这2条棱所在直线互相垂直的概率为，故选D。
【考点】本题主要考查正四面体的几何特征，古典概型概率的计算。
点评：简单题，古典概型概率的计算问题与立体几何相结合，主要是要明确正四面体的几何特征，相对棱互相垂直。
2.（本小题满分12分）某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组。
（1）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；（3）实验结束后，第一次做实验的职员得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的职员得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由。
【答案】（1）某职员被抽到的概率为，男、女职员的人数分别是3，1.。
（2）；（3）第二次做实验的职员做的实验更稳定。
【解析】（1）即：某职员被抽到的概率为…………2分设有x名男职员，则即：男、女职员的人数分别是3，1. …………4分（2）把3名男职员和1名女职员记为则选取两名职员的基本事件有共12种，其中有一名女职员的有6种，所以，选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为…………8分（3）即第二次做实验的职员做的实验更稳定……………………….12分【考点】分层抽样；随机事件的概率；古典概型；标准差。
点评：本题考查用列举法计算基本事件数及随机事件发生的概率，解题的关键是熟练运用分类列举的方法及事件的性质将所有的基本事件一一列举出来，运用公式求出概率，列举法求概率适合基本事件数不太多的概率求解问题。
高三数学一轮复习 几何概型训练题 文 新人教版
高三文科数学几何概型训练题题组一与长度有关的几何概型1.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率 是( )A.110B.19C.111D.182．在区间[1,3]上任取一数，则这个数不大于1.5的概率为()A ．0.25B ．0.5C ．0.6D ．0.753．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正 方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.116B.18C.14D.124．如图，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连结AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为() A.12 B.32 C. 13 D.145．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统 计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．6. 在集合A ＝{x|x 2-3x-4<0}中随机的取一元素x ，恰使式子lgx 有意义的概率为___．题组二与面积(或体积)有关的几何概型7．如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内， 那么投中正方形区域的概率为() A.2πB.1πC. 23D.138.(2009·某某高考)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π89．设－1≤a≤1，－1≤b≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是( ) A.12B.14C.18 D.11610．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为( )A.13B.23C.19D.2911. 在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝12x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为 () A.18B.14C.34D.7812．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0 没有实根的概率．题组三生活中的几何概型13.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14B.13C.12D.2314．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．15．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．高三文科数学几何概型训练题参考答案1. 解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为 10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A2. 答案：A3. 答案：C解析：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.答案：C 4．答案：C解析：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝3π，A ′点左右各一，构造出与角度有关的几何概型，故由几何概型的概率公式得P ＝232ππ=135. 解析：60×(1－910)＝6分钟．答案：66.解析：若使lgx 有意义，必须使x>0. 在数轴上表示为如图，故所求概率为457．A8. 解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1时，其 是以O 为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2＝1－π4.答案：B9. 解析：由题知该方程有实根满足条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a≤1，－1≤b≤1，a 2－4b 2≥0，作平面区域如右图：由图知阴影面积为1，总的事件对应面 积为正方形的面积，故概率为14.答案：B10.解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出Ω 所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的区域为三角形 OCD 及其边界．容易求得D(4,2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6 三线的交点．则可得S △AOB ＝12×6×6＝18，S △OCD ＝12×4×2＝4.所以点P 落在区域A 的概率为418＝29.答案：D11. 解析：f ′(x)＝32x 2＋a ≥0，故函数f(x)＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点等价于f(－1)f(1)≤0，即(－12－a －b )·( 12＋a －b)≤0，得( 12＋a ＋b )·( 12＋a －b)≥0，又0≤a ≤1,0≤b ≤1，所以得画出不等式组表示的区域，所以阴影部分的面积为1-11172228⨯⨯= 所以P ＝77818=. 答案：D12. 解：(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12. 设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a ＞b. 当a ＞b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 即A 包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率 P(A)＝612＝12.(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为 M ＝{(a ，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a ＜b}，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)＝0没有实根的概率P(B)＝S M S Ω＝46＝23.13. 解析：平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑： 平行线间的距离为3 cm ，硬币半径为1 cm ，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1 cm ，如图：硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，则硬币中心落在阴影部分的概率为13.整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概率是13.答案：B14. 解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部 (含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π1615. 解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内 甲需等待．以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停 靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－4≤x－y≤2，在如图所示的平面直角坐标系内，(x ，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得：P(A)＝242－12×222－12×202242＝67288. 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288.。
2020_2021学年新教材高中数学第七章概率7.2古典概型一课一练含解析第一册
第七章概率§2 古典概型知识点1 古典概型的辨析1。
☉%757￥＊＊0@%☉(2020·福建莆田六中单元训练）下列模型中,是古典概型的为（).A。
从一部分零件中任意抽取一个,测其长度B.种一粒种子,观察它是否能够发芽C。
抛掷一枚均匀的骰子,观察向上的面的点数D。
统计甲、乙两人射击的成绩，分析两人击中靶子的概率答案：C解析：根据古典概型的定义进行判断.选项A中长度的值出现的可能性不一定相同，因此不是古典概型；选项B中发芽与不发芽的可能性不一定相等,不是古典概型;选项D不是随机试验，故不是古典概型；选项C中，出现的结果为1点至6点,结果是有限个，并且由于骰子均匀，因此每个点数向上的可能性相同,满足古典概型的两个特点,因此是古典概型.2。
☉％@27＊83＃＠％☉（2020·山西怀仁一中单元训练)下列问题中是古典概型的是( ).A。
种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B。
掷一枚质地不均匀的骰子,求出现1点的概率C。
在区间[1，4］上任取一个数，求这个数大于1。
5的概率D。
同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案:D解析:A，B两项中的各个样本点的发生不是等可能的；C项中样本点总数无限；D项中各个样本点的发生是等可能的,且是有限个。
故选D。
3.☉%＊4*＠28￥4%☉（多选）(2020·湖南岳阳一中月考）下列概率模型中,不是古典概型的有（）。
A。
从区间[1,10]内任意取出一个数,求取到1的概率C.从含有1的10个整数中任意取出一个整数,求取到1的概率B。
向一个正方形ABCD内投掷一点P,求P恰好与A点重合的概率D.向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率答案：ACD解析：根据古典概型的定义考虑，AC中的样本点有无限多个，因此不属于古典概型。
D中硬币不均匀,则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等,不是古典概型。
4.☉%#0216＃￥＠％☉(2020·湖北团风中学单元检测）下列试验中,是古典概型的有（填序号）。
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题（含答案解析）1.(2015广东高考)已知5件产品有两件次品，其余为合格品.现从5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.12.在由数字1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的二位数中，得到的数不能被5和2整除的概率为（）A.0.2B.O.4C.0.6D.0.83．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<V SABC的概率是()A. B.C. D.4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B.C. D.5．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A. B.C. D.6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数、得点，则点在圆内的概率为.10．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．11．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．12．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．13.(2015重庆高考)在区间上随机地选择一个数p,则方程有两个负根的概率为.14．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．15.（2015菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．16．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．【参考答案】1.【答案】B【解析】这是一个古典概型,从5件产品任取2件的取法为;基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为故选B.2．【答案】B【解析】总的事件数为，得到的数不能被5和2整除的个位数只能为1或3，有，故所求概率为0.4.3．【答案】A【解析】当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，4．【答案】A【解析】5．【答案】A【解析】∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．∴6．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是7．【答案】B【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】【解析】连续两次抛掷一枚骰子得到的结果有种，点落在圆内的有，，，共4种，故所求的概率为.10．【答案】【解析】依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是.11．【答案】【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.12．【答案】【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴13.【答案】【解析】方程有两个负根等价于解关于p的不等式组可得或所求概率为14．【答案】解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为15.【解析】（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．16．【解析】(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率为，即函数f(x)有零点的概率为.(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此为几何概型．所以事件“f(1)>0”的概率为【巩固练习】1.(2015鄂州三模)已知函数若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.2.某公共汽车每15分钟一班，乘客甲随机的到达车站，则甲等待的事件不超过3分钟的概率为（）A. B. C. D.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.5.在长为10的线段AB上任取一点M，以AM为半径作圆，则该圆的面积在和之间的概率为（）A. B. C. D.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.7．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A. B.C. D.10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A. B.C. D.11.(2015江西二模)在区间内随机取两个数a,b，则使得函数有零点的概率为.12．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．13.（2015河东区一模）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．14.（14分）设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从1，2，3，4，5四个数中任取的一个数，是从1，2，3，4三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间[1,5]任取的一个数，是从区间[1,4]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．15．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【参考答案】1.【答案】D【解析】求导可得要满足题意需有两个不等实根即即，又a,b的取法共种，其中满足的有共6种故所求的概率为故选D.2.【答案】A【解析】甲等待的事件不超过3分钟的概率为.3．【答案】D【解析】在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为.4．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是5.【答案】A【解析】以半径为准，概率为.6．【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝7．【答案】D【解析】由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9．【答案】A【解析】依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于10．【答案】B【解析】因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为11.【答案】【解析】两个数a、b在区间内随机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A(0,4)，B(4,4),C(4,0),O为坐标原点，若函数有零点，则解之得，满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为正方形OABC的面积为函数有零点的概率为12．【答案】【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，又当m∈(0,3)时，，∴··<，解得0<m<2，∴P＝三、解答题13.【解析】（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝，1红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况，所以概率为．14.【解析】设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共20个：事件中包含个基本事件，所以事件发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为，∴,构成事件的区域为，∴,所以所求的概率为．15．【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝＝.∴所求事件的概率为。
高三数学古典概型试题答案及解析
高三数学古典概型试题答案及解析1.现有编号分别为1，2，3，4，5的五个不同的语文题和编号分别为6，7，8，9，的四个不同的数学题。
甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号（x，y）表示事件“抽到的两题的编号分别为x、y，且”（1）共有多少个基本事件？并列举出来；（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．【答案】（1）个基本事件，，，，，，，,，，，，，，,，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,，（2）【解析】（1）利用“树图法”或“坐标法”，写出个基本事件.（2）根据，写出满足条件的基本事件，共15个：，,，，,，，，,，，,，,,利用古典概型概率的计算公式即得所求.试题解析：（1）共有个基本事件，，，，，，，,，，，，，，,，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,，6分（2）由已知，满足条件的基本事件有：，,，，,，，，,，，,，,. 12分【考点】古典概型.2.对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0，0，2，8，北，京”六张卡片排成一行，若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”，则受到父母的夸奖，那么婴儿受到夸奖的概率为___________．【答案】【解析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是把六张卡片排成一行其中包含两张相同的，共有种结果，满足条件的事件是有两个基本事件，∴婴儿受到父母夸奖的概率P＝【考点】简单的排列问题，古典概型概率的计算.3.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复．则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为()A． B． C． D．【答案】D【解析】只考虑A，B两个方格的排法．不考虑大小，A，B两个方格有4×4＝16(种)排法．要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为＝，选D．4.某农科院在3×3的9块试验田中选出6块种植某品种水稻，则每行每列都有两块试验田种植水稻的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】所求概率为P＝＝＝．5.[2013·江苏高考]现有某类病毒记作Xm Yn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．【答案】【解析】由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m，n：若m＝1时，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为.6.（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_________．【答案】【解析】记甲、乙两人相邻而站为事件A甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，则甲、乙两人相邻而站的战法有=4种站法∴=7.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为．【答案】【解析】连续抛掷两次共有种基本事件，向上一面数字之和为5的事件包含2+3与3+2两种情形，共种基本事件，所以概率为【考点】古典概型概率8.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)【答案】【解析】首先从9个数中任取3个数共有种，至少有2个数同行或同列的取法有种，所求概率为.【考点】古典概型.9.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)【答案】【解析】首先从9个数中任取3个数共有种，至少有2个数同行或同列的取法有种，所求概率为.【考点】古典概型.10.已知函数f(x)=cos(x),a为抛掷一颗骰子得到的点数，则函数f（x）在[0,4]上零点的个数小于5或大于6的概率为 .【答案】【解析】解：y=f（x）在[0，4]上有5个或6个零点，等价于函数f（x）的周期等于2，即，解得a=3；而所有的a值共计6个，故y=f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率是 1－=.【考点】1.列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.函数零点的判定定理．11.有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】能组成的两位数有、、、、、，共个，其中的奇数有、、，共个，因此所组成的两位数为奇数的概率是，故选C.【考点】古典概型12.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为．【答案】【解析】从4人中任选2人，共有，而甲乙两人有且只有一个被选取的方法数为，概率为．【考点】古典概型．13.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为．【答案】【解析】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有种基本事件，而甲乙两人中有且只有一个被选取包含种基本事件，所以所求概率为.【考点】古典概型概率14.已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．(1) 求直线l1与l2相交的概率；(2) 求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．【答案】(1) (2)【解析】(1) 直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝.设事件A为“直线l1与l2相交”．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为(1，1)，(1，2)，…，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(2，6)，…，(5，6)，(6，6)共36种．若l1与l2相交，则l1∥l2，即k1＝k2，即b＝2a.满足条件的实数对(a，b)有(1，2)，(2，4)，(3，6)共三种情况．所以P(A)＝.(2) 设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a.联立方程组解得∵l1与l2的交点位于第一象限，∴∵a、b∈{1，2，3，4，5，6}，∴b>2a.∴总事件数共36种，满足b>2a的事件有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，共6种，∴ P(B)＝15.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．【答案】【解析】(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是P＝＝.16.某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样品的一等品中，随机抽取两件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．【答案】(1)0.6(2)①{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，②【解析】(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝＝.17.在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．【答案】【解析】在数字1、2、3、4四个数中任取两个不同的数有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6个基本事件，其中和大于积的有3个，即{1，2}，{1，3}，{1，4}，故其和大于积的概率是＝.18.若任意则就称是“和谐”集合.则在集合的所有非空子集中,“和谐”集合的概率是．【答案】【解析】由题意，和谐集合中不含、，和，和成对出现，和可单独出现，故和谐集合分别为，，，，，，，，，，，，共15个，而集合的非空子集有个，故“和谐”集合的概率是．【考点】1、集合与集合的关系；2、古典概型.19.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是()A．B．C．D．【答案】C【解析】用列举法,从A,B中各任意取一个数,所取数的情况表示为(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中和为4的共有2种情况,所求概率为P==.故选C.20.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“ONE”“WORLD”“ONE”“DREAM”的四张卡片随机排成一排,若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子得到奖励的概率为.【答案】【解析】题中四张卡片排成一排一共有12种不同的排法,其中只有一种会得到奖励,故孩子得到奖励的概率为.21.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被评为良好及以上的概率.【答案】(1) (2)【解析】解:将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4、5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共有10种,令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为良好及以上的事件,则(1)P(D)=.(2)P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.22.从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】k,b的取法有3×3=9种,直线y=kx+b不经过第三象限即k<0,b>0,取法有(-1,1),(-1,2)两种,所以概率为P=.【误区警示】直线y=kx+b不经过第三象限,k<0,b>0缺一不可.23. 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】所求概率P=·+·=+==.24.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面、两枚反面的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】共23=8种情况,符合要求的有(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)3种,∴P=.25.甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.【答案】0.95【解析】由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1-(1-0.8)(1-0.75)=0.95.26.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、……、6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2－6n＋12＞n，即n2－7n＋12＞0.解得n＜3或n＞4.所以n＝1,2,5,6.所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝＝.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6.共有15种可能的情形．设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.所以m＝n(舍去)，或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为1,5；2,4，共2种情形．故所求事件的概率为.27.一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．【答案】【解析】列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P＝＝.28.某公司销售、、三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计月份共销售部手机（具体销售情况见下表）款手机款手机款手机已知在销售部手机中，经济型款手机销售的频率是.（1）现用分层抽样的方法在、、三款手机中抽取部，求在款手机中抽取多少部？（2）若，求款手机中经济型比豪华型多的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由分层抽样的定义有，得到，所以计算可得手机总数，从而有部.（2）设“款手机中经济型比豪华型多”为事件，款手机中经济型、豪华型手机数记为，根据，，确定满足事件的基本事件有个事件包含的基本事件为7个，由古典概型概率的计算公式得解.解答本题，关键是事件数的计算，此类问题，常常借助于树图法或坐标法，避免各种情况的遗漏. 试题解析：（1）因为，所以 2分所以手机的总数为： 3分现用分层抽样的方法在在、、三款手机中抽取部手机，应在款手机中抽取手机数为：（部）. 5分（2）设“款手机中经济型比豪华型多”为事件，款手机中经济型、豪华型手机数记为，因为，，满足事件的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个事件包含的基本事件为，，，，，，共7个所以即款手机中经济型比豪华型多的概率为 12分【考点】分层抽样，典概型概率的计算.29.甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设，表示甲乙抽到的牌的数字，如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为，，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．【答案】(1)详见解析；(2)；(3)不公平.【解析】（1）此题为古典概型的概率计算问题，因为有两张4，所以在列举时，要做一区分，设方片4为4′，甲乙两人抽到的牌不放回，所以在甲抽完以后，乙只能从剩下的牌中抽取，然后一一列举出所以基本事件；（2）在（1）中列举的所以情况看，横坐标为3的有几个基本事件N，其中大于3的有几个基本事件n，,就是甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率;（3）同样在（1）中找到甲抽到的牌的牌面数字大于乙的基本事件，剩下的基本事件为乙大的，分别让他们除以总的基本事件，看谁的概率大，相等，即公平，不相等，就是不公平.试题解析：（1）解：方片4用4′表示，则甲乙二人抽到的牌的所有情况为：（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4）共12种不同的情况. 5分（2）解：甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为. 8分（3）解：甲抽到的牌比乙大，有（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），（3，2）共5种情况.甲胜的概率为，乙胜的概率为，因为，所以此游戏不公平. 13分【考点】古典概型的概率计算30.排一张4独唱和4个合唱的节目表，则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】8个节目所有排法为，要求合唱不相邻，可先把4个独唱排列，有种排法，这里这4个独唱节目形成5个空档(包含前后两个)，由于合唱不排排头，故4个合唱节目只有插进后面四个空档里，有种排法，这样总共有排法，从而所求概率为【考点】古典概型．31.某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次在A或B处投篮，在A处投进一球得3分，在B处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在B处投篮．已知甲同学在A处投篮的命中率为0.4，在B处投篮的命中率为0.6.(1)甲同学若选择方案1，求X＝2时的概率；(2)甲同学若选择方案2，求X的分布列和数学期望；(3)甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．【答案】（1）0.288（2）3.168（3）选择方案2通过测试的可能性更大【解析】(1)“在A处投篮命中”记作事件A，不中记作，“在B处投篮命中”记作事件B，不中记作，该同学选择方案1，测试结束后所得总分为2为事件(B)∪(B)，则其概率P1＝P(B)＋P(B)＝(1－0.4)×0.6×(1－0.6)＋(1－0.4)×(1－0.6)×0.6＝0.288.(2)该同学选择方案2，测试结束后，所得总分X所有可能取的值为0,2,4.则P(X＝0)＝(1－0.6)×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.064，P(X＝2)＝×0.6×0.42＝0.288，P(X＝4)＝0.6×0.6＋×0.62×0.4＝0.648，∴X的分布列是X024(3)设该同学选择方案1通过测试的概率为P2，P2＝P(A)＋P(BB)＝0.4＋(1－0.4)×0.6×0.6＝0.616，又选择方案2通过测试的概率P3＝0.648>0.616，所以该同学选择方案2通过测试的可能性更大．32.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为 ()．A．0.9B．0.8C．1.2D．1.1【答案】A【解析】依题意得，得分之和X的可能取值分别是0、1、2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴得分之和X的分布列为∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.33.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里．则恰好有一个盒子空的概率是（结果用最简分数表示）【答案】【解析】这是古典概型，我们只要计算出两个数，一个是把4个不同的球随机放入四个不同的盒子的所有放法总数为，而恰好有一个盒子是空的方法为，从而所求概率为．【考点】古典概型．34. 把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是 （结果用最简分数表示） 【答案】【解析】这是古典概型，我们只要计算出两个数，一个是把4个不同的球随机放入四个不同的盒子的所有放法总数为，而恰好有一个盒子是空的方法为，从而所求概率为．【考点】古典概型．35. 设集合，对于，记，且，由所有组成的集合记为：，（1）的值为________； （2）设集合，对任意，，则的概率为________．【答案】（1）；（2）．【解析】由题意知，a i ，b i ∈M ，a i ＜b i ，∵首先考虑M 中的二元子集有{1，2}，{1，3}，…，{5，6}，共15个，即为C =15个． 又a i ＜b i ，满足的二元子集有：{1，2}，{2，4}，{3，6}，这时，{1，3}，{2，6}，这时，{2，3}，{4，6}，这时，共7个二元子集．故集合A 中的元素个数为k=15-7+3=11．列举A={,,,,，},B={2，3，4，5，6，},+="2," +="3," +=2，+=2,+=2，+ =2共6对．∴所求概率为：p ＝．故答案为：11；．【考点】古典概型及其概率计算公式．36. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a －b ｜≤1，就称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【解析】试验包含的所有事件共有6×6=36种猜数的结果。
高三数学几何概型试题答案及解析
高三数学几何概型试题答案及解析1.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由题知，以AB为直径的圆的半径为1，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率为=，故选B.考点:几何概型2.在区间上随机取两个数其中满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y≥2x，对应区域的面积为×1×2=1，∴所求的概率为，故选B．考点:几何概型3.张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．【答案】【解析】以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝．4.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M．(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝．(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)| }内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{(x，y)| }，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝．∴所求事件的概率为P＝＝＝．5.在区间[－6,6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x处的切线的倾斜角为α，则α∈[，]的概率为________．【答案】【解析】当切线的倾斜角α∈[，]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线斜率是x，故只要x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，若在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6)内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是＝．6.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，求输出数对(x，y)的概率．【答案】【解析】可行域为中心在原点，顶点在坐标轴上的正方形(边长为)，x2＋y2≤表示半径为的圆及其内部，所以所求概率为＝．7.在长为的线段上任取一点，并且以线段为边作正三角形，则这个正三角形的面积介于与之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：边长为的正三角形的面积为，由得:在长为的线段上任取一点,有无限个可能的结果，所有可能结果对应一个长度为20的线段，设“以线段为边的正三角形面积介于与之间”为事件M，则包含M的全部基本事对应的是长度为6的线段，所以故选D.【考点】几何概型.8.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，此题为几何概型，,故选C.【考点】几何概型9.一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为 .【答案】.【解析】如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心，半径为的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为，面积为，三角形的面积为，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.【考点】几何概型10.如图，一半径为的圆形靶内有一个半径为的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为环，圆环区域记为环，某同学向该靶投掷枚飞镖，每次枚. 假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.（1）求该同学在一次投掷中获得环的概率；（2）设表示该同学在次投掷中获得的环数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先根据题中条件确定相应的事件为几何概型，然后利用几何概型的概率计算公式（对应区域面积之比）求出相应事情的概率即可；（2）（1）由题意可得是几何概型，设，该同学一次投掷投中环的概率为；（2）由题意可知可能的值为、、、，，，，，的分布列为环，答：的数学期望为环.【考点】1.几何概型；2.离散型随机变量分布列与数学期望11.已知正方体的棱长为2，在四边形内随机取一点,则的概率为_______ ，的概率为_______.【答案】；【解析】四边形为矩形且。
人教版高中数学必修一《古典概型》课时达标训练及答案
3.2.1 古典概型(二)课时达标训练一、基础过关1．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16答案 C解析 从A 、B 中各任意取一个数，共有6种情形， 两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种， ∴P ＝26＝13.2．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为( )A.150B.110C.15D.14答案 C解析 由题意知，在抽出的容量为10的样本中，有1050×20＝4名女同学，每个女同学被抽到的概率是一样的，所以某女同学甲被抽到的概率为420＝15.3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( ) A.16B.536C.112D.12答案 C解析 先后抛掷两枚骰子的点数，方法共有36种． 满足条件log 2X Y ＝1，即Y ＝2X 的有⎩⎪⎨⎪⎧X ＝1，Y ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝2，Y ＝4； ⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3，Y ＝6，3种．故概率为336＝112.4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( )A.23B.25C.35D.910答案 D解析 由题意，得从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.5．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________． 答案 12解析 设3件正品为A ，B ，C,1件次品为D ，从中不放回任取2件，有以下基本事件：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．其中恰有1件是次品的基本事件有：AD ，BD ，CD ，共3个，故P ＝36＝12.6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率是________． 答案 29解析 由题意知，基本事件总数为36，事件“点P 落在圆x 2＋y 2＝16内”包含8个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，所求概率为P ＝836＝29.7．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3(2)3个矩形颜色都不同的概率．解 所有可能的基本事件共有27个，如图所示．(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ，由图，知事件A 的基本事件有1×3＝3(个)，故P (A )＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图，可知事件B 的基本事件有2×3＝6(个)，故P (B )＝627＝29.二、能力提升8．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16B.15C.13D.25答案 C解析 由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34答案 A解析 由题意知本题是一个古典概型，设3个兴趣小组分别为A ，B ，C .试验发生包含的基本事件数为AA 、AB 、AC 、BA 、BB 、BC 、CA 、CB 、CC 共9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P ＝39＝13，故选A.10．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是______；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________． 答案 13 14解析 第二次能打开门说明第一次是从不能打开门的钥匙中取一，第二次是从能打开门的钥匙中取一，第二次打开门这个事件包含的基本事件数为2×2＝4，基本事件总数为4×3＝12，所求概率为P 1＝412＝13.如果试过的钥匙不扔掉，基本事件总数为4×4＝16，所求概率为P 2＝416＝14.11．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.12．某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解 (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从该小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个． 设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N包括事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个． 则P (N )＝310.三、探究与拓展13．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率． 解 (1)利用树状图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取第一次抽取123451 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)概型．用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝525＝15＝0.。
高三数学古典概型试题答案及解析
高三数学古典概型试题答案及解析1.小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）根据图中的数据信息，求出众数和中位数（精确到整数分钟）；（2）小明的父亲上班离家的时间在上午之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率．【答案】（1），；（2）.【解析】（1），由频率分布直方图可知即，列方程=0.5即得；（2）设报纸送达时间为，小明父亲上班前能取到报纸等价于，由几何概型概率计算公式即得.试题解析：（1） 2分由频率分布直方图可知即， 3分∴ =0.5解得分即 6分（2）设报纸送达时间为 7分则小明父亲上班前能取到报纸等价于， 10分如图可知，所求概率为12分【考点】1.频率分布直观图；2.几何概型.2.从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字的四位数，这个数不能被3整除的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成没有重复数字的四位数，共有＝300个．∵0＋1＋2＋3＋4＋5＝15，∴这个四位数能被3整除只能由数字：1,2,4,5；0,3,4,5；0,2,3,4；0,1,3,5；0,1,2,3组成，所以能被3整除的数有＋4×＝96个，∴这个数能被3整除的概率为P＝＝，∴这个数不能被3整除的概率为1－＝，选A．3.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有条线段，点与，，，四点中任意1点的连线段都小于该正方形边长，共有，所以这2个点的距离小于该正方形边长的概率，故选B.【考点】古典概型及其概率计算公式.4.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）【答案】B【解析】掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B.【考点】古典概型概率5.（本小题满分14分）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.（1）求；（2）当时，求的表达式；（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）解概率应用题，关键要正确理解事件. 当时，这个数中有9个一位数，90个二位数，一个三位数，总共有192个数字，其中数字0的个数为9+2=11，所以恰好取到0的概率为（2）按（1）的思路，可分类写出的表达式：，（3）同（1）的思路，分一位数，二位数，三位数进行讨论即可，当当当即同理有由可知，当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为试题解析：（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为（2）（3）当当当即同理有由可知所以当时，,当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为【考点】古典概型概率6.从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 .【答案】【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．【考点】古典概型．7. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.【答案】【解析】从10件产品中任取4件，共有种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有，因此所求概率为【考点】古典概型概率8.一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X为取得红球的个数．（1）求X的分布列；（2）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分．求得分的期望．【答案】（1）分布列详见解析；（2）.【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、古典概型等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，分析题意，先写出取得红球的个数X的所有可能取值，利用古典概型，利用排列组合列出每一种情况的概率表达式，最后列出分布列；第二问，利用第一问的分布列，结合第二问提到的分数列出数学期望的表达式.（1）X，1,2,3,4其概率分布分别为：，，，，．其分布列为X01234（2）．（12分）【考点】离散型随机变量的分布列和数学期望、古典概型.9. [2013·课标全国卷Ⅰ]从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A．B．C．D．【答案】B【解析】从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)2种结果，概率为，故选B.10.(2014·温州模拟)记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】所有的(a,b)共有6×6=36(个),方程x2-ax+2b=0有两个不同实根,等价于Δ=a2-8b>0,故满足条件的(a,b)有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共9个,故方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为=.11.连掷两次骰子分别得到点数m,n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是__________.【答案】【解析】即(m,n)·(-1,1)=-m+n<0.所以m>n,基本事件总共有6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).所以P==.12.某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．【答案】【解析】某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.3个景区都有部门选择可能出现的结果数为·3！(从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有＝6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法)，记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P(A1)＝＝.13.有驱虫药1618和1573各3杯,从中随机取出3杯称为一次试验(假定每杯被取到的概率相等),将1618全部取出称为试验成功.(1)求恰好在第3次试验成功的概率(要求将结果化为最简分数).(2)若试验成功的期望值是2,需要进行多少次相互独立重复试验?【答案】(1)试验一次就成功的概率为； (2)4.【解析】(1) 从6杯中任选3杯,不同选法共有种，而选到的3杯都是1618的选法只有1种，由古典概型概率的求法可得试验一次就成功的概率为.恰好在第3次试验成功相当于前两次试验都没成功，第3次才成功.由于成功的概率为，所以一次试验没有成功的概率为，三次相乘即得所求概率.（2）该例是一个二项分布，二项分布的期望是，解此方程即可得次数.试题解析：（1）从6杯中任选3杯,不同选法共有种,而选到的3杯都是1618的选法只有1种,从而试验一次就成功的概率为.恰好在第3次试验成功相相当于前两次试验都没成功,第3次才成功,故概率为.(2)假设连续试验次,则试验成功次数,从而其期望为,再由可解出.【考点】1、古典概型；2、二项分布及其期望.14.一个口袋中装有形状和大小完全相同的3个红球和2个白球，甲从这个口袋中任意摸取2个球，则甲摸得的2个球恰好都是红球的概率是（）A．B．C．D．【解析】设3个红球为A，B，C，2个白球为X，Y，则取出2个的情况共有10种，其中符合要求的有3种，所求的概率为，故选A【考点】古典概型概率。
高中高三数学 几何概型练习题-人教版高三全册数学试题
《几何概型》1.有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )解析：对A ，P (A )＝38，对B ，P (B )＝13；对C ，P (C )＝4－π4<14；对D ，P (D )＝1π，显然P (A )最大，因此应选游戏盘A. 答案：A2.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A. 14B. 12C. 34D. 23解析：如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝34.答案：C3.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. π4B. π－22C. π6D. 4－π4解析：平面区域D 的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为4－π4.答案：D4. 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过7分钟的概率是________．解析：设上辆车于时刻T 1到达，而下辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为10，设T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长等于7，如图所示．记“等车时间不超过7分钟”为事件A ，事件A 发生即当点t 落在线段TT 2上，即μΩ＝T 1T 2＝10，μA ＝TT 2＝7.所以P (A )＝μA μΩ＝710.即等车时间不超过7分钟的概率是710.答案：7105.如图所示，矩形ABCD 内的阴影部分是由曲线f (x )＝2x 2－2x 及直线y ＝2x 围成的，现向矩形ABCD 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．解析：曲线f (x )＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f (x )＝2x 2－2x 与x 轴的交点为(0,0)和(1,0)，其顶点为(12，－12)．矩形ABCD 的面积为(4＋12)×2＝9，阴影部分的面积为⎠⎛02(2x －2x 2＋2x)d x ＝(2x 2－23x 3)⎪⎪⎪20＝83，所以该点落在阴影部分的概率为839＝827. 答案： 827。
2021届高三数学一轮温习 几何概型练习 新人教A版必修3(1)
必修Ⅲ－10 几何概型
1、 几何概型：若是每一个事件发生的概率
成比例，那么称如此的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
二、几何概型的两个特点：一是 ，即在一次实验中，大体事件的个数能够是无穷的；二是 ，即每一个大体事件发生的可能性是均等的.
3、几何概型中事件A 的概率的计算公式： .
4、产生随机数的方式有两种：○
1 ； ○
2 .
五、整数值随机数是一个整数，而均匀随机数是某一区间上的一个 ，
Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数是 .
例1、 （学业水平考试样题）如图，长方形的面积为1，将100个豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有20
个豆子落在阴影部份，那么用随机模拟的方式能
够估量图
中阴影部份的面积为（ ）
A 、15
B 、45
C 、120
D 、1100
例2、 （2020年湖南省高中学业水平考试样卷试题）某电视台在娱乐频道节目播 放中，每小时播放广告20
分钟，那么随机打开电视机观看那个频道看到广告的概率为（ ）
A、1
2B、1
3
C、1
4
D、1
6
例3、两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率.。
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高三数学练习题
1．在数学系学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
（1）叙述事件C AB 的意义。
（2）在什么条件下ABC=C 成立？
（3）什么时候关系式B C ⊂成立？ （4）什么时候B A =成立？
2．将下列事件用A ，B ，C 表示出来：
（1）A 发生 （2）只有A 发生（3）A 与B 都发生而C 不发生（4）三个事件都发生
（5）三个事件中至少有一个发生（6）三个事件中至少有两个发生
（7）三个事件中恰好发生一个（8）三个事件中恰好发生两个（9）三个事件都不发生
（10）三个事件中不多于二个事件发生（11）三个事件中不多于一个事件发生
3．一部五卷文集任意地排列到书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为12345的顺序的概率等于多少？
4．把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有k 面（k=0,1,2,3）涂有颜色的概率k P 。
5．甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数。
求甲取的数大于乙取的数的概率。
6．一批灯泡有40只，其中3只是坏的，从中任取5只检查。
问：
（1）5只都是好的概率为多少？（2）5只中有2只坏的概率为多少？
7．一个班级有2n 个男生及2n 个女生，把全班学生任意的分成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率。
8．公共汽车每隔五分钟有一辆汽车到站，乘客到汽车站的时刻是任意的。
求一个乘客候车时间不超过三分钟的概率。
9．把长为1的棒任意地折成三段，求：
（1）三小段的长度都不超过a )13
1(≤≤a 的概率。
（2）三小段能构成一个三角形的概率。
10．从装有a 个白球及b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，取后都不放回，直至两人中有一人取到白球为止。
试给出描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙取到白球的概率。
11．在某城市中共发行三种报纸：甲，乙，丙。
在这城市的居民中订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲，乙两报的有10%，同时订乙，丙两报的有5%，同时订三种报的有3%，求下列百分比：
（1）只订甲报的；（2）只订甲，乙两报的；（3）只订一种报纸的；
（4）正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的。
12．设M 件产品中有m 件废品，从中任取两件。
（1）在所取产品中有一件是废品的条件下，求另一件也是废品的概率；
（2）在所取产品中有一件是正品的条件下，求另一件是废品的概率。
13．乒乓球盒中有15只球，其中9只是没有用过的新球。
第一次比赛时任取3只使用，用毕返回。
第二次比赛时也任取3只球，求次3只球全是没有用过的概率。
14．某射手射靶五次，各次命中的概率为0.6，求下列各事件的概率：
（1）前三次中靶，后两次脱靶；（2）第一，三，五次中靶，第二，四次脱靶；
（3）五次中恰有三次中靶。
15．一口袋中装有m 个白球，n-m 个黑球，连续不返回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。
16．每年袭击某地的台风次数近似服从8=λ的普哇松分布，求
（1）该地一年中受台风袭击次数<6的概率
（2）一年中该地受到台风袭击的次数为7~9次的概率。
17．一个射手射击了n 次，每次射中的概率为p ，设第n 次射击是射中的，且为第ξ次射中，求ξ的分布列。
18．设随机变量ξ与η的分布列为
2,1,0,)1()2()(2=-==-k p p k k P k k ξ 4,3,2,1,0,)1()4()(4=-==-l p p l
l P l l η 已知9
5)1(=≥ξP ，求)1(≥ηP 。
19．已知随机变量ξ的密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≤<≤<-=其他211002)(x x x x x f
（1）求相应的分布函数F （x ） （2）求)2.12.0(),5.0(),3.1(<<<>ξξξP P P
20．设随机变量ξ具有分布：5,4,3,2,1,5
1)(===k k P ξ 求22)2(,+ξξξE E E 及。
21．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，求查得废品数的数学期望。
22．在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p ，试验进行到成功与失败均出现为止，求平均试验次数。
23．从一个装有m 个白球，n 个黑球的袋中不返回的摸球，直到摸到白球为止，求已取出黑球数的数学期望。
24．设随机变量ξ具有密度函数：⎪⎩
⎪⎨⎧>≤=2||02||cos 2)(2πππx x x x f ，求E ξ，D ξ。
25．甲乙两人进行比赛，每局中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p 。
比赛进行到有一人连胜两局为止。
以ξ表示比赛的局数，求E ξ，D ξ。