利息理论及其应用(pdf 112)
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利息理论——课件
t
27
定义 A(t)=k×a(t)称为金额函数，它给出 原始投资为k时在时刻t>=0的积累值。 记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为 In.则 In=A(n)-A(n-1) 注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的 单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期 为一年 以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)
14
利率决定利率
• 1、凯恩斯流动偏好模型 假定资产有货币（收益率0），债券（收益率i） 总资产=货币总量+债券总量 • ：货币需求曲线，当利率升高时----债 券价格下降----债券需求升高-----货币需求下 Md 降（eg:利率升高，储蓄增加，消费减少）
15
• 当 （均衡利率）时， ，货币需求<供 Md Ms i1 i0 给，人们用多余的货币购买债券，债券价 格升高-----债券收益率（利率）下降 • 当时， ，货币需求>供给，人们用卖 Md Ms i1 i0 债券，债券价格下降-----债券收益率（利率） 升高
复利
定义 复利指前期赚取的利息在后期会赚取附加 利息的计息方式。复利的积累函数是的积累函数 是 a(t)=(1+i)t 对整数t0
复利的直观表述：1元本金经过时期t+s后的累积 值等于将1元本金经过t后的累积值再投资s期所形 成的累积值
40
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转 让货币使用权所得的报酬。 利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。
§2.1积累函数与贴现
一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款 以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时 间后收回的总金额称为积累值。 积累值=本金+利息
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定义 A(t)=k×a(t)称为金额函数，它给出 原始投资为k时在时刻t>=0的积累值。 记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为 In.则 In=A(n)-A(n-1) 注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的 单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期 为一年 以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)
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利率决定利率
• 1、凯恩斯流动偏好模型 假定资产有货币（收益率0），债券（收益率i） 总资产=货币总量+债券总量 • ：货币需求曲线，当利率升高时----债 券价格下降----债券需求升高-----货币需求下 Md 降（eg:利率升高，储蓄增加，消费减少）
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• 当 （均衡利率）时， ，货币需求<供 Md Ms i1 i0 给，人们用多余的货币购买债券，债券价 格升高-----债券收益率（利率）下降 • 当时， ，货币需求>供给，人们用卖 Md Ms i1 i0 债券，债券价格下降-----债券收益率（利率） 升高
复利
定义 复利指前期赚取的利息在后期会赚取附加 利息的计息方式。复利的积累函数是的积累函数 是 a(t)=(1+i)t 对整数t0
复利的直观表述：1元本金经过时期t+s后的累积 值等于将1元本金经过t后的累积值再投资s期所形 成的累积值
40
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转 让货币使用权所得的报酬。 利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。
§2.1积累函数与贴现
一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款 以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时 间后收回的总金额称为积累值。 积累值=本金+利息
利息理论——第一章1.1
利息的基本概念
在给出利息的几种基本度量方式前，先引入几 个基本概念。 本金（Principal）：我们把每项业务开始时投资 的初始金额称为本金，常用P表示。 积累值（Accumulated Value）：把业务开始一 定时间后回收的资金总额称为该时刻的积累值 （或终值）。 显然，积累值与本金的差额就是这一时期的利息 金额。
积累函数
这里，我们假定，一旦给定了本金金额，则 在任何时刻的积累值均可确定，并假定在投 资期间不再加入或抽回本金。也就是说，该 投资在数额上的任何变化全部是由于利息的 影响而造成的。当然，以后将放松这一假设 而允许在投资旗舰加入或抽回本金。
很显然，在上述假设下，决定积累值的两个 最主要的因素就是本金金额和从投资日算起 的时间长度。理论上，时间长度可以用许多 不同的单位来度量。例如，日、周、月、季、 半年、一年等。用来度量时间的单位称为 “度量期”或“期”（可以等同于我们之前 讲过的计息期），最长用的期是年。以后各 章除非另外声明，均可认为一个度量期为一 年。
n
A(n 1)
A(n 1)
显然，(1.1.3)和(1.1.4a)式中的i记为i 更合适。
1
例3 某人到银行存入1 000元，第一年末他存折上的余额为 1 050元，第二年末他存折上的余额为1 100元，问：第一年、 第二年的实际利率分别是多少？ 解： 显然，A(0)=1 000，A(1)=1 050，A(2)=1 100 因此，I1=A(1) － A(0)=50(元) I2=A(2) － A(1)=50(元) I1 50 i1 5% A(0) 1000 I2 50 i2 4.762% A(1) 1050 故，第一年的实际利率为5%，第二年的实际利率为4.762%。
第6章 利息理论应用与金融分析
A− S Dt = n
所以，张面值是线性的，即
Bt = A − tDt t t = (1 − ) A + S n n
（3）余额递减法 该方法算出的各期折旧费逐渐减少，每期折旧费 占该周期初资产帐面值的百分比是恒定的，即
Dt = dBt −1 ⇒ Bn = A(1 − d ) = S
n
由于A 由于A和S 定义： L：扣除首期付款后的原贷款额； R：财务费用； m：每年偿还次数； n： 还款总次数； i： APR； APR； j：各偿还期的利率。 则有，R=(L+K)/n 则有，R=(L+K)/n 分期还款的现值等于贷款额，即
Ran j = L
解出j，则APR为，i=12j 解出j，则APR为，i=12j
i
max
2mK = L(n + 1) − K (n − 1)
（2）最小收益法 该法的分期偿债额先完全用于付息，直到利息 付清后，再将分期偿债额完全用于偿还本金，因 此，在该方法下APR的近似值为： 此，在该方法下APR的近似值为：
i
min
2mK = L(n + 1) + K (n − 1)
（3）常数比法 在该方法下，分期偿还额按照恒定的百分比 用于偿还本金和利息，因此，在该方法下， APR的近似值为： APR的近似值为：
第六章 利息理论应用与金融分析
利息理论在实物中的应用十分广泛，本章主要对 利息理论在实物中如下几个方面应用进行探讨： （1）介绍银行信贷业务利率的计算； （2）投资成本的计算； （3）以及固定资产折旧； （4）利率水平的决定理论。
6.1 利息理论的应用
6.1.1 诚实信贷
美国诚实信贷法要求贷款人公布两个关键的指标： 财务费用和年利率（记为APR），前者表示整 财务费用和年利率（记为APR），前者表示整 个贷款应当支付的利息，后者表示应付的年利率。 此外，还有求陈述一些应公开的事项，包括贷款 初始费用、其他信贷费、服务费、资信报告费、 保险费等费用。并且规定APR的计算方法为精 保险费等费用。并且规定APR的计算方法为精 算法。APR不是实际利率，而是名义利率，且 算法。APR不是实际利率，而是名义利率，且 计息频率与还款频率相同。
利息理论第一章-1
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
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0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
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解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
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1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
利息理论与应用
❖ 在凯恩斯之前，一些经济学家的利率决定理论，例如：西 尼耳的节欲论；马歇尔的利息忍耐法；庞巴维克的时差利 息说；费雪的时间偏好说等，都认为是非货币因素在利率 确定上起决定作用的货币因素对利率的影响只是短暂的。
❖ 所谓边际生产力，是指在其它条件不变的情况下，最后追 加一单位某种生产要素所增加的产量，克拉克（美国经济 学家1847-1938年）首先提出了边际生产力这一概念，并 以此说明工资、利息和地租的决定。他认为工资是由劳动 的边际生产力决定，利息是由资本的边际生产力决定，地 租是由土地的边际生产力决定，其理由是在完全竞争的静 态环境里存在着按资本和劳动各自对生产的实际贡献，也 就是按各自的边际生产力来决定其收入分配的。 从边际生产力这一概念出发，利息显然取决于资本的边际 生产力，假定其它生产条件不变，只是继续追加资本，那 么每一资本单位的产量也要递减，而最后追加一个单位资 本的产量（产值）称为资本的边际产量（产值），即资本 的边际生产力。正是资本的这种边际生产力，即最后追加 的一单位资本的产量（产值）决定了利息的多少。
❖ 荷兰经济学家克称利息研究的先驱者。他从1638年 起，在很短的时间里，连续发表了不少著作。如：《论利 息》（1638年）、《论利息的形态》（1639年）、《论 钱庄利息》（1640年）等。萨尔马西斯的利息研究具有开 创性意义，并为以后的利息研究奠定了基础。
利息理论
◇第一章 利息的度量 ◇第二章 利息问题的计算 ◇第三章 基本年金 ◇第四章 一般年金 ◇第五章 收益率 ◇第六章 债务偿还
引言
要点
❖利息理论的起源 ❖西方利率理论
❖ 早在三、四千年以前的原始社会末期，利息就存在了。利 息存在的基础是商品、货币及信用关系。利息的最早形式 是高利贷利息。
§1 利息的度量
❖ 所谓边际生产力，是指在其它条件不变的情况下，最后追 加一单位某种生产要素所增加的产量，克拉克（美国经济 学家1847-1938年）首先提出了边际生产力这一概念，并 以此说明工资、利息和地租的决定。他认为工资是由劳动 的边际生产力决定，利息是由资本的边际生产力决定，地 租是由土地的边际生产力决定，其理由是在完全竞争的静 态环境里存在着按资本和劳动各自对生产的实际贡献，也 就是按各自的边际生产力来决定其收入分配的。 从边际生产力这一概念出发，利息显然取决于资本的边际 生产力，假定其它生产条件不变，只是继续追加资本，那 么每一资本单位的产量也要递减，而最后追加一个单位资 本的产量（产值）称为资本的边际产量（产值），即资本 的边际生产力。正是资本的这种边际生产力，即最后追加 的一单位资本的产量（产值）决定了利息的多少。
❖ 荷兰经济学家克称利息研究的先驱者。他从1638年 起，在很短的时间里，连续发表了不少著作。如：《论利 息》（1638年）、《论利息的形态》（1639年）、《论 钱庄利息》（1640年）等。萨尔马西斯的利息研究具有开 创性意义，并为以后的利息研究奠定了基础。
利息理论
◇第一章 利息的度量 ◇第二章 利息问题的计算 ◇第三章 基本年金 ◇第四章 一般年金 ◇第五章 收益率 ◇第六章 债务偿还
引言
要点
❖利息理论的起源 ❖西方利率理论
❖ 早在三、四千年以前的原始社会末期，利息就存在了。利 息存在的基础是商品、货币及信用关系。利息的最早形式 是高利贷利息。
§1 利息的度量
2 利息理论
反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的 价值1000元，其中减少的100元是贴现额。
利息率=利息100元与本金1000元之比=10%
贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%
18
利率和贴现率的关系
a(1) 1 (1 i) 1 i d i a(1) 1 i 1 i
0.05884
4
0.05870
6
0.05855
12
0.05841
∞
0.05827
i
(m)
0.06000
26
名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。
以 d ( m ) 表示，m表示结算次数，
1 d [1
d
(m)
m
(m)
]
m
d m d 1 [1 ] m
27
名义贴现率和利率、名义利率的关系
五、利息力
利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。
(m) i 对于名义利率 ，当结算次数m趋于无穷大时便可 以表示确切时点上的利率水平。
定义利息力δ为，
lim i
m
( m)
d (1+i ) x |x 0 (1+i) ln(1 i) |x0 ln(1 i) dx 1 e . 故， e 1 i，
i(m) m 12% 12 i (1 ) 1 (1 ) 1 12.68% m 12
30
(2)实际贴现率为
d (m) m 10% 4 d 1 (1 ) 1 (1 ) 9.63% m 4
(3)由(1 i)1 1 d , 有
i(m) m d (n) n (1 ) (1 ) m n 12% 12 d (2) 2 (1 ) (1 ) 12 2
第九章利息理论的实际应用
每月还款增加额为： 每月还款增加额为： 568.82-476.95=91.87元 568.82-476.95=91.87元
11
APR的近似计算法 第三节 APR的近似计算法
计算方法的假设条件， 计算方法的假设条件，分期偿还分为本金和利息 两部分， 两部分，每年偿还 m次，在一年的每一偿还周期中借 款本金均以i/m的利率产生利息， i/m的利率产生利息 表示t/m t/m时点 款本金均以i/m的利率产生利息，以Bt/m表示t/m时点 的未偿贷款余额， 的未偿贷款余额，则有
∑B
t =0
n −1
t/m
L+ K n−1 [1 + 2 + ⋯ ( n − 1)] = nL − ( L + K ) = nL − n 2
再由式（ 再由式（9.3.1）可得 ）
i
max
2mK = L( n + 1) − K ( n − 1)
13
二、最小收益率法 i min 该法分期偿还额完全先用于支付利息， 该法分期偿还额完全先用于支付利息，再支付 贷款本金。假设财务费用小于分期偿还额， 贷款本金。假设财务费用小于分期偿还额，以便第 一次还款额足以支付全部利息。书表10.3.2P177 10.3.2P177。 一次还款额足以支付全部利息。书表10.3.2P177。 则各期未偿贷款余额总和为： 则各期未偿贷款余额总和为：
12
一、最大收益率法 此方法中分期偿还额先完全用于本金支付， 此方法中分期偿还额先完全用于本金支付，最后一 期部分用于支付利息。APR表示为 期部分用于支付利息。APR表示为 i max 我们假设财务费用小于分期偿还额， 我们假设财务费用小于分期偿还额，这一假设使得 每次分期偿还额都用于偿还本金， 每次分期偿还额都用于偿还本金，且只有最后一次 用于支付利息。见书表10.3.1P176的分期偿还表。 用于支付利息。见书表 的分期偿还表。 的分期偿还表 则各期未偿贷款余额总和为： 则各期未偿贷款余额总和为：
11
APR的近似计算法 第三节 APR的近似计算法
计算方法的假设条件， 计算方法的假设条件，分期偿还分为本金和利息 两部分， 两部分，每年偿还 m次，在一年的每一偿还周期中借 款本金均以i/m的利率产生利息， i/m的利率产生利息 表示t/m t/m时点 款本金均以i/m的利率产生利息，以Bt/m表示t/m时点 的未偿贷款余额， 的未偿贷款余额，则有
∑B
t =0
n −1
t/m
L+ K n−1 [1 + 2 + ⋯ ( n − 1)] = nL − ( L + K ) = nL − n 2
再由式（ 再由式（9.3.1）可得 ）
i
max
2mK = L( n + 1) − K ( n − 1)
13
二、最小收益率法 i min 该法分期偿还额完全先用于支付利息， 该法分期偿还额完全先用于支付利息，再支付 贷款本金。假设财务费用小于分期偿还额， 贷款本金。假设财务费用小于分期偿还额，以便第 一次还款额足以支付全部利息。书表10.3.2P177 10.3.2P177。 一次还款额足以支付全部利息。书表10.3.2P177。 则各期未偿贷款余额总和为： 则各期未偿贷款余额总和为：
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一、最大收益率法 此方法中分期偿还额先完全用于本金支付， 此方法中分期偿还额先完全用于本金支付，最后一 期部分用于支付利息。APR表示为 期部分用于支付利息。APR表示为 i max 我们假设财务费用小于分期偿还额， 我们假设财务费用小于分期偿还额，这一假设使得 每次分期偿还额都用于偿还本金， 每次分期偿还额都用于偿还本金，且只有最后一次 用于支付利息。见书表10.3.1P176的分期偿还表。 用于支付利息。见书表 的分期偿还表。 的分期偿还表 则各期未偿贷款余额总和为： 则各期未偿贷款余额总和为：
第六章 利息理论的应用与分析
表(6-2) 最小收益法下的分期偿还表 时期 0 1/m 2/m ┋ (n-1)/m n/m 总计 分期付款额 (L+K)/n (L+K)/n ┋ (L+K)/n (L+K)/n L+K 支付利息 K 0 ┋ 0 0 K 偿还本金 (L+K)/n-K (L+K)/n ┋ (L+K)/n (L+K)/n L 未偿还贷款余额 n(L+K)/n-K=L (n-1) (L+K)/n (n-2) (L+K)/n ┋ (L+K)/n 0
表(6-3) 常率方法下的分期偿还表 时期 分期付款额 支付利息 偿还本金 未偿还贷款余额 0 nL/n=L 1/m (L+K)/n K/n L/n (n-1)L/n 2/m (L+K)/n K/n L/n (n-2)L/n ┋ ┋ ┋ ┋ ┋ (n-1)/m (L+K)/n K/n L/n L/n n/m (L+K)/n K/n L/n 0 总计 L+K K L
第六章
其他的应用和分析
6-1 APR的近似方法 的近似方法
考虑分期付款中本金和利息的划分，所有 这四种近似方法都是通过利用某一种简单 的、理想的划分来代替真实的划分，从而 得到计算APR的简单、容易理解和操作的 不同的近似方法。它们之间的不同点只在 于用来代替真实划分的划分不同而已。
假设每年等额偿还 m 次，于是 1/m 年的实质利率为 i/m， 其中 i 为 APR。从而每 1/m 年末将产生 i/m 倍该 1/m 年 初未偿还本金的利息，因此，若以 Bt/m 表示 t/m 时的贷 款余额，则有
例 6-2
通过求解方程 a30 i =15.37245 的初值。
利息理论的应用与金融分析PPT文档共56页
要求：1）按实际利率；2）商业规则；3）联邦规则 解：1）应偿还贷款额=
1 0 1 0 0 .1 2 0 （ 0 1 0 .0 1 ） 1 9 2 3 0 1 0 .1 0 1 4 2 5.5 元 75
2）应偿还贷款额=
1 0 1 0 .1 0 2 0 1 0 0 .1 9 3 0 1 0 0 .1 4 5.0 7 元 5
利息理论的应用与金融分析
第六章 利息理论的应用 与金融分析
6.1利息理论的应用
6.1.1诚实信贷 要求汽车销售商： 1.必须向消费者解释清楚各家银行提供消费信贷
的条款 2.强调所收取的费用和年利率两项指标必须公开 3.披露所有金融收费 4.规定消费者有三天撤销贷款的权利
6.1利息理论的应用
即资金筹措费K必须等于在一年中的每个1/m在未偿
还贷款余额上得到的利息之和。
6.1利息理论的应用
6.1.3 APR的近似计算法 1）最大收益法：APR=imax，假设还款额优先偿还
本金，直到本金还完后，再偿还利息，并且K小 于分期偿还额，每期的偿还额都用于支付本金， 最后一次偿还额的一部分偿还本金，一部分偿还 利息。
6.1利息理论的应用
6.1.3 APR的近似计算法
1）最大收益法：APR=imax，分期偿还表；
时期 分期偿还额 支付利息 偿还本金 贷款余额
0
L
1/m (L+K)/n
0
(L+K)/n L-(L+K)/n
2 L-2(L+K)/n
……
……
……
(n-1)/m (L+K)/n
解： R 90 , L 1000 , n 12
R L K 1000 K 90
n
1 0 1 0 0 .1 2 0 （ 0 1 0 .0 1 ） 1 9 2 3 0 1 0 .1 0 1 4 2 5.5 元 75
2）应偿还贷款额=
1 0 1 0 .1 0 2 0 1 0 0 .1 9 3 0 1 0 0 .1 4 5.0 7 元 5
利息理论的应用与金融分析
第六章 利息理论的应用 与金融分析
6.1利息理论的应用
6.1.1诚实信贷 要求汽车销售商： 1.必须向消费者解释清楚各家银行提供消费信贷
的条款 2.强调所收取的费用和年利率两项指标必须公开 3.披露所有金融收费 4.规定消费者有三天撤销贷款的权利
6.1利息理论的应用
即资金筹措费K必须等于在一年中的每个1/m在未偿
还贷款余额上得到的利息之和。
6.1利息理论的应用
6.1.3 APR的近似计算法 1）最大收益法：APR=imax，假设还款额优先偿还
本金，直到本金还完后，再偿还利息，并且K小 于分期偿还额，每期的偿还额都用于支付本金， 最后一次偿还额的一部分偿还本金，一部分偿还 利息。
6.1利息理论的应用
6.1.3 APR的近似计算法
1）最大收益法：APR=imax，分期偿还表；
时期 分期偿还额 支付利息 偿还本金 贷款余额
0
L
1/m (L+K)/n
0
(L+K)/n L-(L+K)/n
2 L-2(L+K)/n
……
……
……
(n-1)/m (L+K)/n
解： R 90 , L 1000 , n 12
R L K 1000 K 90
n
利息理论及其应用(pdf112)
利息理论及其应用
2004 年 2 月 6 月
主讲 黄 海
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 1
第一章 利息基本计算
1.1 利息基本函数
v 利息是借贷关系中借款人(borrower)为取得资金使 用权而支付给贷款人(lender)的报酬
v 从投资的角度看 利息是一定量的资本经过一段时 间的投资后产生的价值增值
ｉ＝ ２．５０％
ａ（ｔ）＝（１＋ｉ）＾ｔ １．０００ １．０２５ １．０５０ １．０７５ １．１００ １．１２５ １．１５０ １．１７５ １．２００ １．２２５ １．２５０ １．２７５ １．３００ １．３２５ １．３５０ １．３７５ １．４００ １．４２５ １．４５０ １．４７５ １．５００
利息理论与应用
例 在银行开立储蓄帐户 把平时积累下来的多余钱 存入银行 可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益— — 利息
例 购买国库券
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 2
累积函数(accumulation function)
本金(principal) 初始投资的资本金额
累积值(accumulated value) 的总金额
过一定时期后收到
利息(interest) 累积值与本金之间的金额差值
假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金 则在时 刻 t 的累积值记为 a(t) 称为累积函数
注 时间 t 为从投资之日算起的时间 可以用不同的 单位来度量
1 单位的本金
累积值 a(t)
0
北京大学金融数学系
t
利息理论与应用
时间 t
v 离散型
v 连续型
注C 一般的
利息是跳跃产生的 利息是连续产生的 利息被认为是连续产生的
2004 年 2 月 6 月
主讲 黄 海
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 1
第一章 利息基本计算
1.1 利息基本函数
v 利息是借贷关系中借款人(borrower)为取得资金使 用权而支付给贷款人(lender)的报酬
v 从投资的角度看 利息是一定量的资本经过一段时 间的投资后产生的价值增值
ｉ＝ ２．５０％
ａ（ｔ）＝（１＋ｉ）＾ｔ １．０００ １．０２５ １．０５０ １．０７５ １．１００ １．１２５ １．１５０ １．１７５ １．２００ １．２２５ １．２５０ １．２７５ １．３００ １．３２５ １．３５０ １．３７５ １．４００ １．４２５ １．４５０ １．４７５ １．５００
利息理论与应用
例 在银行开立储蓄帐户 把平时积累下来的多余钱 存入银行 可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益— — 利息
例 购买国库券
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 2
累积函数(accumulation function)
本金(principal) 初始投资的资本金额
累积值(accumulated value) 的总金额
过一定时期后收到
利息(interest) 累积值与本金之间的金额差值
假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金 则在时 刻 t 的累积值记为 a(t) 称为累积函数
注 时间 t 为从投资之日算起的时间 可以用不同的 单位来度量
1 单位的本金
累积值 a(t)
0
北京大学金融数学系
t
利息理论与应用
时间 t
v 离散型
v 连续型
注C 一般的
利息是跳跃产生的 利息是连续产生的 利息被认为是连续产生的
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
第三章 利息理论的应用
B5.5 = B ⋅ (1 + 0.08 ) = 89654.39
P 5
1 2
• 3.2.2 偿债基金 偿债基金是另一种偿还债务的方式。借款人在每还款期将贷款在该期内 产生的利息支付给贷款人，同时专门建立一个基金存入一笔款，这些款项积 累至贷款期末正好等于贷款本金，这个基金就是偿债基金。 这中还款方式的贷款本金在任一时刻保持不变，故在任一时刻的贷款余 额为贷款本金减去偿债基金积累到该时刻的金额。 若贷款额为1，年利率为 i，贷款期限为n，按偿债基金法偿还贷款，则 每期支付利息为i，假设每期存入偿债基金的数额为 D，偿债基金存款利率也 为 i ，则有
L = D ⋅ sn j
则有
D=
L 1 1 = Li + P = Li + D = Li + = Li + − j sn j sn j an j 1 = L + ( i − j ) = an j L an j
L sn j
73500 = 74100 (1 + i ) i = 0.816%
−1
+∞
( x ≥ 0)
E( X ) = ∫
0
xf ( x)dx
2
Var ( X ) = E ( X ) − [ E ( X ) ]
X
2
现实中投资所获得的收益不一定能按本金与原投资的收益率再次投 资，这就涉及再投资收益率的问题。 例题 某张债券有如下规定： （1）投资者在5年内每年末收到10000元的付款。 （2）这些付款可得到年实际利率为4%的利息，利息可以以3%的利率进行 再投资。 求该投资这要达到4%的投资收益率的目标，该债券的购买价格是多少？ 解： 10000 10000 10000 10000 10000 400 该投资者收回投资的终值为 800 1200 1600
《利息理论概述及其应用3300字》
利息理论概述及其应用1 利息理论总结1.1 新凯恩斯主义的信贷配给理论新凯恩斯主义认为，信贷配给的大量存在是金融市场的突出特征，而利率的“逆向选择效应”和“风险承担刺激效应”的存在是产生信贷配给的根本原因。
信贷配给理论要求重新认识利率机制和信贷配给机制，该理论认为，在金融市场上，利率并不能迅速调整以使市场出清，与利率机制相比，信贷配给机制更为重要些。
关于利率的决定，新凯恩斯主义认为，投资者面临的利率变动并不能简单的由资金或货币的供求来解释，“借主偿付的实际利率的主要决定因素是投资的风险项目和安全项目的概率”，即他们之间的相对风险及其变化。
关于货币政策，新凯恩斯主义认为，即使利率在“流动性陷阱”中不变，货币政策仍可通过对信贷量的影响作用于经济。
政府干预能提高信贷市场资金配置效率，降低市场风险，稳定金融。
并指出政府干预信贷的必要条件是借款人的还款概率不可观察且借款人之间的还款概率存在差异。
还款概率差异越大，政府干预市场的效果越明显。
1.2 利率结构理论预期理论是最早用来解释长短期利率关系的，该理论认为，金融市场上实际存在的利率取决于贷款的期限结构。
任何长期证券的利率都同短期证券的预期利率有关，长期利率是该期间内预期短期利率的几何加权平均数，因此，预期理论对期限不同的利率存在差异的解释是因为人们对短期利率有着不同的预期。
市场分割理论认为，债券市场可以分割为不同期限的互不相关的市场，这些市场的利率由各自的供求所决定，彼此之间并无影响。
因此，不能简单地把长期利率看成是预期的短期利率的函数，长期利率的高低应该决定于长期债券市场各自资金的供求状况。
流动性偏好利率结构理论将预期理论和市场分割理论进行了综合，认为普遍避免风险的现象和对未来利率变动的预期都会影响利率结构。
由于经济活动存在风险，对未来短期利率是不能完全预期的，因此长期债券比短期债券的利率风险要大。
投资者为了减少风险，偏好于流动性较强的短期债券，而对于流动性相对较差的长期债券，投资者则要求给予风险补偿。
利息理论的实际应用(商业银行证券投资及金融衍生品交易)
利息理论在生产经营中的应用实例一、商业银行证券投资业务随着银行业的竞争越来越激烈，银行贷款业务的利润越来越少，银行迫切需要需找新的资产业务。
证券投资为银行提供了另一获利来源，同时也是银行保持资产流动性的重要手段。
一般来说，广义的证券投资业务主要包括证券发行前期的咨询及有关文件的制作、证券承销与包销、代理证券的本金兑付及分红派息、代理买卖证券、自营买卖证券、证券投资咨询、证券登记、证券保管等。
有些国家的商业银行可以经营全方位的证券业务，而有些国家的商业银行只能经营部分经批准的证券业务。
即使是实行综合性商业银行制度的国家，其实证券业务也并非无所不能。
狭义的证券投资业务即银行把资金投放于各种长短期不同的证券、以实现字长的收益并保持相应的流动性。
与传统的贷款业务相比，证券投资业务的优缺如下：贷款优点：（1）长期贷款一般不能流通转让。
（2）贷款是由借款人主动向银行提出申请，在这一过程中，银行处于被动地位。
（3）发放贷款时，银行往往要求借款人提供担保或抵押。
贷款缺点：（1）收益一般高于证券。
（2）是吸收存款的重要手段。
证券投资优点：（1）优点可在证券市场上自由转让和买卖，具有较高的流动性。
（2）证券投资是银行的一种主动行为。
（3）证券投资作为一种市场行为，有法律和规定程序的保障，不存在抵押或担保问题。
证券投资缺点：（1）要确保法定准备金和银行流动性需要。
（2）要满足属于银行市场份额的贷款需求。
商业银行使用证券投资业务实现以下几个方面的功能：1、获取收益 2、分散风险 3、保持流动性 4、合理避税商业银行在选择证券的投资对象时，主要集中在：政府证券（包括中央政府债券、政府机构债券、地方政府债券）、金融债券、公司债券、股票、商业票据。
以下我们应用利息理论的有关知识来分析银行证券投资的收益和风险：◆证券的收益证券投资的收益由两部分组成，一部分是利息类收益，包括债券利息、股票红利等。
另一部分是资本利得收益，即证券的市场价格发生变动所带来的收益。
2021年利息理论及其应用教案01-pptx
第一节 利率的含义
一、利率的概念:使用资金的价格.
二、收益率的概率:是指使得各种信用工具在未来收入 的现值与其今天的价值相等时的利率.
三、四种常见的信用工具
1 、简易贷款
(1)简易贷款是指贷款人向借款人按双方约定的利率提 供一笔一定期限的资金(本金),贷款到期时,借款人向贷 款人一次性偿还本金和利息.
(2)该假设认为长期利率是短期利率与流动性补偿之和.
该假设认为收益率曲线是向上倾斜.
3、市场分割假设
(1)该假设认为:期限不同的证券市场的完全分离,每一证券的利率水 平在各自的市场上,由对该证券的供给和需求所决定,不受其他期限 证券预期收益率变化的影响.
图2:可贷资金的供求曲线与均衡利率
(3)影响债券需求曲线的因素主要有经济周期、价格风险、流动性和 预期利率.
➢ 经济周期.
➢ 价格风险.
➢ 流动性.
➢ 预期利率. (4)影响债券
◆ 经济周期.
◆ 预期通货膨胀率.
◆ 政府活动规模
(5)影响债券供求因素对均衡利率的影响(以预期通货膨胀为例) i
(2)例如:一张面值为1000元的附息债券,期限为5年,息票率 为6%.在5年内,发行人每年必须向债券持有人支付60元的 利息;在第5年,除了支付60元的利息外,同时要偿付1000元 的债券面值.如果该债券以950元的价格出售,则其到期收 益率可以根据下述方程求得:
5 60 + 1000 = 950
Bs1 Bs2
i1
F
i0
E
Bd2 Bd1
O
Q0 Q1
Q
图3:预期通货膨胀与均衡利率
✓ 预期通货膨胀率上升均衡利率将上升.
✓ 预期通货膨胀率上升对债券均衡数量的影响视不同的情况而 定.(取决于供求曲线的相对位移)
利息理论及其应用(pdf112)
第1章 — 3
累积函数 a(t) 是关于时间的函数 满足
1) a(0) = 1
2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 < t2 时 有 a(t1) < a(t2)
如果在 t = 0 1 2 … 等时刻观察累积函数 a(t)得 到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻 0 1 2 … 之间 累积函数 a(t)的取值是如何变化的
为了表示单位货币价值的相对变化幅度 度量利息
的常用方法是计算所谓的 利率
定义为
利率等于一定的货币量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息 与期初货 币量的比值
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 10
v 利率的计算公式 利率 = 利息 / 期初本金
v 若利率已知 则可反求利息 利息 =利率 期初本金
单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时
期的长短有关系 而与该时期的具体位置无关
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 16
单利是由满足如下条件的连续函数 a(t)所相应的累积
函数所给出的 a(s + t) − a(s) = a(t) −1, t ≥ 0,s ≥ 0
或等价的 a(s + t) = a(s) + a(t) −1, t ≥ 0, s ≥ 0
问题的提出 单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息并没
有在后面的时期用来再获取额外的利息 如果所获利 息可继续投资情形如何
如在上面的例子中 投资者每年都获得了$160 的利 息 但投资者在第一年末的时候实际上有$2160 可以 用来投资 如果按照$2160 来计算 投资者在第二年 末的时候则可以获得利息为 2160 8% = $172.8 比只 按照$2000 投资要多获得利息$12.8
累积函数 a(t) 是关于时间的函数 满足
1) a(0) = 1
2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 < t2 时 有 a(t1) < a(t2)
如果在 t = 0 1 2 … 等时刻观察累积函数 a(t)得 到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻 0 1 2 … 之间 累积函数 a(t)的取值是如何变化的
为了表示单位货币价值的相对变化幅度 度量利息
的常用方法是计算所谓的 利率
定义为
利率等于一定的货币量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息 与期初货 币量的比值
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 10
v 利率的计算公式 利率 = 利息 / 期初本金
v 若利率已知 则可反求利息 利息 =利率 期初本金
单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时
期的长短有关系 而与该时期的具体位置无关
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 16
单利是由满足如下条件的连续函数 a(t)所相应的累积
函数所给出的 a(s + t) − a(s) = a(t) −1, t ≥ 0,s ≥ 0
或等价的 a(s + t) = a(s) + a(t) −1, t ≥ 0, s ≥ 0
问题的提出 单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息并没
有在后面的时期用来再获取额外的利息 如果所获利 息可继续投资情形如何
如在上面的例子中 投资者每年都获得了$160 的利 息 但投资者在第一年末的时候实际上有$2160 可以 用来投资 如果按照$2160 来计算 投资者在第二年 末的时候则可以获得利息为 2160 8% = $172.8 比只 按照$2000 投资要多获得利息$12.8
利息理论 ppt课件
例1.7 已知现在投入1000元，第3年底投入2000元， 第10年底全部收入为5000元，计算半年换算名利率
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%， 计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转 换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%， 计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转 换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有
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t
0
第1章 — 8
利息理论与应用
利息
interest
将从投资之日算起的第 n 个时期内所获得的利息金 额记为 In 则有 I n = A( n) A( n 1) 对于整数 n 1 注 C 利息金额 In 看作是在整个时期内所产生的 最后时刻实现的 支付的 得到的 在
注 C 更一般的 记总量函数 A(t)在时间段 [t1,t2]内所 获得的利息金额为 I t1 ,t2 则有 I t1 ,t2 = A(t2 ) A(t1 ) > 0 其中 t2 > t1
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可以用不同的
累积值 a(t) t
利息理论与应用
时间 t
第1章 — 3
累积函数 a(t) 是关于时间的函数
满足
1) a(0) = 1
2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 < t2 时 有 a(t1) < a(t2) 如果在 t = 0 1 2 … 等时刻观察累积函数 a(t)得 到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻 0 1 2 … 之间 累积函数 a(t)的取值是如何变化的 v 离散型
每年所获得的利息金额都是 $160
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利息理论与应用
第1章 — 18
复利
compound interest
问题的提出 单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息并没 有在后面的时期用来再获取额外的利息 如果所获利 息可继续投资情形如何 如在上面的例子中 投资者每年都获得了 $160 的利 息 但投资者在第一年末的时候实际上有 $2160 可以 用来投资 如果按照 $2160 来计算 投资者在第二年 末的时候则可以获得利息为 2160 8% = $172.8 比只 按照 $2000 投资要多获得利息 $12.8 后面的各期也可以采取这种方法去投资 最终获得 的利息总额应为 2000 [1+ 8%]4 - 2000= $720.98 比 原先多获得利息 $80.98
利息理论及其应用
2004 年 2 月 6月
主讲
黄 海
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利息理论与应用
第1章 — 1
第一章
利息基本计算 1.1 利息基本函数
v 利息是借贷关系中借款人 (borrower)为取得资金使 用权而支付给贷款人 (lender)的报酬 v 从投资的角度看 利息是一定量的资本经过一段时 间的投资后产生的价值增值 例 在银行开立储蓄帐户 把平时积累下来的多余钱 存入银行 可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益 — — 利息 例 购买国库券
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利息理论与应用
第1章 — 13
单利
simple interest 通常用到的两种计息方式分别
在实际金融活动中 为单利和复利
假设在期初投资 1 个单位的本金 在每一个时期中 都得到完全相同的利息金额 即利息为常数 即 由此可知 a(0) = 1 a(1) = 1+ i a(2)= 1+ 2i 等等 a(t) = 1+ i t 对整数 t 0 i 被称为是
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 5
i= 2.50% 时刻t a(t)=1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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i= 2.50% a(t)=(1+i)^t 1.000 1.025 1.050 1.075 1.100 1.125 1.150 1.175 1.200 1.225 1.250 1.275 1.300 1.325 1.350 1.375 1.400 1.425 1.450 1.475 1.500
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 16
单利是由满足如下条件的连续函数 a (t )所相应的累积 函数所给出的 a (s + t ) a ( s ) = a (t ) 1, t ≥ 0, s ≥ 0 或等价的 a ( s + t ) = a ( s) + a (t ) 1, t ≥ 0, s ≥ 0 注 C 上式意味着经过时间 t + s 所产生的利息等于经过 时间 t 产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和 从上述性质可以推出函数 a (t )满足 a (0) = 1 a (t ) = 1 + (a (1) 1)t
t ln(1+ i )
注 C 上面对于整数时间 t 给出的相应复利的累积函数 的表达式适用于一般的时间 t > 0 复利的直观表述 相同长短的不同时期的实利率相等
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 21
复利是由满足如下条件的
非零
连续函数 a (t )所
相应的累积函数所给出的 a (s + t ) = a ( s ) × a (t ), t ≥ 0, s ≥ 0 注 C 从上述性质可以推出函数 a (t )满足 a (0) = 1 及 a (t ) = a (1) t 注C 可以推出表达式 a (s + t ) a ( s ) a (t ) a (0) = , t ≥ 0, s ≥ 0 a(s) a (0)
利息理论与应用
a(t)=1+it 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1.000 1.025 1.051 1.077 1.104 1.131 1.160 1.189 1.218 1.249 1.280 1.312 1.345 1.379 1.413 1.448 1.485 1.522 1.560 1.599 1.639
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章入被再次记入下一期的本金 利滚利
注 C 即通常所说的
例 假定期初投资的本金不再增加或减少 并且在每 一个时期中实利率都是相同的 考察相应的复利的累 积函数 解 假设在一个计息期中的实利率为 i 则在第一时期 末累积值为 1+i 接下来用这 1+i 金额作投资 将达到 (1+i)+ i(1+i)=(1+i)2 此过程可以一直继续下去
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月
第1章 — 11
[t1 , t2 ]上的实利率 = [t1 , t2 ]内总量函数 A(t ) 的变化量与期初货币量的比 值 记为 it1 ,t 2 it1 ,t2 即 A(t2 ) A(t1 ) It1 ,t2 = = A(t1 ) A(t1 ) 当 t1 = n 1, t2 = t1 + 1时 记 in 表示第 n 个时
利息是跳跃产生的 利息是连续产生的 利息被认为是连续产生的
利息理论与应用 第1章 — 4
v 连续型
注C 一般的
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例
考虑以下 3 类特殊的累积函数 a(t)
1 常数 (系列 1) a(t) = 1 2 线性 (系列 2) a(t) = 1 + 2.5% t 3 指数 (系列 3) t a(t) = (1 + 2.5%) 注 C 检查上面定义的 a(t)满足累积函数的要求 注 C 学习使用 Excel 进行金融计算
思考 为什么在每一个时期中所获的利息金额相等 可实利率却越来越小呢
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利息理论与应用
第1章 — 15
注C 当计算实利率 in 时 是把第 n 期开始时的资本总 额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额 之比 随着资本总额的不断增加 常数的利息必将导致单 调递减的实利率 注C 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察 但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区 间上按比例产生的 从而上面给出的关于整数 t 的单 利的生成方式可以认为是对于所有的 t 0 都成立 的利息产生方式 单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时 期的长短有关系 而与该时期的具体位置无关
利息理论与应用 第1章 — 2
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累积函数 (accumulation function) 本金 (principal) 初始投资的资本金额 过一定时期后收到 累积值 (accumulated value) 的总金额 利息 (interest)
累积值与本金之间的金额差值 则在时
假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金 刻 t 的累积值记为 a(t) 称为累积函数 注 时间 t 为从投资之日算起的时间 单位来度量 1 单位的本金 0
特别地
段的实利率 即 A ( n ) A ( n 1) In in = = A ( n 1) A ( n 1)
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n
1
第1章 — 12
结论 1.1 由利率地定义 有 a ( n) a (n 1) in = a ( n 1) 证明 从而有 A(n ) A(n 1) a (n ) a( n 1) in = = A(n 1) a ( n 1) 注 : 利率计算的根本是累积函数的计算 设初始投资为 A 0 A(n) = A 0 a ( n) 则
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0
利息理论与应用 第1章 — 9
利率 (interest rate) 思考 假设两个储户 分别在银行存入了 1 万元 1 千元的一年期定期储蓄 如果到期后银行都付给他们 同样的利息金额 20 元 你认为合理吗 注 C 假设所有的在期初投资的 1 个单位的本金都具有 着同样的产生利息的能力 则上述现象不合理 为了表示单位货币价值的相对变化幅度 度量利息 的常用方法是计算所谓的 利率 定义为 利率等于一定的货币量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息 与期初货 币量的比值
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 10
v 利率的计算公式 利率 = 利息 / 期初本金 v 若利率已知 则可反求利息 利息 =利率 期初本金 注 C 利率通常以百分数来表示 利率 = 利息 / 期初本金 即
t
0
第1章 — 8
利息理论与应用
利息
interest
将从投资之日算起的第 n 个时期内所获得的利息金 额记为 In 则有 I n = A( n) A( n 1) 对于整数 n 1 注 C 利息金额 In 看作是在整个时期内所产生的 最后时刻实现的 支付的 得到的 在
注 C 更一般的 记总量函数 A(t)在时间段 [t1,t2]内所 获得的利息金额为 I t1 ,t2 则有 I t1 ,t2 = A(t2 ) A(t1 ) > 0 其中 t2 > t1
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可以用不同的
累积值 a(t) t
利息理论与应用
时间 t
第1章 — 3
累积函数 a(t) 是关于时间的函数
满足
1) a(0) = 1
2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 < t2 时 有 a(t1) < a(t2) 如果在 t = 0 1 2 … 等时刻观察累积函数 a(t)得 到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻 0 1 2 … 之间 累积函数 a(t)的取值是如何变化的 v 离散型
每年所获得的利息金额都是 $160
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第1章 — 18
复利
compound interest
问题的提出 单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息并没 有在后面的时期用来再获取额外的利息 如果所获利 息可继续投资情形如何 如在上面的例子中 投资者每年都获得了 $160 的利 息 但投资者在第一年末的时候实际上有 $2160 可以 用来投资 如果按照 $2160 来计算 投资者在第二年 末的时候则可以获得利息为 2160 8% = $172.8 比只 按照 $2000 投资要多获得利息 $12.8 后面的各期也可以采取这种方法去投资 最终获得 的利息总额应为 2000 [1+ 8%]4 - 2000= $720.98 比 原先多获得利息 $80.98
利息理论及其应用
2004 年 2 月 6月
主讲
黄 海
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利息理论与应用
第1章 — 1
第一章
利息基本计算 1.1 利息基本函数
v 利息是借贷关系中借款人 (borrower)为取得资金使 用权而支付给贷款人 (lender)的报酬 v 从投资的角度看 利息是一定量的资本经过一段时 间的投资后产生的价值增值 例 在银行开立储蓄帐户 把平时积累下来的多余钱 存入银行 可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益 — — 利息 例 购买国库券
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第1章 — 13
单利
simple interest 通常用到的两种计息方式分别
在实际金融活动中 为单利和复利
假设在期初投资 1 个单位的本金 在每一个时期中 都得到完全相同的利息金额 即利息为常数 即 由此可知 a(0) = 1 a(1) = 1+ i a(2)= 1+ 2i 等等 a(t) = 1+ i t 对整数 t 0 i 被称为是
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 5
i= 2.50% 时刻t a(t)=1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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i= 2.50% a(t)=(1+i)^t 1.000 1.025 1.050 1.075 1.100 1.125 1.150 1.175 1.200 1.225 1.250 1.275 1.300 1.325 1.350 1.375 1.400 1.425 1.450 1.475 1.500
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单利是由满足如下条件的连续函数 a (t )所相应的累积 函数所给出的 a (s + t ) a ( s ) = a (t ) 1, t ≥ 0, s ≥ 0 或等价的 a ( s + t ) = a ( s) + a (t ) 1, t ≥ 0, s ≥ 0 注 C 上式意味着经过时间 t + s 所产生的利息等于经过 时间 t 产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和 从上述性质可以推出函数 a (t )满足 a (0) = 1 a (t ) = 1 + (a (1) 1)t
t ln(1+ i )
注 C 上面对于整数时间 t 给出的相应复利的累积函数 的表达式适用于一般的时间 t > 0 复利的直观表述 相同长短的不同时期的实利率相等
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复利是由满足如下条件的
非零
连续函数 a (t )所
相应的累积函数所给出的 a (s + t ) = a ( s ) × a (t ), t ≥ 0, s ≥ 0 注 C 从上述性质可以推出函数 a (t )满足 a (0) = 1 及 a (t ) = a (1) t 注C 可以推出表达式 a (s + t ) a ( s ) a (t ) a (0) = , t ≥ 0, s ≥ 0 a(s) a (0)
利息理论与应用
a(t)=1+it 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1.000 1.025 1.051 1.077 1.104 1.131 1.160 1.189 1.218 1.249 1.280 1.312 1.345 1.379 1.413 1.448 1.485 1.522 1.560 1.599 1.639
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注 C 即通常所说的
例 假定期初投资的本金不再增加或减少 并且在每 一个时期中实利率都是相同的 考察相应的复利的累 积函数 解 假设在一个计息期中的实利率为 i 则在第一时期 末累积值为 1+i 接下来用这 1+i 金额作投资 将达到 (1+i)+ i(1+i)=(1+i)2 此过程可以一直继续下去
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[t1 , t2 ]上的实利率 = [t1 , t2 ]内总量函数 A(t ) 的变化量与期初货币量的比 值 记为 it1 ,t 2 it1 ,t2 即 A(t2 ) A(t1 ) It1 ,t2 = = A(t1 ) A(t1 ) 当 t1 = n 1, t2 = t1 + 1时 记 in 表示第 n 个时
利息是跳跃产生的 利息是连续产生的 利息被认为是连续产生的
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v 连续型
注C 一般的
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例
考虑以下 3 类特殊的累积函数 a(t)
1 常数 (系列 1) a(t) = 1 2 线性 (系列 2) a(t) = 1 + 2.5% t 3 指数 (系列 3) t a(t) = (1 + 2.5%) 注 C 检查上面定义的 a(t)满足累积函数的要求 注 C 学习使用 Excel 进行金融计算
思考 为什么在每一个时期中所获的利息金额相等 可实利率却越来越小呢
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第1章 — 15
注C 当计算实利率 in 时 是把第 n 期开始时的资本总 额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额 之比 随着资本总额的不断增加 常数的利息必将导致单 调递减的实利率 注C 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察 但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区 间上按比例产生的 从而上面给出的关于整数 t 的单 利的生成方式可以认为是对于所有的 t 0 都成立 的利息产生方式 单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时 期的长短有关系 而与该时期的具体位置无关
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累积函数 (accumulation function) 本金 (principal) 初始投资的资本金额 过一定时期后收到 累积值 (accumulated value) 的总金额 利息 (interest)
累积值与本金之间的金额差值 则在时
假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金 刻 t 的累积值记为 a(t) 称为累积函数 注 时间 t 为从投资之日算起的时间 单位来度量 1 单位的本金 0
特别地
段的实利率 即 A ( n ) A ( n 1) In in = = A ( n 1) A ( n 1)
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n
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结论 1.1 由利率地定义 有 a ( n) a (n 1) in = a ( n 1) 证明 从而有 A(n ) A(n 1) a (n ) a( n 1) in = = A(n 1) a ( n 1) 注 : 利率计算的根本是累积函数的计算 设初始投资为 A 0 A(n) = A 0 a ( n) 则
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0
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利率 (interest rate) 思考 假设两个储户 分别在银行存入了 1 万元 1 千元的一年期定期储蓄 如果到期后银行都付给他们 同样的利息金额 20 元 你认为合理吗 注 C 假设所有的在期初投资的 1 个单位的本金都具有 着同样的产生利息的能力 则上述现象不合理 为了表示单位货币价值的相对变化幅度 度量利息 的常用方法是计算所谓的 利率 定义为 利率等于一定的货币量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息 与期初货 币量的比值
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 10
v 利率的计算公式 利率 = 利息 / 期初本金 v 若利率已知 则可反求利息 利息 =利率 期初本金 注 C 利率通常以百分数来表示 利率 = 利息 / 期初本金 即