利息理论及其应用(pdf 112)

特别地
段的实利率 即 A ( n ) A ( n 1) In in = = A ( n 1) A ( n 1)
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n
1
第1章 — 12
结论 1.1 由利率地定义 有 a ( n) a (n 1) in = a ( n 1) 证明 从而有 A(n ) A(n 1) a (n ) a( n 1) in = = A(n 1) a ( n 1) 注 : 利率计算的根本是累积函数的计算 设初始投资为 A 0 A(n) = A 0 a ( n) 则
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 20
在第二时期末累积值
在第三时期末累积值将达到 (1+i)2 + i(1+i)2 =(1+i)3
对于一般的整数时刻 t 0 有 a (t ) = (1 + i ) , t ≥ 0 为整数
t
思考
哪些是由
利滚利
所带来的利息
复利的累积函数的等价形式为
a (t ) = e
利息理论与应用
a(t)=1+it 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1.000 1.025 1.051 1.077 1.104 1.131 1.160 1.189 1.218 1.249 1.280 1.312 1.345 1.379 1.413 1.448 1.485 1.522 1.560 1.599 1.639
思考 为什么在每一个时期中所获的利息金额相等 可实利率却越来越小呢
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利息理论与应用
Байду номын сангаас
第1章 — 15
注C 当计算实利率 in 时 是把第 n 期开始时的资本总 额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额 之比 随着资本总额的不断增加 常数的利息必将导致单 调递减的实利率 注C 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察 但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区 间上按比例产生的 从而上面给出的关于整数 t 的单 利的生成方式可以认为是对于所有的 t 0 都成立 的利息产生方式 单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时 期的长短有关系 而与该时期的具体位置无关
利息理论与应用 第1章 — 2
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累积函数 (accumulation function) 本金 (principal) 初始投资的资本金额 过一定时期后收到 累积值 (accumulated value) 的总金额 利息 (interest)
累积值与本金之间的金额差值 则在时
假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金 刻 t 的累积值记为 a(t) 称为累积函数 注 时间 t 为从投资之日算起的时间 单位来度量 1 单位的本金 0
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第1章 — 13
单利
simple interest 通常用到的两种计息方式分别
在实际金融活动中 为单利和复利
假设在期初投资 1 个单位的本金 在每一个时期中 都得到完全相同的利息金额 即利息为常数 即 由此可知 a(0) = 1 a(1) = 1+ i a(2)= 1+ 2i 等等 a(t) = 1+ i t 对整数 t 0 i 被称为是
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及
例 Find the accumulated value of $2000 invested for four years, if the rate of simple interest is 8% annum. 注C annum = 年度 解 按照单利的计算公式有 A(4)= 2000a(4)= 2000(1+ 8% 4)= $2640 其中所获得的利息金额为 I = 2000 注 : 利息金额 = 本金金额 注 利率 8% 4 = $640 时期
这种类型的利息产生方式被称为单利 单利率
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第1章 — 14
v 相应单利的累积函数为时间的线性函数 v 常数的单利率并不意味着常数的实利率 因为相应于单利的第 n 个时期的实利率 in 为 a (n) a( n 1) i in = = ,n 1 a( n 1) 1 + i(n 1) 是一个关于 n 的单调递减的函数 大时 实利率 in 将变得较小 并且当 n 的取值较
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 16
单利是由满足如下条件的连续函数 a (t )所相应的累积 函数所给出的 a (s + t ) a ( s ) = a (t ) 1, t ≥ 0, s ≥ 0 或等价的 a ( s + t ) = a ( s) + a (t ) 1, t ≥ 0, s ≥ 0 注 C 上式意味着经过时间 t + s 所产生的利息等于经过 时间 t 产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和 从上述性质可以推出函数 a (t )满足 a (0) = 1 a (t ) = 1 + (a (1) 1)t
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 5
i= 2.50% 时刻t a(t)=1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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i= 2.50% a(t)=(1+i)^t 1.000 1.025 1.050 1.075 1.100 1.125 1.150 1.175 1.200 1.225 1.250 1.275 1.300 1.325 1.350 1.375 1.400 1.425 1.450 1.475 1.500
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月
第1章 — 11
[t1 , t2 ]上的实利率 = [t1 , t2 ]内总量函数 A(t ) 的变化量与期初货币量的比 值 记为 it1 ,t 2 it1 ,t2 即 A(t2 ) A(t1 ) It1 ,t2 = = A(t1 ) A(t1 ) 当 t1 = n 1, t2 = t1 + 1时 记 in 表示第 n 个时
每年所获得的利息金额都是 $160
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第1章 — 18
复利
compound interest
问题的提出 单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息并没 有在后面的时期用来再获取额外的利息 如果所获利 息可继续投资情形如何 如在上面的例子中 投资者每年都获得了 $160 的利 息 但投资者在第一年末的时候实际上有 $2160 可以 用来投资 如果按照 $2160 来计算 投资者在第二年 末的时候则可以获得利息为 2160 8% = $172.8 比只 按照 $2000 投资要多获得利息 $12.8 后面的各期也可以采取这种方法去投资 最终获得 的利息总额应为 2000 [1+ 8%]4 - 2000= $720.98 比 原先多获得利息 $80.98
利息是跳跃产生的 利息是连续产生的 利息被认为是连续产生的
利息理论与应用 第1章 — 4
v 连续型
注C 一般的
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例
考虑以下 3 类特殊的累积函数 a(t)
1 常数 (系列 1) a(t) = 1 2 线性 (系列 2) a(t) = 1 + 2.5% t 3 指数 (系列 3) t a(t) = (1 + 2.5%) 注 C 检查上面定义的 a(t)满足累积函数的要求 注 C 学习使用 Excel 进行金融计算
第1章 — 6
几种累积函数的比较
1.7 1.6 1.5 1.4
累积值
1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0 5 10 15 20
系列1 系列2 系列3
时间
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第1章 — 7
总量函数
amount function
当原始投资不是 1 个单位的本金 而是 P 个单位金 额的本金时 则把 P 个单位金额本金的原始投资在时 刻 t 的累积值记为 A(t) 称为总量函数 总量函数 A(t)具有如下的性质 1) A(0) = P 2) A(t) = P a(t) P>0 t 0 注 C 总量函数 A(t)的计算可以借助于累积函数 a(t) 的计算 注 C 从总量函数可得累积函数为 a(t)= A(t) / A(0)
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可以用不同的
累积值 a(t) t
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时间 t
第1章 — 3
累积函数 a(t) 是关于时间的函数
满足
1) a(0) = 1
2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 < t2 时 有 a(t1) < a(t2) 如果在 t = 0 1 2 … 等时刻观察累积函数 a(t)得 到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻 0 1 2 … 之间 累积函数 a(t)的取值是如何变化的 v 离散型
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t
0
第1章 — 8
利息理论与应用
利息
interest
将从投资之日算起的第 n 个时期内所获得的利息金 额记为 In 则有 I n = A( n) A( n 1) 对于整数 n 1 注 C 利息金额 In 看作是在整个时期内所产生的 最后时刻实现的 支付的 得到的 在
注 C 更一般的 记总量函数 A(t)在时间段 [t1,t2]内所 获得的利息金额为 I t1 ,t2 则有 I t1 ,t2 = A(t2 ) A(t1 ) > 0 其中 t2 > t1
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 10
v 利率的计算公式 利率 = 利息 / 期初本金 v 若利率已知 则可反求利息 利息 =利率 期初本金 注 C 利率通常以百分数来表示 利率 = 利息 / 期初本金 即
100%
注 C 这里定义的利率被称为实利率 (effective rate of interest) 注意与后面定义的名义利率 (nominal rate of interest)相区别 注 C 通常计息期为标准时间单位 如 年 季 等 若无特别说明 实利率一般指年实利率
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0
利息理论与应用 第1章 — 9
利率 (interest rate) 思考 假设两个储户 分别在银行存入了 1 万元 1 千元的一年期定期储蓄 如果到期后银行都付给他们 同样的利息金额 20 元 你认为合理吗 注 C 假设所有的在期初投资的 1 个单位的本金都具有 着同样的产生利息的能力 则上述现象不合理 为了表示单位货币价值的相对变化幅度 度量利息 的常用方法是计算所谓的 利率 定义为 利率等于一定的货币量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息 与期初货 币量的比值
t ln(1+ i )
注 C 上面对于整数时间 t 给出的相应复利的累积函数 的表达式适用于一般的时间 t > 0 复利的直观表述 相同长短的不同时期的实利率相等
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 21
复利是由满足如下条件的
非零
连续函数 a (t )所
相应的累积函数所给出的 a (s + t ) = a ( s ) × a (t ), t ≥ 0, s ≥ 0 注 C 从上述性质可以推出函数 a (t )满足 a (0) = 1 及 a (t ) = a (1) t 注C 可以推出表达式 a (s + t ) a ( s ) a (t ) a (0) = , t ≥ 0, s ≥ 0 a(s) a (0)
利息理论及其应用
2004 年 2 月 6月
主讲
黄 海
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 1
第一章
利息基本计算 1.1 利息基本函数
v 利息是借贷关系中借款人 (borrower)为取得资金使 用权而支付给贷款人 (lender)的报酬 v 从投资的角度看 利息是一定量的资本经过一段时 间的投资后产生的价值增值 例 在银行开立储蓄帐户 把平时积累下来的多余钱 存入银行 可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益 — — 利息 例 购买国库券
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 19
复利的基本思想
利息收入被再次记入下一期的本金 利滚利
注 C 即通常所说的
例 假定期初投资的本金不再增加或减少 并且在每 一个时期中实利率都是相同的 考察相应的复利的累 积函数 解 假设在一个计息期中的实利率为 i 则在第一时期 末累积值为 1+i 接下来用这 1+i 金额作投资 将达到 (1+i)+ i(1+i)=(1+i)2 此过程可以一直继续下去