B样条曲线图片版
B样条曲线与曲面
四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21u 2 P i ＋1＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1端点位置矢量：)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。
6.4.B样条曲线
未知新顶点的计算公式：
Pj1 = Pj , 1 Pj = (1 β )Pj 1 + β j Pj , P1 = P , j 1 j
βj = t tj t j + k 1 t j
j = 0,1,L , i k + 1 j = i k + 2,L , i r j = i r + 1,L , n + 1
P (t ) = ∑ Pi N i , k (t )
i=0 n
[t
j
, t j +1 (k 1 ≤ j ≤ n )
]
= =
i= j k j
∑ P N (t )
i i ,k
j
t ti t t Pi N i , k 1 + i + k N i +1, k 1 (t ) ∑ t t t i + k t i +1 i = j k +1 i + k 1 i
T 1 = [t 0 , t1 ,L , t i , t , t i +1 ,L , t n + k ]
这个新的节点矢量 T 1 决定了一组新的B样条基
N i1,k (t ) i = 0,1,L , n + 1
原B样条曲线可以用这组新 B样条基与未知新顶点 Pi1 表示出：
P(t ) = ∑ Pj1 N 1,k (t ) j
曲线如表示成三次Bezier曲线，则其控制顶点为：
2 Pj[1] (t j ) Pj[1]1 (t j ) Pj[1]1 (t j +1 ) Pj[2 ] (t j +1 )
如图6.4.7所示
图6.4.7 四阶B样条曲线转化成Bezier曲线
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
Nurbs曲线详解
Nurbs曲线详解NURBS（Non Uniform Rational B-spline）曲线通常称为非均匀有理B样条曲线，其数学定义如下：基函数由递推公式定义：非均匀：指节点向量的值与间距可以为任意值。
这样我们可以在不同区间上得到不同的混合函数形状，为自由控制曲线形状提供了更大自由。
均匀与非均匀的主要区别在于节点向量的值。
如果适当设定节点向量，可以生成一种开放均匀样条，它是均匀与非均匀的交叉部分。
开放样条在两端的节点值会重复d次，其节点间距是均匀的。
例如：{0,0,1,2,3,3}，（d=2，n=3）{0,0,0,1,2,2,2}，（d=4,n=4）开放均匀B样条与贝泽尔样条性质非常类似，如果d=n+1（即多项式次数为n），那么开放B样条就变成了贝泽尔样条，所有节点值为0或1。
如四个控制点的三次开放B样条，节点向量为：{0,0,0,0,1,1,1}。
有理B样条：有理函数是两个多项式之比，有理样条(rationalspline)是两个样条函数之比，有理B样条用向量描述。
URBS曲线由以下三个参数定义：（1）控制点：确定曲线的位置，通常不在曲线上，形成控制多边形。
（见图1,图中）图1 控制点移动对曲线的影响（2）权因子：确定控制点的权值，它相当于控制点的“引力”，其值越大曲线就越接近控制点（见图2，Bi为控制点）。
图2 曲线随权因子变化（3）节点矢量K：NURBS曲线随着参数K的变化而变化，与控制顶点相对应的参数化点K称为节点，节点的集合Ki：[K0，K1…，Kn…,Kn+m+1]称为节点矢量。
节点：在曲线上任意一点有多于一个控制点产生影响（除了bezier的端点），节点就象一种边界，在这个边界上一个控制点失去影响作用，另一个控制点取得影响。
2、NURBS曲线怎样通过首末节点多重节点序列使得样条曲线更靠近于重复节点位置。
如果末端节点重复d+1次，则d 阶B-样条必须插值最后一个控制点。
因此，解决样条曲线不能横跨整个控制顶点序列的一个方法是，重复首尾两个节点，这样得到的样条曲线将插值首尾两个控制点。
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
二 B样条曲线的数学表达式 1 通常，给定m+n+1个顶点Pi(i=0，1，2，…，m+n”)，
可以定义m十1段n次的参数曲线为：
n
Pi,n (t) Pik • Fk,n (t)
(0 t 1)
k 0
式中：
Fk,n(t)为n次B样条基函数，也叫B样条分段混合函数。 其形式为：
C Fk,n
(t)
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（二 ）起始点与终止点切矢量的方向 通过对基函数求导，可以证明起始点与终止点的 切矢量与第1和第n（最后）条边一致（走向一致）。
基函数的导数：
B'i,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
'
Bi ,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
n! i·ti（1 1 t）ni （n i）t（i 1 t）ni1 i!(n i)!
贝塞尔曲 线
起始点
终止点
五 贝塞尔曲线的数学表达式：
Bezier曲线的数学基础：在第1个和最后一个端点之间进行
插值的多项式混合函数(调和函数)
它可以参用数方程表示如下：
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
三次B样条曲线
(2)在半节点 x
S (k ) ( x
1 i 2
i
0) S ( k ) ( x
1 2
(i=1，2，…，n)处成立
1 i 2
0),
k 0,1,
(3)满足插值条件 yi S ( xi ),
数字图像处理
i 0,1,...,n.
2. B 样条曲线
以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面 有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲 线或曲面不能作局部修改，控制多边形的一个 顶点发生了变化，整条Bezier曲线的形状便发生 变化；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。 因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了 B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时， 克服了Bezier方法的弱点。
二次B样条曲线段 P0, 2 (t ) Pi Gi , 2 (t ) 是一段抛物线。
i 0 2
数字图像处理
二次B 样条曲线
二次B样条曲线的矩阵表示为：
1 1 0 P0 1 P0, 2 (t ) [1 t t 2 ] 2 2 0 P 1 2 1 2 1 P2 t [0,1]
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
2. B 样条曲线
2.1: B样条曲线的定义
B样条曲线
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
Q21 Q22
Q31 Q32
Q03 Q13 Q23 Q33
u
Q30 Q20
Q10 Q00
Q01
w
Q31
Q11Q21
Q32 Q22 Q33
Q02 Q12Q13Q23
Q03
由曲线拓展为Bézier曲面
给定空间16个位置点bij，可以确定 一张三次Bezier曲面片。
rij
u
首先生成四条v向的三次Bezier曲线：
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
Pn
0
Pn1
P0m J0,m (v)
P1m
J1,m
(v)
Pnm
J
m,m
(v)
b样条
2)网格离散法．该法的基本思想是先将曲面离散为 由小平面片组成的网格，当网格足够细密时，可以 认为已经非常接近真实曲面．对分别表示不同曲面 的两张网格，利用平面片求交法求得交线，并以此 交线近似代表曲面间的交线．该法原理简明，便于 实现，适用范围广，任意参数曲面均可利用该方法 求交．但为获得精确的交线，则必须生成非常细密 的网格，这将导致占用内存多、计算花费大．因此， 实际工作中很少单一使用网格法，通常将其与其他 方法结合使用．
20:06
一张参数曲面有两个参数，两张曲面共有四 个参数变量． 三参数迭代法时，两曲面的四个参数中只有 三个参数参与迭代过程，而保持另—个参数 固定不变．这实际上就是计算不变参数的等 参数线与另一张曲面的交点． 采用四参数迭代过程时，两张曲面片的四各 参数都参与迭代过程，四者都有可能改变
20:06
曲面求交中的迭代法
为求得精确的交点，Newton—Raphon迭代法得到 了广泛应用．该法的优点为 1)计算精度高、速度快．在初值选择比较合理的情 况下，一般仅需迭代二至三次，就可以使交点的精 度从百分之几提高至万分之几甚至百万分之一的数 量级． 2)适用范围比较广．只要能获得曲面的几何位置、 切矢、法矢等信息，不论什么类型的曲面都可以使 用迭代法．其缺点是时初值的要求较严格，初值选 择不当．可能导致迭代不收敛，也就无法得到精确 的交点．
20:06
4)迭代法．迭代法本身并不能构成一个独立的求 交方法．与所有不动点迭代法一样，应用迭代法求 交线之前，首先必须给出交点的初始估计值，而交 点的初始估计值必须通过其他求交方法得到．因此， 迭代求交常同其它求交方法结合使用，作为交点精 化的一种手段．迭代法的主要过程是根据初始估计 点的几何性质(如坐标位置、切矢、法矢、曲率等) 运用Newton方拄得到一个较原估计点更接近于目 标点(即精确交点)的估计点．如此反复进行，直到 求得的交点满足所要求的精度．该法的优点是在初 值比较好时其收敛速度非常快，而且能应用于任意 参数曲面包括Coons曲面和等距面等，因此应用非 常广泛．其主要缺点是对初值的要求比较苛刘，初 值选择不当有可能导致迭代不收敛
b样条曲线
t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
计算机图形学PPT-B样条曲线性质及类型划分
1、局部支承性：
Bi,k (u)00
u [ui ,uik ] otherwise
而Bezier在整个区间非0
反过来，对每一个区间(ui,ui+k)，至多只有k个基函数在 其上非零
2、权性：
n
Bi ,k( u ) 1
i 0
u [uk 1, un1]
3、连续性
Bi,k(u)在r重节点处的连续阶不低于 k-1-r
B 0 ,1 ( u )
1
0
0 u 1 其它
u ( 0 ,1,2 ,3,4 ,5 ,6 )
B 0 ,2 ( u ) uB 0 ,1 ( u ) ( 2 u ) B1,1 ( u ) uB 0 ,1 ( u ) ( 2 u ) B1,1 ( u )
2
u
u
0u1 1u2
B 0,3 ( u )
2、变差缩减性： 设平面内 n+1 个控制顶点构成B样条曲线 P(t) 的 特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的 交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数
3、几何不变性： B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关
4、凸包性：
B样条曲线落在Pi构成的凸包之中。其凸包区域小于或等 于同一组控制顶点定义的Bezier曲线凸包区域
Bi,k (u ) Bi1,k (u u ) Bi2,k (u 2u )
其中，△u是相邻节点值的间距，等价地，也可写为：
Bi,k (u ) B 0,k( u k u )
下面以均匀二次（三阶）B样条曲线为例来说明均匀周期性B 样条基函数的计算： 假定有四个控制点，取参数值 n=3，k=3，则 n+m=6
1、均匀B样条曲线（uniform B-spline curve）
三次B样条曲线
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])
b样条和贝塞尔曲线
b样条和贝塞尔曲线
B样条和贝塞尔曲线是两种不同的曲线拟合方法。
1. B样条曲线（B-spline）
B样条曲线是一种基于小块多项式的曲线拟合方法。
它可以用于平滑曲线的绘制，因为它不需要通过所有的点，而是需要通过一部分的点并通过这些点的连线来连接所有的点。
B样条的优点在于它具有局部控制能力，就是当我们修改其中一个控制点的位置时，只会影响到该点附近的曲线，而不会影响到整个曲线。
2. 贝塞尔曲线（Bezier curve）
贝塞尔曲线也是一种基于小块多项式的曲线拟合方法。
它通过控制点来绘制曲线，当控制点发生变化时，曲线的形状也会发生变化。
贝塞尔曲线的优点在于它简单易懂，可以在不需要大量计算的情况下绘制平滑曲线。
虽然这两种曲线拟合方法都基于小块多项式，但它们各自有不同的优点和适用场合。
B样条曲线更适用于需要局部控制的情况下，而贝塞尔曲线更适用于需要简单易懂的情况下。
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
B-样条曲线
Ni1,k 1
u
定义
0
0
0
4
B-样条基函数实例
n=3 (4个控制顶点)
u
k=3 三次(四阶)曲线
u=[0 0 0 1 2 2 2 2]
在 u = 0.6 处， 基函数的和为： N1,3+N2,3+N3,3+N4,3 =0.16+0.66+0.18+0.0= 1.0
5
B-样条曲线性质
B-样条曲线具有凸包性和几何不变性。 当曲线的两个端节点的重复度是k+1时
B-样条曲线具有类似于Bézier曲线的性质
端点插值性质 端点导数与控制的起始边与终止边相切
当n=k+1时，B-样条曲线就是一条Bézier曲线
6
B-样条曲线性质
局部性：当移动一个控制顶点时，只会影响曲线的一部 分，而不是整条曲线
三次B-样条曲线的局部性质
7
n
Ru Ri Ni,k u i0
u uk ,un1
3
B-样条曲线的定义
Ri为控制顶点，{Ri}i=0,1,…,n顺次连接称为曲线的 控制多边形
Ni,k(u)为单位化的B-样条基函数：
1
Ni,0
0
当ui u ui1 其它
Ni
,kuΒιβλιοθήκη u ui uik uiNi,k 1
u
uik 1 u uik 1 ui1
B-样条曲线实列
R2
R1
R3
R7
R0
R4
R6
R5
三次(四阶)B-样条曲线
2
B-样条曲线的定义
B-样条曲线是分段连续的多项式曲线， 其定义与节点向量密切相关
B样条曲线曲面
p02 ?
p12
??M
T B
W
T
?? p2 ?w???
?? p20 p21 p22 ??
。
简记为
S
yz
?u,
w??
UM
B
PM
T B
W
T
2．均匀双三次B样条曲面
? ? 已知曲面的控制点 pij (i, j ? 0,1,2,3，) 参数u,w且 u, w ? 0,1 ,
构造双三次B样条曲面的步骤同上述。
⑴沿w(或u)向构造均匀二次B样条曲线，即有：
? 1 ? 2 1?? p00 ?
? p00 ?
? ? P0 (w) ? w2 w 1 ??? 2
2
0????
p01
? ?
?
WM
B
? ?
p 01
? ?
?? 1 1 0???? p02 ??
?? p02 ??
经转置后
? ? ? ? p0 w ? p00
p 01
? ? ? 1 (t ? 3)3 ? 4(t ? 2)3 ? 6(t ? 1)3 ? 4(t)3 6 1
= 6 (–t3 + 3t2 – 3t + 1)
? F1,3 (t) ?
1 3!
2 j? 0
(? 1)
j
C
j 4
(t
?
3
?
1?
j)3
? ? ?
1 6
C
0 4
(t
?
2) 3
?
C
1 4
(t
?
1) 3
?
? 2t 2 ? 2t ? 1 Pi?1 ?
1 2
t
NURBS曲线理论
第三章 NURBS 曲线理论基础NURBS 方法的提出是基于描述自由曲面曲线的B 样条方法。
B 样条基函数和B 样条曲线是UURBS 曲线的基础，UURBS 是非均匀有理B 样条的英文缩写。
因此在给出UURBS 曲线定义之前，先介绍一下B 样条基函数和B 样条曲线的相关知识。
3.1 B 样条基函数定义和性质B-Spline Function （简称B 样条）就是B 样条基函数，是样条函数的一种。
B 样条不但具有一般样条函数所具有的分段光滑又在各段交接处具有一定光滑性等特点，而且具有许多其他优良性质，如连续阶数可调、局部支撑性、递推性等。
有很多种方法可以用来定义B 样条基函数，我们这里采用de Boor-Cox 递推定义方法，是由这种递推法很容易和有效地在计算机上实现。
而且de Boor-Cox 递推定义很好地揭示了B 样条基函数的性质。
B 样条基函数的de Boor-Cox 递推定义如下：1,01,,11,1i 111[,N 0()()000i i i i i k i k i k i k i k i k i u u u u u u u N N u N u u u u u +++-+-++++⎧∈⎧=⎨⎪⎩⎪⎪--⎪=+⎨--⎪⎪=⎪⎪⎩）其他规定： (3. 1) 上式(3．1)中k 为B 样条的次数(k+1阶)；令U={u 0，u 1，…，u m }是一个单调不减的实数序列，u i 称为节点序列，U 称为节点矢量，若存在ui-1,<u i =u i+1=…=u i+r-1<u i+r 则称节点u i 的重复度为r ，其中，r 、n 均为整数；N i,k (u )表示参数为u 时，k 次B 样条序号为i 的基函数值。
B 样条具有良好的性质，简单概括主要有【18,20】： ● 递推性：定义式(3．1)很好的说明了这个性质。
● 规范性：对于定义域内任意参数u ，所有的k 次B 样条基函数之和恒为1，即1)(0,=∑=u N mi k i 。
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1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。
给出了B样条基函数的递归算法
1974年，Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式， 得到了B样条函数。
从B样条函数到B样条曲线
样条函数的定义
5.B网逼近性质
B网大致反映了B样条曲线的形状，这有利于人机交互设计.
6.变差缩减性
设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。 连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所有内节点重数为k-1，这样的节 点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
区间 的一个分割 : a x0 x1 xn b 定义于分割上的函数 g(x)满足两条件：
Ø 在[xi , xi1]上， g(x)是x的 k次多项式 Ø 节点 k次样条函数
g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
谢谢！
均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.23 三次均匀的B样条曲线
B样条曲线的类型
2 .准均匀B样条曲线
两端节点具有重数k，内部节点为均匀单节点。 例如:T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7)
准均匀B样条曲线保留了Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.24 准均匀三次B样条曲线
B样条曲线的性质
2. 凸包性：
k 阶P(t)在区间(ti, ti+1) , k-1<=i<=n 上的部分位于k个点Pi-k+1…,Pi的 凸包内，整条曲线则位于各凸包Ci的并集之内。
每3个控制顶点构成一个凸包
B样条曲线的性质
3. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 的一点P(t)至多与k个控制顶点 Pj ( j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶点Pi至多影响到定义在区间(ti, ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲 线的其余部分不发生影响。
B样条是Bézier的推广
B样条曲线的几何生成
割角公式：
B样条曲线的局部加细
节点插入公式：
节点向量中插入一点t’
原始基函数图例
节点的插入导致某个基函数细分
节点插入后细分的基函数图例
1 N j ,k (t ) j ,k N 1 j ,k (t ) Βιβλιοθήκη 1,k N j 1,k (t )
样条曲线
样条曲线：节点序列上定义的满足一定的连续性的分段曲 线 优点：局部性+。。。
B样条曲线的定义
1. B样条曲线定义
设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为:
其中：Ni,k(t)是k-1次B样条曲线的基函数； 是单调不减的节点分割。
B样条曲线的定义
2. B样条基函数的递推定义(de Boor-Cox公式)
B样条曲线的优点
用B样条基函数代替Bernstein基函数： 1）逼近特征多边形的精度更高。 2）多边形的边数与基函数的次数无关。 3）具有局部修改性。 4） 灵活造型
B样条曲线造型灵活性
用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况。 ¦对于4阶（3次）的B样条曲线P(t)若要在其中得到一条直线段，只 要Pi, Pi+1, Pi+2, Pi+3 4点位于一条直线上。 ¦为了使P(t)能过P(i)点，只要使Pi, Pi+1, Pi+2 重合。尖点也可通过三 重节点的方法得到。
P1 P4 P7
P2
P6
P′ 4 P0 P3
P5
一段区间由k个连续控制点参与； 一个控制点参与K段(ti, ti+k)曲线构造。
P″ 4
图 8 -1 6 B 样 条 曲 线 的 局 部 支 柱 性
B样条曲线的性质
4. 几何不变性和仿射不变性：
B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。曲线作仿射变换， 只须把其控制多边形作此仿射变换。
B样条曲线的类型
3. 非均匀B样条曲线
任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点序 列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。 例如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
B样条曲线的性质
1. 表示唯一性：
给定节点向量、给定控制顶点的k阶B样条曲线表示唯一。 控制顶点是唯一一组
每个基函数都是一个分段多项式
B样条曲线的类型
控制多边形的顶点为Pi(i=0,1…,n),阶数为k(次数为k-1)，则节点矢量 是T=[t0,t1,…,tn+k]。
1. 均匀B样条曲线
节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度 Δi=ti+1-ti=常数>0(i=0,1,…n+k-1)。例如:T=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)
规定：0/0=0
B样条基函数的性质
1. 正性与局部支撑性
[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间
B样条基函数的性质
2. 权性(归一性)
3.线性无关性
B样条基函数的性质
4.微分--差分公式
导数为前一次数的两个基函数的线性组合
5.r阶导数
r阶导数为前一次数的两个基函数的r阶导数的组合
B样条基函数的本质
B样条曲线
B样条提出背景
仅包含一段的多项式曲线不能满足造型需求 约束条件增多，Bézier造型的缺陷：
Ø Ø Ø Ø Ø 次数增加 形状复杂 算法不稳定 不能局部控制 拼接的话连续性容易产生问题 分段的多项式函数
B样条的发展
1949年，Schoenberg最早提出定义在均匀节点向量上的B样 条函数理论。