复合材料细观力学
复合材料力学第11章单层复合材料的细观力学分析
11.3.5 面内剪切强度S 面内剪切破坏是由基体和界面剪切损坏引起。面内剪切强度S可用 下式表示：
25
11.4 短纤维复合材料的细观力学分析
11.4.1 应力传递理论
由图示可列出平衡条件： 化简为
积分得 化简为
26
剪应力分布未知，为求解，需对纤维的周围界面和末端材料变形作 假设： （1）纤维长度中点由对称条件得剪应力为零； （2）末端 （3）纤维周围基体是理想刚塑性体，应力-应变关系如图所示。 这样界面剪应力沿纤维长度是常数，其值为基体屈服应力 ，上式 变为：
20
单根纤维在y方向屈曲时位移v用三角级数表示为
21
（1）拉伸型式 经过推导可得，纤维受压时的最小临界应力为：
复合材料最大应力为：
与纤维相比基体基本不受力，即
，则可得：
22
（2）剪切型式 经过推导，
2.横向拉裂理论 横向破坏应变比基体破坏应变小，有经验关系式：
23
即得 11.3.3 横向拉伸强度
11.6 刚度的弹性力学分析方法
11.6.1 弹性力学的极值法 1. E的下限 经过推导得出：
38
2. E的上限
39
11.6.2 精42
2. 的的预测 3.
43
44
11.6.3 接触时的弹性力学解
以后
45
46
11.6.4 Halpin-蔡方程
47
单向纤维增强复合材料的变形： （1）纤维和基体都是弹性变形； （2）基体发生塑性变形，纤维继续弹性变形； （3）纤维和基体都处于塑性变形； （4）纤维断裂或基体开裂导致复合材料破坏；
16
1.等强度分析的纤维
假定纤维应变等于基体应变，则复合材料 的强度为 如果复合材料拉伸强度大于单纯基体强度， 则纤维起增强作用必须超过的临界 值为
第6章 复合材料细观力学PPT
物理关系
G , G , G Ⅱ
12
12 12 f 12
f 12 f m12
m12 m
于是
GⅡ 12
Gf
f
Gm m
6.3.3 植村-山胁的经验公式
E1 EⅠ1 E1Ⅱ
E2 (1 c)EⅠ2 cEⅡ2
1 (1 c)Ⅰ1 c1Ⅱ
2
E2 E1
1
G12 (1 c)GⅠ12 cG1Ⅱ2
(3)泊松比
I 1
,
I 2
当正轴σ1方向受力作用时，纵向泊 松比的定义为
I 1
2 1
单元的横向变形量Δb为 b b 2 b1I 1
从细观来看，单元的横向变形量应等于纤维与基 体的横向变形量之和,即
bbf 2 bm2 bff 2 bmm2 bfff1bmmm1
3
因为
1 f 1 m1
所以
E f 1 Em f 3(1 f )
（拉压 型）
Xc
Gm 1 f
（剪切 型）
7
练习题
• 用材料力学方法证明单向纤维复合材料中纤维所承受
载荷Pf与纵向总裁荷P之比为
Pf 1/(1 Em m )
P
Ef f
• 已知某纤维Xft=2000MPa,Ef1=90GPa,基体树脂 Xmt=220MPa,Em=3.5GPa.若基体的延伸率大于纤维，试 求由以上基体和纤维制得的复合材料单向板的临界纤
X ft
X mt
X ft
Em Ef1
vfmin称为纤维控制的最小体积含量
6.4.2 纵向压缩强度Xc
拉压型微屈曲引起破坏的纵向压缩强度
X c 2 f
E f Em f 3(1 f )
复合材料力学课件第06章 细观力学
1∘ 单元体（脆）：宏观均质；正交异性；无 单元体（ ）：宏观均质 正交异性； 宏观均质；
§6.1(3)
模
型
材料力学方法：采用大的简化； 材料力学方法：采用大的简化； 弹性力学方法：精确解法和近似解法； 弹性力学方法：精确解法和近似解法； 确定性方法和随机方 法。
§6.2
§6.2
刚度的材料力学 分析方法
第六章 细观力学
§6.1 引言 §6.2 刚度的材料力学分析方法
回总目录
§6.1(1)
§6.1 引 言
1∘细观力学 (Meso-Mechanics） (Meso-Mechanics） 2∘假设 3∘模型
§6.1(1)
细观力学(Meso-Mechanics） 细观力学(Meso-Mechanics） 研究各材料组份与材料的整体性 能之间的力学关系。 能之间的力学关系。CM细观力学研究 细观力学研究 纤维+基体 复合材料单向板， 纤维 基体⇒复合材料单向板，由纤维 和基体的性能预测UD板的性能，它介 和基体的性能预测 板的性能， 板的性能 于微观力学Micro-）和宏观力学 于微观力学 ） 之间。 （ Macro- echanics ）之间。
Gm
Gf
G12 Gm
)
(
)
E1和µ21与实验结果比较相符， E2 与实验结果比较相符， 一般与实验结果相差较大。 和G21一般与实验结果相差较大。
§6.1(1)
细观力学(Meso-Mechanics） 细观力学(Meso-Mechanics） 细观力学两种世界观: 细观力学两种世界观 (1) 从实际中抽取模型 用精确方法 从实际中抽取模型—用精确方法 求解模型—问题的解 问题的解； 求解模型 问题的解； (2) 模型力与实际一致 用近似方法 模型力与实际一致—用近似方法 求解模型—问题的解 问题的解。 求解模型 问题的解。
具有界面效应的复合材料细观力学研究
一、引言复合材料作为一种重要的工程材料，具有优异的性能和广泛的应用前景。
而复合材料的界面效应对其力学性能具有重要影响，因此对复合材料的界面效应进行细观力学研究具有重要意义。
二、复合材料的界面效应1. 界面效应的定义复合材料是由两种或两种以上的材料结合而成的材料，其性能优于单一材料。
而这种优越性能的实现主要依赖于复合材料内部的界面结构和界面效应。
界面效应指的是复合材料内两种不同材料之间相互作用所产生的各种效应，包括化学、物理和力学效应等。
2. 界面效应的影响复合材料的界面效应对其力学性能具有明显的影响。
界面的强度和粘附性能决定了复合材料的整体强度和韧性，同时也影响着复合材料的疲劳性能和耐久性能。
研究复合材料的界面效应对于提高复合材料的力学性能具有重要意义。
三、复合材料界面效应的细观力学研究1. 界面微结构的表征复合材料的界面微结构主要包括界面分子层、界面化学键和界面原子的排列方式等。
通过高分辨扫描电镜和透射电镜等技术，可以对复合材料的界面微结构进行准确定量的表征。
2. 界面效应的原子尺度模拟利用分子动力学模拟和密度泛函理论等方法，可以对复合材料的界面效应进行原子尺度的模拟和分析。
通过模拟可以深入理解界面效应的基本原理，并为实验研究提供理论指导。
3. 界面效应的力学性能测试利用原位力学测试和纳米压痕等测试方法，可以对复合材料的界面效应进行力学性能测试。
通过测试可以获得界面的强度、韧性和断裂行为等重要参数，为界面效应的力学性能提供定量的实验数据。
四、复合材料界面效应研究的意义和挑战1. 意义复合材料的界面效应研究对于提高复合材料的力学性能具有重要意义。
通过深入理解界面效应的本质，可以有效地改善复合材料的性能，并拓展其应用领域。
2. 挑战复合材料的界面效应研究也面临着一些挑战，如界面微结构的表征受到限制、原子尺度模拟的复杂度和计算资源需求等。
研究人员需要不断开展创新性工作，解决这些挑战，推动界面效应研究取得更大的突破。
复合材料细观力学答案
一、知识部分1、计算面心立方、体心立方结构的（100）、（110）、（111）等晶面的面密度，计算密排六方结构的（0001）、（1010）晶面的面密度（面密度定义为原子数/单位面积）。
解：设立方结构的晶胞棱长为a 、密排六方结构晶胞轴长为a 和c 。
（1）体心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为21a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为223a。
（2）面心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有1.5个原子，所以其面密度为23a。
（3）密排六方：在一个晶胞中的（0001）面的面积是223a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为2332a；在一个晶胞中的（1010）面的面积是c a 2，在这个面积上有次个原子，所以其面密度为c a 21；2、纯铁在912℃由bcc 结构转变为fcc 结构，体积减少1.06%，根据fcc 结构的原子半径计算bcc 结构的原子半径。
它们的相对变化为多少？如果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的体积变化。
这些结果说明了什么？解：设bcc 结构的点阵常数为a b ，fcc 结构的点阵常数为a f ，由bcc 结构转变为fcc 结构时体积减少1.06％，因bcc 单胞含2个原子，fcc 单胞含4个原子，所以2个bcc 单胞转变为1个fcc 单胞。
则10006.122333=-b bf a a a 即 b b f a a a 264.110006.10121=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= bcc 结构的原子半径b b a r 43=，fcc 结构的原子半径f f a r 42=，把上面计算的a f 和a b 的关系代入，并以r f 表示r b ，则f f f b b r r a a r 9689.02264.1443264.14343=⨯⨯⨯=⨯==它们的相对变化为0311.019689.0-=-=-bfb r r r 如果假定转变前后原子半径不变，转变后的体积变化为()()()1.83423422422333333-=-=-b b f b bf r r r a a a ％从上面的计算结果可以看出，如果转变前后的原子半径不变，则转变后的体积变化很大，和实际测得的结果不符，也和金属键的性质不符。
--复合材料力学第六章细观力学基础
（二）纵向泊松比
21
RVE的纵向应变关系式：
2 f 2V f m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
21 f V f mVm
（三）纵横（面内）剪切模量
G12
在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下 关系：
12 f V f mVm
以
12
12
G12
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用 弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：
2
2Gm
E
f
rf2
ln(
R rf
)
其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为纤维间距，
l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程
EL Em
1
2
l d
LV
f
1 LV f
ET
1 2TV f
Em 1 TV f
此时，对L取：
RVE的要求： 1 、 RVE 的 尺 寸 << 整 体 尺 寸 ， 则宏观可看成一点；
2、RVE的尺寸>纤维直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积；
v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，
复合材料的应力应变等才有意义。
并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效 弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过 体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
具有界面效应的复合材料细观力学研究 -回复
具有界面效应的复合材料细观力学研究-回复在研究复合材料的细观力学时，界面效应是一个关键的研究方向。
界面效应是指由于复合材料中不同材料之间的界面区域存在具有特殊性质的界面，而导致复合材料整体力学性能发生变化的现象。
本文将逐步回答“具有界面效应的复合材料细观力学研究”的主题。
1. 引言（约200字）：介绍复合材料的定义和常见的应用领域，指出复合材料受到界面效应的影响，引出本文的主题。
2. 复合材料的界面结构（约400字）：解释复合材料的一般结构，包括基体和增强相。
介绍界面结构的特点，如原子间的接触、界面缺陷等。
解释为什么复合材料中的界面区域具有特殊性质。
3. 界面效应对复合材料性能影响的实验研究（约400字）：概述近年来在复合材料细观力学方向进行的实验研究。
包括力学性能测试、原位观察、断面分析等方法。
介绍实验结果，如界面强度、界面层厚度等参数对复合材料性能的影响。
4. 界面效应对复合材料性能影响的理论模型（约400字）：介绍目前用于描述界面效应的理论模型，如界面力模型、层理论等。
解释这些模型的基本原理和适用范围。
讨论这些模型对于理解复合材料中界面效应的重要性。
5. 界面效应对复合材料设计和应用的影响（约400字）：讨论界面效应对复合材料设计和应用的意义。
例如，在领域中，界面效应对于提高复合材料的强度、刚度和耐热性能具有重要作用。
提出未来可能的研究方向，如界面工程、纳米尺度界面等。
6. 结论（约200字）：总结界面效应对复合材料的细观力学研究的重要性和现有研究的进展。
强调界面效应的复杂性和多样性，以及对于复合材料性能的影响。
呼吁在未来的研究中，进一步深入理解和控制界面效应，以推动复合材料的发展和应用。
通过以上步骤，可以完成一篇关于具有界面效应的复合材料细观力学研究的文章，全面地回答了主题，并且提供了相关的实验和理论研究结果，以及对复合材料设计和应用的影响的讨论。
哈工大——复合材料细观力学-2
连续纤维复合材料细观强度理论
复合材料的应力集中
1961年，Hedgepeth最早提出剪滞模型 （the shear-lag method),用于解决纤维断裂 而导致应力集中问题。 主要假设：
1. 2.
纤维仅承担轴向载荷 纤维与基体间界面仅传递剪切载荷
单根纤维破坏
x 1/2P1 [P 1+(dP1/dx)x]
沿X轴向的平衡方程： 1 dP 1 2 dx + τ = 0 dP2 τ = 0 dx
P2
P2+(dP2/dx)x
令第n根纤维内部轴向位移un dun ( x) G[u2 ( x) u1 ( x)] Pn = Ed n = 1,2 τ= dx h 令ξ = x/d, α = Eh/Gd(无量纲）
σ 33
c πr 2 = π (1 α )ε p 2(1 γ ) r h
根据裂纹表面应力状态自由条件，建立x3轴平衡方程 c c πr 2 =0 σ π εp π (1 α )ε p 2(1 γ ) r 2(1 γ ) r h
0
2(1 γ )σ 0 a π c εp =
[1 + (1 α )πar / h 2 ]
桥联裂纹的能量释放率
当外边界S上作用表面力F时，材料内部位移ui0 + ui 1 0 2 (σ ij + σ ij )(ui0, j + ui , j ε ij * )dV 2 ∫V 1 2 0 2 Gibbs自由能F = ∫ σ ij ε ij *dV ∫ σ ij ε ij *dV 0 2 0 2* ε 33 = ε p 在 0 区域内 πr 2 c c π εp π (1 α )ε p 2 σ 33 = 2(1 γ ) a 2(1 γ ) r h 2* ε 33 = αε p 在区域内 c c σ 33 = π εp + π (1 α )ε p 2(1 γ ) a 2(1 γ ) r 应变能W =
复合材料细观力学理论
式中上标0代表复合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相
n
S* 0 ijkl kl
f0i0j
frirj
r1
n
S0 0 ijkl kl
fr
(Sirjkl
Si0jkl)
r kl
r1
利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是
U1
2
VijijdV12Ci*jkl i0jk0ldV
第三节 复合材料性能的自洽理论
50年代，Hershey and Kroner研究多 晶体材料的弹性性能时，先后提出了Selfconsistent method .
思想：在计算夹杂内部应力场时，为了考 虑其他夹杂的影响，认为夹杂单独处于一 有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性 常数就是复合材料的弹性常数。
S是四阶Eshelby张量，与材料性能和夹杂形状 有关，具有椭圆积分形式，并可推广到各向异 性介质和本征应变不均匀情况。对于特殊形状 夹杂，可以写出解析表达式：
对于球形夹杂，具有下列形式：
a1 a2 a3 S 1111 S 2222 S 3333
7 5 15 (1 )
ui VCmjklk*,ljGim(x,x')dV(x') VCmjklk*G l im,j(x,x')dV(x')
Gim(x,x') 格林函数，表示在x’处沿方向作用
单位集中力，点x处产生的位移i分量
上述位移对应的应变场（几何方程）
ij
1 2(ui,
j
uj,i)
in
复合材料细观力学理论
第一章 绪 论
定义：根据国际标准化组织为复合材 料所下的定义，复合材料是由两种或 两种以上物理和化学性质不同的物质 组成的一种多相固体材料。
复合材料力学 第六章 细观力学基础
3、 K 23 K m
Vf Vm 1 K f K m K m Gm
（平面应变体积模量）
4、 G12 G m
G f (1 V f ) G mVm G f Vm G m (1 V f )
5、
G23
可由三相模型求得： 利 用 在 r 处 施 加
纯剪均匀应力边界
1 1 * U ij ij dv Cijkl ij kl v 2 v 2
3）有效模量的严格理论解 并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效
只有按上述两种均匀边界条件算得的有效弹性模量一致，
弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通 过体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
* ij
对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明
而在夹杂以外为零，且有：
在夹杂内部是均匀的，
S 0 0 c * 0 c Cijkl ( kl kl kl ) Cijkl ( kl kl )
c ij * ijkl kl
其中 Sijkl 为Eshelby张量； kl 为因夹杂的出现而形成的 0 kl 为无限远处的均匀应变。 干扰应变；
4V f Vm (v f v m ) 2 E1 E f V f E mVm Vm V f 1 K f K m Gm
V f Vm (v f v m )(
2、
21 f V f mVm
1 1 ) Km K f
Vm V f 1 K f K m Gm
Mf
其中：
（M表示
E2 , G12或 23 ）
*
Mm Mf Mm
复合材料细观力学 2
? * ? ? (? CS1 ? C 0 )?1 ? C(? 0 ? ?~) ? ** ? ? (S2 ? I )?1(? 0 ? ?~)
其中? C ? C1 ? C 0 , K ? (S1 ? I )(? CS1 ? C 0 )?1 基体和纤维材料体平均 应力场分布
? m ? ? 0 ? ?~ ? C 0 (? 0 ? ?~) ? f ? ? 0 ? ?~ ? ? 1 ? C0 (? 0 ? ?~ ? ? 1 ? ? * )
基体材料断裂韧性为 Gc ,令Ga ? Gc得到基体开裂的临界条 件
? 损伤演化方程
Cijkl (n...) ? Cijkl (C1, C 0 , f1, f2,? ,? ) 当外载由? 0增加到? 0 ? d? 0时,微裂纹个数由n增加到n ? dn 1 [ C ?1(n...)? 02 ? C ?1(n ? dn...)(? 0 ? d? 0 )2 ] ? EAdn
? W1
?
?
1 2
? 0? *dV
V1
微裂纹夹杂引起的自由能变化
? ? W ? W ? W1 ? W0
?
?
1 2
?
V2
0? **dV
设裂纹厚度远小于其半径t / a ? 0,取单个圆币型裂纹体积? ? 4 ?a 2t 3
? ? W ? ? 2 ?a 2
3
? 0t(S2 ? I )?1(? 0 ? ?~)dV
? ? m ? C 0 (S1 ? I )? *
纤维与基体界面上应力 分布：
?
C ij
?
?
f ij
?
C0 ijkl
(?
C
? M n 0
*
pqmn mn kp q
复合材料细观力学性能
陶瓷纳米复合材料细观力学性能分析一.弓I言纳米材料是指尺度为I 一100nm的超粒，经压制、烧结或溅射而成的凝聚态固体。
它是80年代刚刚发展起来的先进材料，被美国材料科学会誉为“21世纪最有前途的材料”。
因此受到发达国家的高度重视，并且都在其发展高技术的计划中瞄准了这一新的材料领域，投人了相当的人力和物力⑴。
陶瓷材料是一种很有发展前途的结构材料，具有高的硬度，耐磨性，耐高温性，耐腐蚀性等其他材料无法比拟的优异性能，但脆性问题大大限制了陶瓷材料的应用发展，为进一步改善其断裂韧性和强度而进行陶瓷复合材料的研究。
陶瓷纳米复合材料是新近发展起来的一种陶瓷复合材料，复合系中至少一相为纳米尺寸［2,3］。
二.纳米陶瓷复合材料的分类在新型的纳米陶瓷复合材料中，其中的各相或至少其中某一相在一维上为纳米级，根据弥散相的不同和基体尺寸可分为晶内型，晶界型，晶内/晶界混合型，纳米/纳米型，如图1。
纳米弥散相分布在基体相晶粒内部为晶内型；纳米弥散相分布在基体晶界上为晶界型；实际制备中往往很难获得单纯一种纳米相处于晶内或者纳米相处于晶界上的纳米复合材料，多为晶内/晶间复合型；而在纳米/纳米复合陶瓷材料中所有各相晶粒均为纳米级。
纳米/纳米复合陶瓷材料在制备上对粉体性能以及烧结等工艺过程要求严格，使材料具有新的性能，如超塑性⑷。
图2-1纳米陶瓷复合材料的分类三.纳米陶瓷复合材料的力学性能分析3.1 AI2O3粉末对纳米陶瓷复合材料的影响为了改善纳米陶瓷复合材料的力学性能，探讨添加不同粒径和含量的Al 2O3粉末对纳米陶瓷复合材料微观结构和力学性能的影响。
实验采用真空热压烧结工艺来制备ZrO2纳米陶瓷复合材料，添加相包括AI2O3等金属粉末。
混合粉末经球磨48h和真空干燥24h后备用•在烧结温度为1450E、压力为30MPa、保温1h的条件下，采用真空热压烧结工艺，将干燥后的混合粉末制备成样品。
制得的样片厚度约为5mm，并经过切割、粗磨、精磨、研磨和抛光后，制成3mm x 4mm x 30mm的标准试样。
8-第八章_复合材料细观力学
纤维和基体必然承受相同的横向应力，均等于单元受
到的横向应力，有 f 2 m2 2
纤维和基体的横向应变为
f2
2
Ef
,
m2
2
Em
单元的横向变形是纤维和基体的变形之和，则有
w wf wm f 2wf m2wm
（8.8）
图8.6 代表性体积单元体 2方向拉伸示意图
Em
（8.9）
式（8.9）表示沿2方向的弹性模量倒数（柔量）满足混合律，该式可改写
成无量纲形式，即
ET
1
1
Em f Em / E f m 1 f 1 Em / E f
（8.10）
对于不同的弹性模量比Ef/Em，按式(8.10)确定的ET/Em随f 的变化曲线如图8.7
上述确定横向弹性模量ET时没有考虑纤维与基体之间的变形协调。通常纤 维和基体的泊松比不同，沿1方向的应变也不同，引起纤维与基体在界面处变
形不一致，这不符合实际情况（实际相同）。为了克服上述模型的缺点，可假
定沿1方向纤维与基体的应变相等，即 f 1 m1
（8.11）
为了保证变形协调，纤维和基体均为二向应力状态。当
图8.8 代表性体积单元体纯剪切示意图
由以上各式，可得复合 材料的表观面内剪切弹
1 f m f 1 f
GLT G f Gm G f Gm
GLT 性模量的表达式为：
（8.21） 这是复合材料的剪切模量倒数混合律。 上式亦可表示成无量纲形式，即
GLT
所示，在表8.1中列出ET/Em的一些数值。显然，要使横向弹性模量提高到基 体模量的2倍，需要50%以上的纤维体积分数。所以，一般纤维增强复合材料 的纤维体积分数都比较高。
复合材料结构设计第四章细观力学
• 玻璃纤维密度一般取2.54g/cm3，热固性树脂浇铸体的 密度近似取为1.27g/cm3 .则玻璃纤维增强塑料中纤维体 积含量可简化为：
1 mm vf 1 mm
（4.2.14）
4.3 单向连续纤维增强复合材料弹性 常数的预测
• 下图所示为复合材料单向板，将它简化为薄片 模型Ⅰ和薄片模型Ⅱ。模型Ⅰ的纤维薄片和基 体薄片在横向呈串联形式，故称为串联模型。 它意味纤维在横向完全被基体隔开，适用于纤 维所占百分比少的情况。模型Ⅱ的纤维薄片与 基体薄片在横向呈并联形式，故称为并联模型。 它意味纤维在横向完全连通，适用于纤维所占 百分比较高的情况。 • 一般说来，实际情况是介于两者之间的某个状 态。
mm f 1 1 m m m
（4.2.10）
f / m m f / m m f / mm
（4.2.11）
或者
f / m mf f / m vm / v f m / f mm m / f v f / vm
（4.2.12）
（4.2.13）
静力关系为： 12 f 12 f m12m
几何关系为：
(4.3.28) (4.3.29) (4.3.30)
12 f 12 m12
物理关系为： 12 12G12 , f 12 f 12G f 12 , m12 m12Gm12
将(4.3.27)代入(4.3.27)得
(4.3.20)
假设基体和纤维中剪切应力相等，即
12 f 12 m12
将上述三式整理并除以b得
(4.3.21)
1 1 1 I vf I v m I G 12 G f Gm
(4.3.22)
复合材料力学
复合材料⼒学⽬录复合材料细观⼒学 (1)简⽀层合板的⾃由振动 (9)不同条件下对称层合板的弯曲分析 (14)复合材料细观⼒学——混凝⼟细观⼒学⼀、研究背景复合材料细观⼒学复合材料细观⼒学是20世纪⼒学领域重要的科学研究成果之⼀，是连续介质⼒学和材料科学相互衍⽣形成的新兴学科。
近20年来，我国科技⼯作者应⽤材料细观⼒学的理论和⽅法，成功研究了许多复合材料的增强，断裂和破坏问题，给出了⼀些特⾊和有价值的研究成果。
混凝⼟细观⼒学混凝⼟作为⼀种重要的建筑材料已有百余年的历史，它⼴泛应⽤于房屋、桥梁、道路、矿井、及军⼯等诸多⽅⾯。
在⽔⼯建筑⽅⾯，混凝⼟也被⼤量使⽤，特别是⼤体积混凝⼟，它是重⼒坝和拱坝的主要组成部分，对混凝⼟各项⼒学性能的准确把握及应⽤，在⼀定程度上决定了⽔⼯建筑物的质量和安全性能。
⼆、研究⽬的长期以来，在混凝⼟应⽤的各个领域⾥，⼈们对混凝⼟的⼒学特性进⾏了⼤量的研究。
如何充分的利⽤混凝⼟的⼒学性能，建造出更经济、更安全和更合理的建筑物或⼯程结构，⼀直都是结构⼯程设计领域研究的重要课题。
三、研究现状混凝⼟是由粗⾻料和⽔泥砂浆组成的⾮均质材料，它的⼒学性能受到材料的品质、组分、施⼯⼯艺和使⽤条件等因素的影响。
过去，⼈们对混凝⼟⼒学性能的研究很⼤程度上是依靠实验来确定的。
随着实验技术的发展，混凝⼟各种⼒学性能被揭⽰出来。
但由于实验需要花费⼤量的⼈⼒、物⼒和财⼒，⽽且所得到的实验成果往往由于实验条件的限制也是很有限的。
现代科学的⼀个重要的思维⽅式与研究⽅法就是层次⽅法，在对客观世界的研究中，当停留在某⼀层次，许多问题⽆法解决时，深⼊到下⼀个层次，问题就会迎刃⽽解。
对混凝⼟断裂问题的研究归纳为如下四个研究层次：1)宏观层次：混凝⼟这种⾮均质材料存在着⼀个特征体积，经验的特征体积相应于3～4倍的最⼤⾻料体积。
当混凝⼟体积⼤于这种特征体积时，材料被假定为均质的，当⼩于这种特征体积时，材料的⾮均质性将会⼗分明显。
复合材料细观力学
jlmn mn
x
Nij
ξ
D 1
ξ exp
iξ x x
dξdx
ij
x
1
16
3
C
klmn mn
x l
j Nik ξ i N jk ξ
D1 ξ
expiξ x xdξdx
ij
dξ
(3-16)
3. 弹性场的一般表示
此时，（3.15）式中的位移分量为
ui
x
C jlmn
mn
x Gij,l
x xdx
式中
(3-17)
Gij ,l
x
x
xl
Gij
x
x
xl
Gij
x
x
(3-18)
有时，Green函数也称作基本解。对于应变和应力分量，
平衡条件
计算本征应力时，需假定材料D不受外载（体力和表面力） 作用。如果上述条件得不到满足，那么应力场可以通过自 由体的本征应力问题与相应的边值问题的叠加得到。
2. 弹性问题的基本方程
平衡方程
ij, j 0
(2-10)
无外力作用的边界条件
ijn j 0
(2-11)
式中，nj是弹性体D边界上的外单位法向量。方程（2.11） 是有限弹性体的边界条件。对于无限弹性介质，相应的
C G ijkl km,lj
x x
1
8 3
C N ijkl km
复合材料 细观力学 宏观力学
复合材料细观力学宏观力学复合材料是由两种或两种以上的不同材料组成的材料，通过不同材料的组合可以赋予复合材料更好的性能和功能。
在复合材料中，细观力学和宏观力学是两个重要的研究方向。
细观力学是研究复合材料微观结构和性能之间相互关系的学科。
复合材料的细观结构包括纤维或颗粒的分布、排列方向、相互间的界面等。
这些微观结构的变化会直接影响复合材料的力学性能。
细观力学通过建立数学模型和力学分析方法，研究复合材料的力学行为和性能。
例如，通过研究纤维的分布和排列方式，可以预测复合材料的强度和刚度。
宏观力学是研究复合材料整体力学行为和性能的学科。
复合材料的宏观性能包括强度、刚度、韧性、疲劳寿命等。
宏观力学通过实验和数值模拟等方法，研究复合材料在外力作用下的响应和失效机制。
例如，通过拉伸试验可以测量复合材料的拉伸强度和断裂伸长率，从而评估其力学性能。
细观力学和宏观力学相互关联，二者共同决定了复合材料的性能。
细观力学的研究结果可以提供给宏观力学，作为宏观力学模型的输入参数。
而宏观力学的研究结果也可以反过来指导细观力学的研究方向。
综合考虑细观力学和宏观力学可以全面理解复合材料的力学行为，并为复合材料的设计和应用提供科学依据。
在复合材料的研究和应用中，细观力学和宏观力学的研究方法和技术也在不断发展。
随着计算机技术的进步，数值模拟和多尺度模拟等方法已经成为研究复合材料力学行为的重要手段。
这些方法可以更加准确地描述复合材料的微观结构和力学行为，为复合材料的设计和优化提供更多可能性。
复合材料的研究需要综合考虑细观力学和宏观力学。
细观力学研究复合材料的微观结构和性能之间的关系，宏观力学研究复合材料的整体力学行为和性能。
二者相互关联，共同推动了复合材料领域的发展。
随着研究方法和技术的不断进步，我们对复合材料的理解和应用也将越来越深入。
复合材料力学
复合材料细观力学的均匀化理论1 引言随着科学技术的发展，复合材料由于其众所周知的高效性和特殊性而逐渐在各个领域取得了广泛的应用。
无论是军事、航空航天，还是建筑、汽车、电子、体育器械，几乎每个领域都能找到复合材料的身影。
通常人们把复合材料所占比例的多少作为衡量一个学科先进与否的重要参数。
使用复合材料的目的是为了利用它较高的性能比(如夹层板等)或者它在某一方面的特殊材料性质(如压电晶体、具有特殊热弹性性质的梯度材料等)。
由于对复合材料的要求比较苛刻，这就需要人们具有对其定量分析和根据一定的要求来进行特定的优化和设计的能力。
细观力学是一门通过研究材料在细观尺度上的结构、组成、分布等材料的构成来分析材料的物理、力学等材料性质的方法。
有限元法与细观力学及材料科学相结合产生了计算细观力学。
作为计算细观力学的最主要的组成部分，计算细观力学的发展一直是近十年来细观计算力学发展的主要特征和推动力。
它主要研究组分材料间力的相互作用和定量描述细观结构与材料性能之间的关系。
计算细观力学在求解复合材料细观力学问题中的应用正是在七十年代随着细观力学的起飞而发展起来的。
然而，该领域发展的高峰却是随着计算材料科学(或称为计算机辅助材料设计科学)的兴起才出现。
可以说计算细观力学与计算材料科学二者一之间互为促进共同发展。
均匀化理论的主要思想是，针对非均匀复合材料的周期性分布这一特点，选取适当的相对于宏观尺度很小并能反映材料组成性质的单胞，建立模型，确定单胞的描述变量，写出能量表达式(势能或余能等)，利用能量极值原理计算变分，得出基本求解方程，再利用周期性条件和均匀性条件及一定的数学变换，便可以联立求解，最后通过类比可以得到宏观等效的弹性系数张量、热膨胀系数张量、热弹性常数张量等一系列等效的材料系数。
近年来，计算机技术的飞速发展为大规模的科学计算.提供了可行性，均匀化方法的应用也随之广泛起来。
基于均匀化方法的复合材料设计、材料性能预测与优化、结构分析及优化在航空、航天、交通、建筑、机械制造、运动器械等领域都方兴未艾。
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设给定复合材料在其边界上受到远场均匀应 力场作用
•复合材料的体积平均应力应等于其远场作用的 均匀应力
•补充方程
•复合材料内部体平均应变场
算例：含缺陷纤维复合材料热膨胀系 数预报
含圆币型基体裂纹的单向复合材料，假定定 向分布的微裂纹垂直于纤维方向
将（4）是代入（1，3）式中
复合材料体平均应变场
1889年，Voigt根据晶体内常应变假设研究 了多晶体有效模量问题。
•混合律基础
Voigt等应变假设和Reuss等应力假设
复合材料各组成相都是各向同性材料给定远场应变，由Voi Nhomakorabeat假设有
给定远场应力，由Reuss假设有
Voigt and Reuss假设适用于长纤维复合材料沿纤维方向的拉 伸刚度，分别对应真实解的上下限
在远场均匀应力作用下，夹杂内应力为：
• 为了表征夹杂外部材料对夹杂变形的约 束作用，Hill引入一个约束张量使其满足：
•夹杂中的应变
对于两相复合材料夹杂与基体中平均应力、应变： •约束张量满足系列关系
Budiansky指出，当离散相为空洞时，按自洽 理论计算的等效剪切模量
•原因：仅考虑了单夹杂与周围有效介质的作用，而 当夹杂体积分数或裂纹密度较大时，预报的有效弹 性模量过高（含硬夹杂）或过低（含软夹杂），特 别是夹杂与基体弹性模量相差较大时，等明显。随 机取向微裂纹密度=9/16，有效杨氏模量=0
按材料作用分类
结构复合材料 （卫星承力筒） 功能复合材料 （导电、换能、防热）
复合材料的基本特点 共同特点：
可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能
可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工
工序
一般优点：
比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好 、抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
复合材料性能和损伤破坏规律取决于
组分材料性能 微细观结构特征
复合材料结构设计
复合材料本身是非均质、各向异性材料， 因此复合材料力学在经典非均匀各向异性 弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅 是材料，更确切的说是结构
以纤维增强的层合板结构为例，复合材料 设计可分为三个阶段：
l 1、单层材料设计，选择增强材料、基体材 料、配比关系
第三节 复合材料性能的自洽理论
50年代，Hershey and Kroner研究多 晶体材料的弹性性能时，先后提出了Selfconsistent method .
思想：在计算夹杂内部应力场时，为了考 虑其他夹杂的影响，认为夹杂单独处于一 有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性 常数就是复合材料的弹性常数。
由上节已知夹杂应变
注意：在取出与添入dV时，取出部分中含有体积为fdV 的
增强相材料，添入dV后复合材料实际的增强相材料为：
确定等效弹性模量的微分方程
•其中, A,B均可由自洽模型确定
算例
对于各向同性球形颗粒增强复合材料，微分方程为：
第五节 复合材料有效性能的上、下限
5.1 Voigt and Reuss上下限
取一均匀的各向同性比较材料，弹性模量为L0, 只要在该比较材料中作用适当分布体力，复合材 料的弹性场就可以在该比较材料中实现，作用应 变的边界条件，应力场为：
•根据最小势能原理，任意给定位移边条应变情况下
复合材料细观力学
第一章 绪 论
定义：根据国际标准化组织为复合材 料所下的定义，复合材料是由两种或 两种以上物理和化学性质不同的物质 组成的一种多相固体材料。
连续体：基体 分散体：增强材料 两相之间存在界面相
复合材料的分类 按增强相材料形态分类
连续纤维复合材料 短纤维复合材料 晶须增强复合材料 颗粒增强复合材料 编织复合材料
2、铺层设计 铺层方案 3、结构设计 产品结构的形状、尺寸、使
用环境
分析角度
复合材料具有非均匀性和各向异性 特点，这种差别属于物理方面
弹性模量、拉压强度、剪切强度、 热膨胀系数等
复合材料细观力学的核心任务
建立复合材料宏观性能同其组分性能及其细观结构之 间的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的 响应规律及其本质，为复合材料优化设计、性能评价 提供必要的理论依据及手段。
复合材料有效性能
有效弹性模量的影响因素
组分材料的弹性常数
基体 -各向同性 纤维 -横观各向同性
微结构特征
夹杂形状（纤维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹） 几何尺寸、分布 体积含量 等等
成熟的细观力学方法
Eshelby 等效夹杂理论 自洽理论（自相似理论） Mori-Tanaka方法（背应力法） 微分法 Hashin 变分原理求解上下限方法 其他方法
追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。
50年代----70年代 80年代快速发展 90年代不可缺少
参考教程
杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 1997 Mura T. Micromechanics of defects
in solids. 1987 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 1995 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
对于球形夹杂，具有下列形式：
2.2 等效夹杂原理
由于椭球夹杂存在，则
• 假定远场受均匀应力作用，椭球夹杂内场均 匀，给定一均匀本征应变
•作业：求解复合材料内部弹性场
第二节 Mori-Tanaka方法
1973年Mori and Tanaka在研究弥散 硬化材料的加工硬化问题时，提出求解材 料内部平均盈利的背应力法，即MoriTanaka方法
Kerner提出广义自洽模型
上海交通大学
•基
罗海安 三相模型 体
•等效介质
•夹杂
•合理原因： ➢考虑夹杂、基体壳和有效介质相互作用，比重平衡 ➢广义自洽理论放宽了相介质之间界面约束 缺点：解题难度增加
第四节 微分法
1952年, Roscoe研究悬浊液体性质时提出微分 等效介质概念，设某一时刻复合材料增强相体积比率 f，等效模量L，经过一个取出与添入过程后，f增至 f+df，L增至L+dL
按纤维种类分类
玻璃纤维复合材料 碳纤维复合材料 有机纤维复合材料 金属纤维复合材料（钨丝、不锈钢丝） 陶瓷纤维复合材料（硼纤维、碳化硅纤维） 混杂纤维复合材料（两种以上纤维）
按基体材料分类
聚合物基复合材料（热固性、热塑性树脂） 金属基复合材料（铝、钛、镁） 无机非金属基复合材料（陶瓷、水泥） 碳碳复合材料
第二章 复合材料有效性能
第一节 Eshelby等效夹杂理论
1957年Eshelby在英国皇家学会会刊 发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性 场问题的文章，证明了在均匀外载作用时 ，椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积 分形式）
2.1Eshelby相变问题
将应变分解为两部分
•扰动应变 •本征应变
根据虎克定律，弹性体应力场
证明
•复合材料代表性单元内力势能为： •根据等应变假设，势能Voigt近似值为
•根据最小势能原理，有
•复合材料代表性单元余能为： •根据等应力假设，余能Reuss近似值为 •根据最小余能原理，有
5.2 Hashin and Shtrikman上下限
1963年Hashin and Shtrikman对于各向异性均 匀体采用变分法研究了材料应变能的极值条件。 设有一n相统计均匀各向同性复合材料，它的第r 相体积与弹性模量分别为Vr ,Lr (r=1,2,3….n)。
• (a) cylinder and flange; (b) egg crate
structures; (c) turbine rotors woven by Techniweave Inc.; and (d) various
•3D knitted composites for bicycle helmets
将上式代入平衡方程 •分布体力问题
•利用格林函数方法和高斯定理：
格林函数，表示在x’处沿方向作用 单位集中力，点x处产生的位移i分量
•上述位移对应的应变场（几何方程）
•得到各向同性介质椭球体中，存在
•S是四阶Eshelby张量，与材料性能和夹杂形状 有关，具有椭圆积分形式，并可推广到各向异 性介质和本征应变不均匀情况。对于特殊形状 夹杂，可以写出解析表达式：
复合材料有效弹性模量定义
两类均匀边界条件
• 在均匀边条作用下，除边界点附近可能有扰动存在， •统计均匀复合材料应力场和应变场也是统计均匀的。 •即，代表性体积单元内场量=复合材料体积平均值
证明
•式中上标0代表复合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相
利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是