创意平板折叠桌-2014年数学建模国家一等奖优秀论文 (4)
2014年大学生数学建模竞赛B题阅卷情况总结
问题重述必须使用自己的语言重写，不能直接COPY 建模原题中的相关内容。
3.关于论文格式： （1）文字格式的规范性。文字的字体、字号、论文的 各级标题等等要一致。（2）插图、插表、数学公式格 式的规范性。插图、插表最好有图表的序号及标题， 并且格式美观、紧凑。数学公式必须使用WORD或者 WPS自带的公式编辑器输入，不能是使用其它方式输 入的，例如COPY自某个论文或者教材的电子版，或者 COPY自mathematica等能够生成数学公式的软件。 另外不能修改公式编辑器的默认输入格式。（3）必须 按要求标注页码。（4）参考文献及引用的规范性。全 国大学生数学建模竞赛论文格式规范要求：参考文献 的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。
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文字、格式
3
总体 印象
图表、数学公式 10 参考文献
页码
论文总体工作量
文字、格式的规范性 图表、公式的规范性 4档 参考文献及引用的规范性 页码标注情况 论文总体工作量饱满情况
第1档9 第2档7 第3档5 第4档3
模型方法及结果部分评分参考:(总分80分)
第一问：（35分） 分析过程描述清楚明白、把手处讨论合理（<20cm ）。 方法明确——方程随参数动态变化（角度，钢筋位置）。 求解结果——槽长需求出（<25cm）;边缘线需要有离散点空间坐标，鼓励 写出边缘线方程（参数）表达式。
第三问：（15分） 1.不能改变直线钢筋假设，不能求平面模型，需要注意到桌面边缘线和桌脚 边缘线之间有关系。2.建立模型，给出给定桌面边缘曲线的处理方式，在此 基础上，结合第一问的方法，给出动态的参数方程模型。3.考虑稳定性等， 在动态参数方程基础上，求出最优的设计加工参数，及规格等。4.给出一个 或多个实例及加工参数，每个实例要有至少8张动态变化图。 创新性试卷加分：
数学建模——创意折叠桌
创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。
为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。
根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。
关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。
在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。
（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。
2014全国大学生数学建模大赛B题北京赛区
创意平板折叠桌的最优设计摘要本文讨论了某公司的新型产品创意平板折叠桌的设计问题。
从易到难，将问题一步步深化，从各项设计参数已知到客户提出各种需求参数，我们给出最优设计的数学模型。
首先，在平板尺寸、钢筋位置、桌子高度和桌面形状大小均已知的情况下，我们对数据进行计算，给出包括各木条长度、木条开槽长度等的设计加工参数，利用CAD和MATLAB分别绘制出设计图纸及桌角边缘线的四分之一图形。
建立数学模型，通过讨论桌子在不同高度时的状态，给出对创意平板折叠桌动态变化过程的描述。
进而，在仅知桌面高度和桌面形状大小的情况下，我们综合考虑成本、产品稳固性和加工简便性，引入用料体积、临界压力、实际压力、稳定安全因数四个因素，找到其中的最优解，再求出在最优解情况下的开槽长度。
通过对未知的设计参数进行字母设定，以实用和美观为原则，对各项参数给以适当的取值范围，得到平板折叠桌体积的表达式。
由于实际压力不受平板折叠桌结构本身影响，故我们假定一个适当的实际压力值，临界压力和稳定安全因数则由材料力学相关公式给出。
为将成本用料和产品稳固性综合考虑，我们引入稳定安全因数与体积之比这一新的量值，利用Lingo 软件，当其比值最大时，找到了综合考虑成本和产品稳固性的最优解。
在最优解各项设计参数已知后，按照几何关系列式求出相应的开槽长度。
最后，在平板折叠桌的外观要求全部由顾客制定时，我们建立数学模型将平板折叠桌分为三大类，桌面形状分为凸形、凹形和凹凸结合性。
对于每一类，制定不同的平板处理方法，在确定一些满足桌子实用性和美观性基本要求的设计参数的取值范围后，我们给出相应的设计参数最优解的求解步骤。
再利用我们所设计的数学模型结合CAD绘图，给出三种个性设计的创意平板折叠桌的动态变化图示。
关键词：平板折叠桌、最优设计、数学模型、多目标优化、压杆稳定、AutoCAD、MATLAB、Lingo一.问题重述1.1背景某公司生产了一种平板折叠桌，为了增大有效使用面积,设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面,又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的木梁,每个木梁的长度为宽到圆上一点的距离,分别用两根全属棒贯穿两侧的木条。
2014全国大学生数学建模竞赛B题创意平板折叠桌程序
2014年全国大学生数学建模竞赛B题《创意平板折叠桌》Maple程序桌面形状可定制，但必须是上下对称，且上边缘线可用函数表示桌脚开孔位置可调此程序在Maple7下调试> restart:with(linalg):with(plots):W:=50: #板宽H:=120:#板长h:=2.5:#桌脚厚度d:=3:#板厚度q:=0.5:#最外边桌脚开孔位置（比例）ht:=50:#桌子最大高度n:=floor(W/h):#桌脚数#y=(x)-> -2/W*x^2+W/2: #桌面形状:抛物线方程y:=(x)-> sqrt((W/2)^2-x^2):#桌面形状:圆L:=(k)-> H/2-y(-W/2+k*h-h/2):#桌脚长度alpha_Max:=arcsin(ht/L(1)):#最外边桌脚与地面夹角P1:=(k,alpha)-> [-W/2+k*h-h/2, y(-W/2+k*h-h/2), 0]:#桌脚上端点坐标P2:=(k,alpha)-> [-W/2+k*h-h/2, y(-W/2+h/2)+q*L(1)*cos(alpha), -q*L(1)*sin(alpha)]:#桌脚上钢筋穿过的位置坐标s:=(k,alpha)->(P2(k,alpha)-P1(k,alpha))/norm(P2(k,alpha)-P1(k,alpha),2):#桌脚所在直线单位方向矢量P3:=(k,alpha)-> P1(k,alpha)+L(k)*s(k,alpha):#桌脚下端点坐标#计算开槽长度V:=[seq(norm(P2(k,alpha_Max)-P1(k,alpha_Max),2)-norm(P2(k,0)-P1( k,0),2),k=1..floor(W/h))];#作图--------------------------------------------------------------#--------------------------------------------------------------TableTop :=spacecurve({[t,y(t),0],[t,-y(t),0]},t=-W/2..W/2,color=black):#绘制桌面边缘Graph:=[]:for alpha from 0 by 0.1 to alpha_Max doTableFoot:=[seq(pointplot3d({P1(k,alpha),P3(k,alpha)},style=LINE ,color=black),k=1..n)]:#绘制桌脚pointplot3d({P2(1,alpha),P2(20,alpha)},style=LINE,color=black):#绘制钢筋Terminus :=pointplot3d([seq(P3(t,alpha),t=1..n)],style=LINE,color=blue):#绘制桌脚边缘线#作另一半图形，使用利用y轴对称TableFoot2:=[seq(pointplot3d({subsop(2=-P1(k,alpha)[2],P1(k,alpha)),subsop(2=-P3(k,alpha)[2],P3(k,alpha))},style=LINE,color=black),k=1..n)]:Axis2 :=pointplot3d({subsop(2=-P2(1,alpha)[2],P2(1,alpha)),subsop(2=-P2( 20,alpha)[2],P2(20,alpha))},style=LINE,color=black):Terminus2 :=pointplot3d([seq(subsop(2=-P3(t,alpha)[2],P3(t,alpha)),t=1..n)], style=LINE,color=blue):Graph:=[op(Graph),display([TableTop,Axis,Terminus,op(TableFoot),Axis2 ,Terminus2,op(TableFoot2)])]:#合成图形end do:display(Graph,insequence=true,scaling=CONSTRAINED,view=[-W/2..W/2,-H/2..H/2,-H /2..1]);#显示动画Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords has been redefined:=V0.4.356435217.6637161210.3683770912.5925510014.3930214615.80311747 ,,,,,,, [,,,,,,16.8444905317.5314415217.8727996117.8727996117.5314415216.84449053,,,,,,]15.8031174714.3930214612.5925510010.368377097.663716124.356435210.>。
一种创意折叠桌参数设计的数学模型及仿真
一种创意折叠桌参数设计的数学模型及仿真祁令姿【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)003【摘要】The purpose of this paper is to discuss an optimization problem of a kind of folding table.Based on the shape parameters including the height,the shape of the table top and the folding angle of this table,a mathematical model of the dynamic process of folding table is established,which contains several material pa－rameters and machining parameters.And this model is constructed with the help of Maple,which simulates the process and the three－dimensional renderings of the table.Moreover,combined with this simulation,the opti－mization of the parameters such as the position of reinforcement is analyzed.Finally,the calculation formula of machining parameters is given,and the scheme of machining parameters is calculated by programming.%讨论一种创意折叠桌的优化设计问题,根据桌子高度、桌面形状以及折叠角度等形状参数,建立了包含几种材料参数和加工参数的数学模型.并利用Maple数学软件通过编程仿真模拟了动态折叠过程以及不同桌面形状的折叠桌三维效果图.结合仿真模拟,对钢筋位置等参数的设定进行了优化分析.最后,给出了加工参数的计算表达式,并针对一个具体实例,通过编程计算了加工参数的设计方案.【总页数】7页(P469-474,478)【作者】祁令姿【作者单位】北京航空航天大学计算机学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TS665.3i;O242.1【相关文献】1.创意平板折叠桌参数化设计 [J], 高云璐;牛哲浩;赫俊辉2.创意平板折叠桌数学模型的设计与研究 [J], 李婉婷3.创意平板折叠桌的数学模型及优化设计 [J], 朱希迅;王嘉杰;王珏4.创意平板折叠桌参数设计与优化 [J], 赵弈; 王畅畅5.基于数学模型下平板折叠桌的创意设计 [J], 覃雪清;翁世有因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
科研课题论文：构建创意平板折叠桌的数学模型
65511 数学论文构建创意平板折叠桌的数学模型一、模型假设折叠后的桌面为理想圆，光滑平整，且桌面上的木条间无间隙钢筋与开槽内壁之间无摩擦将木条抽象为线段，不计木条的厚度二、符号说明序号符号符号意义1r桌面半径2h桌子高度3N桌腿的根数4b每根木条的宽度5p铺平时木条的铰链到x轴的距离6q桌子长度的一半7α第一根木条与桌面间的夹角8y（r）第一根木条的铰链之间的距离的一半9y（t）不忽略y（r）时木条的铰链对应的纵坐标10legL（t）桌腿长度三、模型的建立与求解3.1几何分析模型考虑桌面折叠后最边缘的木条长度，建立空间直角坐标系，取每根木条的中心线作为取值点，y轴的取值范围为[-r+d/2，r-d/2]，取值间隔为d，桌面圆的参数方程为：y（t）=tx（t）=r2-t2腿长度为：legL（t）=q-x（t）图1XOZ平面图如图所示，B点为钢筋轴在XOZ平面投影的位置，A点为t0=-r+d/2时所对应的x轴函数值，即此时有：x（t0）=r2-（-r+d/2）2。
在ΔABD中，BD=ABsinα，即可得钢筋轴竖坐标z1（t）=-gsinα同理，由AD=ABcosα，得钢筋轴横坐标x1（t）=x（t0）+gcosα在ΔCBD中，tanβt=BDCD，故βt=arctan-z1（t）x1（t）-x（t）在ΔCEQ中，EQ=CEcosβt，QE=CEsinβt故桌脚边缘线的横坐标为x2（t）=x（t）+legL（t）cosβt桌脚边缘线的竖坐标为z2（t）=-legL（t）sinβt使用MATLABR2012b绘制折叠桌在折叠过程中的动态变化示意图，如下：图2折叠桌在折叠过程中的动态示意图3.2参数方程的建立3.2.1木条铰链参数方程设计的木条宽度不一样，那么折叠桌的桌腿数目也会随之改变。
将桌面近似为一个半径为r的圆。
那么将每根木条铰链处对应横坐标视为一个关于参数t的渐变连续的函数。
设N为桌腿的根数，b为每根木条的宽度，则有关系式：N=rb即，b=rN由勾股定理知，铰链的纵坐标满足关系式y（t）2+（i-1Nr）2=r2由此化简可得出铰链的参数方程为x（t）=ty（t）=r2-[（i-1）b]23.2.2桌角边缘线参数方程的建立上述几何模型中求的桌角边缘线参数方程，忽略了将平板折叠后，最长木条铰链间的距离。
2014数学建模国赛山东省省一论文
在 matlab 中获得曲面图像如下图：
图 6 直纹曲面图形
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对该折叠桌，当 x 取值±2.5n，n=1,2……9,10 时，即可表示单侧桌腿组的动态 变化过程。另一侧由于关于 xoz 平面对称，当 y 取相反数时，即可表示。 5.1.3 桌角边缘线（红线）模型 取任一木条与桌面做纵切面如图， 从木条边缘点 C 与钢筋点 C’分别向桌面做垂线 CA， C‘A’，可知△ ABC∽△ A‘B’C‘，即可得
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图 5
由坐标系 I 可知，x 为 n 号木条外边缘距原点的垂直距离，可得该折叠桌平面状态时 桌腿长度方程 M0：
M （x,y,z）:
60 625 x 2 ; y= 60 5.16 54.84 ;
A B B C A C Equation 6 AB BC AC
图 7
由等式 2 木条长度方程 M 可得 BC 方程，等式 4 钢筋运动方程 G 可得 A’C’、 A’B’与 B’C’ 方程，由等式 6 比例关系即可得出 C 点运动轨迹，即边缘线方程：
Equation 7
0 7507 B x, y, z : 25 x 25 60 625 x 2 y 625 x 2 z 2 2 2 2 27.42sin 27.42 cos 5.16 625 x (27.42cos 5.16 625 x ) 27.42sin
创意平板折叠桌设计毕业论文
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图 1 三维空间坐标平面 为了描述折叠的动态效果，将第一条桌腿与 Z 轴的夹角定义为 ，表示折叠的程度， 的变化范围 为 ， [900,00] 如图 3 所示。
涉密论文按学校规定处理。
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日期： 年 月 日 日期： 年 月 日
注意事项
1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明 3）中文摘要（300 字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入） 6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢 9）附录（对论文支持必要时） 2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于 1 万字（不包括图纸、 程序清单等），文科类论文正文字数不少于 1.2 万字。 3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求： 1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错 别字，不准请他人代写 2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所 有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工 程字书写，不准用徒手画 3）毕业论文须用 A4 单面打印，论文 50 页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上 5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文） 2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装 订
4.3 问题分析 4.3.1 桌脚直纹曲面
根据折叠桌的动态变化过程的视频材料分析，给 定长方形平板尺寸、高度和钢筋位置时，当折叠角度 变化的情况下，桌腿桌脚边缘线的变换规律，最外最 长的桌脚作为支撑点着地，其余桌脚悬空，距离中心 越近的桌脚悬空和旋转的角度越大；由于连接桌腿木 条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置固定 （30cm 处），为了能够形成折叠角度，只要设计合适
全国数学建模获奖作品(创意折叠桌)
创意平板桌摘要本题目中提供了若干折叠桌的图片，需要利用数学软件进行创意设计。
对本文中的三个问题，利用MATLAB软件(由美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分，详细介绍请见附录1)，对图片进行灰度分析，转化为数据分析，并通过对matlab编程，在matlab中选出最优解，最后利用3dmax绘图，实现平板桌的设计。
本文根据题目所给知识，利用运筹学基础理论、相关的数学建模知识以及相应的计算机软件，解决了如下问题：问题1：由对每根木条长度的精确计算，建立折叠桌的动态模型，并计算出桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线等折叠桌的设计参数。
针对图中创意折叠桌：利用MATLAB对图片进行处理，转变为具体的空间直角坐标系，其中蓝色代表木条，棕色代表桌面，红色代表桌角边缘线（详细介绍请见附录2），空间直角坐标系中由最后数字的确立，即为视频中最后一张图片的演示结果。
利用勾股定理法，使用CAD语言程序统计出剩下第一张图片和最后一张图片的所有木条个数，使其折叠桌的设计原理更加鲜明。
建立由MATLAB进行编辑的的数学模型，木条分别为L1，L2，……，L20，再重复利用上述算法，找出折叠桌的各项参数。
问题2：先对桌子进行与问题1相同的参数计算。
但由于要在70 cm，桌面直径80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。
在计算的时候应考虑更多的稳固性、加工方面、用材的信息。
这里除了计算参数外，另外引用折叠结构设计基本几何参数这个概念进行再次验证，以减小误差。
最后再对得到的桌子参数进行人工验证(人工干预)，最大程度减小误差。
问题3：在问题二的理论分析验证的基础上，已经建立起最优化的数学模型，为了满足客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，应用MATLAB进行不断更新换算程序，得出八个时刻八张动态折叠桌折叠过程，（详细介绍请见附录3），使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究
数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究随着的和进步，能够有效节省空间的创意平板折叠桌应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求,而且能够有效节省空间.那么,如何进行创意平板折叠桌数学模型的优化设计呢？XX数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究篇一：XXXX本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想,通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。
同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。
最后通过Lingo和Maｔlab软件编程给出了最优加工参数。
折叠桌；非线性规划模型;几何思想；Lingo和Matlaｂ软件XX随着的不断进步,城市化进程的,高楼大厦密集,城市道路八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来,**行**业都开始广泛关注空间的有效利用,尽可能地节省空间。
空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用,它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵**。
当然，一块木板变成一张桌子,通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究（如图１所示），我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
问题3：根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。
XX1模型准备XX1．1问题分析通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程,由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、**木条折叠的角度、开槽长度、**木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。
同时,又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响,以及折叠桌轻巧方便、美观**、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点.分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化,每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系,可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。
创意平板折叠桌动态变化过程的数学模型
创意平板折叠桌动态变化过程的数学模型随着住宅空间的变小，越来越多折叠家具出现，因此许多设计公司制造出了各式各样的折叠家具以满足市场需求，折叠桌作为一种低碳、环保、节能、健康的使用家具，在不少家庭迅中速推广与普及。
本文用数学模型模拟出折叠桌的动态变化过程，对折叠桌的设计加工给出了具体的数学描述。
标签：平板折叠桌；开槽长度；直纹曲面；旋转运动一、模型分析本模型以某公司设计的圆形折叠桌为例进行讨论。
以桌子的中心为原点，设平板过中心的宽为x轴，长为y轴，建立三维坐标系。
在此坐标系之下，设桌子边界线上点为（x0，y0，z0），h为桌子的高度，k为桌子的最外侧桌腿的长度。
将长方形平板变形为立体桌子的动态过程中，过桌面边界线上每点M0（x0，y0，0）的直线上的点m（x0，y0，0），会以M0为圆心，y-y0为半径做圆周运动。
当桌腿随着铰链活动时，桌子的高度h处于动态变化中，桌脚边缘线也随着h的变化而成为空间动态曲线。
记桌脚边缘线方程为g（X，Y，Z）h= 0，（X，Y，Z）为此时桌脚边缘线上的点的坐标。
由长方形平板变形为立体桌子的过程可知，桌子外形由直纹曲面构成，而直纹曲面可由无穷多数量的线段连接直纹曲面相对侧边线和g（X，Y，Z）h=0的相应点所组成。
二、模型假设与符号说明1.模型的假设①假设两根木条之间缝隙可忽略；②不考虑材质，将桌面和平板抽象成理想的数学模型，只考虑与本问题相关的长度、高度以及厚度等数字特征。
2.符号说明三、模型的建立及求解1.模型的建立2.问题的求解（1）计算木条开槽的长度。
AB以A为圆心，半径AB长60cm垂直向上画弧至桌子所需的高度时，B点运动所至的位置记为B’，中点E运动所至的位置记为E’。
同理，CD以C为圆心，半径CD长60cm垂直向上画弧至桌子所需的高度时，D点运动所至的位置记为D’，中点F运动所至的位置记为F’。
此时，钢筋EF运动所至的位置为E’F’（参见图2）。
四、模型的优缺点及改进方向（1）在此模型中连续函数在离散化问题中不够精确。
数学建模 创意平板折叠桌
B题创意平板折叠桌摘要本文针对折叠桌得特点，将其抽象成简单得数学模型，按题目中得要求，应用立体几何图形与运筹学得方法建立数学模型并求解。
对问题一,依据题目中得数据应用Mａtlaｂ与SolidＷorkｓ软件，对折叠桌得运动过程进行动态模拟与分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法与向量法，对折叠桌得桌腿长与桌腿木条开槽得长度进行求解得到开槽长度为:对问题二,折叠桌放置在地面，不考虑木条得形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢筋对各个桌腿得力为零.假设折叠桌与木地面有一定得摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力，就是二力杆,根据木头间得摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向得最大角度。
给折叠桌一个稳定安全因数，便可得到折叠桌得安全角度.根据大小，桌面高度与圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长得总长，因此得到优化目标为加工得木条槽长最短，当桌高７0 cm，桌面直径8０ cm 时，解得木板长ａ=167、41６cm钢筋距边缘桌腿末端得距离为cm针对问题三,我们在问题一得基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线得形状，大小出发，给出软件设计得模型。
在该模型设计得基础上,我们根据自己设定得参数,相应地应用SｏlｉdＷｏｒｋs设计新型得平板折叠桌，其中有菱形桌面与椭圆型桌面，见图6～图1２。
关键字：立体几何图形动态模拟自锁 SolｉｄWorks一、问题得重述某公司生产一种可折叠得桌子，桌面呈圆形,桌腿随着铰链得活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示)。
桌腿由若干根木条组成，分成两组,每组各用一根钢筋将木条连接,钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧得两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动得自由度（见图3）。
桌子外形由直纹曲面构成,造型美观。
附件视频展示了折叠桌得动态变化过程.试建立数学模型讨论下列问题：1、给定长方形平板尺寸为1２0 cm ×5０ cm × 3 cm,每根木条宽2、5 cm，连接桌腿木条得钢筋固定在桌腿最外侧木条得中心位置，折叠后桌子得高度为53 cm。
平板折叠桌最优设计的模型研究
平板折叠桌最优设计的模型研究张雪蕾;王佳颖;吴雷【摘要】There is a creative flat folding table .We build an elementary function model to give the dynamic change process of the table and functional expressions of the length of slots and the edge lines of legs of the desk .According to the stability ,the difficulty of process and the quantity of material ,we build a multi-objectives functional optimization model , and seek optimal design with simulated annealing algorithm based on multi-objectives function .At last ,an elementary objective function model of the flat folding table is given .And then we design two new creative flat folding table by the model .%现有一种创意平板折叠桌 .建立初等函数模型 ,给出折叠桌的动态变化过程及开槽长度和桌脚边缘线的函数表达 ;根据\"稳固性、加工难易、用材多少\"等要求建立多目标函数的优化模型 ,采用基于多目标函数的\"模拟退火\"算法 ,求得一定条件下的最优设计方案 .最后给出一种折叠桌设计软件的初等目标函数数学模型 ,并利用次模型设计出三角形、六边形两种新的创意平板折叠桌 .【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)005【总页数】10页(P23-32)【关键词】平板折叠桌;动态变化过程;设计加工参数;优化问题;约束条件下非线性多目标规划;模拟退火算法【作者】张雪蕾;王佳颖;吴雷【作者单位】北京师范大学数学科学学院,北京100875;北京师范大学数学科学学院,北京100875;北京师范大学信息科学与技术学院,北京100875【正文语种】中文【中图分类】O224为了生活方便，而且富有创意，现设计一种可折叠的桌子.桌面呈圆形，桌腿可随着铰链的活动平摊成一张平板.桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度.先就该折叠桌的动态变化过程、设计加工参数等方面建立数学模型进行讨论，考虑其最优化的设计加工参数，最后旨在给出一种折叠桌设计软件的数学模型，尽可能满足客户任意设定的要求而设计出折叠桌.如图1所示，首先，考虑最简单的平板尺寸、桌面形状、桌腿宽度、钢筋位置及桌高都确定的情况，此时给定长方形平板的尺寸为a×b×c=120cm×50cm×3cm，每条木条(桌腿)宽d=2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为H=53cm.由于桌子是前后左右对称的，故只需考虑个桌子即可.易知个桌子的桌腿条数n=10.在折叠过程中，将圆形桌面看作保持不动，桌腿上端点也确定，要描述折叠桌的动态变化过程，只需给出桌腿下端点的运动轨迹.本文以圆盘桌面的下表面圆心为原点，平行于长方形平板的长边为x轴，平行于宽边为y轴，垂直于板为z轴，建立3维的直角坐标系.对于第n条桌腿，我们设其与x轴的夹角为φn，我们先考察长方形平板上桌面的及桌腿木条的分布情况.如桌面的俯视图图2所示，最外侧木条的长度l1=52.1938cm.因为l1>h=H-c=50cm，满足高度条件.同时，最外侧木条与地面的夹角大小满足=0.2995<μ=0.4，故此时桌子受到的静摩擦力小于最大静摩擦力(将最大静摩擦力看作滑动摩擦力)，使桌子能稳定的放在地面上.所以，分布情况合理.在折叠的某一过程中，每个桌腿下端点的坐标表示可根据图3求出.因此第n条桌腿下端点坐标表达的参数方程为将ln和mn的表达式代入，得到最终的描述“折叠桌动态变化过程”的参数方程为代入上述参数方程即可得仅含参数最外侧木条与地面夹角φ1与桌腿条数n的参数方程，即为最终的参数方程.(由于最终方程若将所有变量代入十分复杂，且无法清晰的展示各变量之间的关系，故没有展示出代入后的最终结果.)具体动态变化过程图：在折叠过程中，木条的开槽长度是很重要的设计加工参数.平板时钢筋所在的位置与折叠后钢筋所在位置的差值即为木条的开槽长度，通过每根木条折叠前与折叠后的几何关系(如图6所示)即可求出.该图是最外侧木条转动φ1角度时的平面图，此时，第n根木条转动了φn角度，从图中很容易看出开槽长度其中l与图2的q的长度相同，故将n=1,…,10代入求开槽长度xn的方程，得到桌子上10根木条分别的开槽长度. 首先，可以写出桌面边缘线关于y的参数方程由于将木条无限细化，可暂时忽略木板的厚度以及m1的大小，且钢筋位于最外侧木条的中心位置，因此可以获得钢筋最外侧的点的坐标方程如下桌子稳定放置在地面时，由于钢筋和地面平行，因此有分别将l1，φn带入(1)，由此可得到“桌角边缘线”关于y的参数方程：将n=1,…,10的情况分别算出10根木条的下端点的位置，描点连线得到桌脚边缘线的图像，如图7所示.当只给出折叠桌的高度和圆形桌面的直径来设计折叠桌，且使设计“稳固性好、加工方便、用材最少”.我们定义“稳固性好”为当桌面边缘放置重物时，桌面不会发生翻转，并且如果水平推拉桌子，桌子仍不会发生翻转或平移；定义“加工方便”为桌腿木条宽d越大(即个数越少、切割的次数越少)越方便；定义“用材最少”为木板本身的体积和开槽的总体积都尽可能小，则用材最少(考虑开槽的总体积是因为开槽的总体积表示浪费的木材，浪费的木材越多，用材越多).此时桌子的设计与长方形平板材料(平板密度ρ，地面的摩擦因素μ及平板尺寸a×b×c)、折叠桌(桌腿条数N，钢筋位置p(钢筋距离最外侧木条顶端的距离)及开槽长度xn)这些设计加工参数相关.仍考虑平板为木板的情况，通常情况下，木板的密度ρ=0.6g/cm3，木板与地面的摩擦因素μ=0.4.在考察稳固性、加工及用材之前，要使桌子能够设计出来，参数之间应首先满足一些限制条件.(i) 钢筋的位置必定达到最短的桌腿木条顶端，否则不是所有的木条上都有钢筋，桌子会散架.如图8所示，即(ii) 折叠过程中钢筋一定不能超过木条的最低端.如图8所示，即(iii) 桌子要能稳定的放在地面上，必须满足重力与静摩擦力的合力沿木条，即<μ.根据定义分2种情况对桌子进行受力分析.一是在桌子边缘放置重物，使桌子不会发生翻转.由于圆形桌面上与木条相切的边无论怎样放置重物都不会造成桌子的翻转，故只考虑重物放置在桌面与x轴相交的最边缘点处.如桌子xOz平面截图图9所示：翻转的情况只会发生在圆形桌面的半径超出支点，即r>d2的情况下.超出时，只有当重物放置的力F1小于重力mg对支点的力时，桌子才不会翻转，才稳固；在临界条件下，另一种情况是用水平的力去推桌子，当水平推力F2小于重力mg对支点的力，同时水平推力F2小于最大静摩擦力μmg时，桌子才既不会平移也不会发生翻转，所以F2要小于重力mg对支点的力和最大静摩擦力μmg的最小值，才稳固性好.临界条件下，桌腿木条的宽度表达式为因为长方形平板是规则的长方体，所以长方形平板的总体积桌腿裁切后，桌面呈锯齿状而非纯圆形，为了使最终桌面的形状最大程度上近似于所要求设计的形状，故考察要求设计的圆形桌面的面积与裁切后锯齿状桌面的面积之差(裁切后锯齿状桌面的面积=整个长方形木板的面积减去总的裁切的桌腿木条的面积)将目标函数的6个方程，看成6个元素，共同构成一个6维的向量.因为6个函数均为连续函数，所以在选取领域解时，让其在规定范围内随机选取一个点作为该已知点的领域解.判断是否为最优解时，只有6维向量的每一个元素(即每一个目标函数)均小于当前解，选取的领域解才为新的最优解，可跳出.这属于“多目标模拟退火[4]”.同时本文采用SMOSA算法[5]决定跳出局部最优解的概率，则接受新解的概率为本文采用模拟退火算法[6-7]求解设计模型的最优方案，得到最优设计加工参数为动态过程示意如图10：首先建立空间直角坐标系，根据客户给出桌面边缘线的形状，用一个参数方程表示这个平面上的曲线通过消参，可以得到一个含有变量t,n,d的方程，记作接着根据客户给出桌脚边缘线的形状，表示出其对应的方程.另外在同一y值下，桌面边缘线和桌脚边缘线上点的连线即为该处的木条.根据桌子在坐标轴的位置可以得到：通过最优设计加工参数的分析有接下来仍用模拟退火[6-7]的方法，运用最优设计加工参数中的六个目标函数的表达方式来选取最优解，其中h由顾客提供，所以目标函数[5]如下：给定桌面边缘线的形状为边长为cm的正六边形，桌高为h=56cm，代入该模型，得到设计加工参数为最外侧木条长度l=60cm，钢筋距离p=40cm，每条木板宽度d=2.5cm，木板条数N=10，平板厚度c=3cm.本文先考虑了桌高、平板尺寸和形状、桌面尺寸和形状、木条宽度及钢筋位置都确定的情况.通过分析，建立了初等函数模型，得到折叠桌桌面的参数方程和木条顶点坐标.通过描述木条下端点的变化轨迹，给出折叠桌的动态变化过程.在此基础上分析了平板折叠前、后的几何关系，得到木条的开槽长度.最后将木条细化，通过每根木条的下端点坐标，得到桌脚边缘线的函数表达式.当只给定桌高和桌面直径时，根据设计上“稳固性好、加工方便、用材最少”的要求，得出最大边界压力、最大水平推力、木条宽度、平板体积、开槽总长度、预想面积与实际面积之差的6个目标函数.本文采取了基于多目标函数的“模拟退火”算法，通过SMOSA算法决定跳出局部最优解的概率，从而求取出使该带有约束条件的非线性多目标函数规划问题达到最优值的设计加工参数.对于客户任意给定的创意折叠桌，我们可通过顾客给出的桌面和桌脚边缘线的形状得到它们的曲线方程，用折叠桌的形状参数和位置参数来表示桌面边缘线上各点的坐标.，进而得到桌脚边缘线的参数方程，再将其转化为用折叠桌的形状参数和位置参数表示的曲线方程.将有关折叠桌形状参数和位置参数的桌面、桌脚边缘线的参数方程联立，得到折叠桌加工参数的限制条件.最后在限定条件下运用模拟退火算法得到最优解.对于折叠桌最优设计的确定，可请客户明确给出考察“稳固性好、加工方便、用材最少”的重要性排序，我们可根据重要性给出权重，采取给各个目标函数赋权的方法，确定最优设计加工参数，而不是如本文所述，在模拟退火中，6维元素的初始温度和下降系数都相同，这样可使折叠桌的设计更加符合客户的需求.注本文获得2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛全国一等奖.指导教师：北京师范大学数学科学学院王颖喆【相关文献】[1] 刘淳安.动态多目标优化进化算法及性能分析[J].计算机仿真，2010，27(4)：201-205.[2] 雷德明，严新平.多目标智能优化算法及其应用[M].北京：科学出版社，2009.[3] 刘鹏飞，董守斌，曹以诚，等.多目标优化的非编码RNA比对及预测[J].计算机工程，2009，35(9):225-226.[4] 张长林，余建星，杨振国.非线性约束最优化问题的多目标模拟退火算法[J].复旦学报(自然科学版)，2003，42(1)：93-97.[5] 李金忠，夏洁武，曾小荟，曾劲涛，刘新明，冷明，孙凌宇.多目标模拟退火算法及其应用研究进展[J].计算机工程与科学，2013，35(8):77-88.[6] 王爱莲.基于模拟退火算法的函数极值分析[J].电脑开发与应用，2009，22(10)：13-14.[7] 胡大伟，朱志强，胡勇.车辆路径问题的模拟退火算法[J].中国公路学报，2006，19(4)：123-126.。
创意平板折叠桌论文
创意平板折叠桌论文摘要随着科技的发展，平板电脑成为了许多人的首选电子设备。
为了提高平板电脑的使用便利性，我们设计了一款创意平板折叠桌。
该桌子可以方便地将平板电脑与桌面结合，提供了更加舒适的使用体验。
本文将介绍该平板折叠桌的设计原理、结构和功能，并讨论了其应用前景和市场潜力。
一、引言随着移动互联网的快速发展，平板电脑在近年来迅速普及。
平板电脑具有轻便、便携、功能强大等特点，使得它成为了许多人的首选电子设备。
然而，使用平板电脑时，人们常常会面临一个问题：没有合适的桌面。
在使用平板电脑时，往往需要将它靠在其他物品上，如书籍或枕头，这样容易导致整体不稳固、高度不合适等问题。
因此，设计一种能够方便地将平板电脑与桌面结合的平板折叠桌成为了迫切的需求。
二、设计原理基于以上需求，我们设计了一款创意平板折叠桌。
该桌子的设计原理是通过折叠结构实现平板电脑与桌面的结合，从而提供更加舒适的使用体验。
该桌子可以根据用户的需求自由调节高度和角度，使得用户可以根据自己的身体结构和使用习惯来调整桌面的角度和高度，以获得最佳的视觉和使用体验。
三、结构和功能该平板折叠桌由以下几个部分组成：桌面、支撑架和折叠连接件。
桌面可以通过折叠方式来固定平板电脑，支撑架可以调节桌面的高度和角度，折叠连接件则用于连接桌面和支撑架。
具体来说，桌面采用轻量化材料制作，如铝合金或塑料。
它具有平坦且稳固的表面，能够轻松放置平板电脑并固定住。
支撑架则由调节杆和支架组成，调节杆可以通过拉伸或扭转来调节桌面高度和角度，支架则用于支持桌面。
折叠连接件通常采用特殊的接头设计，使得桌面和支撑架可以在需要时轻松连接和分离。
该平板折叠桌的主要功能包括以下方面：1.提供稳定的桌面支撑，避免平板电脑在使用时滑动或翻倒。
2.可调节的高度和角度，使得用户可以根据自身需要和习惯来调整桌面的角度和高度。
3.折叠结构，便于携带和存储，方便用户在不同场合使用。
4.扩展功能，如增加键盘支架、充电口等，使得用户能够更加便捷地使用平板电脑。
创意平板折叠桌设计
5
1 0 −1 50 0 y 0 −50 −100 x
0 −20 z
z
−40 100 50 0 0 y −50 −100 0 y −50 −50 0 x 50
0 −20 −40 −60 50 0 y −50 −50 0 x 50
图 3: 折叠桌的动态变化过程 效横坐标的不同将导致相同位置木条的在展开后的最终位置不同。 设一共有 n = 2r/d 根木条，第 i 根木条的等效横坐标为 xi , i = 1, 2, · · · , n，长 √ 度为 ai = l − r2 − xi2 , i = 1, 2, · · · , n。这时，最外的木条的长度就不能认为是平板 长度的一半，如图5所示，设铰接线为 WZ ，则该最外木条的等效横坐标就与点 S √ 相同，所以长度应该为 a1 = l − WT = l − 于图5中的线段 WT= √ wi =
开槽长度 (cm)
3.5.2 桌脚边缘线的数学描述 由式 (4) 和式 (5) 就能够得到桌脚边缘线的参数方程 x(t) = t √ √ √ l sin θ l 2 − t2 − (l − 2 − t2 ) cos arcsin cos θ < r r r2 − t2 2 2 w ( t ) y(t) = √ √ √ l l sin θ 2 − t2 − (l − 2 − t2 ) cos(π − arcsin θ ) cos ⩾ r r r2 − t2 2 2w(t) z(t) = −(l − √ l sin θ r2 − t2 ) √ √ 2 r2 − t2 + l2 /4 − r2 − t2 l cos θ √ w(t) = r2 − t2 +
显然，各木条的开槽长度就等于桌子在展开过程中 si 的最大值。由式 (8) 可以看 出，对确定的 i，后三项都是常数，只有 wi 随 θ 的变化而变化。而 wi 对 θ 是单调 增函数，所以 si 对 θ 是单调增函数，θ 越大，si 越大。所以只需要确定出桌子展开 后的 θ，就能得到每一根木条的开槽长度。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛创意平板桌
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
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以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要折叠桌具以其便折叠，占用空间小，易折叠等特点在我们生活中很受一部分人的喜爱；随着现代模具技术的发展，折叠桌的制作材质、外观、稳定性等都得到了进一步提升，创意平板折叠桌也随着科学技术的发展逐步融入我们的生活，在设计折叠桌的过程中，需要考虑它的稳固性强弱、加工难易、用材多少、外观等条件。
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）日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要目前住宅空间的紧张导致越来越多的折叠家具的出现。
某公司设计制作了一款折叠桌以满足市场需要。
以此折叠桌为背景提出了三个问题，本文运用几何知识、非线性约束优化模型等方法成功解决了这三个问题，得到了折叠桌动态过程的描述方程以及在给定条件下怎样选择最优设计加工参数，并针对任意形状的桌面边缘线等给出了我们的设计。
针对问题一，根据木板尺寸、木条宽度，首先确定木条根数为19根，接着，根据桌子是前后左右对称的结构，我们只以桌子的四分之一为研究对象，运用空间几何的相关知识关系，推导并建立了几何模型。
接着用MATLAB软件编程，绘制出折叠桌动态变化过程图。
然后求出折叠桌各木条相对桌面的角度、各木条长度、各木条的开槽长度等数据，相关结果见表1。
然后建立相应的三维坐标系，求出桌角各端点坐标，绘出桌角边缘线曲线图，并用MATLAB工具箱作拟合，求出桌角边缘线的函数关系式，并对拟合效果做分析（见表3）。
针对问题二，在折叠桌高度、桌面直径已知情况下，综合考虑桌子稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素，我们运用材料力学等相关知识，对折叠桌作受力分析，确定稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素间的相互制约关系，建立非线性优化模型。
用lingo软件编程，求出对于高70 cm，桌面直径80 cm的折叠桌，平板尺寸、钢筋位置在桌腿上距离铰链46.13cm处、各木条的开槽长度（见表3）、最长木条（桌脚）与水平面夹角。
针对问题三，对任意给出的桌面边缘线（f(x))，不妨假定曲线是对称的（否则，桌子的稳定性难以保证），将对称轴上n等份，依照等份点沿着木板较长方向平行的方向下料，则这些点即是铰接处到木板中垂线（相对于木板长方向）的距离。
然后修改问题二建立的优化模型，用lingo软件编程，得到最优设计加工参数（平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等）。
最后，我们根据所建立的模型，设计了一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌，并且给出了8个动态变化过程图（见图10）和其具体设计加工参数（见表5）。
最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。
关键字：折叠桌曲线拟合非线性优化模型受力分析一、问题重述1.1引言创意平板折叠桌注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。
为了增大有效使用面积。
设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面，又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的木条，每根木条的长度为平板宽到圆上一点的距离，分别用两根钢筋贯穿两侧的木条，使用者只需提起木板的两侧，便可以在重力的作用下达到自动升起的效果，相互对称的木条宛如下垂的桌布，精密的制作工艺配以质朴的木材，让这件工艺品看起来就像是工业革命时期的机器。
1.2问题的提出围绕创意平板折叠桌的动态变化过程、设计加工参数，本文依次提出如下问题：（1）给定长方形平板尺寸（120 cm × 50 cm × 3 cm），每根木条宽度（2.5 cm），连接桌腿木条的钢筋的位置，折叠后桌子的高度（53 cm）。
要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
（3）给出软件设计的数学模型，可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，并根据所建立的模型给出几个设计的创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
一、模型假设(1)忽略实际加工误差对设计的影响；(2)木条与圆桌面之间的交接处缝隙较小，可忽略；(3)钢筋强度足够大，不弯曲；(4)假设地面平整。
三、符号说明符号意义D 木条宽度（cm）缝宽L 木板长度（cm）W 木板宽度（cm）N 第n根木条T 木条根数木板从外起第1个木条的长度(cm)木板从外起第n个木条的长度(cm)H桌子高度（cm）R桌子半径（cm）R桌子直径（cm）桌子厚度(cm)第n根木条到木板边沿的距离(cm)第n根木条顶点位置到圆面轴线径向距离(cm)第n根木条与水平面的夹角(度)第n根木条开槽长度（cm）四、问题分析4.1问题一分析题目要求建立模型描述折叠桌的动态变化图，由于在折叠时用力大小的不同，我们不能描述在某一时刻折叠桌的具体形态，但我们可以用每根木条的角度变化来描述折叠桌的动态变化。
首先，我们知道折叠桌前后左右对称，我们可以运用几何知识求出四分之一木条的角度变化。
最后，根据初始时刻和最终形态两种状态求出桌腿木条开槽的长度。
4.2问题二分析题目要求从折叠桌的稳固性好、加工方便、用材最少三个角度，确定设计加工参数。
我们可以从应力、支撑面积考虑稳固性，从开槽长度考虑加工方便，从木板长度考虑用材最少。
而它们之间又是相互制约，我们需要确定最优设计加工参数，可以建立非线性规划模型，用lingo软件来求解最优设计加工参数（平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等），这里以合力的方向（斜向上）与最长木条（桌腿）的夹角方向最小为目标函数，以木条所承受应力小于木条的许用应力、支撑面积大于桌面面积、木条的开槽长度小于木条本身长为约束条件。
4.3问题三分析题目要求制作软件的意思就是客户给定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，将这些信息输入程序就得到客户想要的桌子。
我们在求解最优设计加工参数时，自行给定桌面边缘线形状（椭圆、相交圆等），桌脚边缘线形状，折叠桌高度，应用第二问的非线性规划模型，用MATLAB软件绘制折叠桌截面图，得到自己设计的创意平板折叠桌。
问题三流程图：已知f(x)、g(x)、h、wd、N、五、模型建立和解决5.1 问题一的模型建立和解决5.1.1 模型的准备(1)符号说明为求出各木条角度关系，现引入下列符号：：木板从外起第n个木条的长度(cm)：第n个木条到木板边沿的距离：第n个木条与桌面铰接处到桌面轴线距离：第n个木条与第n-1个木条桌面铰接处到桌面轴线距离差：第n个木条与桌面的夹角（2）木条数的确定根据题目意思，长方形平板尺寸，宽50 cm，每根木条宽2.5 cm，知道木条数越多，桌子越不易松动，即稳固性更好，最大根数为根，考虑木条间的间隙和刀片的厚度，定为19根，此时，缝宽为：（3）模型近似从折叠桌实物可以看出，桌面并非为标准的圆面，圆面边上是锯齿形状，考虑到锯齿长度和圆半径的差异，我们假定圆为过木条中点的圆，在作示意简图和实际计算时，都以木条端点中点为木条与桌面接触点。
另外，折叠桌以材料最省为设计原则，在木板尺寸一定情况下，应该做到桌面尽可能大，这里我们取木板宽度为桌面直径。
5.1.2 模型的建立为帮助理解，我们做折叠桌子两个最长脚（即在未折叠时的木板的同一侧最长木条）示意图，如图1所示：h-3 A点B点C点D点E点图1 折叠桌子两个最长脚截面图(其中A点为最长木条一端到水平面的距离，由于桌实际高度包括桌面厚度3cm，则A点到水平面距离要减去3cm)其中为57cm，因为木板厚度为3cm,有AD为两倍厚度，因为则知为57cm 。
记下面，我们作出平板俯视示意图，如下图2所示第n根木条第n-1根木条图2 平板俯视示意图对于第n个木条到木板边沿的距离，应该包括（n-1）条缝宽，（n-1）根木条长度以及它自身一半的长度，则有：0.5（1）从几何关系上，应用勾股定理可以得出：0.5（2）则第n个木条与第n-1个木条顶点位置到圆面轴线径向距离差：0.5（3）第n根木条长度：0.5（4）为了求解木条旋转角度，我们沿着钢筋的角度，作出折叠凳示意简图，如图3所示：0.50.5h图3 折叠桌示意简图由上图知同理可得递推公式，即每根木条旋转角度：（5）（由图3知，可能为负值，说明）开槽长度综合以上所分析，可建立如下几何模型：5.1.3 模型的解决（1）动态变化过程动态变化过程：由于用力大小未知，折叠桌与时间的关系不能确定，我们只能确定桌子从平板到折叠完成后这一过程中，任一角度的桌角位置，（程序见附录problem1_3.m ）例如当最长木条转过、、，通过程序可以得到各木条相对桌面旋转角度，如表1所示：表1最长木条转过、、时各木条转动角度夹角为60°夹角为65°夹角为70°第1根606570第2根71.510676.821982.0272第3根79.72884.982890.063第4根85.97791.041495.8979第5根90.765395.6054100.2279第6根94.383599.0138103.1289第7根97.0267101.484105.7333第8根92.8285103.1591107.2893第9根99.8766104.1306108.1893（2）长槽长度、木条长度、旋转角度根据以上建立的模型，运用MATLAB软件，编程计算每根木条长度、旋转角度、长槽长度结果如下表2所示：0.5（6）0.5（7）表2 木条长度、旋转角度、长槽长度从表1可以看出，第一根木条卡槽长度为0cm,符合实际。