应用统计学课件-10

150 200
z 2.58 2
不拒绝原假设。
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四、总体方差检验*
由某个正态分布总体抽出一个容量为21的随机样本，样本方
差为10，试检验总体方差为15。(α= 0.05 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H0 : σ2=15 ；H1: σ2≠15
2 (n 1)s2 (211) 10 13.333
实际工作中，一般事先规定允许犯第Ⅰ类错误的概率，常取 α= 0.05和0.01，然后尽量减少犯第Ⅱ类错误的概率β。
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α和 β互为消长
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二、总体平均数检验
前例检验自动加工装置平均工作温度是否为80度，就是总体
平均数的检验。以下，再举一例：
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假设检验两类错误的概率
假设检验中，犯第Ⅰ类错误(弃真错误)的概率记为α； 犯第Ⅱ类错误(取伪错误)的概率记为β。
α越大，越可能犯弃真错误，即越可能否定真实的原假设；β 越大，越可能犯取伪错误，即越可能接受非真的原假设。
在一定样本容量下，减少α会引起β增大，减少β会引起α的 增大。(示意如下图)
右侧检验
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显著性水平
示意图中的α，也就是前述的选定的小概率标准。它被称为显
著性水平。而1-α，就是上一章所述的置信水平。
通常取α= 0.05 或α= 0.01。
前例，取α= 0.05，以样本提供的信息，我们判断μ≠ 80。
这个判断不是100%的正确，而是95%的正确。这是说，
2）H0 : μ≥μ0 ；H1 : μ＜μ0 3）H0 : μ≤μ0 ；H1 : μ＞μ0
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假设检验的两种类型
假设检验分为两种类型，双侧检验和单侧检验。 单侧检验又可具体分为两种，左侧检验和右侧检验。 1）双侧检验，检验H0 : μ=μ0 和 H1: μ≠μ0 。 双侧检验的目的是观察在选定的小概率标准下(前例5%)，样
我国出口凤尾鱼罐头，标准规格是每罐净重 250 克，据以往
经验，标准差是 3 克。某食品厂生产一批供出口用的这种罐
头，从中抽取 100 罐，测出其平均净重 251 克。假定罐头重
量服从正态分布，按规定显著性水平0.05 ，试判断这批罐头
是否合乎出口标准? H0: μ= 250；H1: μ≠250
该市老年人口研究会为了检验这项调查是否可靠，随机抽选
了400名居民，发现其中有57人年龄在65岁以上。
调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的看法？
H0: π= 14.7 % ； z p
H1: π≠14.7 %
(1 )
n
据样本，p=57/400=14.25%
14.25% 14.7% 0.254 14.7%(1 14.7%)
如果我们的关注点是那个自动加工装置的平均工作温度是否
显著异于80度(我们判断真的是不是80度)，那么，我们就进
行双侧检验。
如果我们的关注点是那个自动加工装置的平均工作温度是否
显著低于80度(我们担心真的是不是低于80度)，那么，我们
就进行左侧检验。
如果我们的关注点是那个自动加工装置的平均工作温度是否
原假设：也称零假设，一般以H0表示，代表“正常”情形。 假设检验以假定原假设为真开始。
备择假设：也称备选假设，为零假设的对立假设，一般以H1 表示，代表对“正常”情形的挑战。
两个假设，就总体平均数的假设而言，有三种情况：
1）H0 : μ=μ0 ； H1: μ≠μ0 (前例H0 : μ=80；H1: μ≠80)
显著高于80度(我们担心真的是不是高于80度)，那么，我们
就进行 检验。
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假设检验的示意图
3）右侧检验，
检验H0 : μ≤μ0 和H1 : μ＞μ0。
右侧检验的目的是观察在选定的小 概率标准下，样本统计量是否显著 地高于假设的总体参数。
左侧检验
双侧检验
μ= 80
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小概率原理
一般认为，概率低于5%的随机事件是小概率事件。 小概率事件在一次实验中，不是绝对不会发生，但是几乎不
可能发生。 回到前例，得到 X = 82的样本就是一个小概率事件，它是几
乎不可能发生的；而现在真的发生了，于是得出研判结论： 我们没有充分的信心确认μ= 80的假设成立，我们不接受这个
z
251 3
250
3.33
100
z 1.96 不接受H0
2
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总体平均数 t 检验
某汽车轮胎厂声称，该厂生产的汽车轮胎平均行使里程大于
25000公里。随机抽选 15 个轮胎测试，测得平均行使里程为
27000公里，标准差5000 公里。假定轮胎的行驶里程数近似
我们面临5%判断失误的风险。即原假设(μ=80)为真，我们却
判断为假而加以拒绝，犯这种错误的概率或风险为5%。
所以，显著性水平α实质是指当原假设正确时人们却把它拒绝
了的概率或风险。
而且，假设检验面临的判断失误的风险还不止这一种。
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假设检验的两类错误
法庭裁决被告是否有罪的两个假设与四种结果：
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本章主要内容
一、假设检验基本问题 二、总体平均数检验 三、总体比率检验 四、总体方差检验*
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一、假设检验基本问题
假设检验，就是对未知的总体参数先提出假设，然后利用样
本信息去研判这个假设是否成立；成立则接受、不成立则不
本统计量是否显著地异于(高于或低于)假设的总体参数。
2）左侧检验，检验H0 : μ≥μ0 和H1 : μ＜μ0 。
左侧检验的目的是观察在选定的小概率标准下，样本统计量 是否显著地低于假设的总体参数。
譬如，对前例而言----
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左侧检验、右侧检验
对前例而言----
服从正态分布，我们能否认为该厂的产品与该厂声称的标准
相符? (α= 0.05 )
H0: μ≤ 25000；H1: μ＞25000 (关注是否高于，右侧检验)
t
x s
27000 5000
25000
1.55
n
15
不拒绝原假设。
t (n 1) t0.05(14) 1.76
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400
取α= 0.05，±Zα/2 =±1.96 不拒绝原假设。
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两个总体比率差异检验*
甲、乙两家公司属于同一行业。现抽样调查这两家公司的工 人，他们愿意增加福利还是愿意增加工资的情况如下：
甲公司，抽查的150名工人中，75人愿意增加工资。 乙公司，抽查的200名工人中，103人愿意增加工资。 以α= 0.01 的显著性水平，判断这两家公司中愿意增加工资的
(1 ) 0.（4 1- 0.4）
取α= 0.05，±Zα=±1.645
n
200
因为-1.4434＞-1.645(落入接受域)，故不拒绝原假设。我们有
信心相信：赞成A方案的市民比率不低于40%。
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总体比率检验再举例
一项调查结果表明某市老年人口比重为14.7 %。
工人所占比例是否相同?
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解上题
H0: π1-π2= 0；H1: π1-π2≠0
~p1
75 150
0.5
~p2
103 200
0.515
p 75 103 0.509 150 200
z
0.50 0.515
0.278
0.509 (1 0.509) ( 1 1 )
假设。
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p-值法、临界值法
本题如上研判方法，称为假设检验的“p-值法”。 (P.244)
本题如下研判方法，称为假设检验的“临界值法” ：(P.232)
根据上一章有关计算，可知
95%的样本，其样本平均数数值落入
Z =( X-μ)/
=±1.96 (此处1.96为临界值)
H0: μ1 – μ2 = 0 ；H1: μ1 – μ2 ≠0
z (x1 x2 ) (1 2 ) (40 34) 0 2.27
2 1
2 2
36 64
n1 n2
12 16
决策：不接受H0。 结论：两种方法所 生产的产品，抗拉 强度不同。
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三、总体比率检验
场分别上市的股票的利息收益。他收集到以下数据:
NASDAQ
NYSE
数量
21
25
均值
3.27
2.53
标准差
1.30
1.16
试以0.05水平, 推断NYSE和NASDAQ市场的股票的利息收益
方差是否有差异?
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F Test for Variances
H0: σ12 = σ22 ；H1: σ12 ≠σ22 α= 0.05
第十章 假设检验
笛卡儿：当我们不具备决定什么是真理的力量时，我们应遵 从什么是最可能的，这是千真万确的真理。
续第九章例，如果你随机抽选了200位市民，得知其中70名 赞成治理城市污染A方案。你是否相信全体市民赞成A方案 的比率不低于40%？
本章新例：某公司欲从国外引进一种自动加工装置。该装置 的工作温度服从正态分布(μ，52)，厂方声称它的平均工作温 度是80度。从该装置试运转中随机测试25次，得到的平均工 作温度是82度。该公司可否接受厂方的说法？
n
但本题Z=2＞1.96，显示 X = 82 的这个样本不在95%的样本
范围之内(接受区域)，而在95%的样本范围之外(拒绝区域)。
所以，我们没有充分的信心确认μ= 80的假设成立，我们不接
受这个假设(我们拒绝这个假设) 。
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假设检验的两个假设
假设检验，首先要提出假设。提出的假设通常是两个：
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两个总体平均数差异检验*
制造某一以抗拉强度为重要特征的产品，有A、B两种方法。
经验表明，这两种方法生产出来的产品的抗拉强度都近似服
从正态分布，且σ1=6千克、σ2= 8千克。现分别抽取12和16个 产品，得到样本均值分别为40千克和34千克。
试判断两种方法所生产产品的抗拉强度是否相同。α= 0.05
本章开始时提到，如果你随机抽选了200位市民，得知其中70
名赞成治理城市污染A方案。你是否相信全体市民赞成A方案
的比率不低于40%？
这个问题就是总体比率的假设检验问题，其解法为：
H0: π≥0.4；H1: π＜0.4
Z p 0.35 - 0.4 -1.4434
据样本，p=70/200=0.35
In hypothesis testing, you always face the possibility that either you will wrongly reject the null hypothesis or wrongly not reject the null hypothesis. These possibilities are called type I and type II errors, respectively.
接受这个假设。
前例，先提出假设μ= 80，再根据样本信息 X= 82，研判：
如果μ= 80为真，那么
5
Z =( X -μ)/
=(82-80)/ n
2=5 2
回想上一章有关计算，这里Z=2，意味着 X=82的这个样本已
特殊到不包含在可能的95.44%的样本范围里了；即意味着如
果μ= 80为真，则获得这个样本的概率低于5%。
H0 ：被告无罪 ； H1 ：被告有罪。
裁决结果 无罪为真 无罪为假
裁决无罪 裁决正确 裁决错误 裁决有罪 裁决错误 裁决正确
总体平均数假设检验的两个假设与四种结果：
H0 : μ=μ0 ； H1: μ≠μ0 。
决策结果 当H0为真 当H0为假
接受H0 决策正确 取伪错误 拒绝H0 弃真错误 决策正确
df1 = 20 df2 = 24 临界值，见右图
拒绝 0.025
拒绝 0.025
检验统计量: F=s12/s22=1.30/1.16=1.25
0 0.415 2.33
F
决策：接受H0。
结论：没有足够证据表明两个总体方差存有差异。
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英文选读 10 Decision-Making Risks
2 0
15
而
2 1 2
(n 1)
2 0.975
(20)
9.591；
2
2
(n
1)
x2 0.025
(20)
34.170
因为9. 591＜13.333＜34.170（落入接受域）
不拒绝原假设。
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两个总体方差差异检验
某证券交易所的金融分析员，欲比较在NYSE和NASDAQ市