高三数学第一轮复习幂函数教案文
高中数学教案《幂函数
高中数学教案《幂函数》章节一：幂函数的定义与性质教学目标：1. 理解幂函数的定义；2. 掌握幂函数的性质；3. 能够运用幂函数的性质解决问题。
教学内容：1. 幂函数的定义：一般形式为f(x) = x^a，其中a为实数，a≠0；2. 幂函数的性质：a) 当a>0时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；b) 当a<0时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增；c) 当a=1时，函数为常值函数f(x)=x；d) 当a=0时，函数为常值函数f(x)=1；e) 当a为负偶数时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；f) 当a为负奇数时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增。
教学活动：1. 引入幂函数的概念，引导学生理解幂函数的一般形式；2. 通过示例，引导学生掌握幂函数的性质；3. 进行练习，巩固学生对幂函数性质的理解。
章节二：幂函数的图像与性质教学目标：1. 能够绘制幂函数的图像；2. 理解幂函数图像的性质；3. 能够运用幂函数图像解决问题。
教学内容：1. 幂函数的图像：一般形式为一条曲线，当a>0时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减；当a<0时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增；2. 幂函数图像的性质：a) 当a>0时，图像在x轴正半轴上无界，在x轴负半轴上有界；b) 当a<0时，图像在x轴正半轴上有界，在x轴负半轴上无界；c) 当a=1时，图像为一条直线，穿过原点；d) 当a=0时，图像为一条水平线，位于y轴上；e) 当a为负偶数时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减，且过原点；f) 当a为负奇数时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增，且过原点。
教学活动：1. 通过示例，引导学生绘制幂函数的图像；2. 分析幂函数图像的性质，引导学生理解幂函数图像的特点；3. 进行练习，巩固学生对幂函数图像性质的理解。
高中数学幂函数教案范文
高中数学幂函数教案范文教学目标：让学生了解幂函数的定义、性质和图像特点，掌握幂函数的基本变换和应用。
一、幂函数的定义和性质1. 定义：形如y=x^n (n为常数且n≠0)的函数称为幂函数，其中n为幂指数，x为底数。
2. 性质：（1）当n为正偶数时，幂函数的图像呈现开口向上的抛物线形状；（2）当n为正奇数时，幂函数的图像呈现单调递增或递减的直线形状；（3）当n为负数时，幂函数的图像呈现对称于y轴的图像；（4）当n为0时，幂函数的图像为一条水平直线，表示常值函数。
二、幂函数的图像1. 根据不同的幂指数n绘制幂函数的图像，让学生观察并总结不同的形状特点。
2. 让学生探讨幂函数在不同幂指数下的变化规律，启发学生对幂函数性质的理解。
三、幂函数的变换1. 幂函数的平移变换：y=x^n+c (c为常数)表示对幂函数沿y轴平移c个单位。
2. 幂函数的垂直缩放变换：y=bx^n (b为非零常数)表示对幂函数在y轴方向的缩放。
3. 幂函数的水平缩放变换：y=x^n/a (a为非零常数)表示对幂函数在x轴方向的缩放。
4. 让学生通过练习对各种幂函数进行平移和缩放变换，加深对幂函数的理解和掌握。
四、幂函数的应用1. 在自然科学中的应用：例如在物理学中的速度、加速度与时间的关系可以用幂函数模型来描述。
2. 在经济学中的应用：例如成本、收益等与产量的关系也可以用幂函数模型来描述。
五、小结与巩固1. 让学生总结幂函数的定义、性质和图像特点，并理解幂函数的变换和应用。
2. 设计一些综合练习题，巩固学生对幂函数的掌握。
六、作业布置1. 完成课堂练习题目，巩固本次课程内容。
2. 独立完成一道幂函数应用题，理解幂函数在实际问题中的应用。
教学反思：在教学幂函数时，要注意引导学生通过观察图像、变换和应用等方式深入理解幂函数的性质和应用，帮助学生建立数学模型的思维方式，提高数学问题的解决能力。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)
第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ， x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， 则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数； 当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a， 由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数； 当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。
高三数学第一轮复习 幂函数教案 文
幂函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第77页—第79页）1、幂函数的定义和性质（1）、一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。
（2）、幂函数的定义依据的取值的不同而不同，在（0，上都有意义，所以对于幂函数性质的讨论，先讨论幂函数在（0，上的性质，在根据函数的奇偶性（如果函数具有奇偶性），讨论其在（0上的性质即可。
（3）、几个常见的幂函数，=，2，3，-1，-2, ，它们的图象如图：y= y= y= y=定义域奇偶性在第一象限增减性图象过定点二、题型探究[探究一]：应用幂函数的单调性比较大小及解不等式例1：（1）已知，试比较， ,的大小。
例2：比较与的大小例3：与，则的取值范围是。
[探究二]：综合应用幂函数的图象及性质例4：已知幂函数 (p)在（0，）上是增函数，且在定义域上是偶函数，求P 的值，并写出相应的函数解析式。
三、 方法提升幂函数问题主要考虑到与y= （）,y= （）, y= （）时的图象进行比较分析即可。
四、 反思感悟五、 课时作业幂函数单元测试题一.选择题(36分)1.下列函数是幂函数的是( )(A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2 (D) y=32x2.下列说法正确的是( )(A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数;(C) y=x 是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0不是偶函数.3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( )(A) y=x -2(B) y=21x (C) y=41x (D) y=21x4.若A=2,B=33,则A 、B 的大小关系是( )(A) A>B (B) A<B (C) A 2>B 3(D) 不确定 5.下列是y=32x 的图象的是( )(A) (B) (C) (D) 6.y=x 2与y=2x的图象的交点个数是（ ）（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二．填空题（21分）7．y=(m 2-2m+2)x 2m+1是一个幂函数，则m= . 8. y=x 的单调增区间为 .y9.在函数①y=x 3②y=x 2③y=x -1④y=x 中，定义域和值域相同的是 .三．解答题（43分）10．证明：f(x)=x 在定义域内是增函数。
第三高考数学一轮复习 二次函数幂函数教案
城东蜊市阳光实验学校第三中学高考数学一轮复习二次函数幂函数教案对称轴 顶点坐标 单调区间3、二次函数在区间上的最值问题。
设()2f x ax bx c =++，那么二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有二次函数的图像与性质 〔1〕假设[]n m a b ,2∈-，那么()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ；〔2〕假设[]n m ab,2∉-，那么()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min =另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值分开对称轴越远，那么对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值分开对称轴轴越远，那么对应的函数值越小． 4、一元二次方程根的非零分布——k 分布设一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0〔a≠0〕的两实根为x1，x2，且x1≤x2。
k 为常数。
那么一元二次方程根的k 分布〔即x1、x2相对于k 的位置〕有以下假设干结论。
〔1〕k ＜x1≤x2xy1x 2x 0>a O•ab x 2-=0)(>k f kxy1x 2x O•a b x 2-=k<a 0)(<k f〔2〕x1≤x2＜k 。
x y1x 2x 0>a O•ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O•ab x 2-=k<a 0)(<k f特殊地①x1＜0＜x2 ac ＜0。
②x1＜1＜x2 a(a ＋b ＋c)＜0。
5、幂函数：定义域、值域、单调性、定点根底自测1、函数f(x)=x2-2x+2的单调增区间是()y x =2y x =3y x=12y x=1y x -=在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限单调 〔，〕 〔，〕〔，〕〔，〕〔，〕〔4〕假设一个大于0，一个小于0求m 的取值范围；有两个实数根,那么有：∆=4(m+3)^2-4(2m+14)=4m^2+24m+36-8m-56=4m^2+16m-20>=0m^2+4m-5>=0 (m+5)(m-1)>=0m>=1或者者者m<=-5一根比4大，另一根比4小,那么有：f(4)<0 即：4^2+2(m+3)*4+2m+14<016+8m+24+2m+14<010m<-54 m<- 综上所述，m<- 例3、幂函数223()m m f x x --=()m ∈Z 是偶函数,且在区间()0,+∞上是减函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)讨论()()()bF x a f x xf x =-的奇偶性(,)a b ∈R . 解析：〔1〕为偶函数，那么m²-2m-3为偶数，在区间〔0，正无穷〕上是单调减函数，那么有m²-2m-3<0,即-1<m<3， m ∈Z ，m=0或者者1或者者2只有当m=1时，m²-2m-3=-4为偶数，此时f(x)=x^(-4)〔2〕由题意F(x)=a[x^(-4)]^(1/2)-b/[x*x^(-4)]=ax^(-2)+bx^3,a=0且b≠0时F(x)=bx^3，为奇函数 b=0且a≠0时F(x)=ax^(-2),为偶函数 当a*b 不等于0时，F(x)既不是奇函数又不是偶函数当堂达标1、函数f(x)＝x2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，那么(B)A ．f(－1)<f(1)<f(2)B ．f(1)<f(2)<f(－1)C ．f(2)<f(－1)<f(1)D ．f(1)<f(－1)<f(2) 2、函数y ＝－x2－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是____-13____3、方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，那么P 的取值为p ＜-1。
高考数学一轮复习 3.3 幂函数教案 新课标
3.幂函数主要知识： 1．幂函数:函数叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数（这里我们只讨论a 是有理数n 的情况）．2．会作下列函数的图象，结合图象，了解幂函数的图象变化情况及性质（1）x y =；（2）21x y =； （3）2x y =；（4）1-=x y ； （5）3x y =． 3．4．幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．幂函数y x =≠αα(,)01在第一象限的图象，可分为如图中的三类：题型分析：题型一：幂函数概念 例1、（1）下列函数中不为幂函数的为（ D ）A ．x y =B ．2x y =C ．0x y =D ．x y 2= （2）下列命题中，正确命题的序号是 ④①当0=α时函数α=x y 的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；③若幂函数α=x y 是奇函数，则α=x y 是定义域上的增函数； ④幂函数的图象不可能出现在第四象限． 例2（1）函数2122--=x ）（xy 的定义域是（B ）A ．{x |x ≠0或x ≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C ．（－∞，0）［2，＋∞ ）D ．（0，2） （2）已知幂函数97222199--+-=m m ）xm （my 的图象不过原点，则m 的值为_________。
3题型二：幂函数图象性质例3（1）当x∈（1，+∞）时，函数ax y =的图象恒在y=x 的下方，则a 的取值范围是_________。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章 §2.6 二次函数与幂函数
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6 二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为 ；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是 函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝ 是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1 (1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝ 的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝ 为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一 (利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三 (利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三 二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的图象例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3 (1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。
高三数学一轮复习 二次函数与幂函数教案_1
芯衣州星海市涌泉学校高三数学一轮复习二次函数与幂函数1教案教材分析：二次函数是高考中常见的函数，常在求复合函数的单调性，不等式的求解，求参数等综合应用题中出现。
幂函数是根本初等函数之一，在高考中出现的频率不高。
学情分析：初中就二次函数的解析式三种形式作过详细的讲述，高中那么是用函数的观点来研究它的性质，学生对概念理解，但应用才能可能比较欠缺。
教学目的：1.掌握二次函数的图象与性质; 2.理解的概念幂函数;3.结合函数21132,,,,xy x y x y x y x y =====-的图象,理解它们的变化情况.教学重点、难点：二次函数与幂函数的图象与性质 教学流程：一、课堂提问——知识回忆1. 二次函数的解析式C〔1〕一般式c bx ax x f ++=2)(，〔0≠a 〕 〔2〕顶点式ab ac a b x a x f 44)2()(22-++=，〔0≠a 〕〔3〕两点式))(()(21x x x x a x f --=，〔0≠a 〕 2. 二次函数的性质C二、课堂练习——习题讲练 C 例1．画出以下函数的图象：〔1〕1)(2-=x x f 〔2〕12)(2+-=x x x f 〔3〕22)(2++=x x x fC 练习1.画出以下函数的图象：〔1〕21)(x x f -= 〔2〕12)(2-+-=x x x f 〔3〕22)(2---=x x x fB 练习2.设abc>0,二次函数的图象可能是〔〕 AB CDC 例2．函数1)(2++=mx x x f 的图象关于直线x=1对称，求m 的值. B 练习3.函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，求〔1〕m 的值;〔2〕函数的单调增区间，函数的单调减区间; 〔3〕函数在区间[-5，-3]上，[3，5]上的单调性.C 例3．二次函数y=f(x)的图象是以原点为顶点，且过点〔1，1〕，求f(x)解析式.B/A 练习4.关于x 的二次函数t x t x x f 21)12()(2-+-+=，求证：对于任意R t ∈，方程f(x)=1必有实数根. 三、小结1．二次函数的解析式 2．二次函数的图象与性质 四、作业布置C1.假设a x x x f +-=2)(0)(<-m f ,求〔1〕)1(+m f 值；〔2〕比较)1(+m f 与0的大小. B/A2.函数⎩⎨⎧<-≥+=.0,4,0,4)(22x x x x x x x f 假设)()2(2a f a f >-，务实数a 的取值范围. 五、板书设计。
《幂函数》教案范文
《幂函数》教案目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：＝x，＝x2，＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如＝x(R)的'函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．2．幂函数＝x 图象的分布与的关系：对任意的 R，＝x在第I象限中必有图象；若＝x为偶函数，则＝x在第II象限中必有图象；若＝x为奇函数，则＝x在第III象限中必有图象；对任意的 R，＝x的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5 （2）3.141与π1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3 与2例3 幂函数＝x；＝xn；＝x1与＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数，n与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①＝0.2x；②＝x0.2；③＝x3；④＝3x2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数的定义域是．（3）已知函数，当a＝时，f(x)为正比例函数；当a＝时，f(x)为反比例函数；当a＝时，f(x)为二次函数；当a＝时，f(x)为幂函数．（4）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．高中数学幂函数教案设计篇二教学目标1. 知识目标：(1)了解幂函数的概念；(2)会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；(3)了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
高三数学一轮复习精品教案1：2.7二次函数与幂函数教学设计
2.5二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图像与性质2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图像和性质1．研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数． 2．形如y ＝x α(α∈R )才是幂函数，如y ＝3x 12不是幂函数．『试一试』1．(2013·南通二调)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.『解析』依题意，由f (x )＝k ·x α是幂函数，可知k ＝1.又其图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，得22＝⎝⎛⎭⎫12α，则α＝12，从而k ＋α＝32.『答案』322．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是________．『解析』由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.『答案』⎝⎛⎭⎫120，＋∞1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图像关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.3．两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等． 『练一练』如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈『a ，b 』)的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．『解析』由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 『答案』51.幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的解析式为______________________． 『解析』令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.『答案』f (x )＝x 122.图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为____________． 『答案』2，12，－12，－23．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．『解析』∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，∴c >b ， ∴a >c >b . 『答案』a >c >b『备课札记』 『类题通法』1．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．『典例』 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．『解析』 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a－2a －1－a 24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.『备课札记』 『类题通法』求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：『针对训练』已知y ＝f (x )为二次函数，且f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，求此二次函数的解析式． 『解析』设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 因为f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝－5，解得a ＝13，b ＝－23，c ＝－5，故f (x )＝13x 2－23x －5.研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有： 1轴定区间定求最值； 2轴动区间定求最值； 3轴定区间动求最值.角度一 轴定区间定求最值1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈『－4,6』． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．『解析』(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈『－4,6』， ∴f (x )在『－4,2』上单调递减，在『2,6』上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈『－6,6』，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6』， 单调递减区间是『－6,0』． 角度二 轴动区间定求最值2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈『0,1』时有最大值2，求a 的值． 『解析』函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . (1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2. 角度三 轴定区间动求最值3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈『－2，a 』，若函数的最小值为g (a )，求g (a )． 『解析』∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间『－2，a 』内， ∴应进行讨论．当－2<a ≤1时，函数在『－2，a 』上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在『－2,1』上单调递减，在『1，a 』上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.『备课札记』 『类题通法』影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法： (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．『课堂练通考点』1．(2014·徐州摸底)已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是『1，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是________．『解析』由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4a c ＋1－－424a ＝1，a >0，化简得1c ＝a 4且a >0，于是1a ＋9c ＝1a ＋9a4≥21a ×9a 4＝3，当且仅当1a ＝9a 4，即a ＝23时取等号． 『答案』32．(2014·苏北四市期末)已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈『a ，b 』的值域为『－1,3』，则b －a 的取值范围是________．『解析』f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1∈『－1,3』，对称轴为直线x ＝1，最小值为－1，所以当a ＝－1时，b ∈『1,3』；当b ＝3时，a ∈『－1,1』，所以b －a ∈『2,4』． 『答案』『2,4』3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 『解析』依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.『答案』f (x )＝12(x －2)2－14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为『0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 『解析』由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.『答案』a >0，ac ＝4 5．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？『解析』∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数．∴m ＝－1.。
幂函数复习课教学设计
幂函数复习课教学设计(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除《高三第一轮总复习 幂函数》教学设计一、指导思想与理论依据：本节课为高三第一轮总复习课，高考大纲对本节的要求为： 1、了解幂函数的概念。
2、结合函数2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图像，了解它们的变化情况。
二、教学背景1、教材分析：幂函数是北师大版数学（必修1）第二章第五节的内容。
高考大纲对本节的要求为： 1、了解幂函数的概念。
2、结合函数2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图像，了解它们的变化情况。
根据对考纲及近年来高考真题、模拟题的分析，对本节内容的复习定位在了解幂函数的概念，熟悉五个常用幂函数的图像及性质，并以此为基础，了解幂函数图像性质的变化情况。
2、学生情况分析通过新课学习，学生已经了解了幂函数的基本概念、性质和图象，但实际上，本节内容为学生学习函数这一章的一个薄弱点。
因此，对本节内容进行复习时着重强调幂函数与指数函数的区别，熟练掌握五个常用幂函数的图像及性质，适当扩展，总结幂函数图像及性质的规律。
该内容安排两课时。
三、教学目标1.进一步巩固幂函数的图像与性质。
2.利用幂函数的图像与性质解决有关问题。
3、在学习过程中充分体会及应用数形结合、类比的思想。
四、重点与难点重点: 幂函数的图像与性质的应用. 难点: 幂函数的图像与性质的应用。
本课的重点、难点是幂函数的图像与性质的应用。
考纲中对幂函数的要求着重放在熟练掌握图像和性质上，会简单应用。
在教学中，设计环节，鼓励学生多动手，要求学生画出图像并填写函数性质表，同时辅以适量练习，对典型例题重点讲解，讲解后立即进行变式训练，以达到巩固基础，突破重难点的教学目标。
五、教学方法少教多练，学案引导，自学与小组讨论相结合，典例与变式训练相结合的方法。
高中数学教案《幂函数
高中数学教案《幂函数》一、教学目标1. 理解幂函数的定义和性质。
2. 学会运用幂函数解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容1. 幂函数的定义：一般地，形如y=x^a（a为常数）的函数，叫做幂函数。
2. 幂函数的性质：a) 当a>0时，函数在（0，+∞）上单调递增；b) 当a<0时，函数在（0，+∞）上单调递减；c) 当a=0时，函数为常数函数；d) 当a为正整数时，函数在x=0处取得最小值；e) 当a为负整数时，函数在x=0处取得最大值。
三、教学重点与难点1. 重点：幂函数的定义和性质。
2. 难点：幂函数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示幂函数的图象和性质。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如房屋的高度、物体的高度等，引导学生思考与幂函数相关的实际问题。
2. 讲解：讲解幂函数的定义和性质，引导学生理解和掌握。
3. 演示：利用多媒体课件，展示幂函数的图象，让学生直观感受幂函数的性质。
4. 练习：布置练习题，让学生运用幂函数的知识解决问题。
5. 讨论：组织学生分组讨论，分享解题心得和思路。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调幂函数的定义和性质。
7. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：分析生活中与幂函数相关的实际问题，引导学生运用幂函数的知识解决。
2. 数形结合：结合图形，直观展示幂函数的性质，帮助学生理解。
3. 分层次教学：针对不同学生的学习程度，设置不同难度的题目，使所有学生都能得到锻炼和提高。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对知识的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对幂函数知识的整体掌握情况。
八、教学拓展1. 对比分析：引导学生对比幂函数与其他函数（如指数函数、对数函数）的性质，加深对幂函数的理解。
高考数学一轮复习 2.7 幂函数精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案2.7 幂函数（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1．了解幂函数的概念．2．结合函数 2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图象，了解它们的变化情况． 3．了解幂函数的增长特征；了解幂函数模型在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.幂函数是历年来高考重点内容之一,经常以选择题与填空题的形式出现,还常与二次函数等知识相联系，以考查函数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查幂函数的图象与性质,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.函数---------------------------（α∈R ）叫做幂函数.2．幂函数的图象都通过-------------------------点。
3.在幂函数y=x ，y=x 2，y=x 3,y=1x ，y=12x 中，为奇函数的是----------------------------------------；为偶函数的是----------------------------------------；定义域为R 的是------------------------------------------，定义域为[)0,+∞的是-------------------------------------------------；在第一象限内是增函数的是-----------------------------------------，是减函数的是-------------------------------------------------。
4．幂函数的性质:一般地，当a>0时,幂函数y=x α有下列性质:(1)图象都通过点-----------------------,------------------------.(2)在第一象限内,函数值随x 的增大而------------------------.(3)在第一象限内,α>1时,图象是向----------------------凸的；0<α<1时, 图象是向----------------------凸的.(4)在第一象限内,过点(1,1)后,图象向右上方无限伸展,当α<0时,幂函数y=x α有下列性质:①图象都过点-------------------;②在第一象限内,函数值随x 的增大而-----------------------,图象是向----------------------凸的； ③在第一象限内,图象向上与------------轴无限地接近,向右与--------------轴无限地接近; ④在第一象限内,过点(1,1)后,|α|越大,图象下落的速度越-------------------.5.一般幂函数的图象对于幂函数y=x α,当α=1时,y=x 的图象是-------------------------------;当α=0时,y=x 0=1(x ≠0)的图象是--------------(不包括(0,1)点).其他一般情况的图象如 下表:【例题精析】考点一 幂函数的概念例1. 已知函数f(x)=(m 2+2m-2)·21mm x +-,求当m 为何值时,函数()f x 是幂函数. 【答案】1m =或3m =-【解析】由幂函数定义知,2221m m +-=,解得1m =或3m =-.【名师点睛】本题主要考查幂函数的定义,熟练其定义是解答好本题目的关键.【变式训练】1.下列函数中：(1)31y x=;(2)32y x =-;(3)42y x x =+;(4)y =是幂函数的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由幂函数定义知,只有(1)(4)是幂函数,故选B.考点二 幂函数的图象与解析式例2. 幂函数43y x =的图象是（ ）2.已知幂函数()f x 的图象经过点(2,4),则()f x 的解析式为( )A.()2f x x =B.2()f x x =C.()2x f x =D.()2f x x =+考点三 幂函数的性质例3. (2010年高考安徽卷文科7)设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a3.111222,2.2这三个数从小到大排列为 .问题：对幂函数的定义及性质理解不透例.下列命题中，正确命题的序号是①当0=α时函数y x α=的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）点; ③幂函数的图象都经过（1，1）点；④若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数；⑤幂函数的图象不可能出现在第四象限;⑥幂函数在第一象限内一定有图象.1.在下列函数中,定义域和值域不同的是( ) A.13y x = B.12y x -= C.53y x = D.23y x =【答案】D【解析】由选项可知,只有D 的定义域与值域不相同,定义域为R,而值域为[0,)+∞,故选D. 2.设函数f(x)=1221(0)(0)x x xx -⎧-≤⎪⎨⎪>⎩,若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(- ∞, -2)∪(0,+∞)D. (- ∞,-1)∪(1,+∞)【答案】D【解析】当00x ≤时,0211x -->,解得01x <-;当00x >时,1201x >,解得01x >,故选D. 3. （安徽省安庆市2012年3月高三第二次模拟文科）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A 、y= －1x B 、y=lnx C. y=x e D.y=x 3＋x x e e -- 【答案】D【解析】对选项A,函数y= －1x在定义域内不是单调函数;容易得出选项D 正确. 4．(浙江省温州市2012年2月高三第一次适应性测试)若函数22,0(),()1,0x f x f a x x >⎧==⎨≤⎩则满足的实数a 的值为 . 【答案】-1【解析】由题意知,21a =,且,0a ≤解得1a =-.【考题回放】1.（2011年高考陕西卷文科4)函数13y x =的图像是 ( )2．(2010年高考北京卷文科6)给定函数①12y x=，②12log(1)y x=+，③|1|y x=-，④12xy+=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( ) （A）①②（B）②③（C）③④（D）①④3.（2011年高考浙江卷文科11)设函数4()1f xx=-,若()2f a=,则实数a=____。
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幂函数
一、知识梳理：（阅读教材必修1第77页—第79页）
1、幂函数的定义和性质
（1）、一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。
（2）、幂函数的定义依据的取值的不同而不同，在（0，上都有意义，所以对于幂函数性质的讨论，先讨论幂函数在（0，上的性质，在根据函数的奇偶性（如果函数具有奇偶性），讨论其在（0上的性质即可。
（3）、几个常见的幂函数
，=，2，3，-1，-2, ，它们的图象如图：Array y= y= y= y=
定义域
奇偶性
在第一
象限增
减性
图象过
定点
二、题型探究
[探究一]：应用幂函数的单调性比较大小及解不等式
例1：（1）已知，试比较， ,的大小。
例2：比较与的大小
例3：与，则的取值范围是。
[探究二]：综合应用幂函数的图象及性质
例4：已知幂函数 (p)在（0，）上是增函数，且在定义域上是偶函数，求P 的值，并写出相应的函数解析式。
三、 方法提升
幂函数问题主要考虑到与y= （）,y= （）, y= （）时的图象进行比较分析即可。
四、 反思感悟
五、 课时作业
幂函数单元测试题
一.选择题(36分)
1.下列函数是幂函数的是( )
(A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2 (D) y=32x 2.下列说法正确的是( )
(A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数; (C) y=x 是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0
不是偶函数. 3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( )
(A) y=x -2 (B) y=21x (C) y=41x (D) y=21
x
4.若A=2,B=33,则A 、B 的大小关系是( )
(A) A>B (B) A<B (C) A 2>B 3 (D) 不确定
5.下列是y=3
2x 的图象的是( )
(A) (B) (C) (D)
6.y=x 2与y=2x 的图象的交点个数是（ ）
（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二．填空题（21分）
7．y=(m 2-2m+2)x 2m+1是一个幂函数，则m= . 8. y=x 的单调增区间为
. y
9.在函数①y=x 3②y=x 2③y=x -1
④y=x 中，定义域和值域相同的是 . 三．解答题（43分）
10．证明：f(x)=x 在定义域内是增函数。
（14分）
11.对于函数f(x)=23
-x ,
(1).求其定义域和值域； (2).判断其奇偶性。
（14分）
12．已知幂函数y=x 3-p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上为增函数，求满足条件(a+1)2p <(3-2a)2
p 的实数a 的取值范围。
（15分）
四．附加题：【2014浙江高考理第7题】在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）
答案解析：
选择题：DAABBC
二．7. 1; 8. [0，+∞] ; 9.(1),(3),(4).
三．10.定义域为[0，+∞]，利用定义易证单调性。
注意分子有理化。
11．（1）定义域为（0，+∞），（2）值域为（0，+∞）；
（3）非奇非偶函数。
12．因为y=f(x)为偶函数，且3-p>0,p 是正整数，则3-p=2,得p=1. 1+a <a 23-,⇒0≤a+1<3-2a, ⇒-1≤a<
3
2. 附加题解析：
答案：Ｄ
解析：函数()0a y x x =≥，与()log 0a y x x =>，答案Ａ没有幂函数图像，答案Ｂ()0a y x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案Ｃ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案Ｄ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选Ｄ
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。