2017-2018学年贵州省贵阳一中高三(上)适应性月考数学试卷(理科)(一)
贵州省贵阳市2017-2018学年高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
贵州省贵阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=( )A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )A．B．C．1 D．33．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心4．下列正确的是( )A．∂x0∈R，x02+2x0+3=0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b25．已知sin2α=，则cos2（）=( )A．B．C．D．6．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=4，S4=10则数列{}的前2015项和为( ) A．B．C．D．7．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．16种C．24种D．36种8．如图三棱锥V﹣ABC，V A⊥VC，AB⊥BC，∠V AC=∠ACB=30°，若侧面V AC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )A．4：B．4：C．：D．：9．已知函数：f（x）=x2+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为( )A．B．C．D．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项式( )A．﹣20 B．﹣540 C．20 D．54011．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( ) A．B．C．D．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是( )A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，）D．（﹣.）∪（，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若点（a，25）在函数y=5x的图象上，则tan的值为__________．14．若正项数列{a n}满足a2=，a6=，且=（n≥2，n∈N），则log2a4=__________．15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为__________．16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F 分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是__________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且=λ（0≤λ≤1），N为AD的中点（1）求证：BC⊥平面PNB（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M﹣BN﹣D为60°，求λ的值．20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值（2）设g（x）=[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2求实数a的取值范围．四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．贵州省贵阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=( )A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据并集的含义先求A∪B，注意2只能写一个，再根据补集的含义求解．解答：解：集合A∪B={1，2，4}，则C U（A∪B）={3}，故选B．点评：本题考查集合的基本运算，较简单．2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )A．B．C．1 D．3考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z=i（2﹣i）=2i+1，则|z|=．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：探究型．分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．解答：解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=2内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．4．下列正确的是( )A．∂x0∈R，x02+2x0+3=0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b2考点：特称；充要条件；全称．专题：计算题．分析：A和B选项按全称和特称的真假判断来看；C选项看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断；D选项看从条件能否推出推结论．解答：解：A错，∵方程的根的判别式△=4﹣4×3＜0，此方程没有实数解：B错，∵当x=1时，x3=x2；C对，∵x2＞1⇔（x﹣1）（x﹣1）＞0⇔x＜﹣1或x＞1∴x＞1⇒x2＞1成立，但x2＞1⇒x＞1不成立，∴x＞1是x2＞1的充分不必要条件；D错，∵若a＞b，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）不一定大于0．故选C．点评：本题主要考查了、条件、特称等的有关知识，与其它部分的知识联系密切，所以综合性较强．5．已知sin2α=，则cos2（）=( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角的余弦公式化简后，由诱导公式化简即可求值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（）====．故选：B．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．6．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=4，S4=10则数列{}的前2015项和为( )A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列通项公式与前n项和公式可得：a n=n．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=4，S4=10，∴a1+3d=4，=10，解得a1=d=1，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．∴==，∴数列{}的前n项和S n=+…+=1﹣=．∴数列{}的前2015项和=．故选：B．点评：本题考查了等差数列通项公式与前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．16种C．24种D．36种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；排列组合．分析：先考虑甲、乙两机是12、23、34、45位置，再考虑甲、乙两机，位置交换，即可得出结论．解答：解：先考虑甲、乙两机，若甲、乙两机是12位置，则其余3架飞机有=6种方法；甲、乙两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；同理，甲、乙两机是34、45位置，均分别有4种方法，若乙、甲两机是12位置，则其余3架飞机有=4种方法；乙、甲两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；同理，乙、甲两机是34位置，有4种方法乙、甲是45位置，则其余3架飞机有=6种方法故共有2（6+4+4+4）=36种不同的着舰方法．故选：D．点评：本题考查排列、组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．8．如图三棱锥V﹣ABC，V A⊥VC，AB⊥BC，∠V AC=∠ACB=30°，若侧面V AC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )A．4：B．4：C．：D．：考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型；空间位置关系与距离．分析：主视图为Rt△V AC，左视图为以△V AC中AC的高为一条直角边，△ABC中AC的高为另一条直角边的直角三角形．解答：解：主视图为Rt△V AC，左视图为以△V AC中AC的高VD为一条直角边，△ABC 中AC的高BE为另一条直角边的直角三角形．设AC=X，则V A=x，VC=，VD=x，BE=x，则S主视图：S左视图==4：．故选：A．点评：由直观图到三视图，要注意图形的变化和量的转化．属于基础题．9．已知函数：f（x）=x2+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为，因此在同一坐标系内作出不等式组和对应的平面区域，分别得到正方形ODEF和四边形OHGF，如图所示．最后算出四边形OHGF与正方形ODEF的面积之比，即可得到事件A发生的概率．解答：解：∵f（x）=x2+bx+c，∴不等式，即，化简得以b为横坐标、a为纵坐标建立直角坐标系，将不等式组和对应的平面区域作出，如图所示不等式组对应图中的正方形ODEF，其中D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S正方形ODEF=4×4=16不等式组对应图中的四边形OHGF，可得S四边形OHGF=S正方形ODEF﹣S△DHG﹣S△EFG=16﹣2﹣4=10∵事件A=，∴事件A发生的概率为P（A）===故选：A点评：本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件A发生的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项式( )A．﹣20 B．﹣540 C．20 D．540考点：二项式定理．专题：综合题；二项式定理．分析：首先，根据程序框图的运算结果，得到参数b的值，然后根据二项式展开式，写出通项公式，然后，确定其展开式的常数项．解答：解：根据程序框图，得初始值：a=1，b=1，第一次循环：b=3，a=2第二次循环：b=5，a=3，第三次循环：b=7，a=4第四次循环：b=9，a=5，∵a=5＞4，跳出循环，输出b=9，∴二项式（﹣）6的通项：T r+1=36﹣r（﹣1）r•x3﹣r令3﹣r=0，得r=3，∴展开式中的常数项是33••（﹣1）3=﹣540，故选：B．点评：本题重点考查了程序框图，二项式定理及其展开式等知识，属于中档题．解题关键是循环结构的程序框图的识图能力．11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是( )A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，）D．（﹣.）∪（，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；直线与圆．分析：由题意可得函数f（x）是周期函数，从而作出函数f（x）与y=mx的图象，再结合图象求出四个临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案．解答：解：∵f（x﹣4）=f（x），∴f（x）的周期T=4，方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点可化为函数f（x）与y=mx有4个不同的交点，作函数f（x）与y=mx的图象如下，k OA=﹣，k OB=﹣，k OC=，k OD=，综合函数的图象可得，﹣＜m＜﹣，或＜m＜；故选D．点评：本题考查了函数的图象的作法及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了直线的斜率的求法与应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若点（a，25）在函数y=5x的图象上，则tan的值为．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用指数函数的图象与性质求出a，然后求解三角函数的值即可．解答：解：点（a，25）在函数y=5x的图象上，可得25=5a，解得a=2，tan=tan=tan=．故答案为：．点评：本题考查指数函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．14．若正项数列{a n}满足a2=，a6=，且=（n≥2，n∈N），则log2a4=﹣3．考点：等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：根据数列的递推关系得到数列{a n}为等比数列，结合等比数列的性质求出a4的值即可．解答：解：∵=（n≥2，n∈N），∴数列{a n}为等比数列，∵a2=，a6=，∴a42=a2a6=×=，则a4=，则log2a4=log2=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题主要考查等比数列的通项公式的应用，根据条件判断数列是等比数列是解决本题的关键．15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为36π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式解之即可．解答：解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，在直角三角形PAO中，PO===3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，球的表面积S=4πr2=36π故答案为：36π点评：本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F 分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是6．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=+．由ME⊥MF，可得=0，从而=．求得=6cos＜，＞，从而求得的最大值．解答：解：由题意可得=，∴==+．∵ME⊥MF，∴=0，∴=．由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，再由OM=3，可得=•3•cos＜，＞=6cos＜，＞，即=6cos＜，＞，故的最大值是大为6，故答案为6．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意可得a=c﹣4、b=c﹣2．又因，，可得，恒等变形得c2﹣9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．解答：解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知条件分别求出甲同学选中E高校的概率和乙、两同学选取中E高校的概率，由此能求出甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率．（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，分另求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．解答：解：（Ⅰ）由题意知：甲同学选中E高校的概率为，乙、两同学选取中E高校的概率为p乙=p丙==，∴甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率为：P（1﹣p甲）•p乙•p丙=（1﹣）••=．（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）=p甲•p乙•p丙==，P（X=1）=（1﹣p甲）•p乙•p丙+p甲•（1﹣p乙）•p丙+p甲•p乙•（1﹣p丙）=++=，P（X=2）=（1﹣p甲）•（1﹣p乙）•p丙+（1﹣p甲）•p乙•（1﹣p丙）+p甲•（1﹣p乙）•（1﹣p丙）=++=，P（X=3）=（1﹣p甲）•（1﹣p乙）•（1﹣p丙）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴EX=0×+1×+2×+3×=．点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且=λ（0≤λ≤1），N为AD的中点（1）求证：BC⊥平面PNB（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M﹣BN﹣D为60°，求λ的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得PN⊥AD，△ABD为等边三角形，BN⊥AD，从而AD⊥平面PNB，由AD∥BC，能证明BC⊥平面PNB．（2）分别以NA，NB，NP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BMN的一个法向量和平面BCD的一个法向量，由此结合已知条件利用向量法能求出λ的值．解答：解：（1）证明：∵PA=AD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，又∴N为AD的中点，∴BN⊥AD，又PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB，∵AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，如图，分别以NA，NB，NP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），设M（x，y，z），则=（x，y，z﹣），=（﹣2﹣x，，﹣z），∴=（﹣2λ，，﹣λz），由（0≤λ≤1），得，解得，y=，z=，∴M（，，），∴=（，﹣，），=（0，，0），设=（x，y，z）是平面BMN的一个法向量，则，取z=，得=（，0，），又平面BCD的一个法向量为=（0，0，），∵二面角M﹣BN﹣D为60°，∴cos＜＞===cos60°，解得．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值（2）设g（x）=[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得原函数的极值；（2）由题意可知，a≠0，且，又x∈（0，1），得到．然后分a＜0和a＞0讨论当a＞0时，构造函数，问题转化为h max （x）＜0．然后根据a的范围利用导数分析其最大值是否小于0得答案．解答：解：（1）由f（x）=，得，当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=；（2）由题意可知，a≠0，且，∵x∈（0，1），∴．当a＜0时，g（x）＞0，不合题意；当a＞0时，由g（x）＜﹣2，可得恒成立．设，则h max（x）＜0．求导得：．设t（x）=x2+（2﹣4a）x+1，△=（2﹣4a）2﹣4=16a（a﹣1）．①当0＜a≤1时，△≤0，此时t（x）≥0，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1）内单调递增，又h（1）=0，∴h（x）＜h（1）=0，此时0＜a≤1符合条件；②当a＞1时，△＞0，注意到t（0）=1＞0，t（1）=4（1﹣a）＜0，∴存在x0∈（0，1），使得t（x0）=0，于是对任意x∈（x0，1），t（x）＜0，h′（x）＜0，则h（x）在（x0，1）内单调递减，又h（1）=0，∴当x∈（x0，1）时，h（x）＞0，不合要求．综①②可得0＜a≤1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求解函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是对a＞1时的分析，要求考生有敏锐的洞察力．四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，由此能证明AC2=AD•AE．（2）由，∠EAC=∠DAC，得△ADC∽△ACE，从而得到∠EGF=∠ACE，由此能证明GF∥AC．解答：证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AB=AC，∴AC2=AD•AE．（2）由（1）得，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．点评：本题考查AD•AE=AC2的证明，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理和相似三角形的性质的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x2+xy+y2中，求出4x2+xy+y2取得最大值时对应的M点的坐标．解答：解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣=0，圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；∵圆心（0，0）到直线l的距离为d==1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点的个数是1；（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；当θ=或θ=时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用双绝对值不等式的性质|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|即可证得结论成立；（Ⅱ）构造函数h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=，作出y=h（x）与过定点（1，﹣）的直线y=k（x﹣1）﹣的图象，数形结合即可求得实数k的取值范围．解答：证明：（Ⅰ）|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|∴．（Ⅱ）记h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，则函数h（x）的图象在直线y=k（x﹣1）﹣的上方，∵y=k（x﹣1）﹣经过定点（1，﹣），当x=﹣时，y=h（x）取得最小值﹣，显然，当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与M（﹣，﹣）时，k PM==，即k＞；当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与直线y=x平行时，k得到最大值1，∴．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的性质，突出构造函数思想与数形结合思想的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考(一)(图片)——数学文(数学文)
贵州省贵阳市第一中学2018届高三上学期适应性月考（一）（图片）贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意得{|}{|}{61333|}6M N x x x x x x x =<<<-><---=<或，故选B ． 2．由，得，∴，故选C ．3．因为，所以，即．又因为，∴，，故选C ．4． tan tan () []ααββ=-+=117341111134+==-，，故选A ． 5．第一次循环：1412p a b n ====，，，；第二次循环：6263p a b n ====，，，；第三次循环：7712433p a b n ====，，，，终止循环，则输出，故选C ． 6．在正方形ABCD 中，当点P 为CD 中点时，三角形APB 为等腰三角形，故∠ABP 为最大角的概率为，故选A ．7．由题可知正方体的棱长为3，其体对角线即为球的直径，所以球的表面积为，故选D ． 8．依题意，得直线l 过点(1，3)，斜率为，所以直线l 的方程为，即，故选A ． 9．由21()ln(1)1||f x x x =-++，知f (x )为R 上的偶函数，当时， f (x )在(0，+∞)上为减函数，则，解得，故选D ．10．满足条件3372x y x y y -⎧⎪+⎨⎪-⎩，，≥≤≥ 的可行域为如图1所示三角形ABC （包括边界）．是可行域上动点(x ，y )到点P (0，3)距离的平方，因为过P 垂直于AC 的直线与AC 的交点在线段AC 上，取最小值，为点P 到线段AC 的距离的平方为18，故选B ．11．因为，所以，所以82282828289191191()1044a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选A ．12．令，则2()()1()()()xf x f x f x g x f x x x x '-⎡⎤''==-⎢⎥⎣⎦，因为，， 所以，则在为增函数，所以，即，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．8816853515111+=-=⨯=÷=； ； ； ；所以第二个数是16351．用此规律可得出1676333515515+=-=⨯=÷=； ； ； ；所以第三个数是73155．14．（1）“过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直”是真命题；（2）“如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行”是假命题；（3）“两两相交且不过同一点的三条直线不一定共面”是假命题；（4）“垂直于同一平面的两平面平行” 是假命题．15．画出2310()240x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩，，，≤的图象，如图2，由函数有3个不等实根，结合图象得：，即． 16．设M 坐标为(x ，y )，则222212()()3F M F M x c y x c y x c y c =+-=-+=，，①，将代入①式解得222222222(4)(5)c b a c a a x c c --==，又x 2∈[0，a 2]，∴，∴． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为， 且∶，所以.在△PBC 中，4||120BP PC PBC ==∠=︒，. 又因为222||||||2||||cos PC PB BC PB BC PBC =+∠-，即212816||||242BC BC ⎛⎫=+⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭-， 解得或 (舍)，所以222||||||cos2||||BP PC BC BPC BP PC +-∠===⨯⨯ ……………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，所以sin sin πs in ()()APD BPC CPD BPC CPD ∠=-∠-∠+∠=∠12==， 所以，所以． …………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平均数为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；众数为55；因为完成时间在[30，50)分钟内的频率为0.2，在[50，60)分钟内的频率为0.5，所以中位数为． ………………………………………………（4分）（Ⅱ）因为A ，B ，C 的频率比为2︰7︰1，共抽10人，所以B 中抽7人． ……（8分）（Ⅲ）抽出的成绩为B 等学生中完成任务时间[50，60)分钟的学生有5人，设为a ，b ，c ，d ，e ；在[60，70)分钟的学生人数为2人，设为x ，y ，则7人中任选两人共有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共21种．两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟内的有：(a ，x )，(a ，y )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共11种．所以两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为． ……………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为平面KBC ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面KBC ，又因为BF 在平面KBC 上，所以BF ⊥AC ．又因为△KBC 是正三角形，且F 为CK 的中点，所以BF ⊥KC ．所以BF ⊥平面KAC ． …………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：因为，又因为AC ⊥平面KBC ，DF//AC ，所以DF ⊥平面KBC ．又因为，所以113||332F BDE D EFB EFB V V S DF --==⨯==△ ………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，又因为12122PF F c S b bc ===△ 两式联立解得，所以P 点坐标（2，）． …………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为，设Q (x 0，y 0)，则，直线QA 方程为，令得M 点坐标为， 同理，直线QB 方程为，得N 点坐标为，∴11022000220(2)(2)22(4)11(1)(4)MF NF m y m y x x m y k k m m m x +-+--==+++-， 又Q (x 0，y 0)在椭圆上，∴22200020314344x y y x +=⇒=--， ∴1122431(1)4MF NF m k k m -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭， 解得，所以存在实数，使得MF 1⊥NF 1． ……………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：函数的定义域为{x |x >0}． 因为32ln 3()(0)x f x x x --'=>． 令，解得．当0<x<时，，当时，，所以为f (x )的极大值，也是最大值，． ………………………（6分）（Ⅱ）证明：令，得，因为14(2ln 2)4(1)22f f ⎛⎫=⨯->= ⎪⎝⎭，， 且由（Ⅰ）得，f (x )在内是减函数，所以存在唯一的x 0∈，使得．所以曲线在上存在以(x 0，g (x 0))为切点，斜率为4的切线．由得，所以000000231()44g x x x x x x =--=--.因为x0∈，所以．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵，∴，直线l的直角坐标方程：．曲线C：(α为参数)，消去参数可得曲线C的普通方程为：．…………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，的圆心为D(，2)，半径为3．设AB中点为M，连接DM，DA，圆心到直线l的距离，所以，又因为，所以，所以．…………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）．…………………………………（5分）（Ⅱ）利用图象可得．…………………………………………………（10分）。
贵州省贵阳市第一中学2018届高三12月月考数学理试题 含答案 精品
理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合{}ln(2)A x y x ==-，{}2230B x x x =--<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}12x x -<< B ．{}23x x ≤< C ．{}23x x << D ．{}1x x ≤- 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)12i z i +=-，则z =（ ）A ．1 C ．52 D3.直线1l ：20ax y ++=，2l ：3(2)20x a y a +-+=，则“3a =”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为25和35，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ） A ．215 B ．25 C.1315 D ．8155.已知平面向量(4,2)a =-，25b =，(1,2)c =-，若()3a b c +⋅=，则b 与c 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C.120︒D ．150︒6.将函数2sin(4)3y x π=+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴为（ ）A ．12x π=B ．3x π=C.512x π=D ．23x π=7.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()ln 2f x f x >，(1)4f =，则不等式1()2x f x +≥的解集为（ ）A ．[1,2]B ．[1,)+∞ C.(,1]-∞ D ．(0,1]8.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为锐角α的直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若2FA BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．9.某三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的体积是83，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16π C.24π D ．48π10.已知双曲线221(1)x y a a-=>的两个焦点分别为1F ，2F ，是双曲线上一点，且满足12PF PF +=，则1POF ∆的面积为（ ）A ．2a B ．a C.1 D ．1211.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．812.若函数321y x x a =---，（1(,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，e 为自然对数的底数）与23ln y x x =-的图象上存在两组关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．310,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B ．30,4e ⎡⎤-⎣⎦ C.3312,4e e ⎛⎤+- ⎥⎝⎦ D ．312,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.61(1)(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为240，则0=⎰ ．14.设,x y 满足约束条件1211x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤-⎩，则22z x y =+的最小值为 ．15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20170S >，20180S <对任意*n N ∈，都有n m a a ≥，则m 的值为 ．16.已知函数1()1f x x =-，下列函数()f x 的判断：①()f x 的值域为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；②()y f x =在(0,)+∞上单调递减；③()y f x =的图象关于y 轴对称；④方程()(0)f x ax a =≠至少有一个实根.其中判断正确的序号为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 1sin sin B aA C b c-=++.（I ）求证：角A ,C ,B 成等差数列； （II ）若3c =，求ABC ∆面积的最大值.18.某购物网站对在7座城市的线下体验店的广告费指出i x （万元）和销售额i y （万元）的数据统计如下表：（I ）若用线性回归模型拟合y 与x 关系，求y 关于x 的线性回归方程；（II ）若用对数函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程12ln 22y x ∧=+，经计算对数函数回归模型的相关系数约为0.95，请说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 城市的广告费用支出8万元时的销售额. 参考数据：71294ii y==∑，712794i i i x y ==∑，721708ii x ==∑31.654=，16.125≈，ln 20.6931≈.参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x --∧=-=--=-∑∑，a y b x ∧-∧-=-.相关系数()()niix x y y r ----=∑.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ︒∠=，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，AD DC CF ==.（I ）求证：//FC 平面AED ；（II ）求直线AF 与平面BDF 所成角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆C 的短轴长为直径的圆与直线0x y -=相切. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点2F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q ，求1F PQ ∆内切圆面积的最大值和此时直线l 的方程.21.已知函数()ln a f x x x x=+，32()5g x x x =--. （I ）若0a =，求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的1x ，2x 1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有12()2()f x g x -≥成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），点P 是曲线C上的一动点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0)ρ>.（I ）求线段OP 的中点M 的轨迹的极坐标方程； （II ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()11f x x x =--+.（I ）作出函数()f x 的图象并求其值域； （II ）若max 3()4m f x =，且22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值.贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|2}A x x =<，{|13}B x x =-<<，图中阴影部分表示(){|23}BA x x =<R ≤ð，故选B ．2．因为(1i)12i z +=-，所以12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)22z ---===--++-，所以||z=，故选D ． 3．若12//l l ，则(2)3a a -=，且223a a ≠⨯，解得3a =或1a =-，∴“3a =”是“12//l l ”的充分不必要条件，故选A ．4．分别设甲、乙两贫困户获得扶持资金为事件A ，B ，2()3P A =，3()5P B =，“这两户中至少有一户获得扶持资金”的对立事件是“这两户都没有获得扶持资金”，概率为232113515⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为21311515-=，故选C．5．设向量b 与c 的夹角为θ，由()3+=a b c 得3+=a c b c，所以83θ+=，所以1cos 2θ=-，∵0θ︒≤180︒≤，∴120θ=︒，故选C ．6．将函数π2sin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π3个单位长度，得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k -=+，得π5π212k x =+，k ∈Z ，故选C ． 7．由()()ln 2f x f x '>得()ln 2()0f x f x '->，设()()2x f x g x =，则()ln 2()()02xf x f xg x '-'=>，所以()()2x f x g x =在R 上是增函数， 且(1)(1)22f g ==．不等式1()2x f x +≥可化为()22x f x ≥，即()(1)g x g ≥，∴1x ≥，故选B ．8．如图1所示，设||BF x =，则||2AF x =，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义知，1||BB x =，1||2AA x =，再过B 作1AA 的垂线，垂足为H ，则||AH x =，所以||BH =，则tan α=C ．9．由三视图可知，该几何体是由正方体截去四个角后所得的正三棱锥，设正方体的棱长为a，则该三棱锥的体积为323111843233V a a a a =-⨯⨯==，∴2a =，因为该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，∴该三棱锥的外接球的直径2r =的表面积为24π12πS r ==，故选A ．10．不妨设12||||PF PF >，由双曲线的定义，12||||PF PF -=12||||PF PF +=图1，联立解得1||PF 2||PF =12||F F =2212||||PF PF +212||F F =，则△12PF F 为直角三角形，1290F PF ∠=︒，△12PF F 的面积为121||||2PF PF1212=⨯=，所以1121122POF PF F S S ==△△，故选D ． 11．111211(21)(21)2121n n n n n +++=-----，运行该程序得11112121n S +=---，当126127S =时，7n =，126127S >不成立，继续循环；254255S =，8n =，126127S >成立，循环结束，输出的8n =，故选D ．12．由题意，问题等价于方程3221(3ln )x x a x x ---=--在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个解，即方程33ln 1x x a -=+在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个解.设3()3ln f x x x =-，则23()3f x x x '=-33(1)x x-=，所以当11e x <≤时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1e x <≤时，()0f x '>，()f x 单调递增；于是()f x 有最小值为(1)1f =，又3113e e f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3(e)e 3f =-，1(e)e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由图可知，若方程33ln 1x x a -=+在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个解，则31113e a <++≤，所以3102e a <+≤，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项66621661C ()C rr r r r rr T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令621r -=，不合题意，舍去；令622r -=，得2r =，所以61(1)x ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是246C 240a =，得2a =±（舍负），所以2a =．根据0x ⎰的几何意义是以原点为圆心，2为半径的圆面积的14，所以0πx =⎰．14．由约束条件作出可行域，如图2所示．22z x y =+表示可行域内的点()P x y ，到原点(00)O ，距离的平方，由图可知，2min12z ⎛⎫==． 15．∵1201720172017()02a a S +=>，∴12017100910090200a a a a +>⇒>⇒>，又1201820182018()02a a S +=<，∴120181009101000a a a a +<⇒+<，所以10100a <且10101009||||a a >，故对任意n *∈N ，都有1009||||n a a ≥，∴1009m =．16．画出函数1()||1f x x =-的图象，如图3，由此判断③，④正确． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：由sin 1sin sin B a A C b c -=++，得sin sin sin sin sin A B C aA C b c-+=++， 由正弦定理a b c aa cb c-+=++，化简得222a b c ab +-=， 根据余弦定理2221cos 22a b c C ab +-==，∵(0π)C ∈，，∴π3C =，又πA B C ++=，∴2A B C +=，所以角A ，C ，B 成等差数列． ……………（6分） （Ⅱ）解：根据余弦定理得222222cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+--=≥， ∴9ab ≤，当且仅当a b =时“=”成立， 则△ABC的面积为1sin 2S ab C == 所以△ABC． ……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，8x =，42y =，根据参考公式和数据得图2 图311222211()()279478421.770878()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b xx xnx====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑，∴42 1.7828.4a y bx =-=-⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为 1.728.4y x =+． …………………………………（6分）（Ⅱ）()()4420.8716.12531.654nii xx y y r --=≈⨯∑，∵0.870.95<，∴对数函数回归模型更合适，当8x =万元时，预测A 城市的销售额为ˆ12ln82236ln 22246.95y=+=+≈万元． ……………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°， ∴BC=DC ，∠ADC=∠BCD=120°，∴∠CDB=30°， ∴∠ADB=90°，即BD ⊥AD ． 又AE ⊥BD ，AEAD =A ，∴BD ⊥平面AED ，又BD ⊂平面ABCD ，∴平面AED ⊥平面ABCD ． 如图4，过E 作EG ⊥AD 于G ，则EG ⊥平面ABCD ，又FC ⊥平面ABCD ，∴FC ∥EG． 又EG ⊂平面AED ，FC ⊄平面AED ，∴FC ∥平面AED ． ……………………（6分）（Ⅱ）解：如图5，连接AC ，由（Ⅰ）知AC ⊥BC ， ∵FC ⊥平面ABCD， ∴CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为原点，建立空间直角坐标系C−xyz ． 设BC 2=，则AC =，AB 4=， (002)F ，，，(020)B ，，，10)D -，，00)A ，，∴(02)AF =-，，图4图5(330)BD =-，，(022)FB =-，，． 设平面BDF 的法向量为()n x y z =，，，则00n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 即300y y z -=-=⎪⎩，，令1y =，则x =1z =，则(311)n =，，． 设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则||5sin ||||n AF n AF θ==故直线AF 与平面BDF ． ……………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）以原点为圆心，椭圆C 的短轴长为直径的圆的方程为222x y b +=，b =，所以b =∵点312A ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上，∴221914a b +=，解得24a =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=． (4)）（Ⅱ）由111||||||2F PQ PF QF PQ S r ++=△内切圆，根据椭圆定义，11||||||=48PF QF PQ a ++=，所以14F PQ S r =△内切圆， 于是求△1F PQ 内切圆面积的最大值即为求△1F PQ 面积的最大值． 设直线l 的方程为1x ty =+，11()P x y ，，22()Q x y ，，则221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 消去x 得22(34)690t y ty ++-=，所以122634t y y t +=-+，122934y y t =-+． 因为||PQ1F 到直线l 的距离为h =所以△1F PQ 的面积为1||2S PQ h ==令21t u +=(1)u ≥，则S == ∵19y u u=+在[1)+∞，上单调递增，∴当1u =时，S 取得最大值为3， 此时0t =，直线l 的方程为1x =， 内切圆的半径为34，所以内切圆面积的最大值为9π16． ……………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若0a =，则()ln f x x x =(0)x >，()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1e x >；由()0f x '<得10ex <<，所以()f x 的单调递增区间是1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． (4)）（Ⅱ）2()32(32)g x x x x x '=-=-，所以当1223x <≤时，()0g x '<，()g x 单调递减；当223x ≤≤时，()0g x '≥，()g x 单调递增， 又1114152848g ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，(2)8451g =--=-，所以()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1-．由题意，若对任意的12122x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有12()2()f x g x -≥成立，即对任意的122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，都有()1f x ≥恒成立，即ln 1a x x x +≥恒成立，即2ln a x x x -≥对任意的122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以2max (ln )a x x x -≥．设2()ln h x x x x =-，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则()12ln h x x x x '=--，()2ln 3h x x ''=--，所以()h x ''在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则1()2ln 2302h x h ⎛⎫''''=-< ⎪⎝⎭≤，所以()12ln h x x x x '=--在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，又(1)0h '=，所以当112x <≤时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x <≤时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴2()ln h x x x x =-在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值为(1)1h =，∴1a ≥，所以a 的取值范围是[1)+∞，． (12)）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）设线段OP 的中点M 的坐标为()x y ，， 由中点坐标公式得1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，，（α为参数），消去参数得M 的轨迹的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，由互化公式可得点M 的轨迹的极坐标方程为2cos ρθ=． ……………………（5分）（Ⅱ）由直线lsin 14θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 144θθππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，它表示以(20)，为圆心，2为半径的圆， 则圆心到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离， 故曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为2d r +=+． ………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由2(1)()|1||1|2(11)2(1)x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=--⎨⎪->⎩，≤≤，， (2)）如图6所示， ……………………（4分） 值域22y ∈-[，]． ……………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知max 33()42m f x ==， …………（6分） ∵2222222323()2()242m a c b a b c b ab bc ==++=++++≥， ∴324ab bc +≤，∴2ab bc +的最大值为34，图6当且仅当12a b c ===时，等号成立． ……………………………………… （10分）贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（四） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|2}A x x =<，{|13}B x x =-<<，图中阴影部分表示(){|23}BA x x =<R ≤ð，故选B ．2．因为(1i)12i z +=-，所以12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)22z ---===--++-，所以||z=，故选D ． 3．若12//l l ，则(2)3a a -=，且223a a ≠⨯，解得3a =或1a =-，∴“3a =”是“12//l l ”的充分不必要条件，故选A ．4．分别设甲、乙两贫困户获得扶持资金为事件A ，B ，2()3P A =，3()5P B =，“这两户中至少有一户获得扶持资金”的对立事件是“这两户都没有获得扶持资金”，概率为232113515⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为21311515-=，故选C．5．设向量b 与c 的夹角为θ，由()3+=a b c 得3+=a c b c ，所以83θ+=，所以1cos 2θ=-，∵0θ︒≤180︒≤，∴120θ=︒，故选C ．6．将函数π2sin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π3个单位长度，得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k -=+，得π5π212k x =+，k ∈Z ，故选C ．7．由()()ln 2f x f x '>得()ln 2()0f x f x '->，设()()2x f x g x =，则()ln 2()()02xf x f xg x '-'=>，所以()()2x f x g x =在R 上是增函数， 且(1)(1)22f g ==．不等式1()2x f x +≥可化为()22x f x ≥，即()(1)g x g ≥，∴1x ≥，故选B ．8．如图1所示，设||BF x =，则||2AF x =，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义知，1||BB x =，1||2AA x =，再过B 作1AA 的垂线，垂足为H ，则||AH x =，所以||BH =，则tan α=C ．9．由三视图可知，该几何体是由正方体截去四个角后所得的正三棱锥，设正方体的棱长为a，则该三棱锥的体积为323111843233V a a a a =-⨯⨯==，∴2a =，因为该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，∴该三棱锥的外接球的直径2r =的表面积为24π12πS r ==，故选A ．10．不妨设12||||PF PF >，由双曲线的定义，12||||PF PF -=12||||PF PF +=，联立解得1||PF 2||PF =12||F F =2212||||PF PF +212||F F =，则△12PF F 为直角三角形，1290F PF ∠=︒，△12PF F 的面积为121||||2PF PF1212=⨯=，所以1121122POF PF F S S ==△△，故选D ． 11．111211(21)(21)2121n n n n n +++=-----，运行该程序得11112121n S +=---，当126127S =时，7n =，126127S >不成立，继续循环；254255S =，8n =，126127S >成立，循环结束，输出的8n =，故选D ．12．由题意，问题等价于方程3221(3ln )x x a x x ---=--在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个解，即方程图133ln 1x x a -=+在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个解.设3()3ln f x x x =-，则23()3f x x x '=-33(1)x x-=，所以当11e x <≤时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1e x <≤时，()0f x '>，()f x 单调递增；于是()f x 有最小值为(1)1f =，又3113e e f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3(e)e 3f =-，1(e)e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由图可知，若方程33ln 1x x a -=+在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个解，则31113e a <++≤，所以3102e a <+≤，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项66621661C ()C rr r r r rr T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令621r -=，不合题意，舍去；令622r -=，得2r =，所以61(1)x ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是246C 240a =，得2a =±（舍负），所以2a =．根据0x ⎰的几何意义是以原点为圆心，2为半径的圆面积的14，所以0πx =⎰．14．由约束条件作出可行域，如图2所示．22z x y =+表示可行域内的点()P x y ，到原点(00)O ，距离的平方，由图可知，2min12z ⎛⎫==．15．∵1201720172017()02a a S +=>，∴12017100910090200a a a a +>⇒>⇒>，又1201820182018()02a a S +=<，∴120181009101000a a a a +<⇒+<，所以10100a <且10101009||||a a >，故对任意n *∈N ，都有1009||||n a a ≥，∴1009m =．16．画出函数1()||1f x x =-的图象，如图3，由此判断③，④正确． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：由sin 1sin sin B a A C b c -=++，得sin sin sin sin sin A B C aA C b c-+=++， 由正弦定理a b c aa cb c-+=++，化简得222a b c ab +-=， 根据余弦定理2221cos 22a b c C ab +-==，∵(0π)C ∈，，∴π3C =，又πA B C ++=，∴2A B C +=，所以角A ，C ，B 成等差数列． ……………（6分） （Ⅱ）解：根据余弦定理得222222cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+--=≥， ∴9ab ≤，当且仅当a b =时“=”成立， 则△ABC的面积为1sin 2S ab C == 所以△ABC． ……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，8x =，42y =，根据参考公式和数据得11222211()()279478421.770878()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b xx xnx====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑，∴42 1.7828.4a y bx =-=-⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为 1.728.4y x =+． …………………………………（6分）（Ⅱ）()()4420.8716.12531.654nii xx y y r --=≈⨯∑，图2 图3∵0.870.95<，∴对数函数回归模型更合适，当8x =万元时，预测A 城市的销售额为ˆ12ln82236ln 22246.95y=+=+≈万元． ……………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°， ∴BC=DC ，∠ADC=∠BCD=120°，∴∠CDB=30°， ∴∠ADB=90°，即BD ⊥AD ． 又AE ⊥BD ，AEAD =A ，∴BD ⊥平面AED ，又BD ⊂平面ABCD ，∴平面AED ⊥平面ABCD ． 如图4，过E 作EG ⊥AD 于G ，则EG ⊥平面ABCD ，又FC ⊥平面ABCD ，∴FC ∥EG ． 又EG ⊂平面AED ，FC ⊄平面AED ，∴FC ∥平面AED ． ……………………（6分） （Ⅱ）解：如图5，连接AC ，由（Ⅰ）知AC ⊥BC ， ∵FC ⊥平面ABCD ， ∴CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为原点，建立空间直角坐标系C −xyz ． 设BC 2=，则AC =，AB 4=， (002)F ，，，(020)B ，，，10)D -，，00)A ，，∴(02)AF =-，， (330)BD =-，，(022)FB =-，，． 设平面BDF 的法向量为()n x y z =，，，则00n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 即300y y z -=-=⎪⎩，，令1y =，则x =1z =，则(311)n =，，． 设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则||5sin ||||n AF n AF θ==图4图5故直线AF 与平面BDF． ……………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）以原点为圆心，椭圆C 的短轴长为直径的圆的方程为222x y b +=，b =，所以b =∵点312A ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上，∴221914a b +=，解得24a =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=． (4)）（Ⅱ）由111||||||2F PQ PF QF PQ S r ++=△内切圆，根据椭圆定义，11||||||=48PF QF PQ a ++=，所以14F PQ S r =△内切圆， 于是求△1F PQ 内切圆面积的最大值即为求△1F PQ 面积的最大值． 设直线l 的方程为1x ty =+，11()P x y ，，22()Q x y ，，则221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 消去x 得22(34)690t y ty ++-=，所以122634t y y t +=-+，122934y y t =-+．因为||PQ 1F 到直线l的距离为h = 所以△1F PQ 的面积为1||2S PQ h==令21t u +=(1)u ≥，则S == ∵19y u u=+在[1)+∞，上单调递增，∴当1u =时，S 取得最大值为3， 此时0t =，直线l 的方程为1x =， 内切圆的半径为34，所以内切圆面积的最大值为9π16． ……………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若0a =，则()ln f x x x =(0)x >，()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1e x >；由()0f x '<得10ex <<，所以()f x 的单调递增区间是1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． (4)）（Ⅱ）2()32(32)g x x x x x '=-=-，所以当1223x <≤时，()0g x '<，()g x 单调递减；当223x ≤≤时，()0g x '≥，()g x 单调递增， 又1114152848g ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，(2)8451g =--=-，所以()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1-．由题意，若对任意的12122x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有12()2()f x g x -≥成立，即对任意的122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，都有()1f x ≥恒成立，即ln 1a x x x +≥恒成立，即2ln a x x x -≥对任意的122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以2max (ln )a x x x -≥．设2()ln h x x x x =-，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则()12ln h x x x x '=--，()2ln 3h x x ''=--，所以()h x ''在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则1()2ln 2302h x h ⎛⎫''''=-< ⎪⎝⎭≤，所以()12ln h x x x x '=--在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，又(1)0h '=，所以当112x <≤时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x <≤时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴2()ln h x x x x =-在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值为(1)1h =，∴1a ≥，所以a 的取值范围是[1)+∞，． ………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）设线段OP 的中点M 的坐标为()x y ，， 由中点坐标公式得1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，，（α为参数），消去参数得M 的轨迹的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，由互化公式可得点M 的轨迹的极坐标方程为2cos ρθ=． ……………………（5分）（Ⅱ）由直线lsin 14θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 144θθππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，它表示以(20)，为圆心，2为半径的圆， 则圆心到直线l的距离为22d ==>，所以直线l 与圆相离， 故曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为2d r +=+． ………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由2(1)()|1||1|2(11)2(1)x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=--⎨⎪->⎩，≤≤，， ……………………………（2分）如图6所示， ……………………（4分）值域22y ∈-[，]． ……………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知max 33()42m f x ==， …………（6分） ∵2222222323()2()242m a c b a b c b ab bc ==++=++++≥， ∴324ab bc +≤，∴2ab bc +的最大值为34， 当且仅当12a b c ===时，等号成立． ……………………………………… （10分）图。
高三数学上学期适应性月考试题(一)理(2021学年)
三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
１7. 已知数列 满足: , ( ).
(１)求数列 的通项公式；
（２)设数列 的前 项和为 ，求证： .
１8． 为了解学生完成数学作业所需时间,某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于３0分钟到９0分钟之间，图5是统计结果的频率分布直方图。
12
答案
ACΒιβλιοθήκη CCBC
B
Ｃ
C
B
Ｃ
C
【解析】
1.函数 的定义域为 ,不等式 的解集为 ,所以 ，故选A。
2．复数 ,对应点为 ,位于第三象限,故选C.
3.由单调性及定义域得 ,解得 ，故选C．
4．双曲线焦点在x轴上, ,右焦点为 ,故选C。
5． ，故选B。
6.问题等价于方程 在 有解,而函数 在 上递增，值域为 ,所以k的取值范围是 ,故 选Ｃ.
(1）求证: 平面 ；
(2）求二面角 的余弦值．
2０. 已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆的左、右焦点, 是椭圆上一点, 的最小值为２.
（1)求椭圆 的方程；
（2)过点 且与 轴不重合的直线 交椭圆 于 两点,圆 是以 为圆心椭圆 的长轴长为半径的圆，过 且与 垂直的直线与圆 交于 两点，求四边形 面积的取值范围.
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２018届高三上学期适应性月考(一）
理科数学试卷
第Ⅰ卷(共６0分)
2017-2018学年贵州省贵阳一中高三(上)适应性月考数学试卷(理科)(一)
2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|≤0}，则A∩B=（A．[﹣1，1]B．[﹣1，2）C．[1，2） D．[﹣2，﹣1]2．（5分）复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知f（x）在其定义域[﹣1，+∞）上是减函数，若f（2﹣x）＞f（x），则（）A．x＞1 B．﹣1≤x＜1 C．1＜x≤3 D．﹣1≤x≤34．（5分）双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为（）A．B．C．D．5．（5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有大于2的根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）已知α，β都是锐角，且sinαcosβ=cosα（1+sinβ），则（）A．B．C．D．8．（5分）如图所示，曲线y=x2﹣1，x=2，x=0，y=0围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2），为求使不等式a1+a2+a3+…+a n＜k的最大正整数n，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A．S＜k，i B．S＜k，i﹣1 C．S≥k，i D．S≥k，i﹣111．（5分）为得到函数f（x）=2sinxcosx+的图象，可以把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）A．3 B． C． D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）展开式的常数项是．（用数字作答）14．（5分）已知变量x，y满足条件，则2x﹣3y的最小值等于．15．（5分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，，若CD⊥CA，，则=．16．（5分）已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC周长的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n a n+1}的前n项和为T n，求证：．18．（12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图．（1）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X，求X的分布列和期望．19．（12分）如图，在三棱锥K﹣ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC=3．（1）求证：BF⊥平面KAC；（2）求二面角F﹣BD﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，的最小值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2且与x轴不重合的直线l交椭圆C于M，N两点，圆E是以F1为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与l垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）设f（x）=x（lnx﹣1）+a（2x﹣x2），a∈R．（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：，（α为参数），其中α∈[0，2π）．（1）写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（2）若A，B为曲线C与直线l的两交点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|2x﹣3|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜x+4的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围．2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|≤0}，则A∩B=（A．[﹣1，1]B．[﹣1，2）C．[1，2） D．[﹣2，﹣1]【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，B={x|﹣2≤x＜2}，利用集合的运算可得：A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}．故选D．2．（5分）复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数===﹣1﹣i，则复数在复平面上对应的点为（﹣1，﹣1），且为第三象限的点，故选：C．3．（5分）已知f（x）在其定义域[﹣1，+∞）上是减函数，若f（2﹣x）＞f（x），则（）A．x＞1 B．﹣1≤x＜1 C．1＜x≤3 D．﹣1≤x≤3【解答】解：由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：C．4．（5分）双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的，，，∴右焦点为．故选C5．（5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，基本事件总数n=34=81，这4人中三个项目都有人参加包含的基本事件个数m==36，这4人中三个项目都有人参加的概率为p==．故选：B．6．（5分）若方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有大于2的根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有大于2的根，可得或，解得：或k≥5．故k的取值范围为（，+∞），故选：C．7．（5分）已知α，β都是锐角，且sinαcosβ=cosα（1+sinβ），则（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinαcosβ=cosα（1+sinβ），∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=cosα，即：sin（α﹣β）=cosα=cos[﹣（α﹣β）]，又∵α，β都是锐角，可得：0＜﹣（α﹣β）＜π，∴α=﹣（α﹣β），整理可得：．故选：B．8．（5分）如图所示，曲线y=x2﹣1，x=2，x=0，y=0围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意S==，故选A．9．（5分）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆C的两个焦点与A、B两点，△OAB是直角三角形，∴AB=a，即A（，），∴⇒a2=3b2=3a2﹣3c2，a⇒e==，故选：C．10．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2），为求使不等式a1+a2+a3+…+a n＜k的最大正整数n，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A．S＜k，i B．S＜k，i﹣1 C．S≥k，i D．S≥k，i﹣1【解答】解：由题意，进入循环的条件应为数列的和S＜k，故判断框中的条件应为S＜k．由程序框图可知i为数列项数计数，先累加，后判断，故输出的数列的项数应为i﹣1．故选：B．11．（5分）为得到函数f（x）=2sinxcosx+的图象，可以把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx+，=sin2x﹣cos2x，=2sin（2x﹣），所以：①函数=2cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到：y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）的图象，故A错误．②函数=2cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到：y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）的图象，故B错误．③函数=2cos（2x﹣）的图象向右平移个单位，得到：y=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）的图象，故C正确．④函数=2cos（2x﹣）的图象向右平移个单位，得到：y=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）的图象，故D错误．故选：C12．（5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）A．3 B． C． D．3【解答】解：由几何体的三视图得所求几何体ABCD为圆中粗线所表示的图形，最长棱是AC，由长方体对角线长公式得：AC==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）展开式的常数项是20．（用数字作答）【解答】解：∵展开式的通项为，令6﹣2r=0⇒r=3；令6﹣2r=﹣1，r无整数解，所以，展开式的常数项为，故答案为：20．14．（5分）已知变量x，y满足条件，则2x﹣3y的最小值等于﹣3．【解答】解：由变量x，y满足条件，作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣3y为y=x﹣，由图可知，当直线y=x﹣过B（3，3）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×3﹣3×3=﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，，若CD⊥CA，，则=6．【解答】解：由已知在△ABC中，D是AB上一点，，可得，CD⊥CA，，．故答案为：6．16．（5分）已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC周长的取值范围为．【解答】解：由已知及正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即，得A=60°，由正弦定理可得：，可得：b=sinB，c=sinC，可得三角形的周长为：a+b+c=sinB+sinC+2=sinB+sin（120°﹣B）+2=sinB+（cosB+sinB）+2=2sinB+2cosB+2=4sin（B+）+2，∵B∈（，），sin（B+）∈（，1]，∴4sin（B+）+2∈，可得周长的取值范围为：．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n a n+1}的前n项和为T n，求证：．【解答】（本小题满分12分）（1）解：，所以是以2为公差的等差数列，，所以，所以数列{a n}的通项公式为．（2）证明：由（1）得，T n==，∴．18．（12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图．（1）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X，求X的分布列和期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设每天完成作业所需时间为x分钟以上的同学需要参加辅导，则由频率分布图得：（70﹣x）×0.02+（90﹣70）×0.005=0.2，解得x=65（分钟），所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导．（2）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，X～B（4，0.2），P（X=0）=C40•0.20•0.84=0.4096，P（X=1）=C41•0.2•0.83=0.4096，P（X=2）=C42•0.22•0.82=0.1536，P（X=3）=C43•0.23•0.8=0.0256，P（X=4）=C44•0.24=0.0016．∴X的分布列为：EX=0×0.4096+1×0.4096+2×0.1536+3×0.0256+4×0.0016=0.8．19．（12分）如图，在三棱锥K﹣ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC=3．（1）求证：BF⊥平面KAC；（2）求二面角F﹣BD﹣E的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）∵在三棱锥K﹣ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC=3．∴如图，以C为原点，CB为x轴，AC为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，B（2，0，0），C（0，0，0），A（0，﹣3，0），F（，0，），=，∵，∴，∴BF⊥CK，∵，∴，∴BF⊥CA，∵CA，CK是平面KAC内的两条相交直线，∴BF⊥平面KAC．解：（2）D（，﹣，），=（﹣，﹣），=（﹣，0，），=（﹣1，0，），设平面BDF的一个法向量，则，取x=1，得，设平面BDE（即平面ABK）的一个法向量为，则，取a=3，得，设二面角的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角F﹣BD﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，的最小值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2且与x轴不重合的直线l交椭圆C于M，N两点，圆E是以F1为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与l垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解答】解：（1）已知，的最小值为b2﹣c2=2，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，所以椭圆方程为．（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．则．所以．过点F2（1，0）且与l垂直的直线，F1到m的距离为，所以．故四边形MPNQ的面积．可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为．当l与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12．综上，四边形MPNQ面积的取值范围为．21．（12分）设f（x）=x（lnx﹣1）+a（2x﹣x2），a∈R．（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f'（x）=lnx﹣2ax+2a，可得g（x）=lnx﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），则，当a≤0时，x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，当a＞0时，时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减．所以当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）知，f'（1）=0．①当a≤0时，f'（x）单调递增，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．②当时，，由（Ⅰ）知f'（x）在内单调递增，可得当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内单调递减，在内单调递增，所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．③当时，即，f'（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．④当时，即，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x=1处取得极大值，合题意．综上可知，实数a的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：，（α为参数），其中α∈[0，2π）．（1）写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（2）若A，B为曲线C与直线l的两交点，求|AB|．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴，直线l的直角坐标方程：．曲线C：（α为参数），消去参数可得曲线C的普通方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，的圆心为D（，2），半径为3．设AB中点为M，连接DM，DA，圆心到直线l的距离，∴DM=2，又∵DA=3，所以，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|2x﹣3|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜x+4的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|2x﹣3|+|x+1|．不等式f（x）＜x+4转化为：|2x﹣3|+|x+1|＜x+4令：2x﹣3=0，x+1=0，解得：x=﹣1，x=．①当x≥时，2x﹣3+x+1＜x+4，解得：x＜3；则：．②当﹣1＜x＜时，3﹣2x+x+1＜x+4，解得：x＞0，则：．③当x≤﹣1时，3﹣2x﹣x﹣1＜x+4，无解，则：解集为∅综合①②③得：不等式解集为（0，3）．（2）函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，即：g（x）=|2x﹣3|+|x+1|+ax=0有两个实数根，函数f（x）=|2x﹣3|+|x+1|=﹣ax有两个交点．利用函数的图象，利用，解得A（）则：当﹣a且﹣a＜3时，函数的图象有两个交点．即：可得．。
贵州省2017届高考数学适应性试卷(理科)含答案解析
贵州省2017届高考数学适应性试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．已知数列{a n}满足a n=a n，若a3+a4=2，则a4+a5=（）+1A．B．1 C．4 D．84．已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A，B，C 三点共线，则实数m，n（）A．mn=1 B．mn=﹣1 C．m+n=1 D．m+n=﹣15．执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．286．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t 被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B．C．5 D．7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B．C．D．28．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜29．已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B．C．D．10．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C（t）与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B．C．D．212．已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8）B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=．14．（x+a）4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为．15．设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V的最大值为，则此时球的表面积为．16．已知数列{a n}满足a1=﹣40，且na n﹣（n+1）a n=2n2+2n，则a n取最小值时n+1的值为．三、解答题（本题共70分）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．（1）求tanB及边长a的值；（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．18．（12分）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：记事件C ：“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．19．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠B=90°，将△ABC 沿中位线DE 翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A ﹣DE ﹣C 的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．（1）求E的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：e x＞f′（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）曲线C1的参数方程为（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为α（＜α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a2+b2=6，求证：g（a）+g（b）≤m．2017年贵州省高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x|x≥1}，则M∩N={x|1≤x＜2}故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵y=（2x+i）（1﹣i）=2x+1+（1﹣2x）i，∴，解得y=2故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．3．已知数列{a n}满足a n=a n，若a3+a4=2，则a4+a5=（）+1A．B．1 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据已知条件可以求得公比q=2．【解答】解：∵数列{a n }满足a n =a n +1，∴=2．则该数列是以2为公比的等比数列． 由a 3+a 4=2，得到：4a 1+8a 1=2，解得a 1=，则a 4+a 5=8a 1+16a 1=24a 1=24×=4， 故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．4．已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A ，B ，C三点共线，则实数m ，n （ ）A ．mn=1B ．mn=﹣1C ．m +n=1D ．m +n=﹣1 【考点】平行向量与共线向量．【分析】由题意可得∥，再根据两个向量共线的性质可得=，由此可得结论．【解答】解：由题意可得∥，∴=λ•，故有=，∴mn=1， 故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的a ，b 分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．28【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=28，b=28时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=56，b=140，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=140﹣56=84，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=84﹣56=28，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=56﹣28=28，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值为28．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t 被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B．C．5 D．【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论．【解答】解：根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S==；故选：B．【点评】本题考查演绎推理的运用，关键是理解题目中祖暅原理的叙述．7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，可得答案．【解答】解：设棱长为1，则三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为：；三棱锥P﹣BCD的俯视图取最大面积时，P在A1处，俯视图面积为：；故三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，根据已知分析出三棱锥P ﹣BCD的正视图与侧视图的形状，是解答的关键．8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜2【考点】正弦定理．【分析】由题意判断出三角形有两解时A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可．【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a==2sinA，∵2sinA∈（2，2）．∴a的取值范围是（2，2）．故选：C．【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．9．已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出A的面积，然后由概型公式求概率．【解答】解：由已知得到事件对应区域面积为=4，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，面积为2=2sinx|=，由急火攻心的公式得到所求概率为：；故选C【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确几何测度是关键．10．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C（t）与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象的对称关系和条件可知C（6）=0，C（12）=10，再根据气温变化趋势可知在前一段时间内平均气温大于10，使用排除法得出答案．【解答】解：∵气温图象在前6个月的图象关于点（3，0）对称，∴C（6）=0，排除D；注意到后几个月的气温单调下降，则从0到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除C；∵该年的平均气温为10℃，∴t=12时，C（12）=10，排除B；故选A．【点评】本题考查了函数图象的几何意义，函数图象的变化规律，属于中档题．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．12．已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8）B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）+g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，由f（x）+g（x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x +x 2=（x +）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x +8=（x ﹣）2+≥．由图象知要使函数y=f （x ）+g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，∴，解得：b ∈（7，8）故选：A ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于难题．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f （x ）=（x ﹣a ）（x +3）为偶函数，则f （2）= ﹣5 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数f （x ）的定义域为R ，则∀x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），建立等式，解之求出a ，即可求出f （2）．【解答】解：因为函数f （x ）=（x ﹣a ）（x +3）是偶函数，所以∀x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），所以∀x ∈R ，都有（﹣x ﹣a ）•（﹣x +3）=（x ﹣a ）（x +3），即x 2+（a ﹣3）x ﹣3a=x 2﹣（a ﹣3）x ﹣3a ，所以a=3，所以f （2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14．（x +1）（x +a ）4的展开式中含x 4项的系数为9，则实数a 的值为 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用（x +1）（x +a ）4=（x +1）（x 4+4x 3a +…），进而得出．【解答】解：（x +1）（x +a ）4=（x +1）（x 4+4x 3a +…），∵展开式中含x 4项的系数为9，∴1+4a=9，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的展开式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．设A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=，C 是球面上的动点，若四面体OABC 的体积V 的最大值为，则此时球的表面积为 36π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，求出半径，即可求出球O 的体积 【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB =×R 2×sin60°×R=，故R=3，则球O 的表面积为4πR 2=36π，故答案为：36π．【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大是关键．属于中档题16．已知数列{a n }满足a 1=﹣40，且na n +1﹣（n +1）a n =2n 2+2n ，则a n 取最小值时n 的值为 10或11 ．【考点】数列递推式．【分析】na n +1﹣（n +1）a n =2n 2+2n ，化为﹣=2，利用等差数列的通项公式可得a n，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵na n﹣（n+1）a n=2n2+2n，∴﹣=2，+1∴数列{}是等差数列，首项为﹣40，公差为2．∴=﹣40+2（n﹣1），化为：a n=2n2﹣42n=2﹣．则a n取最小值时n的值为10或11．故答案为：10或11．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分）17．（12分）（2017•贵州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．（1）求tanB及边长a的值；（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）由acosB=4，bsinA=3，两式相除，结合正弦定理可求tanB=，又acosB=4，可得cosB＞0，从而可求cosB，即可解得a的值．（2）由（1）知sinB=，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，从而解得三角形周长的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由acosB=4，bsinA=3，两式相除，有==•=•=，所以tanB=，又acosB=4，故cosB＞0，则cosB=，所以a=5．…（6分）（2）由（1）知sinB=，由S=acsinB ，得到c=6．由b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，得b=，故l=5+6+=11+ 即△ABC 的周长为11+．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2017•贵州模拟）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：记事件C：“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表能作出相应的频率分组直方图，由频率分布直方图能求出结果．（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，由此能求出事件C的概率．【解答】解：（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下图：由频率分布直方图得：甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，P（C）=P（B1A1∪B2A2）=P（B1）P（A1）+P（B2）P（A2），由题意P（A1）=，P（A2）=，P（B1）=，P（B2）=，∴P（C）=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件加法公式和相互独立事件事件概率乘法公式的合理运用．19．（12分）（2017•贵州模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A﹣DE﹣C的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：DE⊥平面ADB，DE∥BC，可证BC⊥平面ABD，即可证明平面ABD⊥平面ABC．（2）取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0），利用平面ABC的法向量求解．【解答】（1）证明：由题意，DE∥BC，∵DE⊥AD，DE⊥BD，AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∴BC⊥平面ABD；∵面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC；（2）由已知可得二面角A﹣DE﹣C的平面角就是∠ADB设等腰直角三角形ABC的直角边AB=4，则在△ADB中，AD=DB=AB=2，取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，∴AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0）设平面ABC的法向量为，，．由，取，}，∴直线AE与平面ABC所成角的θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为：【点评】本题考查线面垂直，考查向量法求二面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2017•贵州模拟）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．（1）求E的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意的离心率公式求得a=c，b2=a2﹣c2=c2，将直线方程代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得•为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线AB的斜率不存在时，也成立．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e==，则a=c，由b2=a2﹣c2=c2，将P（1，）代入椭圆方程，解得：c=1，a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得•为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2+1﹣（x1+x2）]=k2（+1﹣）=﹣，则•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+m2﹣m（x1+x2）+y1y2，=+m2﹣m•﹣=，欲使得•为定值，则2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得：m=，此时•=﹣2=﹣；当AB斜率不存在时，令x=1，代入椭圆方程，可得y=±，由M（，0），可得•=﹣，符合题意．故在x轴上存在定点M（，0），使得•=﹣．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•贵州模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：e x＞f′（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用导数求解单调区间．（2）要证e x＞f′（x），即证e x＞lnx+2，x＞0时，易得e x＞x+1，即只需证明x ＞lnx+1即可【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1+a，f′（1）=1+a=2，解得：a=1，故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2，故f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增；（2）要证e x＞f′（x），即证e x﹣lnx﹣2＞0，即证e x＞lnx+2，x＞0时，易得e x＞x+1，即只需证明x+1≥lnx+2即可，即只需证明x＞lnx+1即可令h（x）=x﹣lnx+1，则h′（x）=1﹣，令h′（x）=0，得x=1h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=0．即x+1≥lnx+2成立，即e x＞lnx+2，∴e x＞f′（x）．【点评】本题考查了导数的综合应用，构造合适的新函数，放缩法证明函数不等式，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•贵州模拟）曲线C1的参数方程为（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρco s2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为α（＜α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ；曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，普通方程为：y=x2；（2）射线l的参数方程为（t为参数，＜α≤）．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣4tcosα=0，解得t1=0，t2=4cosα．∴|OA|=|t2|=4cosα．把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，解得t1=0，t2=．∴|OB|=|t2|=．∴|OA|•|OB|=4cosα•=4tanα=4k．∵k∈（，1]，∴4k∈（，4]．∴|OA|•|OB|的取值范围是（，4]．【点评】本题考查参数方程与极坐标与普通方程的互化，考查参数的几何意义的应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•贵州模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a2+b2=6，求证：g（a）+g（b）≤m．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）化简f（x）的解析式，得出f（x）的单调性，利用单调性求出f （x）的最小值；（2）计算[g（a）+g（b）]2，利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|=，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[5，+∞）上单调递增，∵f（1）=4，f（5）=4，∴f（x）的最小值为4．（2）证明：由（1）可知m=4，g（a）+g（b）=+，∴[g（a）+g（b）]2=1+a2+1+b2+2=8+2，∵≤=4，∴[g（a）+g（b）]2≤16，∴g（a）+g（b）≤4．【点评】本题考查了函数的单调性，分段函数的最值计算，基本不等式的应用，属于中档题．。
贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考(一)数学(
贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意得{|}{|}{61333|}6MN x x x x x x x =<<<-><---=<或，故选B ．2．由2i 43i z -=+，得22i z =+，∴22i z =-，故选C ． 3．因为||=-a b ，所以2||7=-a b ，即2227-+=a a b b ．又因为2=a b ，∴22215+=+a a b b ，||+a b C ．4． tan tan () []ααββ=-+=tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--117341111134+==-，22tan 77tan 21tan 36ααα==-，故选A ．5．第一次循环：1412p a b n ====，，，；第二次循环：6263p a b n ====，，，；第三次循环：7712433p a b n ====，，，，终止循环，则输出73p =，故选C ．6．在正方形ABCD 中，当点P 为CD 中点时，三角形APB 为等腰三角形，故∠ABP 为最大角的概率为12，故选A ． 7．由题可知正方体的棱长为3，其体对角线即为球的直径，所以球的表面积为24ππ=27R ，故选D ．8．依题意，得直线l 过点(1，3)，斜率为1-，所以直线l 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=，故选A ．9．由21()ln(1)1||f x x x =-++，知f (x )为R 上的偶函数，当0x >时， f (x )在(0，+∞)上为减函数，则12|3|x >+，解得113x -<<-，故选D ．10．满足条件3372x y x y y -⎧⎪+⎨⎪-⎩，，≥≤≥ 的可行域为如图1所示三角形ABC （包括边界）．22(3)x y +-是可行域上动点(x ，y )到点P (0，3)距离图1的平方，因为过P 垂直于AC 的直线与AC 的交点在线段AC 上，22(3)x y +-取最小值，为点P 到线段AC 的距离的平方为18，故选B ． 11．因为52a =，所以284a a +=，所以82282828289191191()1044a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4≥，故选A ．12．令()()f x g x x =，则2()()1()()()xf x f x f x g x f x x x x '-⎡⎤''==-⎢⎥⎣⎦，因为()()0f x f x x'->，0x >， 所以()0g x '>，则()g x 在*R 为增函数，所以(4)(3)g g >，即(4)(3)43f f >，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13． 8816853515111+=-=⨯=÷=； ； ； ；所以第二个数是16351．用此规律可得出1676333515515+=-=⨯=÷=； ； ； ；所以第三个数是73155．14．（1）“过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直”是真命题；（2）“如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行”是假命题；（3）“两两相交且不过同一点的三条直线不一定共面”是假命题；（4）“垂直于同一平面的两平面平行” 是假命题．15．画出2310()240x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩，，，≤的图象，如图2，由函数()f x m =有3个不等实根，结合图象得：02m <<，即)2(0m ∈，． 16．设M 坐标为(x ，y )，则222212()()3F M F M x c y x c y x c y c =+-=-+=，，①，将22222b y b x a =- 代入①式解得222222222(4)(5)c b a c a a x c c --==，又x 2∈[0，a 2]，∴221154c a ≤≤，∴12c e a ⎤=∈⎥⎣⎦，． 图2三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为||6AB =， 且||AP ∶|12|PB =， 所以42||BP PA ==，||.在△PBC 中，4||120BP PC PBC ==∠=︒，. 又因为222||||||2||||cos PC PB BC PB BC PBC =+∠-， 即212816||||242BC BC ⎛⎫=+⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭-，解得||2BC =或||6BC =-(舍)，所以222||||||cos2||||BP PC BC BPC BP PC +-∠===⨯⨯ ……………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos BPC ∠=所以sin 14BPC ∠=， 所以sin sin π s in ()()APD BPC CPD BPC CPD ∠=-∠-∠+∠=∠12+=所以cos APD ∠=，所以PD =． …………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平均数为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 众数为55；因为完成时间在[30，50)分钟内的频率为0.2，在[50，60)分钟内的频率为0.5，所以中位数为50656+=． ………………………………………………（4分）（Ⅱ）因为A ，B ，C 的频率比为2︰7︰1，共抽10人，所以B 中抽7人． ……（8分）（Ⅲ）抽出的成绩为B 等学生中完成任务时间[50，60)分钟的学生有5人，设为a ，b ，c ，d ，e ；在[60，70)分钟的学生人数为2人，设为x ，y ，则7人中任选两人共有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共21种．两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟内的有：(a ，x )，(a ，y )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共11种． 所以两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为1121． ……………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为平面KBC ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面KBC ，又因为BF 在平面KBC 上， 所以BF ⊥AC ．又因为△KBC 是正三角形，且F 为CK 的中点， 所以BF ⊥KC ．所以BF ⊥平面KAC ． …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为112EFB S ==△， 又因为AC ⊥平面KBC ，DF//AC ， 所以DF ⊥平面KBC ． 又因为1322DF AC ==，所以113||332F BDE D EFB EFB V V S DF --==⨯==△ ………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又因为12122PF F c S b bc ===△，两式联立解得2a b ==，所以P 点坐标（2 …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为22+143x y =，设Q (x 0，y 0)，则002QA y k x =+，直线QA 方程为00(+22)y y x x =+， 令x m =得M 点坐标为00(2)2m y m x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，，同理002QB y k x =-，直线QB 方程为0(2)2y y x x =--， 得N 点坐标为00(2)2m y m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，∴1122000220(2)(2)22(4)11(1)(4)MF NF m y m y x x m y k k m m m x +-+--==+++-， 又Q (x 0，y 0)在椭圆上，∴22200020314344x y y x +=⇒=--， ∴1122431(1)4MF NF m k k m -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭， 解得4m =-，所以存在实数4m =-，使得MF 1⊥NF 1． ……………………………（12分）21．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：函数22ln ()xf x x +=的定义域为{x |x >0}． 因为32ln 3()(0)x f x x x --'=>． 令)0(f x '=，解得32e x -=． 当0<x<32e -时，)0(f x '>， 当32e x ->时，()0f x '<，所以332(e e )2f -=为f (x )的极大值，也是最大值，32e a -=． ………………………（6分）（Ⅱ）证明：令ln 3()x g x x --=，得22ln ()xg x x+'=，因为14(2ln 2)4(1)22f f ⎛⎫=⨯->= ⎪⎝⎭，，且由（Ⅰ）得，f (x )在112⎛⎫⎪⎝⎭，内是减函数， 所以存在唯一的x 0∈112⎛⎫⎪⎝⎭，，使得004()()g x f x =='． 所以曲线ln 3x y x --=在(+)a ∞，上存在以(x 0，g (x 0))为切点，斜率为4的切线． 由00202ln ()4x g x x +'==得0000ln 24x x x x -=-， 所以000000231()44g x x x x x x =--=--. 因为x 0∈112⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以00()54()y g x ∈--，=． ………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵π2sin 33ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 3ρθθ=，直线l的直角坐标方程：30y +-=．曲线C：3cos 23sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，， (α为参数)， 消去参数可得曲线C的普通方程为：22(()29x y +-+=． …………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22(()29x y +-+=的圆心为D(2)，半径为3． 设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离|323|22d -+-==，所以2DM =， 又因为3DA =，所以MA，所以||AB =10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． …………………………………（5分）（Ⅱ）利用图象可得533a-<<-．…………………………………………………（10分）。
贵州省贵阳市第一中学高三数学上学期第四次适应性考试
贵州省贵阳市第一中学2017届高三数学上学期第四次适应性考试试题理（扫描版）贵阳第一中学2017届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．易解得{012}A =，，，又由条件{01}AB =，，{0123}A B =，，，，由此得{013}B =，，，故B的真子集个数为3217-=个，故选C ． 2．由i 2izz =-可得1i z =+，则1i z =-，故z 在复平面上所对应的点为(11)-，，位于第四象限，故选D ．3．易判定，命题p 为真命题，q 为假命题，则p q ∨为真命题，故选A ．4．方法一：第一次循环：122S i ==，；第二次循环：212322S i =+=，；第三次循环：231234222S i =++=，；第四次循环：23412341322228S =+++=，5i =，故一共进行了四次循环运算，故选C ．方法二：因为4i ≤，当5i =时结束，所以循环四次，故选C ．5．由e1eln |2a x ==，故二项式化为512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，展开式中含3x -的项为332351C 240x x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以系数为40-，故选B ．6．由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为2，高为1，则圆锥的母线长为，∴该几何体的表面积21π12π11π2(3π2S =⨯+⨯⨯+⨯⨯，故选B ．7．由22221n n a a -=+，87a =，可得86217a a =+=，解得63a =，同理可得41a =，20a =，故选D ． 8．由圆上有且只有三个点到直线的距离等于1，而圆心到直线的距离为5，则圆的半径为6，故选D ． 9．方法一：∵|2|||4a b a +==，∴2||46416b a b ++=，设a b ，的夹角为θ，则216||c o s ||48b b θ+=-，解得1481cos ||1616||bbθ⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭≤，则a在b方向上的投影||cosaθ的最大值为4⎛⨯=-⎝⎭A ．方法二：设a b，的夹角为θ，∵a在b 方向上的投影||cos||a babθ=，∵|2|||4a b a+==，∴2||46416b a b++=，则148||cos||4||a bbθ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭≤A．10．设π7ππ13π24242424x y x y-++=-=，，解得5π3π64x y==，，代回有7π13πcos sin242415π3πsin cos264⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A．11．由函数(1)y f x=-的图象关于直线1x=对称，得到函数()y f x=为偶函数，设2()()f xg xx=，则有3()2()()xf x f xg xx'-'=，故当0x<时，由()2()0xf x f x'->，得()0g x'<，()g x为减函数．又()y f x=为偶函数，所以()y g x=为偶函数，又(1)0f=，则(1)0g=，作出函数()y g x=的图象，易得()0f x>的解集为()0g x>的解集，即(1)(1)x∈-∞-+∞，，，故选B．12．设双曲线的左焦点为F'，∵||OF c=，则||2AB c=，则||2sinAF cα=，||2cosBF cα=，则由||||BF AF'=，得||||2|cos sin|2AF AF c aαα'-=-=，则1|cos sin|ceaαα==-=，∵π12α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，πππ443α<+∴≤，π14α⎛⎫+<⎪⎝⎭，(1e∈∴，故选A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由=，可得点()x y，在以12(01)(01)F F-，，，为焦点，2a =即椭圆方程为2212y x +=，设椭圆的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，（θ为参数），则2x y+cos 3sin()θθθϕ=+=+，故2x y +的取值范围为[33]-，． 14．由积分得阴影部分的面积为220162d 3x x =⎰，而正方形面积为2416=，易得阴影部分面积与正方形面积之比为1∶3，故投了900次，一共约有300次落在阴影部分．15．由方程2103x +=的两根分别为a b ，，可得13a b a b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又sinsin )2C A B =+，则)1c a b +=，由余弦定理可得22222()21cos 222a b c a b ab c C ab ab +-+--===，故角C 为π3．16．由cos cos b A a B =，得s i n c o s s i n c o s B A A B =，即s i n ()0A B-=，故A B =，得2A C B C ==，又22cos 2CA CB C ==，得60C =︒，故ABC △为等边三角形．将该四面体补体为以DBC △为底面的直三棱柱，则球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，球心到任一顶点的距离为球的半径，设DBC △外接圆半径为r ，由正弦定理，易得1r=，设外接球半径为R，则R ==，故34π3V R ==． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为1(2)n n n a S S n -=-≥，所以2121()(2)nn n n n S S S S S n -++=-≥， 于是有：123234345S S S =-=-=-，，，猜想：12n n S n +=-+． …………………………………………………………（2分）用数学归纳法证明如下：①当1n =时，123S =-，猜想成立．……………………………………………（3分）②假设n k =时猜想成立，即12k k S k +=-+， 那么1112(1)1123(1)222k k k k S k S k k k ++++=-=-=-=-+++++-+，……………………（5分）所以当1n k =+时猜想成立，由①②可知，猜想对任何*n ∈N 都成立． ……（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）1111(2)22n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭，……………………………（8分） 于是：11111111113111112324222124212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++-=-+--=-++ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故34n T >-．…………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）经过计算，可得这20个数据的90μ'=，则9万个数据的89.1μ=， 这20个数据的248.9σ'=，则9万个数据的249σ=，故7σ=．…………（4分）（Ⅱ）①由()0.6826P X μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P X μσμσ-<+=≤， 可知数学成绩在(75.1103.1)，的概率(75.1103.1)(22)0.9544P P μσμσ=-+=，，．……………………………………………………………（8分）②由题可得X 服从二项分布(100000.9544)B ，， 故()100000.95449544E X =⨯=． …………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵PH ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥AB ． ……………（2分）又AB AD ⊥，ADPH H =，AD PH ⊂，平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ．…………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， ∵PH ⊥平面ABCD ，∴z 轴//PH ，则A (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，B (1，0，0)，…………………………………………………（5分）设(020)AH a PH h a h ==<<>，，， ∴(0)P a h ，，，(0)(02)(110)AP a h DP a h AC ==-=，，，，，，，，， ∵PA PD ⊥，∴2(2)0AP DP a a h =-+=， ……………………………………（6分） ∵AC 与PD 所成角为60︒，∴21|cos |22(2)AC DP a 〈〉==-+，，∴22(2)a h -=，∴(2)(1)0a a --=，∵02a <<，∴1a =，∵0h >，∴1h =，∴(011)P ，，． ………………………（8分） ∴(011)(110)(111)(101)AP AC PB PC ===--=-，，，，，，，，，，，， 设平面APC 的法向量为()n x y z =，，， 由00n AP y z n AC x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，，得平面APC 的一个法向量为(111)n =-，，， 设平面BPC 的法向量为()m x y z =，，， 由00m PB x y z m PC x z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩，，得平面BPC 的一个法向量为(101)m =，，． …………………………………（10分）∴6cos 3||||m n m n m n 〈〉==，， ∵二面角A PC B --的平面角为锐角， ∴二面角A PC B -- ……………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由31a c a c +=⎧⎨-=⎩，，易得椭圆方程为22143x y +=． 又抛物线22(0)y px p =>上顶点到焦点的距离最小， 故12p=，所以抛物线方程为24y x =． ………………………………………（4分）（Ⅱ）设2(2)(0)P t t t ≠，，设切线l 的方程为：22()y t k x t -=-， 与抛物线联立可得：224480ky y kt t --+=，由21616(2)0k kt t ∆=--+=，解得1k t =．……………………………（6分）∴切线l 的方程为：2x ty t =-，令0y =，可得切线在x 轴上的截距为2t -，联立222143x ty t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，化为2234(34)63120t y t y t +-+-=，（*）由6243612(34)(4)0t t t ∆=-+->，解得204t <<， ∴240t -<-<，∴切线l 在x 轴上的截距的取值范围是(40)-，． ……………………………（8分）由（*）可得3122634t y y t +=+，412231234t y yt -=+，42221212122234|||()4143(34)t t AB y y y y y y tt -++=-=+-=++，原点O 到切线的距离2d =∴4421(||2(3AOBt t S AB d t -+==△……………………………（9分）令234t u +=，∵204t <<，∴416u <<，则22229923(816)(17AOB u u u u S u u -⎢⎥-+-+⎣⎦==△16u u ⎛=-+⎝……………………………（10分）令16416m u u u=+<<，， ∴m 在(416)，上单调递增，可得817m <<． ∴AOB S =△0AOB S <△．……（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：2()()e e xg x f x x x ->++-∵对1x ∀>恒成立等价于e ln e 0x x +->对1x ∀>恒成立．令()e ln e x F x x =+-， 则1()e 0(1)x F x x x'=+>>，可知函数()F x 在(1)+∞，上单调递增， 所以()(1)F x F >，即e ln e 0x x +->，所以2()()e e x g x f x x x ->++-对1x ∀>恒成立． ………………………………（4分） （Ⅱ）解：不等式22()()3f x h x x k ->-+等价于22(24)ln 0x kx x x k -+->. 令22()(24)ln p x x kx x x k =-+-，[1)x ∈+∞，， 则()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x k x x k x x k x x '=-+-+=-+≥. ………………（5分） 当1k ≤时，()0p x '≥，则函数()p x 在[1)+∞，上单调递增， 所以min ()(1)1p x p k ==-，所以根据题意，有10k ->，∴1k <． …………………………………………（7分） 当1k >时，由()0p x '<，可知函数()p x 在[1)k ，上单调递减； 由()0p x '>，可知函数()p x 在()k +∞，上单调递增； 所以2min ()()(12ln )p x p k k k k ==--， …………………………………………（9分）由条件知，2(12ln )0k k k -->，即(12ln )10k k -->． 设()(12ln )1q k k k =--，1k >，则()12ln 0q k k '=--<，1k >，所以()q k 在(1)+∞，上单调递减，又(1)0q =，所以()(1)0q k q <=与条件矛盾．…………………………………（11分） 综上可知，实数k 的取值范围为(1)-∞，． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，（α为参数），可得C 1的直角坐标方程是22((1)4x y +-=，即2220x y y +--=．将C 2的直角坐标方程展开可得：2220x y x +-=， 即22cos 0ρρθ-=，故2cos ρθ=．…………………………………………（5分） （Ⅱ）设1122()()A B ρθρθ，，，．将2220x y y +--=化为极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，将π(0)3θρ=≥代入曲线C 1的极坐标方程得1ρ=， 同理将π(0)3θρ=≥代入曲线C 2的极坐标方程2cos ρθ=得21ρ=，∴12||||1AB ρρ=-=．………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：∵1|||1|0x --≥，故|||1|1x -≤， 即0||2x ≤≤，解得22x -≤≤，所以[22]A =-，． …………………………（5分） （Ⅱ）证明：要证2|||4|m n mn ++≤，即证22[2()](4)m n mn ++≤， 因为2222[2()](4)(4)(4)m n mn m n +-+=--， 又因为m n A ∈，，所以2244m n ≤，≤，故22(4)(4)0m n --≤， 所以22[2()](4)m n mn ++≤，即2|||4|m n mn ++≤． ………………………（10分）。
数学---贵州省贵阳市第一中学2018届高三12月月考试题(理)(扫描版)(解析版)
贵州省贵阳市第一中学2018届高三12月月考数学试题（理）【参考答案】一、选择题 1．B【解析】，，图中阴影部分表示，故选B ． 2．D【解析】因为，所以， 所以，故选D ．3．A【解析】若，则，且，解得或， ∴“”是“”的充分不必要条件，故选A ． 4．C【解析】分别设甲、乙两贫困户获得扶持资金为事件A ，B ，，，“这两户中至少有一户获得扶持资金”的对立事件是“这两户都没有获得扶持资金”，概率为，所以这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为，故选C ．5．C【解析】设向量与的夹角为，由得，所以，所以，∵，∴，故选C ．6．C【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，所以，令，得，，故选C ． 7．B{|2}A x x =<{|13}B x x =-<<(){|23}B A x x =<R ≤ð(1i)12i z +=-12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)22z ---===--++-||z ==12//l l (2)3a a -=223a a ≠⨯ 3a =1a =-3a =12//l l 2()3P A =3()5P B =232113515⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21311515-=b c θ()3+= a b c 3+= a c bc 83θ+=1cos 2θ=-0θ︒≤180︒≤120θ=︒π2sin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π3π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2π32x k -=+π5π212k x =+k ∈Z【解析】由得，设， 则，所以在R 上是增函数， 且． 不等式可化为，即，∴，故选B ． 8．C【解析】如图所示，设，则，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义知，，，再过作的垂线，垂足为，则，所以，则C ．9．A【解析】由三视图可知，该几何体是由正方体截去四个角后所得的正三棱锥，设正方体的棱长为，则该三棱锥的体积为，∴，因为该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，∴该三棱锥的外接球的直径所以该三棱锥的外接球的表面积为，故选A ． 10．D【解析】不妨设，由双曲线的定义，，又联立解得，所以，则△为直角三角形，，△的面积为，所以，故选D ． 11．D【解析】，运行该程序得，当()()ln 2f x f x '>()ln2()0f x f x'-> ()()2x f x g x =()ln2()()02x f x f x g x '-'=> ()()2x f x g x =(1)(1)22f g ==1()2x f x +≥()22xf x ≥()(1)g x g ≥1x ≥||BF x =||2AF x =A B 1A 1B 1||BB x =1||2AA x =B 1AA H ||AH x =||B H =tan α=a 323111843233V a a a a =-⨯⨯==2a =2r =24π12πS r ==12||||PF PF >12||||PF PF -=12||||PF PF +=1||PF =2||PF 12||F F =2212||||PF PF +212||F F =12PF F 1290F PF ∠=︒12PF F 121||||2PF PF 1212=⨯=1121122POF PF F S S ==△△111211(21)(21)2121nnn n n +++=-----11112121n S +=---126127S =时，，不成立，继续循环；，，成立，循环结束，输出的，故选D ． 12．A【解析】由题意，问题等价于方程在上有两个解，即方程在上有两个解. 设，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；于是有最小值为，又，，，由图可知，若方程在上有两个解，则，所以，故选A ． 二、填空题 13．【解析】的展开式的通项．令，不合题意，舍去；令，得，所以的展开式中的系数是，得（舍负），所以．根据的几何意义是以原点为圆心，为半径的圆面积的， 所以．14．【解析】由约束条件作出可行域，如图所示．表示可行域内的点到原点距离的平方，由图可知，． 7n =126127S >254255S =8n =126127S >8n =3221(3ln )x x a x x ---=--1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，33ln 1x x a -=+1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3()3ln f x x x =-23()3f x x x '=-33(1)x x -=11e x <≤()0f x '<()f x 1e x <≤()0f x '>()f x ()f x (1)1f =3113e ef ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3(e)e 3f =-1(e)e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭33ln 1x x a -=+1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，31113e a <++≤3102e a <+≤π61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭66621661C ()C rr r r r rr T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭621r -=622r -=2r =61(1)x ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2x 246C 240a =2a =±2a=0x ⎰214πx =⎰1222z x y =+()P x y ，(00)O，2min12z ⎛⎫==15． 【解析】∵，∴，又，∴，所以且，故对任意，都有，∴． 16．③④【解析】画出函数的图象，如图，由此判断③，④正确．三、解答题17．（Ⅰ）证明：由，得，由正弦定理，化简得， 根据余弦定理，∵，∴，又，∴，所以角A ，C ，B 成等差数列．（Ⅱ）解：根据余弦定理得， ∴，当且仅当时“”成立， 则△的面积为所以△． 18．解：（Ⅰ）由已知得，，，根据参考公式和数据得10091201720172017()02a a S +=>12017100910090200a a a a +>⇒>⇒>1201820182018()02a a S +=<120181009101000a a a a +<⇒+<10100a <10101009||||a a >n *∈N 1009||||n a a ≥1009m =1()||1f x x =-sin 1sin sin B a A C b c -=++sin sin sin sin sin A B C aA C b c-+=++a b c a a c b c-+=++222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==(0π)C ∈，π3C =πA B C ++=2A B C +=222222cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+--=≥9ab ≤a b ==ABC 1sin 2S ab C ==ABC 8x =42y =，∴， ∴关于的线性回归方程为．（Ⅱ），∵，∴对数函数回归模型更合适，当万元时，预测A 城市的销售额为万元． 19．（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°， ∴BC=DC ，∠ADC=∠BCD=120°，∴∠CDB=30°， ∴∠ADB=90°，即BD ⊥AD ．又AE ⊥BD ，=A ，∴BD ⊥平面AED ， 又BD 平面ABCD ，∴平面AED ⊥平面ABCD ． 如图，过E 作EG ⊥AD 于G ，则EG ⊥平面ABCD ， 又FC ⊥平面ABCD ，∴FC ∥EG ． 又EG 平面AED ，FC 平面AED ， ∴FC ∥平面AED ．（Ⅱ）解：如图，连接AC ，由（Ⅰ）知AC ⊥BC ， ∵FC ⊥平面ABCD ，∴CA ，CB ，CF 两两垂直． 以C 为原点，建立空间直角坐标系C −xyz ．设BC ，则AC ，AB ，，，，，∴，，．11222211()()279478421.770878()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y bxx xnx====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑ 42 1.7828.4ay bx =-=-⨯= y x 1.728.4y x =+()()4420.8716.12531.654nii xx y y r --==≈⨯∑0.870.95<8x =ˆ12ln82236ln 22246.95y=+=+≈AE AD ⊂⊂⊄2==4=(002)F ，，(020)B ，，10)D -，00)A，(02)AF =-，30)BD =- ，(022)FB =-，，设平面BDF 的法向量为，则 即 令，则，则．设直线AF 与平面BDF 所成角为，则，故直线AF 与平面BDF．20．解：（Ⅰ）以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆的方程为，，所以∵点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）由，根据椭圆定义，，所以， 于是求△内切圆面积的最大值即为求△面积的最大值． 设直线l 的方程为，，，则 消去得，所以，． 因为到直线的距离为所以△的面积为()n x y z =，，00n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，300y y z -=-=⎪⎩，，1y =x =1z =11)n =θ||sin ||||n AF n AF θ==C 222x y b +=b =b =312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221914a b +=24a =22143x y +=111||||||2F PQ PF QF PQ S r ++=△内切圆11||||||=48PF QF PQ a ++=14F PQ S r = △内切圆1F PQ 1F PQ 1x ty =+11()P x y ，22()Q x y ，221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，x 22(34)690t y ty ++-=122634t y y t +=-+122934y y t =-+||PQ 1F l h =1F PQ 1||2S PQ h ==令，则．∵在上单调递增，∴当时，取得最大值为3，此时，直线l 的方程为，内切圆的半径为，所以内切圆面积的最大值为．21．解：（Ⅰ）若，则，，由得；由得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．（Ⅱ），所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以在上的最大值为．由题意，若对任意的，都有成立，即对任意的，都有恒成立，即恒成立，即对任意的恒成立，所以．设，，则，，所以在上单调递减，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，21t u +=(1)u≥S ==19y u u =+[1)+∞，1u =S 0t =1x =349π160a =()ln f x x x =(0)x >()ln 1f x x '=+()0f x '>1e x >()0f x '<10e x <<()f x 1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，10e ⎛⎫⎪⎝⎭，2()32(32)g x x x x x '=-=-1223x <≤()0g x '<()g x 223x ≤≤()0g x '≥()g x 1114152848g ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭(2)8451g =--=-()g x 122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-12122x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，12()2()f x g x -≥122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≥ln 1ax x x +≥2ln a x x x -≥122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2max (ln )a x x x -≥2()ln h x x x x =-122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()12ln h x x x x '=--()2ln 3h x x ''=--()h x ''122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1()2ln 2302h x h ⎛⎫''''=-< ⎪⎝⎭≤()12ln h x x x x '=--122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)0h '=112x <≤()0h x '>()h x 12x <≤()0h x '<()h x∴在上的最大值为，∴， 所以的取值范围是．22．解：（Ⅰ）设线段的中点的坐标为，由中点坐标公式得（为参数）， 消去参数得的轨迹的直角坐标方程为，由互化公式可得点的轨迹的极坐标方程为．（Ⅱ）由直线， 所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，它表示以为圆心，2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 故曲线上的点到直线的距离的最大值为． 23．解：（Ⅰ）由如图所示，值域．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ∵ ∴∴的最大值为，当且仅当时，等号成立． 2()ln h xx x x =-122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)1h =1a ≥a [1)+∞，OP M ()x y，1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，，αM 22(1)1x y -+=M 2cos ρθ=l sin 14θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 144θθππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭l 10x y -+=C 22(2)4x y -+=(20)，l 2d ==>l C l 2d r +=+2(1)()|1||1|2(11)2(1)x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=--⎨⎪->⎩，≤≤，，22y ∈-[，]max 33()42m f x ==2222222323()2()242m a c b a b c b ab bc ==++=++++≥，324ab bc +≤，2ab bc +3412a b c ===。
贵州省贵阳市高三数学上学期适应性月考试题(一)文(扫描版)
贵州省贵阳市2018届高三数学上学期适应性月考试题（一）文（扫描版）贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCACADADBAA【解析】1．由题意得{|}{|}{61333|}6M N x x x x x x x =<<<-><---=<I I 或，故选B ． 2．由2i 43i z -=+，得22i z =+，∴22i z =-，故选C ．3．因为||7=-a b ，所以2||7=-a b ，即2227-+=g a a b b ．又因为2=ga b ，∴22215+=+g a a b b ，||15+a b C ．4． tan tan () []ααββ=-+=tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--g 117341111134+==-g ，22tan 77tan 21tan 36ααα==-，故选A ．5．第一次循环：1412p a b n ====，，，；第二次循环：6263p a b n ====，，，；第三次循环：7712433p a b n ====，，，，终止循环，则输出73p =，故选C ．6．在正方形ABCD 中，当点P 为CD 中点时，三角形APB 为等腰三角形，故∠ABP 为最大角的概率为12，故选A ． 7．由题可知正方体的棱长为3，其体对角线33即为球的直径，所以球的表面积为24ππ=27R ，故选D ．8．依题意，得直线l 过点(1，3)，斜率为1-，所以直线l 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=，故选A ．9．由21()ln(1)1||f x x x =-++，知f (x )为R 上的偶函数，当0x >时， f (x )在(0，+∞)上为减函数，则12|3|x >+，解得113x -<<-，故选D ．10．满足条件3372x y x y y -⎧⎪+⎨⎪-⎩，，≥≤≥ 的可行域为如图1所示三角形ABC （包括边界）．22(3)x y +-是可行域上动点(x ，y )到点P (0，3)距离的平方，因为过P 垂直于AC 的直线与AC 的交点在线段AC 上，图122(3)x y +-取最小值，为点P 到线段AC 的距离的平方为18，故选B ．11．因为52a =，所以284a a +=，所以82282828289191191()1044a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4≥，故选A ．12．令()()f x g x x =，则2()()1()()()xf x f x f x g x f x x x x '-⎡⎤''==-⎢⎥⎣⎦，因为()()0f x f x x '->，0x >， 所以()0g x '>，则()g x 在*R 为增函数，所以(4)(3)g g >，即(4)(3)43f f >，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 1415 16 答案 73155（2）（3）（4）（0，2）5152⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】13．8816853515111+=-=⨯=÷=； ； ； ；所以第二个数是16351．用此规律可得出1676333515515+=-=⨯=÷=； ； ； ；所以第三个数是73155．14．（1）“过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直”是真命题；（2）“如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行”是假命题；（3）“两两相交且不过同一点的三条直线不一定共面”是假命题；（4）“垂直于同一平面的两平面平行” 是假命题．15．画出2310()240xx f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩，，，≤的图象，如图2，由函数()f x m =有3个不等实根，结合图象得：02m <<，即)2(0m ∈，． 16．设M 坐标为(x ，y )，则222212()()3F M F M x c y x c y x c y c =+-=-+=u u u u r u u u u u rg g ，，①，将22222b y b x a =- 代入①式解得222222222(4)(5)c b a c a a x c c--==，又x 2∈[0，a 2]，∴221154c a ≤≤，∴512c e a ⎤=∈⎥⎣⎦，． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）图217．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为||6AB =， 且||AP ∶|12|PB =， 所以42||BP PA ==，||.在△PBC 中，4||120BP PC PBC ==∠=︒，. 又因为222||||||2||||cos PC PB BC PB BC PBC =+∠-， 即212816||||242BC BC ⎛⎫=+⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭-，解得||2BC =或||6BC =-(舍)，所以222||||||cos2||||BP PC BC BPC BP PC +-∠===⨯⨯ ……………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos BPC ∠=所以sin BPC ∠=， 所以sin sin π s in ()()APD BPC CPD BPC CPD ∠=-∠-∠+∠=∠12+=，所以cos APD ∠，所以PD =． …………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平均数为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 众数为55；因为完成时间在[30，50)分钟内的频率为0.2，在[50，60)分钟内的频率为0.5，所以中位数为50656+=． ………………………………………………（4分）（Ⅱ）因为A ，B ，C 的频率比为2︰7︰1，共抽10人，所以B 中抽7人． ……（8分）（Ⅲ）抽出的成绩为B 等学生中完成任务时间[50，60)分钟的学生有5人，设为a ，b ，c ，d ，e ；在[60，70)分钟的学生人数为2人，设为x ，y ，则7人中任选两人共有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共21种．两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟内的有：(a ，x )，(a ，y )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共11种． 所以两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为1121． ……………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为平面KBC ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面KBC ，又因为BF 在平面KBC 上， 所以BF ⊥AC ．又因为△KBC 是正三角形，且F 为CK 的中点， 所以BF ⊥KC ．所以BF ⊥平面KAC ． …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为112EFB S ==△ 又因为AC ⊥平面KBC ，DF//AC ， 所以DF ⊥平面KBC ． 又因为1322DF AC ==，所以113||332F BDE D EFB EFB V V S DF --==⨯==△ ………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又因为12122PF F c S b bc ==g △，两式联立解得2a b ==，所以P 点坐标（2 …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为22+143x y =，设Q (x 0，y 0)，则002QA y k x =+，直线QA 方程为00(+22)y y x x =+， 令x m =得M 点坐标为00(2)2m y m x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，，同理002QB y k x =-，直线QB 方程为0(2)2y y x x =--， 得N 点坐标为00(2)2m y m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，∴110022000220(2)(2)22(4)11(1)(4)MF NF m y m y x x m y kk m m m x +-+--==+++-g g ， 又Q (x 0，y 0)在椭圆上，∴22200020314344x y y x +=⇒=--， ∴1122431(1)4MF NF m k k m -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭g g ， 解得4m =-，所以存在实数4m =-，使得MF 1⊥NF 1． ……………………………（12分） 21．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：函数22ln ()xf x x +=的定义域为{x |x >0}． 因为32ln 3()(0)x f x x x --'=>． 令)0(f x '=，解得32e x -=． 当0<x<32e -时，)0(f x '>， 当32e x ->时，()0f x '<，所以332(e e )2f -=为f (x )的极大值，也是最大值，32e a -=． ………………………（6分）（Ⅱ）证明：令ln 3()x g x x --=，得22ln ()xg x x +'=， 因为14(2ln 2)4(1)22f f ⎛⎫=⨯->= ⎪⎝⎭，，且由（Ⅰ）得，f (x )在112⎛⎫⎪⎝⎭，内是减函数，所以存在唯一的x 0∈112⎛⎫⎪⎝⎭，，使得004()()g x f x =='． 所以曲线ln 3x y x --=在(+)a ∞，上存在以(x 0，g (x 0))为切点，斜率为4的切线． 由00202ln ()4x g x x +'==得0000ln 24x x x x -=-， 所以000000231()44g x x x x x x =--=--. 因为x 0∈112⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以00()54()y g x ∈--，=． ………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵π2sin 33ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 3ρθθ+=，直线l的直角坐标方程：30y +-=．曲线C：3cos 23sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，， (α为参数)，消去参数可得曲线C的普通方程为：22(()29x y -+=． …………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22(()29x y +-+=的圆心为D(2)，半径为3． 设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离|323|22d -+-==，所以2DM =， 又因为3DA =，所以MA，所以||AB =10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． …………………………………（5分）（Ⅱ）利用图象可得533a -<<-． …………………………………………………（10分）。
贵州省凯里市第一中学、贵阳一中2017-2018学年高三上学期适应性月考(一)数学(文)试题 Word版含答案
文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知{cos ,}P y y R θθ==∈，2{(10}Q x x x =+，则P Q =（ ）A ．φB ．{0}C ．{1}-D ．{1- 2.曲线3ln y x x =-在点(1,3)处的切线方程为（ ）A ．21y x =--B ．25y x =-+C ．21y x =+D ．21y x =- 3.角α的终边过点(2,4)-，则cos α=（ ）A ．． D 4.设点O 在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．13 B ．53 C ．12 D ．235.已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n 为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86.已知l 为平面α内的一条直线，,αβ表示两个不同的平面，则“αβ⊥”是“l β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知一空间几何体的三视图如图1所示，则其体积为（ ） A ．24 B ．16 C ．20 D ．128.已知圆C 的圆心为214y x =的焦点，且与直线4320x y ++=相切，则圆C 的方程为（ ） A ．2236(1)25x y -+=B ．2236(1)25x y +-= C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y +-=9.某校新生分班，现有,,A B C 三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ．3410.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数31a iz i-=-在复平面上对应的点在y 轴上，则a 为（ ） A ．-3 B ．13-C ．13D ．3 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+交于M 点（第一象限），12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，过M 点作x 轴垂线，垂足恰为2OF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A1 BC1 D ．212.函数()f x 是自变量不为零的偶函数，且2()log (0)f x x x =>，32,01()1,1x x g x x x⎧-≤≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在实数n 使得()()f m g n =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．1[2,]2--1[,2]2 C ．1[,0)2-1(0,]2D ．(,2]-∞-[2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13.等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且24710220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则59b b =_____. 14.函数2()f x =的最小值为__________.15.设,,a b c 分别表示ABC ∆的内角,,A B C 的所对的边，(,)m a =，(sin ,cos )n B A =，若a =2b =，且m n ⊥，则ABC ∆的面积为__________.16.正方形ABCD 边长为a ，BC 的中点为E ，CD 的中点为F ，沿,,AE EF AF 将ABE ∆，EFC ∆，ADF ∆折起，使,,D B C 三点重合于点S ，则三棱锥S AEF -的外接球的体积为_________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设函数2()2sin()cos sin )2f x x x x x π=+-.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）将()f x 的图象向右平移12π个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()y g x =，求()4g π的值. 18.（本小题满分12分）某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； （2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.19.（本小题满分12分）如图2，2AC =，4BC =，23ACB π∠=，直角梯形BCDE 中，//BC DE ，2BCD π∠=，2DE =，且直线AE 与CD 所成角为3π，AB CD ⊥. （1）求证：平面ABC ⊥平面BCDE ; （2）求三棱锥C ABE -的体积.20.（本小题满分12分） 函数2()ln f x x m x nx =--.（1）当1m =-时，函数()f x 在定义域内是增函数，求实数n 的取值范围；（2）当0m >，0n =时，关于x 的方程()f x mx =有唯一解，求实数m 的取值范围. 21.（本小题满分12分）平面直角坐标系的原点为O ，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，直线PQ 过F 交椭圆于,P Q 两点，且2maxmin4a PFQF ∙=. （1）求椭圆的长轴与短轴之比（2）如图3，线段PQ 的垂直平分线与PQ 交于点M ，与x 轴，y 轴分别交于,D E 两点，求DFMDOES S ∆∆的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4所示，A 为圆O 外一点，AO 与圆交于B ，C 两点，4AB =，AD 为圆O 的切线，D 为切点，8AD =，BDC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于,EF 两点.（1）求证：BD ADCD AC=； （2）求DE DF ∙的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)4P x y -+=，圆22:(1)4Q x y ++=.（1）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P 和圆Q 的极坐标方程，并求出这两圆的交点,M N 的极坐标； （2）求这两圆的公共弦MN 的参数方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）证明柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bc ++≥+，并指出此不等式里等号成立的条件：（2）用柯西不等式求函数y =的最大值.贵阳一中--凯里一中2017-2018学年高考适应性月考卷（一） 文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．[11]P =-，，{1Q =-，{1}PQ =-，故选C ．2．13y x'=-，所以曲线过点(13)，处的切线斜率为312k =-=，切线方程为32(1)y x -=-，即21y x =+，故选C ．3．角α的终边过点(24)-，，r cosx r α===，故选B ． 4．取M N ，分别为AC BC ，中点，由已知得2()0OA OC OB OC +++=，即240OM O N +=，所以2OM ON =-，即O M N ，，三点共线，且O 在中位线MN 上，所以AOB S △12ABC S =△，故选C ．5．因为 12132n n n a a a a a a --+=+=+，所以13()94116210n a a +=+=，所以170n a a +=，所以1()7028022n n n a a n S +⨯===，所以8n =，故选D ． 6．由平面与平面垂直的判定定理知，如果l 为平面α内的一条直线且l β⊥，则αβ⊥，反过来则不一定，所以“αβ⊥”是“l β⊥”的必要不充分条件，故选B ．7．几何体为长方体去掉一角，所以5243206V =⨯⨯⨯=，故选C ．8．214y x =的焦点为(01)，，所以圆C 为222(1)1x y r r +-===，，所以22(1)1x y +-=，故选D ．9．甲乙两同学分班共有以下情况：()()()()()()()A A A B A C B A B B B C C A ，，，，，，，，，，，，，， ()()C B C C ，，，，其中符合条件的有三种，所以概率为3193=，故选A ． 10．3i (3i)(1i)3(3)i1i 22a a a a z --++--===-，由3030a a +=⎧⎨-≠⎩，，所以3a =-，故选A ． 11．12||2F F c =，三角形2M O F 为正三角形，2||MF c =，在直角三角形12F MF 中2221212||||||MF MF F F +=，1||MF =∴，12||||2MF MF c a -=-=∴，c e a ==1，故选C ．12．()[11]g x ∈-∵，，存在n 使得()()f m g n =，1(||)1f m -≤≤，即21log ||1m -≤≤，1||22m ≤≤，112222m ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴，，，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．{}n a 是等差数列，22410747107722240a a a a a a a a +=-+=-=∴，∴，7704a a ==∴或．{}n b ∵ 为等比数列，2775970416n b b a b b b ≠====∴，∴，∴． 14．())f x t =∈+∞∵．又1y t t =+∵在)+∞上为增函数，0t x y =∴当时最小，即min ()(0)f x f ===． 15．因为m n ⊥，sin cos 0sin sin cos 0a B A A B B A ==∴，∴．又sin 0B ≠∵，tan A ∴π0π3A A <<=∵，∴，2sin sin sin 3B B ==，∴a b >∵，A B >∴，cos B =∴πππsin sin()sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭∴所以△ABC的面积为1sin 2S ab C ==．16．补体为长方体2222223(2)4222a a r a r a ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，2238r a =，r =，34π3V r ==∴3334466ππ33a a ⎫==⎪⎪⎝⎭．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2π()2sin cos sin )2f x x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭22cos 2sin cos )x x x =- …………………………………………………（1分）1cos22x x =+…………………………………………………（2分） π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭………………………………………………………（4分）由ππ32π2π2π()262k x k k +++∈Z ≤≤，………………………………（5分） 得π2πππ63x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，． ……………………………………………………（6分）注：回答开区间亦可．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）用x y，分别表示小陈、小李到班的时间，则[1030]x∈，，[1030]y∈，，…………………………（2分）所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，如图1所示．………………………………………………（5分）注：画出图中正方形即可．（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即5x y-≥，………………………………（7分）对应区域为BEF△，………………………………………………………………（9分）注：在图中画出阴影，或在过程中明确表述都可．所求概率1151592202032BEFABCDSPS⨯⨯===⨯△．……………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为BC⊥CD，AB⊥CD，AB BC B=，所以CD⊥平面ABC，…………………………………………………………（3分）又CD⊂平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE．………………………（5分）（Ⅱ）解：如图2，过E 作EF ⊥BC ，连接AF ， 由（Ⅰ），易得EF ⊥平面ABC ， 且EF CD ∥， CF =DE =2， …………………………………………………………………………（7分）所以π3AEF ∠=． ……………………………………………………………（8分）在ACF △中，22222cos π3AF AC CF AC CF =+-=12，所以AF =． ………………………………………………………………（9分）在Rt AEF △中，易得EF =2，…………………………………………………（10分）所以111224sin π23323ABC C ABE E ABC V V S EF --===⨯⨯⨯⨯⨯△三棱锥三棱锥……（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1m =-时，2()ln f x x x nx =+-， 依题意有1()20f x x n x'=+-≥对(0)x ∈+∞，恒成立， ……………………………（2分）只需min 12n xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤．………………………………………………………………（3分）因为12x x+≥x =时取等，………………………………（4分）所以n ≤ ………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）设2()()ln g x f x mx x m x mx =-=--， 依题意，()0g x =有唯一解．…………………………………………………………（6分）22()20m x mx mg x x m x x--'=--==，由00x m >>，，解得10x =<（舍），2x =．…………………………（7分）当2(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 在2(0)x ，上单调递减； 当2()x x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 在2()x +∞，上单调递增． 所以min 2()()g x g x =．………………………………………………………………（8分）因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，………………………………（9分）则有22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，，即2222222ln 020x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，两式相减并化简得222ln 10x x +-=．设()2ln 1h x x x =+-，易知()h x 在(0+)∞，上是增函数，且(1)0h =， 则()0h x =恰有一解，即21x =， …………………………………………（11分）代入2()0g x =得1m =． ………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设(0)F c ，，则max ||PF a c =+，min ||QF a c =-，………………………………………………（2分）则有2224a a c -=，又因为222b a c =-，所以224a b =， ………………………………（3分） 得长轴与短轴之比为2:22a b =．………………………………（4分）（Ⅱ）由:2a b =，可设椭圆方程为222214x y b b+=．依题意，直线PQ 存在且斜率不为0，设直线PQ 的方程为()y k x c =-，P 11()x y ，，Q 22()x y ，， ………………………（5分）联立2222()14y k x c x y bb =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222222(41)8440k x k cx kc b +-+-=， 得2122841k cx x k +=+．………………………………………………………………（6分）所以121222(2)41kcy y k x x c k +=+-=-+， ………………………………（7分）21212224224141x x y y k ckc M k k ⎛⎫++⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴，，．………………………………（8分）MD PQ ⊥∵，设D 3(0)x ，，2232411441kck k k c x k +=--+∴，解得232341k cx k =+．…………………………………………………………（9分）DMF ∵△∽DOE △，222222222243414141111199341DFM DOEk c k c kc k k k S DM S OD k k c k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫⎝⎭===+> ⎪⎝⎭⎛⎫⎪+⎝⎭△△∴． ………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：AD ∵为圆O 的切线，∴ADB DCA ∠=∠．…………………………………………………………………（2分）又A ∠为公共角，ABD ∴△∽ADC △，………………………………………………………………（4分）BD ADCD AC=∴． …………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AD 是圆O 的切线，AC 是过圆心的割线，2AD AB AC =∴，∴AC =16，则BC =12．………………………………………………………………（6分）又BDC ∠∵是直角， 222144BD CD BC +==∴，再由（Ⅰ），81162BD AD CD AC ===，BD =∴CD ． ………………………………………………………（7分）连接BF ，CF ，BDF CDF ∠=∠∵，DBE DFC ∠=∠， DBE ∴△∽DFC △，BD DEDF CD=∴， ………………………………………………………………（9分） 12288555DE DF BD CD ==⨯=∴． ………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）圆P 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=， ………………………………（1分）圆Q 的极坐标方程为22cos 3ρρθ+=．…………………………………………（2分）联立222cos 32cos 3ρρθρρθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，，解得ρcos 0θ=， …………………………………………………………（3分）所以M ，N 的极坐标分别为π2⎫⎪⎭，，3π2⎫⎪⎭，．………………………………（5分）注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．（Ⅱ）M ，N 的直角坐标分别为(0，(0，， ………………………………（7分）所以公共弦MN 的参数方程为0[x t y t =⎧∈⎨=⎩，，． …………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）证明：222222222()()()2a b c d ac bd a d b c adbc ++-+=+-…………………（2分）2()0ad bc =-≥，………………………………………………………………（4分）当且仅当0ad bc -=时，等号成立．………………………………（5分） （Ⅱ）解：函数的定义域为[35]，，且0y >，………………………………（6分）则24y =………………（8分）=………………………………………………………………（9分）当且仅当=时，等号成立，即175x 时函数取最大值 …………………………………………………（10分）。
贵州省贵阳市第一中学2017-2018学年高三上学期第二次适应性考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集合{|||1}A x x =<，{|21}xB x =<，则AB =（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．(1,0)- 2.若1iz i=+，则z z ∙=（ ）A ．B ．12CD ．12- 3.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则9a =（ ） A ．172 B ．192C ．9D ． 10 4.若双曲线C 的顶点和焦点分别为椭圆22195x y +=的焦点和顶点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22159x y -=B ．22195x y -= C. 22154x y -= D ．22145x y -=5.一个底面为正方形的棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．134πB 13π D6.某程序框图如图所示，若输出的67S =，则判断框内可填入的是（ ） A ．9?k < B ．8?k < C. 7?k < D ．6?k <7.从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件A =“取到的两个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则(|)P B A =（ ） A ．25 B ．12 C. 14 D ．188.已知(,)2παπ∈，且sin cos αα+=cos 2α=（ ） AB．． 9.用数字5和3可以组成（ ）个四位数 A ． 22 B ． 16 C. 18 D ．2010.若点(,)M x y （其中,x y Z ∈）为平面区域25027000x y x y x y +->⎧⎪+->⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的一个动点，点A 坐标为(3,4)，O 为坐标原点，则OA OM ∙的最小值为（ ）A ．13B ．17 C. 16 D ．1911.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线28y x =-与抛物线C 相交于,A B 两点，则tan AFB ∠=（ ）A ．34 B ．34- C. 43 D ．43- 12.定义在R 上的函数()f x 满足'()1()f x f x >-，若(0)6f =，则不等式5()1xf x e >+（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(5,)+∞ C. (,0)(5,)-∞+∞ D ．(,0)-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 7(1)x -的二项展开式中，x 的系数与3x 的二项式系数之和等于 ． 14.已知向量,a b 满足,6a b π<>=，||1a =，|2|13a b -=，则||b = ．15.已知数列{}n a 满足12a =，且132n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式为 ． 16.“求方程512()()11313x x +=的解”有如下解题思路：设512()()()1313x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =，类比上述解题思路，不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知a =b =，2B A =. （1）求sin A ； （2）求边长c . 18.（12分）新车商业保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2960)，(13,3830)，(17,4750)，(22,5500)，(25,6370)，(33,8140)，(37,8950)，(45,10700)，设由这8组数据得到的回归直线方程为^^1110y b x =+，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车. （1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年的出险次数 0 1 2 3 45≥下一年的保费倍率0.85 1 1.25 1.5 1.75 2连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000量调查，得到一年中出险次数的频率分布如下（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）： 一年中的出险次数 012345≥频率5003801001541根据以上信息，是，估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.（假设车辆下一年与上一年都够买相同的商业车险产品进行续保） 19.（12分）如图所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2的正三角形，CD =，1AD =，PO垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1PO =，求： （1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.20.（12分）如图所示，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点A 是椭圆上的一点，且椭圆C的离心率，直线AO 与椭圆C 交于点B ，且,C D 是椭圆上异于,A B 的任意两点，直线,AC BD 相交于点M ，直线,AD BC 相交于点N .（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线MN 的斜率为定值.21.（12分）已知函数()ln()(0)f x x x k k =-+>. （1）若()f x 的最小值为0，求k 的值；（2）当()f x 的最小值为0时，若对[0,)x ∀∈+∞，有2()f x ax ≤恒成立，求实数a 的最小值；（3）当（2）成立时，证明：*1222()(2,)2121ni n f n n N i n =-<≥∈--∑. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，A 为圆O 外一点，AO 与圆交于,B C 两点，4AB =，AD 为圆O 的切线，D 为切点，8AD =，BDC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于,E F 两点. （1）求证：BD ADCD AC=； （2）求DE DF ∙的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)4P x y -+=，圆22:(1)4Q x y ++=.（1）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P 和圆Q 的极坐标方程，并求出这两圆的交点,M N 的极坐标； （2）求这两圆的公共弦MN 的参数方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）证明柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，并指出此不等式里等号成立的条件；（2）用柯西不等式求函数y =+的最大值.试卷答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．∵集合，，，∴B 的子集共有16个，故选D．2．复数．若z的虚部为2，可得，，，故选B．3．对于①，，解得或，故“”是“”的必要不充分条件，故正确；对于②，的否定形式是：，，使得，故错误；对于③，否是：“若，则或”故错误；对于④，是上的奇函数，则，，与不是互为相反数，故错误，故选A．4．由主视图和俯视图可知原正方体截取两个小正三棱锥后如图1，故选D．5．，；，；，；，；，；，；…，S的取值有周期性，，，，故选D．6．，令，则t是区间(0，1]内的值，而所以当，即时，取最大值．使的n的值为数列中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项，故选C．7．如图2建系，，，，，，，故选B．8．根据题意，的展开式的通项为，共13项，若为正整数，则r的值可以为0，3，6，即其展开式中含a的正整数次幂的项共3项，其他的有10项，先将不含a的正整数次幂的10项进行全排列，有种情况，排好后，有11个空位，在这11个空位中，任取3个，安排3个含a的正整数次幂的项，有种情况，共有•种情况，故选D．9．实数，满足，且，可得，则，令，即有，则，当且仅当，即时，取得最小值25，故选C．10．设是上的任意一点，则关于直线对称的点的坐标为，则在上，即，即．是奇函数，，即，．，∴当时，，则，，的图象向右平移个单位后得到，故选B．11．不等式组表示的平面区域为M，即为图3中的抛物线在第一象限内阴影部分，，倾斜角小于的区域为图中深色阴影部分；，，由几何概率的计算公式可得，故选C．12．椭圆：与双曲线：的焦点重合，∴满足，即，，排除C，D；又，，则，，，则==，( =，∴＞1，故选A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．，，．14．根据题意可知三棱锥的三条侧棱，，由，，则底面是等腰直角三角形，则底面，，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，长方体的边长为1，1，，体对角线的中点就是外接球的球心，∴球的半径为．四面体外接球表面积为：．15．若函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则方程在区间[1，2]上有解．令，，由的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，故当时，取最小值−2，当时，取最大值0，故．16．设，，，，．在△ABM中，由正弦定理可得：，代入解得：，，在中，，由勾股定理可得，化简整理得：，，，在中，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，，得．……………………………（2分）设各项都是正数的等比数列的公比为，由题意可得，即有，解得（舍去），……………………………（4分）即有．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ），前n项和……………………………（7分）……………………………………………（10分）．……………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据所给的频率分步直方图中小长方形的长和宽，得到第3组的频率为0.06×5=0.3；……………………………………………（1分）第4组的频率为0.04×5=0.2；……………………………………………（2分）第5组的频率为0.02×5=0.1．……………………………………………（3分）（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，第5组抽取的人数为．……………………………………………（6分）（Ⅲ）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲教师的考查，由题意知变量的可能取值是0，1，2，…………………………………………（7分）该变量符合超几何分布，∴，………………………………………………（8分）∴的分布列是…………………………………………………………（10分）∴．…………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC平面ABC=AC，P A⊥AC，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC．……………………………………………………（3分）又由题图甲知BC⊥BA，P A BA=A，∴BC⊥平面P AB，又AD⊂平面P AB，∴BC⊥AD．……………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：如图4所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴建立空间直角坐标系．则，若存在点E，设，则．…………………………………………………（8分）设平面ADE的法向量，则即令，则，故．平面ABC的法向量，……………………………………………（10分），解得，∴存在点E，且点E为棱PC的中点．………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：∵点代入方程得，∴椭圆C的方程为．……………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：如图5，设，则，P A所在直线方程为，取，得，………………………………………………………（5分），PB所在直线方程为，取，得．……………………………………………………（6分）∴，．………………………………………（8分）∴．∴四边形ABNM的面积为定值2．……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知得，……………（1分），∴，∴．∴，…………………………………………（2分）于是，由得；由，得，∴的单调递增区间是（−1，0），单调递减区间是（0，+∞）．……………（4分）（Ⅱ）解：，，则，令，得或（舍），当时，；当时，，即在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．………………………（7分）由题意：即亦即，故实数b的取值范围为．……………………………（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得，当时（当且仅当时等号成立）．设，则，即，………………………（10分），，，…，，将上面n个式子相加得：，故．……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图6，过D作交AC于M，连接BE．，①又∵AD平分∠BAC，，又，，．．，②由①②知．…………………………………………（5分）（Ⅱ）解：，又．∵△ADC∽△ABE，，，，，．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）（t为参数），，即．∴直线l的直角坐标方程是．…………………………………………（2分），，即．……………………………………………………………（3分）∴曲线C的直角坐标方程为，即．……………………（5分）（Ⅱ）曲线C的参数方程为（为参数），………………………（6分）则曲线C上的点到直线l的距离．…………………………………………………………（7分）∴当时，d取得最大值，当时，d取得最小值．………………………………（9分）∴d的取值范围是．…………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ），．………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ），，，，，当且仅当时等号成立，．…………………………………………………（10分）。
贵阳一中2018届月考(一)理科数学试卷及解析
贵阳一中2018届月考(一)理科数学试卷及解析三个项目都有人参加的概率为（ ） A. 89 B. 49C.29D. 8276.若方程2(1)10xk x --+=有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ） A.7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.已知,αβ都是锐角，且sin cos cos (1sin )αβαβ=+，则（ ） A. 32παβ-= B. 22παβ-=C.32παβ+=D.22παβ+=8.如图1.由曲线21y x =-，直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A. 220(1)x dx -⎰B. 220(1)x dx-⎰C. 2201x dx-⎰D. 122211(1)(1)x dx x dx--+-⎰⎰9.设直线2a x =与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>交于,A B 两点，若OAB∆是直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.2B.3C.1210.已知数列{}na 满足：111,21(2)nn a aa n -==+≥，为求使不等式123n a a a a k++++<的最大正整数n ，某人编写了如图2所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出框输出的表达式分别为（ ）A. ,S k i <B. ,1S k i <-C. ,S k i ≥D. ,1S k i ≥- 11.为得到函数22()2sin cos cos )f x x x x x =++的图象，可以把函数()2cos(2)3g x x π=-的图象（ ）A. 向左平移4π个单位 B. 向左平移2π个单位C. 向右平移4π个单位 D. 向右平移2π个单位12.图3是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的 棱的长度为（ ） A.D. 二、填空题 13.61(12)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是（用数字作答）. 14.已知变量,x y 满足条件,230,29,x y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤-⎩则23x y -的最小值等于 .15.如图4，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，2AD DB = ，若CD CA ⊥ ，2CD =，则CD CB ⋅= .16.已知,,a b c 分别为锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin )()sin b A sinB c b C+-=-，则ABC ∆周长的取值范围为 . 三、解答题17.已知数列{}n a 满足：1111,(2)21n n n a a a n a --==≥+.（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}n n a a +的前n项和为n T ，求证：12n T <.18.为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图5是统计结果的频率分布直方图.（Ⅰ）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？ （Ⅱ）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X ，求X 的分布列和期望.19.如图6，在三棱锥K ABC -中，,,D E F 分别是,,KA KB KC 的中点，平面KBC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥， KBC ∆是边长为2的正三角形，3AC =. （Ⅰ）求证：BF ⊥平面KAC ； （Ⅱ）求二面角F BD E --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，12,F F 是椭圆的左、右焦点， P 是椭圆上的一点，12PF PF ⋅的最小值为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,M N两点，圆E 是以1F 为圆心椭圆C 的长轴长为半径的圆，过2F 且与l 垂直的直线与圆E 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.设2()(ln 1)(2),f x x x a x x a R =-+-∈.（Ⅰ）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间； （Ⅱ）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l的极坐标方程为：2sin()33πρθ+=，曲线C 的参数方程为：3cos ,23sin ,x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），其中[0,2)απ∈.（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若A 、B 为曲线C 与直线l 的两个交点，求AB .23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 设()231f x x x =-++.（Ⅰ）求不等式()4f x x <+的解集；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax =+有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1． 函数y =(1][3+)A =-∞-∞，，，不等式202x x +-≤的解集为[22)B =-，，所以[21]AB =--，，故选A.2．复数32(1i)(1i)+-1i =--，对应点为(11)--，，位于第三象限，故选C.3．由单调性及定义域得12x x --<≤，解得13x <≤，故选C.4．双曲线焦点在x 轴上，22213122a b c ==⇒=，，右焦点为0⎫⎪⎪⎝⎭，故选C.5．23434C A 3643819P ===，故选B.6．问题等价于方程11x k x+=-在(2)+∞，有解，而函数1y x x=+在(2)+∞，上递增，值域为52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以k的取值范围是72⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+，故选C.7．πsin cos cos (1sin )sin()cos sin 2αβαβαβαα⎛⎫=+⇒-==- ⎪⎝⎭，即2αβπ-=2，故选B.8．阴影部分面积为122201[(1)]d (1)d x x x x⎰--+⎰-，而222101|1|112x x x x x ⎧--=⎨-<⎩，，，，≤≤≤ 故选C.9．2a x =代入椭圆方程得y =，2223()2a c a c a a =⇒-=⇒=，故选C.10．判断的条件为S k <；输出的结果为1i -，故选B.11．ππ()2sin 22sin 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π()2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．12．几何体ABCD 为图1中粗线所表示图1的图形，最长棱是AC ，AC =C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6216C r rr Tx-+=，6203621r r r -=⇒=-=-；无解，所以展开式的常数项为36C20=.15．由已知3122CB CD CA=-，CD CA =，231622CD CB CDCD CA =-=.16．由已知()()()a b a b c b c+-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒，由正弦定理，三角形的周长为π24sin 26B C B ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，ππ62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，πsin 16B ⎤⎛⎫+∈⎥⎪⎝⎭⎦⎝，周长的取值范围为(26]+.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：111112111(2)2(2)21n n n n n n n a a a n n a a a a -----+=⇒==++≥≥，所以1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩是以2为公差的等差数列，11111a a =⇒=，所以121nn a =-，所以数列{}n a 的通项公式为121n a n =-.………………………………（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭， 11112212n T n ⎛⎫=-<⎪+⎝⎭.…………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导，则(70)0.02(9070)0.0050.2x -⨯+-⨯=，得65x =（分钟），所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导. …（6分）（Ⅱ）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，~(40.2)X B ，， 44()C 0.20.8(01234)k k kP X k k -===，，，，，0.8EX =. ……………………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，建立空间直角坐标系，则(10K ，， 3302BF CK ⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭，，，(10(030)CA =-，，，，0BF CK =，BF CK ⊥得BF CK ⊥，BF CA =，BF CA ⊥得BF CA ⊥，CA ，CK 是平面KAC 内的两条相交直线， 所以BF ⊥平面KAC.……………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：平面BDF 的一个法向量(10m =，， 平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为(32n =-，，3cos 4m n 〈〉=，，所以二面角F BD E--的余弦值为34.………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知12c a =，12PF PF ⋅的最小值为222bc -=，又222ab c =+,解得2243a b ==，，所以椭圆方程为22143x y +=． ………………………（6分）（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为1122(1)(0)()()y k x k M x y N x y =-≠，，，,.由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则221212228412+4343k k x x x x k k -==++，.所以212212(1)|||43k MN x x k +=-=+．过点2(1)F ，0且与l 垂直的直线1(1)m y x k=--：，1F 到m所以||PQ =故四边形MPNQ的面积1||||2S MN PQ ==可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，．当l 与x 轴垂直时，其方程为1||3||8x MN PQ ===，，，四边形MPNQ 的面积为12．综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()ln 22f x x ax a '=-+， 可得()ln 22(0)g x x ax a x =-+∈+∞，，， 则112()2axg x a x x-'=-=，当0a ≤时，(0)x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当a >时，102x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，12x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(0)+∞，， 当a >时，函数()g x 的单调递增区间为102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为12a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(1)0f '=. ①当a ≤0时，()f x '单调递增，所以当(01)x ∈，时，()0()f x f x '<，单调递减， 当(1+)x ∈∞，时，()0()f x f x '>，单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a>，由（Ⅰ）知()f x '在102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，可得当(01)x ∈，时，()0f x '<，112x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>， 所以()f x 在(0，1)内单调递减，在112a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1)+∞，内单调递减，所以当(0)x ∈+∞，时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a<<， 当112x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. ………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵π2sin 33ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 3ρθθ+=，直线l30y +-=．曲线C ：3cos 23sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩ (α为参数)，消去参数可得曲线C 的普通方程为：22(()29x y -+=．………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22(()29x y +-+=的圆心为D (2)，半径为3．设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离|323|22d -+-==，所以2DM =，又因为3DA =，所以MA =，所以||AB =．………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． …………………………（5分）（Ⅱ）利用图象可得533a -<<-.…………………………………………（10分）。
贵阳市高三适应性考试(一)理数试卷
贵阳市 2018 年高三适应性考试( 一) 理数试卷（ 4）若实数x, y 满足拘束条件x y 00 ，则 z 2 x yx y 1x 3 0的最大值为A. 3B. 6C. 10D. 12（5）某程序框图以以下列图，若该程序运行后输出的值是13，7则整数 a 的值为A. 6B. 7C. 8D. 9（6）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有以下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何 . ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列 . 问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位） . 在这个问题中，丙所得为A. 7 钱B. 5 钱C. 2 钱6 6 3D. 1 钱（7）把函数y 2 sin( x) 1图象上各点的横坐标缩4短为原来的1倍（纵坐标不变），2那么所得图象的一条对称轴方程为A. x 2B.C.D.3 2 48（8）已知等比数列{an }的前n项和为S n，且a1 1 ，2a2 a6 8(a4 2)，则S2018 =A. 220171B. 1 ( 1)2017C. 22018 12 2 2D. 1 ( 1 )20182（9）已知奇函数f ( x)在R上是减函数，且a f (log3 1 )，b f (log 3 9.1) ，10c f (2 ) ，则 a,b, c 的大小关系为A. a b cB. c b aC. b a cD. c a b（10）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是A.C. 8 4 38 4 2B.D.1210（11）已知双曲线x2 y2 1(a 0,b 0) 的两条渐近线a 2b 2与抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线分别交于 A、B 两点， O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 5 ，AOB的面积为2，则 pA. 2B. 1C. 2 3D. 3（12）已知函数 f ( x) kx 3, x 0 的图象上有两对关ln( 2x), x 0于y 轴对称的点，则实数 k 的取值范围是A. (0, e)B. (0, 1 e 2 )C. (0,2e2 )D.2(0, e 2 )二、填空题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20分.（ 13 ）若向量a (x,1)与向量b (1, 2)垂直，则| a b | ______.（14）某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教（每地最少 1 人），则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是 _______.（15）若直线l : ax 3 y 12 0( a R) 与圆 M : x2 y 2 4y 0 订交于 A、B 两点，若ABM 的均分线过线段MA 的中点，则实数a _____.（16）已知底面是正六边形的六棱锥P ABCDEF的七个极点均在球 O 的表面上，底面正六边形的边长为 1，若该六棱锥体积的最大值为 3 ，则球O的表面积为_______.三、解答题：共 70 分。
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2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5分）已知集合A={x|y=「上三、_汀,B={X |¥ 三°}，则A ° B=（A. b A . [ - 1,1]B. [ - 1, 2）C. [1, 2）D. [ - 2,- 1]2. （5分）复数」『’在复平面上对应的点位于（）（1-i ）2 A •第一象限 B.第二象限C 第三象限D .第四象限3. （5分）已知f （x ）在其定义域[-1, +7 上是减函数，若f （2 -x ）>f （x ）, 则（ ） A . x > 1 B .- 1<x v 1 C . 1v x < 3 D .- 1< x < 34.（5分）双曲线方程为x 2 - 2y 2=1，则它的右焦点坐标为（ ）A. I.「B ・ 1「C.「D .' ■-5. （5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松 三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这 4人中三个项 目都有人参加的概率为（ ）A .6.（5分）若方程x 2- （k - 1）x+仁0有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ）7. （5 分）已知 a, B 都是锐角，且 sin a cos B =c （s1+sin ）贝U （ ） A . -■ ■ — B. . :•——C. - . - :—D. . :—8.（5分）如图所示，曲线y=x - 1, x=2, x=0, y=0围成的阴影部分的面积为（27）A.丨 | T一］工B. I , :' ：：：；■C.丨 | 了工D. | ■■2 29. （5分）设直线与椭圆’交于A, B两点，若△ OAB是2 a b直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.「B.C.D.2 3 3 210. （5分）已知数列｛a n｝满足：a i=1, a n=2a h -1+1 （n > 2）,为求使不等式a计a2+a3+・・+a n<k的最大正整数n,某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）口=叮=1a=2a^lS=S+aA. S v k, iB. S v k, i- 1C. S>k, iD. S>k, i- 111. （5 分）为得到函数f （x）=2sinxcos）+ ___ •一__ 二 .的图象，可以把函数二：「「-门;7—：?.-1的图象（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C•向右平移.个单位D.向右平移个单位4 212. （5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）"4 2 T正视图侧视图A. 3 匚B.甘*C. cD. 3 匚二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________________________________________ （5分）二m:丿展开式的常数项是_________________________________________ .（用数字作答）x>y14（5分）已知变量x,y满足条件x+2y-3>0,则2x- 3y的最小值等于____________ .2rC 9-y115. （5分）如图，在△ ABC中，D是AB上一点，工若CD丄CA 川-:,16. （5分）已知a, b, c分别为锐角△ ABC的三个内角A, B, C的对边，a=2,且（2+b）（si nA- sinB）= （c- b）si nC,则△ ABC周长的取值范围为___ .三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 . （12分）已知数列｛a n｝满足：a1=1,「一r_l（n>2）.2a rrl + 1(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)设数列｛a n a n+1｝的前n项和为T n,求证：［叮一1n 218. (12分)为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图.(1)数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？(2)现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X,求X的分布列和期望.19. (12分)如图，在三棱锥K- ABC中，D，E, F分别是KA, KB, KC的中点, 平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3(1)求证：BF丄平面KAC(2)求二面角F- BD-E的余弦值.20. (12分)已知椭圆：的离心率为,F1, F2是椭圆的左、显b2 2右焦点，P是椭圆上一点，计〕的最小值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2且与x轴不重合的直线I交椭圆C于M , N两点，圆E是以F i为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与I垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.21. (12分)设f (x) =x (Inx—1) +a (2x—x2)，a€ R.(1)令g (x) =f'(x)，求g (x)的单调区间；(2)已知f (x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点0处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线I的极坐标方程为：」j L：| :,曲线C的参数方程为：■：，(a为参数)，其中a€ ［0，2n).(y=2+3sinCl(1)写出直线I的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)若A，B为曲线C与直线I的两交点，求|AB| .［选修4-5:不等式选讲］ 23 .设 f (x) =| 2x- 3|+| x+1| .(1)求不等式f (x)v x+4的解集；(2)若函数g (x) =f (x) +ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围.20仃-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. (5 分)已知集合A={x|y=f , B={x| 二< 0}，则A H B=(A. [ - 1,1]B. [ - 1, 2)C. [1, 2)D. [ - 2,- 1]【解答】解：集合A={x| x2- 2x- 3>0} ={x| x<- 1 或x> 3},B={x| - 2< x v 2},利用集合的运算可得：A H B={x| - 2<x<- 1}.故选D.2. （5分）复数、厂、在复平面上对应的点位于（）（1-i）2A•第一象限 B.第二象限C第三象限D.第四象限【解答】解：复数''''=''”「d-ir i-2i+i2一1-i匚，则复数「「一在复平面上对应的点为（-1, - 1）,（1-D2且为第三象限的点，故选：C.3. （5分）已知f （x）在其定义域［-1, +7 上是减函数，若f （2 -x）＞f （x）,则（）A. x> 1B.- 1<x v 1C. 1 v x< 3D.- 1< x< 3【解答】解：由题意得：X>-1 ，解得：1v x < 3,2-x< x故选：C.4. （5分）双曲线方程为X - 2y 2=1，则它的右焦点坐标为（故选C5. （5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松 三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这 4人中三个项 目都有人参加的概率为（ A .【解答】解：某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、 半程马拉松和迷你马拉 松三个比赛项目,4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛, 基本事件总数n=34=81,这4人中三个项目都有人参加包含的基本事件个数 m=：〒,；k ：=36,这4人中三个项目都有人参加的概率为p< ■'=■.故选：B.6.（5分）若方程x 2- （k - 1）x+仁0有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ） A .： B:C :-D .【解答】解：双曲线的:-:,2 2D .k-1••方程x2- （k - 1） x+仁0有大于2的根，可得* 2f (2)=4-2(k-l)+l<C或号＞2L A=(k-l)2-4>0解得：*m 或k ＞5.2故k 的取值范围为（'',+x ）,2 故选：C.7. (5分)已知 a, B 都是锐角，且 sin a cos B =c (s1+sin )贝U( )A.一 ： _ :B.「一「_ :C. z • ] - D . :: —【解答】解: v sin a cos B =coS 1+sin ), ••• sin a cos B cos a sin B =cos 即: 又v a, B 都是锐角，可得：0＜舟^-（ a- B ） V n, …*-"®,整理可得：眈卡WT 故选：B.8.（5分）如图所示，曲线y=x - 1, x=2, x=0, y=0围成的阴影部分的面积为（ ）故选A .【解答】解: (x 2-l)dx |x 2-1) dx+ J J (1-x 2) dx【解答】解：由题意 S= |「，土:- . - 工=丨：■■■,sin ( a- (a- B)],AB2 29. （5分）设直线：，「与椭圆： -.：.■■■- :.-u ：交于A , B 两点，若△OAB 是 2 a z b z 直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.丄B.C.D .2332【解答】解：•••椭圆C 的两个焦点与A 、B 两点，△ OAB 是直角三角形，二AB=a,••• ?孑=曲站3，a ?e=「， 故选：C.10. （5分）已知数列｛a n ｝满足：a i =1，a n =2c h -1+1 （n > 2），为求使不等式 a 什a 2+a 3+・・+a n <k 的最大正整数n ，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的 判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A . S v k ，iB . S v k , i - 1C . S >k ，iD . S >k ，i - 1【解答】解：由题意，进入循环的条件应为数列的和 S< k ， 故判断框中的条件应为S< k .由程序框图可知i 为数列项数计数，先累加，后判断，故输出的数列的项数应为 第9页（共20页）即 A （：，；），2 4 a 2 2且4b 2i - 1.故选：B.11. （5分）为得到函数f （x）=2sinxcosx_ _ 口丄_ _ _工.的图象，可以把函数二：，：|「-门门—：?.-1的图象（）A.向左平移"个单位B.向左平移厂个单位4 2C•向右平移宀个单位D.向右平移个单位4 2【解答】解：函数f （x）=2si nxcosx■眉（虽nJ© 口S2Z）,=sin 2x—；cos2x,=2sin （2x-——）,3所以：①函数Z yi :x=2cos（ 2x- 一）的图象向左平移三个单位,■J L 1一得到：兀y=2co< 2 (x+ ) ]=2cos （2x+ ）的图象，故A错误.②函数.I .. I =2cos （2x-丁）的图象向左平移=个单位，得到:O 0 也的图象，故B错误.y=2co< 2 (x+ ) -丁］ =2cos (2x£O③函数-■-- 」=2cos（2x-…）的图象向右平移]个单位，得到：3 3 4y=2co< 2 （x-丄）-——]=2cos （2x-丄=2sin（2x-——）的图象，故C正确.4 3 6 3④函数―一“i二：：y.=2cos （2x- 一）的图象向右平移—个单位，得到：V 0 乙y=2co< 2 （X--—）-= ] =2cos （2x- ）的图象，故D 错误.故选：C12. （5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）2 T正规图侧视图俯视图A. 3匚B.寸丨丄C. “D. 3匚【解答】解：由几何体的三视图得所求几何体ABCD为圆中粗线所表示的图形, 最长棱是AC,由长方体对角线长公式得：AC y --- 2"=「「.故选：C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （5分）」匚展开式的常数项是20 .（用数字作答）x【解答】解：：「匚展开式的通项为•. /---，令6-2r=0? r=3;令6-2r=- 1, r无整数解，所以，展开式的常数项为-'_.||，故答案为：20.14. （5分）已知变量x，y满足条件r十2y-3>0，则2x- 3y的最小值等于一-3 .2rC 9-y第11页（共20页）.■/ -「，作出可行域如图，【解答】解：由变量x, y满足条件,19-y化目标函数z=2x- 3y为y=：x-',3 3由图可知，当直线y=：x-过B （3, 3）时3 3直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2X3-3X3=- 3.故答案为：-3.15. （5分）如图，在△ ABC中，D是AB上一点，工若CD丄CA 川-:, 则1“ | =.6【解答】解：由已知在厶ABC中，D是AB上一点，「■ ■ ■，可得二■一U- 乙CD丄CA,厂〕・：|,-* —* 3~2 1―•—•CD - CB^-CD pCD ・CA 二6・故答案为：6.16. （5分）已知a , b , c 分别为锐角△ ABC 的三个内角A , B , C 的对边，a=2, 且（2+b ） （ sinA - sinB ） = （ c - b ） sinC ,则厶ABC 周长的取值范围为• '■:.可得三角形的周长为：a+b+c=「 si nB+「 si nC+23 3 4屈.= sin3 二一 -sinB+一 - (—— cosB+〔 sinB ) +2 3 3 2 2 =2 si nB+2cosB^2 =4sin (B+丄)+2,6••• B €( 一，丄)，sin (B+ )€(- , 1],6 2 6 2 4sin (B+—) +2€「■ '■■,6故答案为：.三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）（1） 求数列｛a n ｝的通项公式；（2） 设数列｛a n a n +1｝的前n 项和为T n ,求证:..七 【解答】（本小题满分12分）【解答】解：由已知及正弦定理可得:(a+b ) ( a - b ) = ( c - b ) c , 即由正弦定理可得：二，可得: 2b= ： sinB, c= ： g +2 可得周长的取值范围为: (2+2 V3 - 6]17. （12分）已知数列｛a n ｝满足：a i =1,(n 》2).，得 A=60°,2+c 2-asin (120- B ) 2arrl + 1所以；一：是以2为公差的等差数列, 所以—.:-, 所以数列｛a n 的通项公式为-■ n1 ,2n+l 2 ^2n-L 2n+l 'T n = =i :; ! 丨’5 2 U 2n+l 218. （12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每 天完成数学作业的平均时间介于 30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分 布直方图.（1） 数学教研组计划对作业完成较慢的 20%的学生进行集中辅导，试求每天完 成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2） 现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不 超过50分钟的人数为X ,求X 的分布列和期望.【解答】（本小题满分12分）解：（1）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导, 则由频率分布图得:（70 - x ）x 0.02+ （90 - 70）x 0.005=0.2,解得 x=65 （分钟）, 所以，每天完成数学作业的平均时间为 65分钟以上的同学需要参加辅导.⑴解：一宀'—-an-l a n-l2n-l⑵证明：由（1）得1+*■■+- 1 1(2)把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2,X〜B(4, 0.2)，P (X=0) =O0?0.20?0.84=0.4096,P (X=1) =C41?0.2?0.83=0.4096,2 2 2P (X=2) =C ?0.2 ?0.8 =0.1536,3 3P (X=3) =03?0.23?0.8=0.0256,P (X=4) =CC4?0.24=0.0016.••• X的分布列为：EX=0X 0.4096+1 0.4096+2 0.1536+3 0.0256+4 0.0016=0.8.19. (12分)如图，在三棱锥K- ABC中，D, E, F分别是KA, KB, KC的中点, 平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3(1)求证：BF丄平面KAC(2)求二面角F- BD-E的余弦值.【解答】(本小题满分12分)证明：(1)v在三棱锥K- ABC中，D, E, F分别是KA, KB, KC的中点，平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3 •如图，以C为原点，CB为x轴，AC为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则■■- L' , B( 2, 0, 0), C( 0 , 0 , 0) , A( 0 , - 3, 0), F(] , 0,),第15页(共20页)•••"・ 1- ；f ；丄「，••• BF 丄 CK••• BF 丄 CA ,•••CA CK 是平面KAC 内的两条相交直线， ••• BF 丄平面KAC解：（2） D 寺—鲁，省），五=（—魯—器#），丽=（—養,0,爭）,蘇= （-1, 0,）,设平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为z. yBD^a-b^^O ,取 4=3,得 + n*BK=-a+V3c=0 设二面角的平面角为9, 贝U cos 9 二［R .=； =,I m I v | n | V4 T V16 4•••二面角F- BD- E 的余弦值为1420.（ 12分）已知椭圆：的离心率为77, Fi , F2是椭圆的左、z b‘ID =⑴0,:,则丿0,设平面BDF 的一个法向量:,则、2=0，取x=1，得右焦点，P是椭圆上一点，|计「-；叶：的最小值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点冃且与x轴不重合的直线I交椭圆C于M , N两点，圆E是以Fi为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与I垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解答】解：(1)已知•，一：「■二；.［的最小值为b2- C2=2，a 2 1匸又a2=b2+c2，2 2解得a2=4，b2=3，所以椭圆方程为■.亠’1(2)当I与x轴不垂直时，设I的方程为y=k (x- 1)(心0)，M (xi，yi)，N (X2, y).y=k(x'l)由* / 2 得(4k2+3 ) x2- 8『x+4k2- 12=0 .则—=1l宀1,Sk 2昶宀121‘ 4k z+3 1£ 4k z+3所以lf r'- . .. < :■1.£4k2+3过点F2 (1，0)且与I垂直的直线.1 : "・■ ：，F1到m的距离为^亠，k Vk2+1可得当I与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为；一_ .当I与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为•二’_ .21. (12分)设f (x) =x (Inx—1) +a (2x—x2), a€ R.故四边形MPNQ的面积:1 "二匚j第仃页(共20页)(1)令g (x) =f'(x),求g (x)的单调区间；(2)已知f (x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.【解答】解：(1)由f (x) =lnx - 2ax+2a,可得g (x) =lnx- 2ax+2a, x€( 0, +^),则—J亠亠当a<0时，x€( 0, +x)时，g' (x)> 0，函数g (x)单调递增，当a>0时，一；….•■时，g' (x)> 0,函数g (x)单调递增，2a■, ■', …一时，g' (x)v 0,函数g (x)单调递减.2a所以当a< 0时，函数g (x)的单调递增区间为(0, +x),当a>0时，函数g (x)的单调递增区间为门亠.，单调递减区间为2a(圭，(2)由(1)知,f (1) =0.①当a< 0时，f (x)单调递增，所以当x€( 0, 1)时，f (x)v 0, f (x)单调递减，当x€( 1, +x)时，f (x)>0, f (x)单调递增，所以f ( X)在x=1处取得极小值，不合题意.②当「I时，1二，由(I)知f (x)在』. 「内单调递增，可得当x€( 0, 1)时，f (x)V 0,「］. ―时，f (x)> 0,2a所以f (乂)在(0, 1)内单调递减，在；〕.. 亍］内单调递增，2a所以f ( X)在x=1处取得极小值，不合题意.③当4一；时，即打-i. , f (乂)在(0 , 1)内单调递增，在(1 , +x)内单调递2 2a减，所以当x€( 0, +x)时，f (x)< 0, f (x)单调递减，不合题意.④当二二丄时，即,当亠1 •:时，f (x)> 0, f ( x)单调递2 2a 2a当x€( 1, +x)时，f (x)V 0, f (x)单调递减，所以f (x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为■■.2第20页(共20页)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点0处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线I的极坐标方程为| :,曲线C的参数方程为：■：，(a为参数)，其中a€ ［0，2n).(y=2+3sinCl(1)写出直线I的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)若A，B为曲线C与直线I的两交点，求|AB| .【解答】(本小题满分10分)【选修4 - 4:坐标系与参数方程】解：(I) I直线I的极坐标方程为j ■,, I；I ；，•••：；」:,3直线I的直角坐标方程：Lj—= '1曲线C：•—：(a为参数)，ly=2+3sina消去参数可得曲线C的普通方程为: 「迁,;小■ '!.(U)由(I)可知，(讣卫+^乂二g的圆心为D (皿，2)，半径为3. 设AB中点为M，连接DM，DA,圆心到直线I的距离I _二，二DM=2，2又T DA=3,所以，匸，•丨「丨二「J［选修4-5：不等式选讲］23 .设f (x) =| 2x-3|+| x+1| .(1)求不等式f (x)v x+4的解集；(2)若函数g (x) =f (x) +ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围.【解答】解：(1) f (x) =| 2x-3|+| x+1| .不等式f (x)v x+4转化为：| 2x—3|+| x+11 v x+4令：2x- 3=0, x+仁0,解得：x=- 1,2①当X》「时，22x- 3+x+1 v x+4,解得：x v3;则：合以二E②当—1 v x v 时，23 —2x+x+1 v x+4，解得：x> 0,则：-一「「.2③当x< —1时，3 —2x —x- 1 v x+4，无解，则：解集为？综合①②③得：不等式解集为（0, 3）.（2）函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，即：g （x）=| 2x—3|+| x+1|+ax=0 有两个实数根，函数 f （x）=|2x-3|+| x+1| =—ax有两个交点.（33z-2 （x>y）-x+4（-l<x<|）-3x+2 -1）L利用函数的图象，利用（芦心，解得A（容冷）y=-x+4 2 2则：当-a「一且-a v3时，函数的图象有两个交点.即：可得-4-。