放缩法典型例题

放缩法典型例题这类问题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，本文介绍一类与数列和有关能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．一是先求和再放缩，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：的不等式问题，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩

，满足1例项的和．正数数列，试求：的前

（1的通项公式；）数列

）设项的和为，数列，求证：的前（2

，作差得：，）由已知得时，1解：

（

为正数数，，又因为所以

的等差数列，由，即是公差为，得2，所列，所以

以

，所以（2）

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这

满足条件里所谓的差比数列，即指数列）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和．放缩后成等差数列，再求和1

项和为,.且2例．已知各项均为正数的数列的前

求证：；(1)

求证：

(2)．

，）在条件中，令，又由条件解：（1，得

得有，上述两式相减，注意到

∴

，所以，

所以

，所以，所以）因为（2

；

2．放缩后成等比数列，再求和

*，证明：≥2Na，n∈；，a．例3（1）设

设，A成等差数列．A，且A，，a（2）等比数列{}项的和为中，，前nA87nn9

＜．项的和为nB，证明：B数列{b}前nnn

n，于是，．≥aa解：（1）当n为奇数时，

2n a≥a，于是≥为偶数时，当na－11，且

．

公比．，，∴2（）∵，

．．∴．

．∴．放缩后为差比数列，再求和3

4．求证：．已知数列，满足：例

，与，所以证明：因为同号，又因为，所以

，即为递增数列，所以．所以数列即，

，累加得：

即．