公因数和公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】最大公因数求法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。
2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：●两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数（8 ）4和8的最大公因数（4 ）9和3的最大公因数（3 ）28和7的最大公因数（7 ）●两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
✧相邻两个自然数(0除外)2和3的最大公因数是（1 ）8和9的最大公因数是（1 ）99和98的最大公因数是（1 ）✧两个不同的质数5和7的最大公因数是（1 ）17和29的最大公因数是（1 ）11和19的最大公因数是（1 ）✧两个互质的合数4和9的最大公因数是（1 ）20和49的最大公因数（1 ）25和69的最大公因数是（1 ）●两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
18和48的最大公因数先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。
公因数与公倍数
学生姓名年级五年级授课时间9：00 教师姓名魏老师课题因数和倍数（三）教学目标1、复习公因数、公倍数的意义及几个数的公因数、公倍数的求法。
2、最大公因数、最小公倍数的意义及几个数的最大公因数、最小公倍数的求法。
3、两种特殊情况的最大公因数、最小公倍数的求法。
重点理解最大公因数、最小公倍数的意义及求法。
难点两种特殊情况的最大公因数、最小公倍数的求法。
教学过程一、公因数与公倍数的定义1、公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2、公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3、互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。
二、公因数与公倍数的求法例1. 分别求出下列各组数的公因数与公倍数。
12和18 15和30 5和6 解：（1）12的因数有（1、2、3、4、6、12）； 12的倍数有（12、24、36、48、60、72……）；18的因数有（1、2、3、6、9、18）； 18的倍数有（18、36、54、72、90……）；12和18的公因数是（1、2、3、6）； 12和18的公倍数是（36、72……）；其中最大的公因数是（6）。
其中最小的公倍数是（36）。
试一试（2）15的因数有（）； 15的倍数有（）；30的因数有（）； 30的倍数有（）；15和30的公因数是（）； 15和30的公倍数是（）；其中最大的公因数是（）。
其中最小的公倍数是（）。
（3）5的因数有（）； 5的倍数有（）；6的因数有（）； 6的倍数有（）；5和6的公因数是（）； 5和6的公倍数是（）；其中最大的公因数是（）。
其中最小的公倍数是（）。
三、用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数。
例2. 分别求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
12和30 91和21 12、20和24解：（1）12和30的最大公因数是2×3＝6； 91和21的最大公因数是7； 12、20和24的最大公因数是2×2×3＝12；最小公倍数是2×3×2×5＝60。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。
在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们需要了解一些基本知识。
两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。
而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。
求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。
最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。
对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。
对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。
对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。
最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。
还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。
对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。
求公因数和公倍数的几种方法
求公因数和公倍数的几种方法嘿，咱今儿个就来聊聊求公因数和公倍数的那几种妙法儿！公因数和公倍数啊，就像是数学世界里的小精灵，有时候藏得深，有时候又蹦出来调皮一下。
咱先说说求公因数的办法吧。
有一种呢，就像孙悟空的火眼金睛，直接看出来。
比如说，6 和9，咱一眼就能瞅见 3 是它们的公因数。
这多简单直接呀！还有一种办法，就像是在数字的花园里慢慢找。
咱可以把每个数的因数都列出来，然后再去找那些共同的家伙。
就好比 12 和 18，咱把12 的因数 1、2、3、4、6、12 写出来，再把 18 的因数 1、2、3、6、9、18 写出来，一对比，嘿，3、6 这不就出来啦！那公倍数呢，也有它的门道。
可以用翻倍法呀，就像小蜗牛一步一步往上爬，把一个数不断翻倍，看啥时候能碰到另一个数的倍数。
比如说 3 和 4，3 翻倍成 6、9、12，哟，12 不就是 4 的倍数嘛，那 12 就是它们的公倍数。
还有一种办法呢，就像是织一张大网，把所有相关的数都网进来。
通过短除法，把数字们都摆上去，一顿操作，公倍数就乖乖现身啦！咱想想啊，要是没有这些方法，那求公因数和公倍数不就跟无头苍蝇似的乱撞啦？那得费多大劲儿呀！这些方法就像是给咱指明了方向的灯塔，让咱在数学的海洋里航行得稳稳当当。
你说数学是不是很神奇呀？就这么几个数字，通过不同的方法摆弄，就能得出各种各样有趣的结果。
求公因数和公倍数不只是为了做题哦，在生活中也有大用处呢！比如说分东西啦，安排活动啦，都能用到这些知识。
所以啊，咱可得好好掌握这些方法，把它们变成咱的拿手好戏。
别小瞧了这小小的公因数和公倍数，它们背后可藏着大大的智慧呢！让咱一起在数学的奇妙世界里畅游，把这些小精灵都收服，为咱所用，那该多有意思呀！你说是不是这个理儿呢？。
质数合数因数倍数公因数公倍数的概念
质数合数因数倍数公因数公倍数的概念
质数、合数、因数、倍数、公因数、公倍数是数学中常见的概念。
它
们在数学中有着重要的作用，也是我们日常生活中经常会用到的概念。
首先，质数是指只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7等。
而能够被除了1和自身以外的其他正整数整除的数称为合数，例如4、6、8、9等。
需要注意的是，1既不是质数也不是合数。
其次，因数是指能够整除一个数的正整数，例如6的因数有1、2、3、6。
而倍数则是指一个数的整数倍，例如6的倍数有6、12、18等。
接着，公因数是指两个或多个数共有的因数，例如12和18的公因数
有1、2、3、6。
而公倍数则是指两个或多个数共有的倍数，例如12
和18的公倍数有36、72等。
最后，我们来看一下这些概念在数学中的应用。
在分解质因数时，我
们需要将一个数分解成若干个质数的乘积，这就需要用到质数和因数
的概念。
而在求最大公约数和最小公倍数时，我们需要用到公因数和
公倍数的概念。
此外，在解决一些实际问题时，也会用到这些概念，
例如在计算最少需要多少个瓷砖铺满一个房间时，就需要用到公因数
和公倍数的概念。
总之，质数、合数、因数、倍数、公因数、公倍数是数学中非常基础的概念，它们在数学中有着广泛的应用。
掌握这些概念不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以帮助我们解决实际问题。
公倍数
第3讲 公因数和公倍数1.定义：如果一个数同时是几个数的因数，那么我们就称它为这几个数的公因数。
几个数的公因数中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
如果一个数同时是几个数的倍数，那么我们就称它是这几个数的公倍数。
几个数的公倍数中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。
2.求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法。
1．短除法：例 求8，12的最大公因数和最小公倍数。
求9，36，48的最大公因数和最小公倍数。
2．分解质因数法：分解质因数是求最大公因数的最直接的方法。
求最大公因数是求所有数公有质因数的积,而且取相同质因数的最低次方。
求最小公倍数是求所有数只要出现质因数的积,而且取相同质因数的最高次方。
例如：36=2232⨯240=324⨯×5【36，48】=72053224=⨯⨯（36，48）=12322=⨯3．辗转相除法：例 从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是______毫米。
第一、二次剪下847×847平方毫米的正方形。
第三、四次剪下边长308毫米的正方形。
第五次剪下边长231毫米的正方形。
第六、七，八次剪下边长77毫米的正方形。
以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法——辗转相除法。
以上过程可用算式表示如下：2002＝847×2＋308847＝308×2＋231308＝231×1＋77231＝77×3由以上算式可以看出；这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直至余数为零。
最后一个除数就是两数的最大公因数。
这是因为；两个数的最大公因数，同时是两个数的因数，也就是余数的因数。
拿这道题来说，2002和847的公因数，也就是847与308的公因数，也就是308与231的公因数，也就是231与77的公因数。
公因数及公倍数的应用
公因数及公倍数的应用一．考点、热点回顾：一、公因数和最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个因数叫做它们的最大公因数。
例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12。
30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公因数有：1，2，3，6，其中6是12和30的最大公因数。
2、求最大公因数的一般方法：（1）分解质因数：把各个数分别分解质因数，公有质因数的乘积，就是这几个数的最大公因数。
例如：求18和24的最大公因数。
18＝2×3×324＝2×2×2×318和24都含有质因数2和3，所以它们的最大公因数是2×3＝6。
（2）短除法：把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，然后把所有除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。
例如：求36，24，42的最大公因数。
2 36 24 423 18 12 216 4 7此时4与7互质，这三个数的公因数只有1，停止短除。
36，24，42的最大公因数是2×3＝6。
3、求两个数最大公因数的特殊情况：（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。
（2）互质的两个数最大公因数是1。
二、公倍数和最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
例如：8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72，…12的倍数有：12、24、36、48、60、72，…8和12的公倍数有：24，48，72，…其中24是8和12的最小公倍数。
2、求最小公倍数的一般方法：（1）分解质因数：先把每个数分解质因数，再把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，积就是它们的最小公倍数。
例如：求12和30的最小公倍数。
12＝2×2×330＝2×3×512和30公有的质因数有2和3，独有的质因数有2和`5。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。
）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。
(完整版)公倍数和公因数
第三单元：公倍数和公因数目标导航1、 认识公倍数和最小公倍数、公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们的公倍数、因数和它们的公因数。
2、 学会用列举的方法找到10以内两个数的最小公倍数和100以内两个数的最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，发现求两个数的最大公因数和最小公倍数的一些简捷的方法，并能根据两个数的关系选择用合理的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
3、 自主探索求三个数的最小公倍数的方法，在解决实际问题的过程中提高学习数学的能力. 基础巩固题1、2、6的倍数有：（ ）；8的倍数有：（ )；6和8的公倍数有：（ ）；6和8的最小公倍数是:（ ）.3、填空(1)48既能被8整除，又能被6整除,所以48是8和6的最小公倍数。
（ )（2）先将18和24分解质因数，再求出它们的最小公倍数. 18＝（ ） 24＝（ ) 18和24的最小公倍数（ ).（分解质因数只针对于合数，质数指除了1和它本身之外的数，如:2、3、5、7等）（3）4和5的最小公倍数是（ ），16和24的最小公倍数是（ ).（4)下面这些图形,如果这样排列下去，在第（ ）个时都是有颜色的图形呢。
4、求下列各组数的最小公倍数。
7和9 15和45 12和1824和16 11和6 4、5和65、1路和2路公共汽车早上6时同时从起始站发车，1路车每5分钟发一辆车,2路车第4分钟发一辆车。
完4的倍数 5的倍数4和5的公倍数（1)(2）解决这个问题就是求（）.6、一个汽车总站有甲、乙两路车。
甲路车每3分钟发一次车；乙路车每5分钟发一次车。
甲、乙两路车第二次同时发车的时间与第一次同时发车的时间至少间隔多少分钟？8、18的因数有：( ）;24的因数有:（ )；18和24的公因数有：（）；18和24的最大公因数有:（）。
9、填空（1）60的因数有( ），能整除45的数有（）,既是60的因数，又能整除45的数有（ )，60和45的最大公因数是( ）。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数：公因数只有1的两个自然数叫做互素数。
（2）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
（3）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
34、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：（1）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。
）（2）互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：（1）求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、271、3、9最后找出最大公因数： 9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 9③短除法：3 18 273 6 9 2 3除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。
18 ÷ 9就是18和27的最大公因数 27（2）求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
公倍数和公因数
一、两个数的公倍数、最小公倍数的意义，求最小公倍数的方法
1、顺次写出：5个2的倍数；和5个3的倍数。
2、观察2和3的倍数，你发现了什么？
例1：
（1）思考猜想：用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米、8厘米的正方形，能铺满哪个正方形？
（2）通过操作的活动，你们发现了什么？
3、引导：
三、写出下面每组数的最小公倍数。
31和6212和518和1218和2415和2521和28
14和21 16和24 15和60 18和90 7和9 6和21
四、写出下面每组数的最大公因数。
4和614和4917和1128和4215和545和60
6和8 15和20 14和21 34和51 13和26 20和24
5、揭示概念。
讲述：1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。
讨论：4为什么不是12和18的公因数。
点拨：因为一个数的因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数也是有限的。
（1）8和12的公因数有哪些？其中最大的公因数是几？你能试着找一找吗？
方法有：
①依次分别写出8和12所有的因数，再找出公有的因数，再从公有的因数中找出最大的因数。
四、用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数
例：12和18的最大公因数和最小公倍数可以这样求：
2 12 18 ………先同时除以公因数2
3 6 9……….再同时除以公因数3
2 3………除到两个商只有公因数1为止
把所有的除数连乘，得到：
12和18的最大公因数是2*3=6
把所有的除数和最后的两个商连乘。得到：
①用边长4厘米的正方形铺长18厘米、宽12厘米的长方形纸片，长、宽各铺了几次？怎样用算式表示？
因数、倍数、公因数和公倍数有何不同
◎相辉一、意义不同因数和倍数都表示两个数之间的关系，当整数a除以整数b（b不为0），除得的商是整数而没有余数时，我们就说整数a是整数b的倍数，整数b是整数a的因数。
例如12÷3=4，12就是3和4的倍数，3和4就是12的因数。
但不能单独说谁是倍数，谁是因数，一定要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
公因数和公倍数是指两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的因数或倍数，那么这些因数或倍数就叫作它们的公因数或公倍数。
其中最大一个公因数叫作它们的最大公因数，其中最小一个公倍数叫作它们的最小公倍数。
二、求法不同求一个数的因数可以一对一对地找，比如：求24的因数。
因为24÷1=24、24÷2=12、24÷3=8、24÷4=6，所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。
可见，一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
求一个数的倍数，只要用这个数依次去乘1、2、3、4、5……所以一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的一个是它本身，没有最大的倍数。
求两个数的公因数，可以分别列举出两个数的因数，再在其中找出它们的公因数。
也可以先找出较大数的因数，然后在里面挑出哪些又是较小数的因数，它们就是这两个数的公因数，其中最大一个叫作它们的最大公因数。
例如求12和18的公因数。
18的因数有1、2、3、6、9、18，里面1、2、3、6又是12的因数，所以12和18的公因数是1、2、3、6。
求两个数的公倍数，可以先分别列举出它们各自的倍数，再筛选出它们的公倍数。
也可以先求出较小数的倍数，然后在其中挑出哪些又是另一个数的倍数，也就是它们的公倍数。
列举时，要做到有顺序，有条理；不重复，不遗漏。
三、记住典型当大数是小数的倍数时，小数是这两个数的最大公因数，大数是这两个数的最小公倍数。
例如12是6的倍数，12是12和6的最小公倍数，6是12和6的最大公因数。
公因数和公倍数
公因数和公倍数公因数和公倍数是初中数学中常见的概念，它们在数学运算中有着重要的作用。
本文将详细介绍公因数和公倍数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、公因数的定义和性质公因数是指能够同时整除给定的一组数的因数。
具体来说，对于给定的几个数，如果某个数能够同时整除这几个数，那么它就是这几个数的公因数。
公因数有以下几个性质：1. 公因数永远不会超过被整除的最小数；2. 1是任何数的公因数，因为任何数都能被1整除；3. 如果两个数的最大公因数是d，那么它们的公因数就是d的所有因数。
二、最大公因数的求解方法当我们需要求解两个或多个数的最大公因数时，可以使用以下几种方法：1. 因数分解法：将每个数分解成质因数的乘积，然后找出它们的公因数，最后将这些公因数相乘得到最大公因数；2. 短除法：将较大的数除以较小的数，然后将除法得到的余数再除以前一个数，一直进行下去，直到余数为0，此时的除数即为最大公因数。
三、公倍数的定义和性质公倍数是指能够同时被给定的一组数整除的数。
具体来说，对于给定的几个数，如果某个数能够同时被这几个数整除，那么它就是这几个数的公倍数。
公倍数有以下几个性质：1. 公倍数永远不会小于被整除的最大数；2. 两个数的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公因数。
四、最小公倍数的求解方法当我们需要求解两个或多个数的最小公倍数时，可以使用以下几种方法：1. 因数分解法：将每个数分解成质因数的乘积，然后找出它们的公因数，并将不重复的质因数相乘得到最小公倍数；2. 求法则：将所有数按照一定的顺序进行连乘，其中每个数较前面的数都必须是它的一个因数，最后得到的结果就是最小公倍数。
五、公因数和公倍数的应用公因数和公倍数在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 分解质因数：求解一个数的质因数分解时，需要找出其所有的因数；2. 分数化简：当我们需要对一个分数进行化简时，可以使用公因数来进行约分；3. 最小公倍数的应用：例如车轮转动问题，当两个或多个车轮同时开始转动时，需要知道它们第一次再次同时转动的时间，这就是找到它们的最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数的算法
最大公因数和最小公倍数的算法是：最大公因乘左边，最小公倍乘半圈。
比如：100和350的最大公因数就是10×5=50，最小公倍数就是10×5×2×7=700。
锦囊妙计：如果两数成为倍数关系，那么最大公因数就是小的数，最小公倍数就是大的数。
公因数与公倍数口诀：
共有因数公因数，共有倍数公倍数。
公因数中最大数，数学符号小括号。
公倍数中最小数，数学符号中括号。
寻找最大公因数，分解小数找大公因。
寻找最小公倍数，扩大大数找小公倍。
求最大公因用短除，除到没有公因乘一边。
求最小公倍用短除，除到两两互质乘半圈。
找最大公因数和最小公倍数的几种方法
找最大公因数和最小公倍数的几种方法最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们分别用于求两个或多个数之间的共同约数和共同倍数。
下面我将为你介绍最大公因数和最小公倍数的几种计算方法。
一、最大公因数的计算方法：1.1质因数分解法：最大公因数可以通过将给定的两个或多个数分解质因数，找出它们的共同质因数，然后将这些质因数相乘得到最大公因数。
例如，求30和45的最大公因数：30=2×3×545=3×3×5它们的共同质因数是3和5，相乘得到最大公因数为151.2辗转相除法：辗转相除法又称为欧几里德算法，通过反复用两个数的较小数去除较大数，将余数作为新的两个数进行除法运算，直到余数为0，此时较小的那个数就是最大公因数。
例如，求56和72的最大公因数：72÷56=1余1656÷16=3余816÷8=2余0因此，最大公因数为81.3短除法：短除法是一种直观简便的方法，它通过反复用一个数去除另一个数，将余数作为新的两个数进行除法运算，直到余数为0，此时最后一次相除的除数就是最大公因数。
例如，求64和96的最大公因数：96÷64=1余3264÷32=2余0因此，最大公因数为32二、最小公倍数的计算方法：2.1质因数分解法：最小公倍数可以通过将给定的两个或多个数分解质因数，找出它们的所有质因数，并将每个质因数的最大次数相乘得到最小公倍数。
例如，求6和10的最小公倍数：6=2×310=2×5它们的所有质因数是2、3和5，它们的最大次数分别是1、1和1，因此最小公倍数为2×3×5=30。
2.2公式法：最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公因数来计算。
例如，求12和15的最小公倍数：最大公因数为3，乘积为12×15=180最小公倍数=乘积÷最大公因数=180÷3=602.3短除法：短除法也可以用于计算最小公倍数。
公倍数和公因数
公倍数和公因数1．一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。
2．一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数倍数的个数是无限的。
3．一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
4．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
几个数的公倍数也是无限的。
5．两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。
两个数的公因数也是有限的。
6．两个素数的积一定是合数。
7．两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
8．求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
9．一般关系的两个数，求最大公因数用小数列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
一、填空［6,10］= ，想：10的倍数：。
6和10的公倍数：。
［9,6］= ，想：（）的倍数：。
9和6的公倍数：。
［18,12］= ，想：（）的倍数：。
18和12的公倍数：。
［25,75］= ，想：（）的倍数：。
25和75的公倍数：。
［45,18］= ，想：（）的倍数：。
45和18的公倍数：。
［24,36］= ，想：（）的倍数：。
24和36的公倍数：。
［26,39］= ，想：（）的倍数：。
26和39的公倍数：。
［18,16］= ，想：（）的倍数：。
18和16的公倍数：。
［2,3，5］= ，想：（）的倍数：。
2、3和5的公倍数：。
［6,3，8］= ，想：（）的倍数：。
6、3和8的公倍数：。
［6,9，15］= ，想：（）的倍数：。
6、9和15的公倍数：。
（6,10）= ，想：6的因数：。
6和10的公因数：。
（9,6）= ，想：（）的因数：。
9和6的公因数：。
（18,12）= ，想：（）的因数：。
18和12的公因数：。
（25,75）= ，想：（）的因数：。
25和75的公因数：。
最大公因数和最小公倍数的概念
最大公因数和最小公倍数的概念最大公因数和最小公倍数是初中数学中非常重要的概念。
在数学中，我们经常需要求两个或多个数的最大公因数或最小公倍数，这两个概念在数学中的应用非常广泛。
本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的概念、性质和应用。
一、最大公因数的概念最大公因数，简称“最大公约数”，是指两个或多个数中能够同时整除它们的最大的正整数。
例如，12和18的最大公因数是6，因为6是12和18的公因数中最大的一个。
最大公因数有以下几种求法：1.因数分解法：将两个或多个数分别分解质因数，然后找出它们的公因数，最后将这些公因数相乘即可得到最大公因数。
2.辗转相除法：将两个数中较大的数除以较小的数，然后用余数代替较大的数，继续进行相除操作，直到余数为0，那么最后一次相除的除数就是这两个数的最大公因数。
最大公因数有以下几个性质：1.最大公因数是唯一的，也就是说，两个数的最大公因数只有一个。
2.如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数就是互质数。
3.如果两个数中有一个是质数，那么它们的最大公因数就是1或这个质数本身。
4.如果两个数的最大公因数是d，那么这两个数可以表示成d的倍数。
二、最小公倍数的概念最小公倍数，简称“最小公倍数”，是指两个或多个数中能够被它们同时整除的最小正整数。
例如，4和6的最小公倍数是12，因为12既能被4整除，也能被6整除。
最小公倍数有以下几种求法：1.因数分解法：将两个或多个数分别分解质因数，然后找出它们的公因数和非公因数，最后将这些因数相乘即可得到最小公倍数。
2.公式法：最小公倍数等于这两个数的积除以它们的最大公因数。
最小公倍数有以下几个性质：1.最小公倍数是唯一的，也就是说，两个数的最小公倍数只有一个。
2.如果两个数中有一个是1，那么它们的最小公倍数就是另一个数。
3.如果两个数的最大公因数是d，那么它们的最小公倍数就是d的倍数。
三、最大公因数和最小公倍数的应用最大公因数和最小公倍数在数学中的应用非常广泛，下面列举一些常见的应用：1.分数的通分和约分：分数的通分和约分都需要用到最小公倍数和最大公因数。
五年级上册第14讲 公因数与公倍数
（377，221）= 13
（511，1314）= 1
互质
6
【典型例题】
例3：老师在阿呆班发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生， 最后还剩5个苹果，7个梨。请问班里（最多）一共有多少名学生。
苹果： 梨：
59－5=54 (个） 97－7=90 (个）
人数是54和90的公因数。
（54，90）= 18
2
互质
三个数最 大公因数 是1
两两互质
（120，264）= 2×2×2×3=24 [ 120，264] = 2×2×2×3×5×11=1320
（240，80，96）= 2×2×2×2=16 240，80, 96] = 2×2×2×2×5×3×2=480
5
【典型例题】
例2：求下列各组数的最大公因数。
13
【课堂精练】
5．用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且 最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
边长是1072和469的最大公因数。
2 1072 938 2 134 134 0 （1072，469）= 67
469 3 402 67
答：这些正方形的边长最长是67毫米。
（54，90）= 18 [ 54，90] = 18×3×5=270
4
【典型例题】
（3）120和264 2 120 2 60 2 30 3 15 5 264 132 66 33 11 （4）240、80和96 240 2 120 2 60 2 30 5 15 33 1 80 40 20 10 5 1 1 96 48 24 12 6 6 2
互质
互质
（54，90）= 2×3×3=18 [ 54，90] = 2×3×3×3×5=270
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公倍数和最小公倍数(第一课时)
公倍数和最小公倍数(第二课时)
【检测反馈】
1. 写出每组数的最小公倍数。
2和10 3和6 10和4 7和3 5和8 8和9
2.
3．考考你：
暑假期间，小华、小明和小芳都去参加游泳训练。
小华每隔3天去一次，小明每隔4天去一次，小芳每隔6天去一次8月1日三人都参加了游泳训练后，几月几日他们又再次一起参加训练？
五、完成检测反馈
生独立完成，组内交流并批阅。
【板书设计】
公倍数和最小公倍数
1路车 7︰00 7︰07 2路车 7︰00 7︰08
公因数和最大公因数(第一课时)
【教学目标】
1．认识公因数和最大公因数，会用集合图表示两个数的因数和它们的公因数。
2．学会用列举的方法找到100以内两个数的公因数和最大公因数，能进行有条理的思考。
教学内容：课本第26-27页的例3、例4，练一练，练习五的第1-5题。
教学具准备：每人准备边长6厘米8个和4厘米的正方形12个，长18厘米宽12厘米的长方形一个。
重点：认识公因数和最大公因数。
难点：正确掌握求公因数的方法。
活动单教案
活动一：经历操作活动，认识公因数。
1．摆一摆或用笔画一画后思考：哪种纸片能将长方形正好铺满？
2．想一想：为什么边长6厘米的正方形纸片能正好铺满？还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正
好铺满这个长方形？
3．自学课本第26页下面一行有关公因数的概念。
活动二：自主探索，用列举的方法求公因数和最大公因数。
1．自主探索，独立完成。
8的因数有：
12的因数有：
8和12的公因数有：
最大公因数是：
2．小组交流并讨论：怎样找出两个数的公因数和最大公
一、复习
师：同学们，我们前两堂课复习了一个数的倍数，今天一起来先复习一下因数，谁来说说8的因数有哪些？12的因数有哪些？18的因数呢？求因数方法是什么？
生独立思考并回答。
二、经历操作活动，认识公因数。
师：今天这一课我们继续研究与因数有关的内容，请进入活动一。
生独立操作，可以画一画也可以用准备的正方形摆一摆。
生讨论并交流结果。
三、自主探索，用列举的方法求公因数和最大公因数。
师：刚才通过自学课本知道了什么是公因数和最小公因数，那公因数和最小公因数怎样求呢？请走进活动二。
公因数与最大公因数(第二课时)
【教学目标】
1．通过练习与对比，发现与掌握求两个数最大公因数的一些简捷方法，进行有条理的思考。
2.．通过练习，建立合理的认知结构，形成解决问题的多样策略。
教学内容：练习五的第6-11题
重点、难点：用不同的方法求最大公因数
活动单教案
活动一：基本练习
找出每组数的最大公因数。
6和9 10和6
20和30 13和5
1．独立完成。
2．在小组内说说你是用什么方法找出每组数的最大公因数的。
3．还可以用什么方法？
活动二：感悟特点
1，找出每组数的最大公因数。
独立完成。
你发现了什么？
组内交流你的发现。
活动三：探索规律
1.
2.像上面那样，找出2、4、5分别和1、2、3、4、5……20等各
数的最大公因数，看看你能发现什么规律。
一、导入
师：昨天我们学习了公因数和最小公因数，谁来说一说？
二、基本练习
师：今天我们对昨天所学的知识进行练习，希望通过的练习同学们能更正确的掌握求公因数和最小公因数的方法。
请完成活动一。
生独立完成。
小组交流。
说说还可以用什么方法？三、感悟特点
师：刚才以进行一次练习，接下来请看活动二的每组数字，你有什么发现？那这些数的公因数和最小公因数又有什么特点呢？请完成活动二。
四、探索规律
师：在数学王国里除了这些还有其他有趣的规律，请走进活动三。
生独立完成，
小组交流发现。
5和15 21和7 11和33 60和12 3和5 8和9 12和1 4和15
组内交流。
全班交流。
【检测反馈】
1．写出每组数的最大公因数。
7和10 12和24 14和21
4和9 27和3 9和12
2．写出下面每个分数中分子和分母的最大公因数。
（）（）（）（）（）
3．
4．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
1
1
1
2
1
3
…
…
与2的最大公
因数
与4的最大公
因数
与5的最大公
因数
五、小结
师：今天的练习课，你有什
么发现？
六、完成检测反馈
生独立完成，小组交流方法。
【板书设计】
公因数与最大公因数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ……
与2的最大公因数
与4的最大公因数
与5的最大公因数
数字与信息。