第三讲__拉姆齐模型
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当前少消费,多储蓄(投资).说明替代效应强.
2如果 1, 越大,随r t 的上升, 0也会上升, c 0上升,说明替代效应强逐渐
现在, 家庭的最优消费问题变为,在预算约束:
lim
t
a t gexp
t 0
r
v
n
dv
0和
•
a wt r t a t c t na t 下
e 求解 :U (n)tu[c(t)]dt的最大值. t o
利用Hamilton系统来求解上述优化问题.对于上面的优化问题
定义Hamilton方程 : H u c ent w r n a c
第三讲 无限期界模型（拉姆齐模型）
Frank Ramsey
Frank Ramsey (1903-1930), Britishmathe matician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics.
首先建立这种家庭最优消费选择模型的是拉 姆赛(Rmsey,1928) ，凯斯(Cass)和科普曼斯 (Koopmans)在1965年又分别对它作了改进，我 们把这种类型的增长模型称为"拉姆赛模型"。
回顾：黄金分割律、最优消费和黄金率 资本存量水平
在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数， 储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人 均消费水平。当 s sgold 时，与最优储蓄（相对应 于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度 储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于 黄金率的储蓄率被证明是动态无效的s 。s当gold 时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权 衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
将
•
c/
c
1
/
r
对时间0
t积分,并利用r
t
1
/
t
t
0
r
v
dv,
求得消费函数为: c t
c
0
e1/ rt •t , 将该式代入
c
t ertngt dt a(0) w(0)
0
可导出0时刻的消费为:c0 0 a(0) w(0)
其中 0 称为"财富的消费倾向",由下式决定: 1 e dt rt1 / / ngt
A Contribution to百度文库the Theory of Taxation,1927
A Mathematical Theory of Saving,1928
一、问题的提出
前面各种增长模型之所以都将储蓄率看作外 生常数，主要是为了简化模型的分析，另一方面 是因为在许多经济中其相对比较稳定，在一定时 期内变化不大。但是，增长理论研究的是长期的 动态经济增长，长期间储蓄率是变化的，将其作 为外生常数排除了经济增长与其的相互作用。从 前面的讨论可知，一个经济是否有稳定状态，是 否收敛，收敛速度多快以及是否存在内生经济增 长等都与储蓄率的变化有关，因此排除经济增长 对储蓄率的反作用必然使经济增长的关键特征都 由模型的外生参数决定，使模型无法解释经济增 长真正的内在规律和机制，这是造成哈罗德一多 马模型、索洛（及其基础之上的衍生）模型解释 经济增长能力局限性的根本原因。
ln C1/ ln P1/
C2 P2
得 u '(C) .同理我们可证明一个两期效用函数 :
u ''(C)C
U C11 1 C21 的 u '(C) .
1 1 1
u ''(C)C
•
将u
'(C)
C
,
u
''(C
)
C
1代入r
u c gc uc
gcc
•
得 : c 1/ r ,该式表明,r大于,等于,还是小于
当前人均消费c的变化而引起效用的变化率之和,这个和表明了
当前消费的回报率,它应等于当前投资的回报率r.这就是通常所讲
的市场无套利原则在宏观经济学中的体现.
效用函数的形式为：u[C(t)] C(t)1 , 0, n (1 )g 0 保证效用u不发散
1
该函数具有以下三个特点：
1边际效用弹性不变: du ' C u ''C ; u '(C) C ,u ''(C) C 1 dC u ' u '
T
c
t ertngt dt a
0
T
w
t
ert ngt dt
0
0
如果令T , 根据TVC条件有 :
c
t ertngt dt a
0
w
t
ertngt dt a(0) w(0)
0
0
其中: w(0)
w
t
ertngt dt为未来全部工资收入的现值之和.
0
上式表明:消费的现值等于初始资产a(0)和未来收入的现值w(0)之和.
•
At wt Lt r t At C t代入得 :
•
a wt r tat ct nat na t 表示人口按n速率增长时使家庭人均资产保持原有水平必须追加的投资或储蓄.
•
方程a wt r tat ct nat表明:人均资产随着人均收入wt r ta t的增长而增长,
随着人均消费ct和人口扩张率n 的上升而下降.这是家庭消费最大化的第一个限制条件.
c
决定了家庭的最佳消费模式是人均消费不断上升, 保持
不变,还是逐步下降.
我们讨论一下横截性条件
TVC
:
lim
t
t
ga
t
0,
该横截性条件表明,当时间趋向于无穷远时,家庭人均
资产的效用 t ga t 必须趋向于0,即无穷远时间的资产
在现在看来毫无价值.
•
H
r n
•
/
r
n,方程两边对时间: 0 t积分,
式中第一项是时刻t消费c的效用的贴现值.为Hamilton乘子,
表示在t时刻一个单位的资本存量的增加所带来效用增加量
的现值,也有将其称为效用的影子价格.这样,第二项表示:
t时收益的效用以0时刻的收益效用来表示.
一阶最优条件为:
H u c ent 0
1
c
•
H
r n
2
a
横截性条件(Transversality condition-TVC,
本讲的主要工作是将储蓄率作为内生变量引
入模型，做到这一点的办法是考察家庭的消费行 为，因为储蓄率是由家庭的消费行为决定的。
考察家庭费行为的办 法是利用消费的效用函
数，家庭消费决策的原则是使长期内家庭整体消 费效用最大化。 有了家庭的消费效用函数，我门 可以分析家庭在各种资本和产出水平(相当于当前 和长期的消费约束)，如何选择消费量(或储蓄率) 的规律，从而使储蓄率成为模型的内生变量。
0 0
对给定的财富量, 平均利率r t 的提高对方程 1 e dt rt1 / / ngt
0 0
中的边际财富消费倾向有两方面的影响:
1较高的利率提高当前消费相对于将来消费的机会成本, 跨时期消费的
替代效应会刺激人们把当前消费改为将来消费,即当前少消费,多储蓄(投资).
2较高的利率又有收入效应, 会提高所有时间的消费水平,包括当前的消费 水平.因此平均利率r t 的提高对 0的净影响取决于上述哪种效应更强. 分析 : 1如果 1( 0), 越小,随r t 的上升, 0 将下降, c 0也将下降,意味着
2 跨期替代弹性不变，为1/，表示相对风险回避系数不变。
1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：
(C1/ C2) (C1/ C2)
/ /
(P1/ P2) (P1/ P2)
ln C1/ C2 ln P1/ P2
针对:
Max u[C(t)] C(t)1
1
s.t. P1C1 P2C2 W
应用L求极值法,求出C1和C2,代入
速度超过r-n,那么多出来的那一部分用于消费,家庭人均福利能够提高.
消费函数 :
上述方程中的: exp
t
0
r
v
dv
项是将时刻t的一单位收入转化为0时刻的
等价单位的贴现因子.如果r v等于常数r,则贴现因子简化为ert .
如果定义:r
t
1
/
t
t
0
r
v
dv为时间0至t之间的平均利息率,
则贴现因子为ertgt .
这里应用了K-T定理的"互补松弛"条件.)
lim t a(t) 0
3
t
方程(1)表明在最优时，消费的边际效用（贴 现）等于财富的边际值（贴现）。方程(2)为
Euler Equation，我们将在后面进行讨论。横截性 条件(3)排除了发散的均衡点的情形。它表明在时 间充分长时，财富的价值充分小。这是因为如果 在充分长的时间后财富的边际值为正，则消费者 的财富一定为零;否则，如果存在正的财富，消费 者可以降低财富水平用来增加消费，从而提高总 的效用。另一方面，如果在充分长的时间消费者 还存在正的财富，那么消费者消费的边际效用一 定等于零;否则，同样的道理消费者可以降低财富 水平用来增加消费，从而提高总的效用。
f(k)
E
二、模型假定
• 1．完全竞争市场结构 • 2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命
的个人和基于利他主义的代际转让） • 3．家庭和个人完全同质 • 4．忽略资本的折旧 • 5．暂不考虑政府行为
在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：
三、厂商行为
四、家庭行为
1. 家庭效用函数
定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：
e e e
U
tu[c(t)] ntdt
( n)tu[c(t)]dt
t o
t o
n说明子女越多，父母对每个子女福利的重视程度就会越小，
即父母会加速对不断增多子女的"轻视"程度.
2.家庭的资产和债务
记t时刻家庭拥有的总资产为A(t)。这里A(t) 可以为正的，也可以为负的。当A(t)为正时表明 此时家庭拥有正的资产;反之，A(t)表示家庭的负 债。假设在完全竞争条件下，市场上的资本回报 率(即利率)为r(t)。这样家庭所拥有的资产在t时 刻可以带来的收益为A(t)r(t) 。如果A(t)为负， A(t)r(t) 表示此时家庭必须付的债务利息。同时， 假设家庭可以为社会提供劳动力，得到工资回报。 假设在t时刻的工资率（人均工资）为w(t)，家庭 提供的劳动力为L(t)。这样，家庭通过劳动得到 的收益为w(t)L(t)。因此，在t时刻家庭的总收入 为r(t)A(t)+w(t)L(t)。
a
得:(t)= 0exp
t
0
r
v
n
dv
,v 0是一常数,v 0 uc(0).
将上式代入 lim t a(t) 0,则横截性条件变为: t
lim
t
a t exp
t 0
r v n dv
0该式意味着:长期人均资产a不能
以r-n那么快的速度增长,否则家庭不能实现效用最大化.如a的增长
现在来解释Euler方程。考虑到方程 1，通过计算可以把
Euler方程 2 变为：r
u c gc uc
•
gcc
=+
uc gc uc
u
c
0
u c gc uc
是边际效用弹性.
定义:边际效用弹性
=-
du dc
c u
ugc u
该式说明家庭消费选择的准则是,使得投资报酬率r正好等于时间
偏好率 当前消费可以避免将来消费效用贬值损失的比率与由于
家庭收入除用来消费外，其余的用来储蓄以增加资产。记t时刻家庭的总的消费水平为C t ，
这样家庭的预算约束可以表示为:
•
At wtLtrt AtCt 定义at At / Lt为t时刻家庭拥有的人均资产,ct C t / Lt为和t时刻家庭的人均消费, 并且L的增长率为n,这样方程:at At / Lt两边对t求导,并将
u c c1 决定了人均消费c的增长率.为了确定家庭的消费函数,
1
即各个时刻家庭人均消费的水平, 必须用收入流量预算约束:
•
a w ra c na导出家庭的跨时期预算约束. 将上式作为一价线性微分方程求解,得到对任何时刻T 0都成立
的跨时期预算约束:
a T
e rT ngT
第二个限制条件是 :
lim
t
a t gexp
t 0
r
v
n
dv
0
即时间的无限推移,人均净资产的"贴现值"渐进非负,
这说明人均净资产的净贴现值 由r t n决定不能为负,
否则,在未来远期的某一时刻,家庭将会停止投资.
也可反过来说,一个家庭的长期人均债务的增长速度不能
超过r t n,否则收益将为负.
2如果 1, 越大,随r t 的上升, 0也会上升, c 0上升,说明替代效应强逐渐
现在, 家庭的最优消费问题变为,在预算约束:
lim
t
a t gexp
t 0
r
v
n
dv
0和
•
a wt r t a t c t na t 下
e 求解 :U (n)tu[c(t)]dt的最大值. t o
利用Hamilton系统来求解上述优化问题.对于上面的优化问题
定义Hamilton方程 : H u c ent w r n a c
第三讲 无限期界模型（拉姆齐模型）
Frank Ramsey
Frank Ramsey (1903-1930), Britishmathe matician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics.
首先建立这种家庭最优消费选择模型的是拉 姆赛(Rmsey,1928) ，凯斯(Cass)和科普曼斯 (Koopmans)在1965年又分别对它作了改进，我 们把这种类型的增长模型称为"拉姆赛模型"。
回顾：黄金分割律、最优消费和黄金率 资本存量水平
在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数， 储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人 均消费水平。当 s sgold 时，与最优储蓄（相对应 于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度 储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于 黄金率的储蓄率被证明是动态无效的s 。s当gold 时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权 衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
将
•
c/
c
1
/
r
对时间0
t积分,并利用r
t
1
/
t
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0
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v
dv,
求得消费函数为: c t
c
0
e1/ rt •t , 将该式代入
c
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0
可导出0时刻的消费为:c0 0 a(0) w(0)
其中 0 称为"财富的消费倾向",由下式决定: 1 e dt rt1 / / ngt
A Contribution to百度文库the Theory of Taxation,1927
A Mathematical Theory of Saving,1928
一、问题的提出
前面各种增长模型之所以都将储蓄率看作外 生常数，主要是为了简化模型的分析，另一方面 是因为在许多经济中其相对比较稳定，在一定时 期内变化不大。但是，增长理论研究的是长期的 动态经济增长，长期间储蓄率是变化的，将其作 为外生常数排除了经济增长与其的相互作用。从 前面的讨论可知，一个经济是否有稳定状态，是 否收敛，收敛速度多快以及是否存在内生经济增 长等都与储蓄率的变化有关，因此排除经济增长 对储蓄率的反作用必然使经济增长的关键特征都 由模型的外生参数决定，使模型无法解释经济增 长真正的内在规律和机制，这是造成哈罗德一多 马模型、索洛（及其基础之上的衍生）模型解释 经济增长能力局限性的根本原因。
ln C1/ ln P1/
C2 P2
得 u '(C) .同理我们可证明一个两期效用函数 :
u ''(C)C
U C11 1 C21 的 u '(C) .
1 1 1
u ''(C)C
•
将u
'(C)
C
,
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C
1代入r
u c gc uc
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•
得 : c 1/ r ,该式表明,r大于,等于,还是小于
当前人均消费c的变化而引起效用的变化率之和,这个和表明了
当前消费的回报率,它应等于当前投资的回报率r.这就是通常所讲
的市场无套利原则在宏观经济学中的体现.
效用函数的形式为：u[C(t)] C(t)1 , 0, n (1 )g 0 保证效用u不发散
1
该函数具有以下三个特点：
1边际效用弹性不变: du ' C u ''C ; u '(C) C ,u ''(C) C 1 dC u ' u '
T
c
t ertngt dt a
0
T
w
t
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0
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如果令T , 根据TVC条件有 :
c
t ertngt dt a
0
w
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0
0
其中: w(0)
w
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ertngt dt为未来全部工资收入的现值之和.
0
上式表明:消费的现值等于初始资产a(0)和未来收入的现值w(0)之和.
•
At wt Lt r t At C t代入得 :
•
a wt r tat ct nat na t 表示人口按n速率增长时使家庭人均资产保持原有水平必须追加的投资或储蓄.
•
方程a wt r tat ct nat表明:人均资产随着人均收入wt r ta t的增长而增长,
随着人均消费ct和人口扩张率n 的上升而下降.这是家庭消费最大化的第一个限制条件.
c
决定了家庭的最佳消费模式是人均消费不断上升, 保持
不变,还是逐步下降.
我们讨论一下横截性条件
TVC
:
lim
t
t
ga
t
0,
该横截性条件表明,当时间趋向于无穷远时,家庭人均
资产的效用 t ga t 必须趋向于0,即无穷远时间的资产
在现在看来毫无价值.
•
H
r n
•
/
r
n,方程两边对时间: 0 t积分,
式中第一项是时刻t消费c的效用的贴现值.为Hamilton乘子,
表示在t时刻一个单位的资本存量的增加所带来效用增加量
的现值,也有将其称为效用的影子价格.这样,第二项表示:
t时收益的效用以0时刻的收益效用来表示.
一阶最优条件为:
H u c ent 0
1
c
•
H
r n
2
a
横截性条件(Transversality condition-TVC,
本讲的主要工作是将储蓄率作为内生变量引
入模型，做到这一点的办法是考察家庭的消费行 为，因为储蓄率是由家庭的消费行为决定的。
考察家庭费行为的办 法是利用消费的效用函
数，家庭消费决策的原则是使长期内家庭整体消 费效用最大化。 有了家庭的消费效用函数，我门 可以分析家庭在各种资本和产出水平(相当于当前 和长期的消费约束)，如何选择消费量(或储蓄率) 的规律，从而使储蓄率成为模型的内生变量。
0 0
对给定的财富量, 平均利率r t 的提高对方程 1 e dt rt1 / / ngt
0 0
中的边际财富消费倾向有两方面的影响:
1较高的利率提高当前消费相对于将来消费的机会成本, 跨时期消费的
替代效应会刺激人们把当前消费改为将来消费,即当前少消费,多储蓄(投资).
2较高的利率又有收入效应, 会提高所有时间的消费水平,包括当前的消费 水平.因此平均利率r t 的提高对 0的净影响取决于上述哪种效应更强. 分析 : 1如果 1( 0), 越小,随r t 的上升, 0 将下降, c 0也将下降,意味着
2 跨期替代弹性不变，为1/，表示相对风险回避系数不变。
1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：
(C1/ C2) (C1/ C2)
/ /
(P1/ P2) (P1/ P2)
ln C1/ C2 ln P1/ P2
针对:
Max u[C(t)] C(t)1
1
s.t. P1C1 P2C2 W
应用L求极值法,求出C1和C2,代入
速度超过r-n,那么多出来的那一部分用于消费,家庭人均福利能够提高.
消费函数 :
上述方程中的: exp
t
0
r
v
dv
项是将时刻t的一单位收入转化为0时刻的
等价单位的贴现因子.如果r v等于常数r,则贴现因子简化为ert .
如果定义:r
t
1
/
t
t
0
r
v
dv为时间0至t之间的平均利息率,
则贴现因子为ertgt .
这里应用了K-T定理的"互补松弛"条件.)
lim t a(t) 0
3
t
方程(1)表明在最优时，消费的边际效用（贴 现）等于财富的边际值（贴现）。方程(2)为
Euler Equation，我们将在后面进行讨论。横截性 条件(3)排除了发散的均衡点的情形。它表明在时 间充分长时，财富的价值充分小。这是因为如果 在充分长的时间后财富的边际值为正，则消费者 的财富一定为零;否则，如果存在正的财富，消费 者可以降低财富水平用来增加消费，从而提高总 的效用。另一方面，如果在充分长的时间消费者 还存在正的财富，那么消费者消费的边际效用一 定等于零;否则，同样的道理消费者可以降低财富 水平用来增加消费，从而提高总的效用。
f(k)
E
二、模型假定
• 1．完全竞争市场结构 • 2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命
的个人和基于利他主义的代际转让） • 3．家庭和个人完全同质 • 4．忽略资本的折旧 • 5．暂不考虑政府行为
在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：
三、厂商行为
四、家庭行为
1. 家庭效用函数
定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：
e e e
U
tu[c(t)] ntdt
( n)tu[c(t)]dt
t o
t o
n说明子女越多，父母对每个子女福利的重视程度就会越小，
即父母会加速对不断增多子女的"轻视"程度.
2.家庭的资产和债务
记t时刻家庭拥有的总资产为A(t)。这里A(t) 可以为正的，也可以为负的。当A(t)为正时表明 此时家庭拥有正的资产;反之，A(t)表示家庭的负 债。假设在完全竞争条件下，市场上的资本回报 率(即利率)为r(t)。这样家庭所拥有的资产在t时 刻可以带来的收益为A(t)r(t) 。如果A(t)为负， A(t)r(t) 表示此时家庭必须付的债务利息。同时， 假设家庭可以为社会提供劳动力，得到工资回报。 假设在t时刻的工资率（人均工资）为w(t)，家庭 提供的劳动力为L(t)。这样，家庭通过劳动得到 的收益为w(t)L(t)。因此，在t时刻家庭的总收入 为r(t)A(t)+w(t)L(t)。
a
得:(t)= 0exp
t
0
r
v
n
dv
,v 0是一常数,v 0 uc(0).
将上式代入 lim t a(t) 0,则横截性条件变为: t
lim
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a t exp
t 0
r v n dv
0该式意味着:长期人均资产a不能
以r-n那么快的速度增长,否则家庭不能实现效用最大化.如a的增长
现在来解释Euler方程。考虑到方程 1，通过计算可以把
Euler方程 2 变为：r
u c gc uc
•
gcc
=+
uc gc uc
u
c
0
u c gc uc
是边际效用弹性.
定义:边际效用弹性
=-
du dc
c u
ugc u
该式说明家庭消费选择的准则是,使得投资报酬率r正好等于时间
偏好率 当前消费可以避免将来消费效用贬值损失的比率与由于
家庭收入除用来消费外，其余的用来储蓄以增加资产。记t时刻家庭的总的消费水平为C t ，
这样家庭的预算约束可以表示为:
•
At wtLtrt AtCt 定义at At / Lt为t时刻家庭拥有的人均资产,ct C t / Lt为和t时刻家庭的人均消费, 并且L的增长率为n,这样方程:at At / Lt两边对t求导,并将
u c c1 决定了人均消费c的增长率.为了确定家庭的消费函数,
1
即各个时刻家庭人均消费的水平, 必须用收入流量预算约束:
•
a w ra c na导出家庭的跨时期预算约束. 将上式作为一价线性微分方程求解,得到对任何时刻T 0都成立
的跨时期预算约束:
a T
e rT ngT
第二个限制条件是 :
lim
t
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t 0
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n
dv
0
即时间的无限推移,人均净资产的"贴现值"渐进非负,
这说明人均净资产的净贴现值 由r t n决定不能为负,
否则,在未来远期的某一时刻,家庭将会停止投资.
也可反过来说,一个家庭的长期人均债务的增长速度不能
超过r t n,否则收益将为负.