6.8可降阶的高阶微分方程

2
例1.
解:
1 2x e sin x 2C1 2 1 2x y ( e sin x 2C1 )d x C 2 2 1 2x e cos x 2C1 x C 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C 2 x C 3 8
3
y (
l d t 2k M
y d y (0 y l ) 两端积分 l y
由y
t 0
l , 得 C 2 0,
令
由原方程可得
由于 y = R 时
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
y R
y ( 1l y l y l arccos ) 2 ( lR R ll arccos
两端积分得 ln p ln y ln C1 ,
dp dy
即 p C1 y ,
分离变量得
C1 y ,
两端积分 ln y C1 x ln C 2
故所求通解为 y
10
d ( x, y , y) F ( x , y, y, y) 四、恰当导数方程 若 dx 则称 F ( x , y , y, y ) 0 为 恰当导数方程 d ( x, y , y) 0 可以化为 一阶微分方程 dx ( x, y , y) C
v 2 C1 k 2 x 2 , 由 x(0) x0 , v(0) x(0) 0 , 2 2 2 2 2 2 得 C1 k x0 ∴ v 2 k 2 ( x0 x ) , 即 x k x0 x dx (注意”-”) 分离变量 k d t , 两端积分 2 x0 x2 x arcsin C2 k t , 由 x(0) x0 , 得 C 2 , x0 2 特解为 x x0 sin( k t ) x0 cos k t . 2 2 周期 T , 已知周期 T=2 , k 代入 k 1 1 2 1 2 2 2 d g k d g 得到 m 2 d g 4 4 4m 9.8 0.195 (T) 17 16 3.14
2
R 2g
R ) l
15
例8. 设圆柱形浮筒直径 d = 0.5 米，垂直放在水中。 浮筒在水中上下振动的 周期为2秒。 求浮筒的质量m 。 （水的比重=1） 解: 设浮筒平衡位置为坐标原点， x 轴铅直向下。 当浮筒运动到任意的x 处时， 2 d x 2 1 (不显含t) 2 2 k x 0 2 d g 则 dt 令 k 4m o x(0) x , x(0) 0 0 d dv dv dv d x v x 令 x v , 则 x
y S1 2tan
2
2
S2 0 y( t )d t
x
利用
S2 y P S1 1 y o x x
x y 得 y( t )d t 1两边对 x 求导 0 y 2 y ( y )2 y 2 y 2 2 y y ( y ) 2( y ) y 0 , ( y ) 2 2 y y ( y ) ,定解条件为 y(0) 1, y(0) ? 1 12
2 yy ( y ) ,
定解条件为 y(0) 1, y(0) 1 不显含 x， 令 y p ( y ), 方程化为
dp yp p2 dy
则
dp dy p y
S2 y P S1 1 y o x x
解得 p C1 y , 利用定解条件得 C1 1 , x 再解 y y , 得 y C 2 e ,
例6.49 求解
1 解 两边乘以 2 得 y y C1 y 即 (ln y)
故所求通解为 y
y
2
d y 即 ( ) dx y
ln y
ln C2
11
二阶可导,且 例6. 设函数 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 过曲线 切线 及 x 轴的垂线,上述两直线 与 x 轴围成 的三角形面积 区间[ 0, x ] 上以 记为 为曲边的曲边梯形面积 且 求函数 记为 在点 P(x, y) 处 的切线倾角为 , 解: 于是
x
dx dt d x dt 1 2 2 d v 2 由 得 F m a , 浮力 F d x g , k x , 分离变量 v d v k x d x , 代入① v dx 4 2 1 d x 2 2 1 2 x 2 C 2g m 2 , 2 1 d x 2 v C k x , 两端积分 v , k 4 1 dt 16 2 2 2
解: 设 y p ( x ) , 则
dp dx
代入方程得
dp (1 x ) 2x p dx
2
分离变量
1 x2
2 ln p 积分得 ln(1 x ) ln C1 ,
3
0
利用 y
3, 得 C1 3, x0
3
2 y 3 x 3 于是有
两端再积分得 1 y0 x 3x 0 C2 利用 y
得原方程的通解
8
y 1 0 , x 0 x 0 dp 解: 令 y p ( y ), 则 y 代入方程得 dy dp 2y p e 0, dy 1 2 1 2y
y
积分得
x0
例4. 解初值问题
C1 p e 0 1 2 2
x0
由 y
0 , y
3 y x 3x 1 因此所求特解为
x0
1 , 得 C2 1
7
6.8.3
(缺 x)型的微分方程
dp dy
解法如下：令 y p ( y ),
dp dp dy 则 y dx d y dx dp 故方程化为 dy 设其通解为 p ( y , C1 ), dy 即得 ( y, C1 ), dx d y 分离变量 dx 积分 ( y, C1 )
)d x 2C1
41页5.质量为 m 的质点 受力F 的作用 沿 ox 轴作直线 运动, 设力 F 是时间 t 的函数: F = F (t) . 在 t = 0 时 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地 减小, 直到 t = T 时 F = 0 .如果开始时 质点在原点, 且 初速度为0, 求质点的运动规律.
B( x , y )
( 1,0)
v t (0,1)
o x
A
y
d2 y 1 x 2 1 y 2 0 dx 2
不显含 y 的二阶微分方程
其初始条件为 y
x 1
0,
y
x 1
1
19
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p( x ) , 原方程变为 则
再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
13
例7. 一个离地面很高的物体,受地球引力 的作用由 静止开始落向地面,求它落到地面时 的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
d2 y kmM M : 地球质量 m 2 2 y dt m : 物体质量 y t 0 l , y t 0 0 注意“－”号 dy 设v , 则 积分得 dt 2 y 根据初始条件 得到 v d y d 1 1 l 2 2 t ), y v 2 kM d t ( d y l R kmM 代入方程得 dy l y 2 14 v , d t y dy 2k M l y o dt
第七节 可降阶高阶微分方程
一、
型的微分方程
型的微分方程 (缺 y) (缺 x)型的微分方程
二、 三、
四、 恰当导数方程
1
6.8.1 y f ( x ) 型的微分方程
(n)
f ( x )d x
( n 2) y [ 同样
]d x C 2 ]d x C1 x C 2
[
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个 任意常数的通解 .
例10 . 设物体 A 从点 ( 0, 1 ) 出发,以大小为常数 v 的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 速度 大小为 2v, 方向始终指向A, 试建立物体 B 的运动轨迹 应满足的微分方程及初始条件. 解: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示,则有 两边对 x 求导, 得
1 v t y y x , xy y 1 vt y
x 1
y
①
s
1 y 2 d x , y A
d dt

x 1
1 y 2 d x
代入 ① 式得
18
B( x , y )
( 1,0)
v t (0,1)
o x
d2 y 1 x 2 1 y 2 0 dx 2
1 , 得 C1 0,
积分得
p e ,
y
0 C2 , x 再由 y x 0 0, 得 C 2 1 故所求特解为 e y 1 x
பைடு நூலகம்
dy y e , dx
e d y dx
y
e
0 y
9
例6.49 求解
此方程不显含 x ，
dp dp dy 解: 令 y p ( y ), 则 y dx d y dx dp 代入方程得 分离变量得 dy
F t 1 F0 T
F
F0
解: 据题意有
t F F0 (1 ) T
T t
t F0 (1 ) T
t 0
x
0, t 0
0,
F
对方程两边积分, 得
o t
2 t d x F0 ) C1 (t 2T 4 dt m
2 d x F0 t (t ) C1 dt m 2T