函数的表示方法及分段函数

5 25
小明带了25元钱，去买某种笔记本的单价是 5元，买x个笔记本需要y元.试用解析法和列 表法表示y与x的函数关系.
图像法欣赏
y（元）
25
20 15 10 5 0 1
2
3
4
5 x（本）
分段函数
国内跨省市之间邮寄平信,每封信的重量 x 和对应的邮资 y 如下表:
信函质量(x)/g 邮资(y)/元
优点：能形象直观显示 数据的变化规律
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 函数可以用图像法来表 -3 -4 示，但并不是形如图像 -5 的变量关系，都是函数 -6
关系。
注意
函数的三种表示方法
解析法 列表法 图象法
函数的三种表示方法，各有优缺点。 解析法表示简洁，列表法数值清晰，图像法变化 直观。但是，解析法不能表示所有的函数，列表 法只能反映局部的函数关系，图像法又不够精确。 现实生活中常常根据实际问题的需要选择函数的 表示方法。
探究二：分段函数求值
例2：已知函 数
5 (1) 求f(－5)，f(－3)，f[f(－ )]的值； 2
(2) 若f(a)＝3，求实数a的值。
解
(1)、f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
5 5 3 3 － ∵f 2 ＝－ ＋1＝－ ，而－2<－ <2， 2 2 2 3 5 3 ∴f[f(－ )]＝f－2＝－ . 2 4
设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空 解： 调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行 驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围 是（0，20]。 由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式： 2, 0<x ≤ 5 3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15 y= 5, 15 < x≤20
函数自变量允许取值的范围，叫做函数定义域
判断下列变量关系是不是函数，如果是，求出它们 的定义域，如果不是，说明理由。
y = 2|x-1| 1 y= 3x-2 y= y = x2 y =± x 5-3x
用含有表示自变量的字母之代数式来表示 因变量的式子，叫做函数解析式 用函数解析式来表示函数中两个变量关系 的方法，叫做解析法 解析法的优点：
(2)、当 f(a)＝3 时，a＝1，或 a＝2.
跟踪演练 1
已知函数
则f(2)=（ ）
解析 f(2)＝ 2－1＝1.
跟踪演练 2
2x+3, x＜－1,
已知函数f (x)= (1) 求f{f[f(－2)]} ;
x2, －1≤x＜1, x－1, 0 -5 4 x≥1 .
(2) 当f (x)=－7时,求x ; (3) 当f (x)=3时,求x ;
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图：
y 5 4 3 2○ 1 0
○ ○ ○
5
10 15 20
x
探究一：分段函数的图像
例1，画
列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y 的图象： x
y
…
3
2
1
0
1
2
3
…
描点 画图
y x 分析：
由绝对值的概念，我们有
y
x, x 0 y x , x 0
§2.2 函数
函数的表示法
世界上的万事万物都是在发展变化着的， 在变化过程中，存在着一些变化的量，和 一些相对不变的量。这些变化的量之间， 有时候会存在着一些相互制约和相互依存 的关系。
在一个变化过程中，有两个变量x、y。如果对 于变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定 的值与之对应。那么我们把变量x叫做自变量, 把变量y叫做因变量，并把y叫做x的函数。
x
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6
x
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6
x
Байду номын сангаас
用图像来表示函数中两个变量关系的方法， 叫做图像法
o x
x0
x0
跟踪演练 1
画出
f ( x) x 2
的图象
y
x 2, x 2 y 2 x, x 2
o
1
2
x
x2
x2
跟踪演练 2
已知
(1) 画出f(x)的图象； (2) 求f(x)的定义域和值域。
解：(1) 利用描点法，作出 f(x) 的图象，如图所示
(2) 由条件知，函数 f(x) 的定义域为R。 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2 的值域为[0,1]； 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以 f(x) 的值域为[0,1]。
简明扼要、规范准确。
y =± x
函数可以用解析法来表 示，但并不是形如y与x 关系的式子，都是函数 关系。
注意
判断下列变量关系是不是函数，如果是，求出它们 的定义域，如果不是，说明理由。 x －3 －2 －1 0 1 2 3
y= x2
鞋号 x
9
4
1
0
1
4
9
35 36 37 38 39 40 41 3 1 2 0 2 5 3 2 3 0
注意
判断下列变量关系是不是函数，如果是，求出它们 的定义域，如果不是，说明理由。
心 脏 部 位 的 生 物 电 流
时间
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6
x
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6
函数可以用三种方法来表示，但并不是形如这三 种形式的变量关系，都是函数关系。 注意
例 小明带了25元钱，去买某种笔记本的单价 是5元，买x个笔记本需要y元.试用解析法和 列表法表示y与x的函数关系.
解析法 y=5x （1≤x≤5，x∈Z） 列表法
本数x（本） 钱数y（元）
1 5
2 10
3 15
4 20
。
x/g
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而 就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号 解 : 设每封信的邮资为y，则y是信封重量x的函数， 括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况。 则函数的解析式为： 0.80, 0<x ≤ 20 1.60, 20<x ≤ 40 y= 2.40, 40<x ≤ 60 3.20, 60<x ≤ 80 4.00, 80<x ≤ 100
0 x 20 20 x 40 40 x 60 60 x 80
80 x 100
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
请画出图象,并写出函数的解析式.
解： 邮资是信重量的函数，其图像如下：
y/元
4.0
3.2 2.4 1.6 0.8
。 。
。 。
O 20 40 60 80 100
探究三：求分段函数不等式的解集
x2 , x 0 , 若f ( x0 ) 1, 则x0 例3.设函数 f ( x) x 8, x 0
的取值范围为(
(,9)
)
A．（－1，1） C．
B．（－1，+∞） D．
(,1) (9,)
小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把所 小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把所 求不等式化为分段的几个不等式，然后取不等式解 求不等式化为分段的几个不等式，然后取不等式解 集的并集。 集的并集。
售出 y （双） 捐助等级 x 价钱y （元）
100~200 200~300 300~400
用表格来表示函数中两个变量关系的方法， 叫做列表法 列表法的优点： 对应关系明显，一目了然。
捐助等级 x
1
2
3
价钱y （元）
100~200 200~300 300~400
函数可以用列表法来表 示，但并不是形如表格 的变量关系，都是函数 关系。
这种在函数的定义域内，对于自变量不同取值区间， 分段函数是一个函数而不是几个函数 拓展： 函数的定义域及值域是多少？ 有不同的对应法则，这样的函数称为分段函数。
注意：
分段函数的定义域是自变量各 分段的并集。 分段函数的值域是各段函数值 的并集。
跟踪演练
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： ① 5公里以内(含5公里)，票价2元； ② 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5 公里的按5公里计算）。 已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果沿 途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数 的图象。