因式分解典型例题
中考数学“因式分解”典例及巩固训练
中考数学“因式分解”典例及巩固训练（1）一、典型例题例1、（2017•广东省）分解因式：a 2+a = ．解：答案为a (a+1)例2、（2019•黄冈市）分解因式3x 2﹣27y 2＝ ． 解：原式＝3（x 2﹣9y 2）＝3（x +3y ）（x ﹣3y ），故答案为：3（x +3y ）（x ﹣3y ）例3、因式分解：221222x xy y ++. 解：22221122(44)22x xy y x xy y ++=++21(2)2x y =+．二、巩固训练1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=(x ﹣1)2B ．(a +b )(a ﹣b )=a 2﹣b 2C ．x 2+4x +4=(x +2)2D ．ax 2﹣a =a (x 2﹣1)2．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是( )A ．224x y +B ．224x y -+C ．224x y --D ．324x y -3. 下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为( )①21025x x -+：②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如果代数式2425x kx ++能够分解成2(25)x -的形式，那么k 的值是( )A ．10B ．20-C ．10±D ．20±5. 分解因式：（1）a 2b ﹣abc = ．（2）3a (x ﹣y )﹣5b (y ﹣x )= ．6．分解因式：4a 2﹣4a +1= ．7．分解因式：2a 2﹣4a +2= ．8．（2017•广州市）分解因式：xy 2﹣9x = ．9.分解因式：x 6﹣x 2y 4= ．10．（2018•黄冈市）因式分解：x 3﹣9x = ．11．（2018•葫芦岛市）分解因式：2a 3﹣8a = ．12．因式分解： （1）2218x -； （2）224129a ab b -+； （3）3221218x x x -+；13．（2019·河池市）分解因式：2(1)2(5)x x -+-．14．分解因式：4224816x x y y -+．15.分解因式：（1）22()+x y x y -- ； （2）22()()a x y b x y ---； （3）229()()m n m n +--.★★★★1.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =-+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x ++++进行因式分解．2．【阅读材料】对于二次三项式222a ab b ++可以直接分解为2()a b +的形式，但对于二次三项式2228a ab b +-，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式2228a ab b +-中先加上一项2b ，使其成为完全平方式，再减去2b 这项，（这里也可把28b -拆成2b +与29b -的和），使整个式子的值不变．于是有：2228a ab b +-222228a ab b b b =+-+-2222(2)8a ab b b b =++--22()9a b b =+-[()3][()3]a b b a b b =+++-(4)(2)a b a b =+-我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆)项法．【应用材料】（1）上式中添（拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①268m m ++；②4224a a b b ++★★★★★1．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A 类、C 类正方形卡片和B 类长方形卡片．用若干张A 类、B 类、C 类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2223(2)()a ab b a b a b ++=++．（1）如图3，用1张A 类正方形卡片、4张B 类长方形卡片、3张C 类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；（2）若解释因式分解2234()(3)a ab b a b a b ++=++，需取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（3）若取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面题1图积为22++，则m的值为，将此多项式分解因式5a mab b为．巩固训练参考答案1．C2．B3. B4．B5. （1） ab (a ﹣c) ． （2）(3a+5b )(x ﹣y ) ．6．（2a ﹣1）2．7．2(a ﹣1)2．8．x (y +3)(y ﹣3)．9. x 2(x 2+y 2)(x +y )(x ﹣y ) ．10．x (x +3)(x ﹣3)．11．2a (a +2)(a -2)．12．解：（1）；（2）；（3）原式．13．解：原式．14．解：原式．15.解：（1）原式=；（2）原式；（3）原式．★★★★1.解：（1）故选：；2218x -22(9)x =-2(3)(3)x x =+-224129a ab b -+22(2)12(3)a ab b =-+2(23)a b =-222(69)2(3)x x x x x =-+=-221210x x x =-++-29x =-(3)(3)x x =+-22(4)x y =-22(2)(2)(2)x y x y x y =+-+22())(x y x y ---)[2(1])(x y x y =---)(22(1)x y x y =---22()()x y a b =--()()()x y a b a b =-+-22[3()]()m n m n =+--(33)(33)m n m n m n m n =++-+-+4(2)(2)m n m n =++C（2），设，原式，，，，；故答案为：；（3）设，原式，，，，．2．解：（1）上式中添（拆项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式． 故答案为：公式；（2）①；②．22(41)(47)9x x x x -+-++24x x y -=(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =-+4(2)x =-4(2)x -22x x y +=(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =++4(1)x =+)268m m ++2691m m =++-22(3)1m =+-(31)(31)m m =+++-(4)(2)m m =++4224a a b b ++4224222a a b b a b =++-2222()()a b ab =+-2222()()a b ab a b ab =+++-★★★★★1．解：（1）由图可得，，故答案为：；（2）如右图所示；（3）由题意可得，，，故答案为：6，．2243()(3)a ab b a b a b ++=++2243()(3)a ab b a b a b ++=++6m =2256(5)()a ab b a b a b ++=++(5)()a b a b ++中考数学“因式分解”典例及巩固训练（2）一、典型例题例1、因式分解：222a ab b ac bc ++++．解：原式22(2)()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++例2、用十字相乘法进行因式分解：232x x ++.解：原式(1)(2)x x =++．例3、在实数范围内进行分解因式：35x x -．解：原式2(5)x x =-(x x x =+-．二、巩固训练1．用分组分解法进行因式分解：（1）2221x y xy +--； （2）3223x x y xy y +--．2．（2017•百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3)，验算：“交叉相乘之和”； 题2图1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×1+2×(﹣3)=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1． 即：(x +1)(2x ﹣3)=2x 2﹣3x +2x ﹣3=2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3=(x +1)(2x ﹣3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12= ．3.用十字相乘法分解因式：（1）x 2+2x ﹣3= ．（2）x 2﹣4x +3= ．（3）22x x +-= .（4）2215a a --= .（5）4x 2+12x ﹣7= ．4．选择恰当的方法进行分解因式：（1）26x x --； （2）2363a a -+； （3）226a ab b --；（4）29(2)(2)a x y y x -+-； （5）2222a b a b --+；（6）34x x -；5．分解因式：（1）22430y y --； （2）224414a b b +--.6．在实数范围内将下列各式分解因式：（1）22363ax axy ay -+； （2）35x x -．7．在实数范围内分解因式：（1）9a 44b - 4； （2）x 22- 3+；（3）x 5﹣4x .★★★★1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：223x x +-，解：原式22113x x =++--2(21)4x x =++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++- (3)(1)x x =+-上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式： （1）243x x -+； （2）24127x x +-．2．在实数范围内分解因式221x x --．3．因式分解是数学解题的一种重要工具，掌握不同因式分解的方法对数学解题有着重要的意义．我们常见的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．在此，介绍一种方法叫“试根法”例：32331x x x -+-，当1x =时，整式的值为0，所以，多项式有因式(1)x -，设322331(1)(1)x x x x x ax -+-=-++，展开后可得2a =-，所以3223331(1)(21)(1)x x x x x x x -+-=--+=-根据上述引例，请你分解因式：（1）2231x x -+； （2）32331x x x +++．★★★★★1．请看下面的问题：把44x +分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和222()2x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得：4422222222224444(2)4(2)(2)(22)(22)x x x x x x x x x x x x +=++-=+-=+-=++-+人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”. 请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解． （1）444x y +；（2）2222x ax b ab ---． 2．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解呢？我们已经知道，2211221212211212122112()()()a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为1122()()a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即62(3)-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1(3)121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为(2)(3)x x +-．题2图请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法” 分解因式：26x x +-= (3)(2)x x +- ．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2257x x +- ；（2）22672x xy y -+= ． 【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk qj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．（3）已知x ，y 为整数，且满足2232231x xy y x y ++++=-，请写出一组符合题意的x ，y 的值．巩固训练参考答案1．解：（1）．解：（2）原式． 2．(x +3)(3x ﹣4)． 3.（1）(x +3)(x -1) ． （2）(x ﹣1)(x ﹣3) ． （3） . （4） . （5）(2x +7)(2x ﹣1) ．4．解：（1）原式． （2）原式； （3）原式； （4）原式．（5）原式． （6）原式； 5．.解：（1）原式 ；（2）原式．6．解：（1）原式；2221x y xy +--2()1x y =--(1)(1)x y x y =-+--3223222()()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x y =+-+=+-+=+-(2)(1)x x +-(5)(3)a a -+(2)(3)x x =+-23(21)a a =-+23(1)a =-(3)(2)a b a b =-+29(2)(2)a x y x y =---2(2)(91)x y a =--(2)(31)(31)x y a a =-+-()()2()()(2)a b a b a b a b a b =+---=-+-2(4)(2)(2)x x x x x =-=+-22(215)y y =--2(5)(3)y y =-+224(144)a b b =--+224(12)a b =--(221)(221)a b a b =+--+223(2)a x xy y =-+23()a x y =-（2）原式，．7．解：（1）原式； （2）原式．（3）原式=★★★★1．解：（1）（2）2．解：．3.解：（1）当时，整式的值为0，所以，多项式有因式， 于是； （2）当时，整式的值为0，多项式中有因式，2(5)x x =-(x x x =222222(32)(32)(32)a b a b a b =+-=++2(x =2(2)(x x x x +243x x -+24443x x =-+-+2(2)1x =--(21)(21)x x =-+--(1)(3)x x =--24127x x +-2412997x x =++--2(23)16x =+-(234)(234)x x =+++-(27)(21)x x =+-221x x --22111x x =-+--2(1)2x =--(11x x =---1x =(1)x -2231(1)(21)x x x x -+=--1x =-∴32331x x x +++(1)x +于是可设，，， ，，．★★★★★1．解：（1）原式； （2）原式． 2．解：【阅读与思考】分解因式：； 故答案为：； 【理解与应用】（1）； （2）；故答案为：（1）；（2）； 【探究与拓展】（1）分解因式； 故答案为：（2）∵关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 存在其中，，；而，，或，故的值为43或；（3），为整数，且满足，可以是，（答案不唯一）．32232331(1)()(1)()x x x x x mx n x m x n m x n +++=+++=++++-13m ∴+=3n m +=2m ∴=1n =3223331(1)(21)(1)x x x x x x x ∴+++=+++=+442222222222222444(2)4(22)(22)x y x y x y x y x y x y xy x y xy =++-=+-=+++-22222222()()()(2)x ax a a b ab x a a b x b x a b =-+---=--+=+--26(3)(2)x x x x +-=+-(3)(2)x x +-2257(1)(27)x x x x +-=-+22672(1)(27)x xy y x x -+=-+(1)(27)x x -+(1)(27)x x -+2235294(21)(34)x xy y x y x y x y +-++-=+--+(21)(34)x y x y +--+x y 22718524x xy y x my +--+-∴111⨯=9(2)18⨯-=-(8)324-⨯=-71(2)19=⨯-+⨯51(8)13-=⨯-+⨯271643m ∴=+=72678m =--=-m 78-x y 2232231x xy y x y ++++=-1x =-0y =。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解练习题
因式分解练习题(提取公因式)专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
2、36mx my -3、2410a ab + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a ---专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()nna b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。
3、3246x x -4、282m n mn + 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 专项训练五：把下列各式分解因式。
九年级数学： 因式分解法解一元二次方程典型例题
例 用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝23说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考典型例题二例 用因式分解法解下列方程6223362+=+x x x解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(=-+x x∴032=+x 或023=-x ∴ 32,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y∴.3,2521=-=y y说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
(完整版)提公因式法分解因式典型例题
因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？2、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x C 、22)4(168-=+-x x x D 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、2)1(3222++=++x x x B 、22))((y x y x y x -=-+ C 、222)(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ） A 、1)1(21222+-=+-a a a a B 、22))((y x y x y x -=+- C 、22)13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、15123-=-+x y x B 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22xx x x +=+ D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、ab a b a a -=-2)( B 、1)2(122+-=+-a a a a C 、)1(2-=-x x x x D 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、23)2)(1(2+-=--x x x x B 、)2)(1(232--=+-x x x x C 、4)4(442+-=++x x x x D 、))((22y x y x y x -+=+模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、25mn 2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（ ） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n my x y x 31128--的公因式是（ ）A 、nmy x B 、1-n myx C 、nmy x 4 D 、14-n myx5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（ ）A 、25mxB 、35mx - C 、mx D 、mx 5- 6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A 、)(5b a m -与a b - B 、2)(b a +与b a -- C 、y mx +与y x + D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。
因式分解的典型例题
因式分解例题1、提取公因式常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：2x^2-3x=0解：x(2x-3)=0x1=0,x2=3/2总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式。
2、公式法常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例二：x^2-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2)3、十字相乘法这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果例三：把2x^2-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 31×3+2×1 =51 3╳2 11×1+2×3 =71 -1╳2 -31×(-3)+2×(-1) =-51 -3╳2 -11×(-1)+2×(-3) =-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解：原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).4、分组分解法一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来例四：x^2+4x+4y^2-y^2可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=（x+2）^2-y^2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解特殊解法之换元法
特殊解法之换元法【知识要点】换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原。
【典型例题】例1 因式分解（换一元）1、120)8(22)8(222++++a a a a2、222(231)22331x x x x -+-+-3、3)5)(3(22-----x x x x4、2223)67)(65(x x x x x -++++5、90)384)(23(22-++++x x x x6、2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++7、()()2723144-+++y y 8、19981999199824-+-x x x例2 因式分解（换二元）1、2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+2、)12)(1()21(22--+--b a a b a a3、22244)()()(b a b a b a -+++-4、22224(21)(32)(334)x x x x x x -++---+例3 因式分解：333)()()(cz ax cz by by ax ---+-例4 利用因式分解的方法进行计算：1、2199319931993199119931992222-+ 2、()()20032002199919972001399720002006200022⨯⨯⨯⨯+-【大展身手】1、因式分解：（1）12)2)(1(22-++++x x x x （2）22(815)(87)15x x x x +++++（3）15)7)(5)(3)(1(+++++x x x x （4）()()22212127123x x x x x -++++（5）()()224341256x x x x -+--+ （6）(1)(4)(2)(3)24x x x x ++++-（7）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （8）44(5)(3)82x x +++-2、因式分解：（1）、)1)(1()2)((-+++++xy xy xy y x y x（2）、2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-（3）、21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-3、计算：9991000199999910001999333⋅⋅--【小试锋芒】一、填空题（每空2分，共20分）1、把6x2y－8xy2 分解因式时应该提取公因式是_______________.2、3ay－3by=_______________.3、a2－14a＋49=_________________.4、n2－m2=____________ a2＋4ab＋4b2=_______________5、分解因式x2(a＋b) －y2(a＋b)=__________________6、利用因式分解计算：36×3.14＋47×3.14＋17×3.14=_________________.7、若4x2＋kxy＋9y2是一个完全平方式，则k的值是______________.8、如果方程x(ax＋2)=0的两根是x1=0,x2=4,那么a=______________.9、若x2y＋M=xy(N＋2y),则M=______________N=______________.二、选择题（每题3分，共30分）1、下列从左向右的变形是属于因式分解的是（）A、9－a2=(3＋a)(3－a)B、a2－2ax＋2x2=(a－x)2＋x2C、(2x＋1)(x＋2)=2x2－3x－2D、(y－2)(y－1)=(2－y)(1－y)2、下列提取公因式分解因式中，正确的是（）A、2x2－4xy=x(2x－4y)B、a3＋2a2＋a=a(a2＋2a)C、－2a－2b=2(a＋b)D、－a2＋a=－a(a－1)3、下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、x2＋4y2B、－4y2＋x2C、－x2－4y2D、x－4y24、下列各式中，不能用完全平方式分解因式的是（）A、x2－2xy－y2B、x2－2xy＋y2C、x2＋y2＋2xyD、－x2＋2xy－y25、下列因式分解正确的是（）A、6(x－2)＋x(2－x)=(x－2)(6＋x);B、x3＋2x2＋x=x(x2＋2x)C、a(a－b)2＋ab(a－b)=a(a－b);D、3x n＋1＋6x n=3x n(x＋2)6、计算（2ab2－8a2b）÷(4a－b)的结果为（）A、－2abB、2abC、3a2bD、－3ab7、分解因式6a(a－b)2－8(a－b)3时，应提取公因式是（）A、aB、6a(a－b)3C、8a(a－b)D、2(a－b)28、a2－9b2因式分解是（）9、x2＋8x＋16因式分解是（）A、(x＋8)2B、(x＋4)2C、(x－8)2D、(x－4)210、如果a2＋16与一个单项式的和是一个完全平方式，这个单项式是（）A、4aB、±8aC、±4aD、±8a或－16三、解答题1、分解因式：（每题4分，共32分）（1）16a2－9b2(2)4x2－12x＋9 (3)4x3＋8x2＋4x(4)3m(a－b)3－18n(b－a)3(5)20a3x－45ay2x (6)4x2y2－4xy＋1(7)(m＋n)2－(m－n)2(8)(x2＋1)2－4x22、计算：（a4－16）÷(a－2) ( 本题4分)3、解方程：（每题4分，共8分）（1）x2－5x=0 (2)(3x－2)2=(1－5x)24、如果在一个半径为a的圆内，挖去一个半径为b（b<a）的圆，（本题6分）（1）写出剩余部分面积的代数表达式，并因式分解它。
因式分解全章练习题
因式分解练习题一、提取公因式专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y -7、()()m x y n x y -+-8、()()2x m n y m n +++9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。
（单项式因式分解）1、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把下列各式分解因式。
8-x三次方因式分解
8-x三次方因式分解8-x三次方因式分解在数学学科中，因式分解是一种非常基础且实用的解题方法，它可以将复杂的算式转化为简单的因式形式，从而便于求解。
而在因式分解的过程中，8-x三次方因式分解无疑是一道比较典型的例题。
下面，本文将针对这一题目的解法进行详细阐述，希望能够对大家的学习有所帮助。
题目背景：8-x三次方因式分解，是指将8-x立方根式表达式化为乘积的形式。
解题过程：在解题之前，需要先求出8-x的立方根式表达式。
这一过程可以分为两个步骤：第一步，将8-x拆分为两个立方式。
8-x = 2的三次方 - x的三次方这一步骤的关键在于如何将8分解为两个立方。
在这里，可以运用立方的求和公式：a的三次方 + b的三次方 = (a + b) (a的平方 - ab + b的平方)将a取2，b取-x，就可以得到：2的三次方 - x的三次方 = (2 - x)(4 + 2x + x的平方)第二步，对每个立方式进行化简。
化简(2 - x)中的立方，可以通过公式：a的三次方 - b的三次方 = (a - b)(a的平方 + ab + b的平方)对应的，可以得到：2的三次方 - x的三次方 = (2 - x)(4 + 2x + x的平方)3. 将公式代入原式进行化简。
将第一步和第二步的解法代入原式，可以得到：8 - x的三次方 = (2 - x)(4 + 2x + x的平方)这样，8-x三次方因式分解就被成功地完成了。
总结：在数学学科中，因式分解是一种重要的解题方法，它可以显著减少求解的难度，从而提高解题的效率。
而在8-x三次方因式分解的过程中，我们需要掌握立方求和公式和立方差公式两种技巧，同时要注意对代数式的拆分和化简。
通过这样的方法，我们就能顺利地解题，并且更好地理解因式分解的相关知识。
因式分解法解一元二次方程典型例题
因式分解法解一元二次方程典型例题解：（1）把方程左边因式分解为：2x-1)(3x-2)=02x-1=0或3x-2=0x1=1/2，x2=2/32）把方程左边因式分解为：27(x-1)(x+4)=0x-1=0或x+4=0x1=1，x2=-4说明：在用因式分解法解一元二次方程时，要注意将方程整理为一般式，然后将左边的代数式分解为一次因式的乘积，令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，也可以用因式分解法求出方程的解。
分析：一元二次方程通常可以用因式分解的方法求解，也可以用配方法或求根公式求解。
在解题时需要注意将方程化为A·B=0的形式，然后通过A=0或B=0求解方程的根。
解：（1）将方程化为2x^2-5=0的形式，移项得2x^2=5，再将两边都除以2得x^2=5/2.解这个方程得x=±√(5/2)。
2）将方程化为5x^2+2=2-2x-x^2的形式，移项得6x^2+2x-2=0.使用配方法，将6x^2+2x-2表示为(√6x+√2)^2-8=0的形式，然后移项得(√6x+√2)^2=8，再开根号得√6x+√2=±2√2.解这个方程得x=(±2√2-√2)/6=-√2/3或1/2.3）将方程化为2(x-3)^2+2(x^2-1)=4x+1的形式，移项得2x^2-5x-4=0.使用求根公式，得x=(5±√41)/4.4）使用求根公式，得x=(43±√(-39))/2.由于方程中出现了负数的平方根，因此该方程无实数解。
5）使用配方法，将方程表示为3(x-1/3)^2+1/3=0的形式，然后移项得3(x-1/3)^2=-1/3.由于方程左边是一个正数乘以一个平方，因此该方程无实数解。
所以方程有实数解，即20m2x2+11mnx-3n2=0可用求根公式求解，得x1,211mn±√(11^2m^2n^2+240mn^2)/40m^211n/4m。
14.3 因式分解典型例题
14.3 因式分解典型例题【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b2【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a2b＋9ab2－18ab；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．用平方差公式分解因式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.用完全平方公式分解因式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.【例5】把下列多项式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.因式分解的一般步骤一般步骤可概括为：一提、二套、三查．【例6】把下列各式分解因式：(1)18x2y－50y3；(2)ax3y＋axy3－2ax2y2.【例7】下列各式能用完全平方公式分解因式的是()．①4x2－4xy－y2；②x2＋x＋；③－1－a－；④m2n2＋4－4mn；⑤a2－2ab＋4b2；⑥x2－8x＋9.A．1个B．2个C．3个D．4个因式分解专题过关1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq（2）2x2+8x+82．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy（2）3a3﹣6a2b+3ab2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y24．分解因式：（1）2x2﹣x（2）16x2﹣1（3）6xy2﹣9x2y﹣y3（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）25．因式分解：（1）2am2﹣8a（2）4x3+4x2y+xy26．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y27．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）（x+2y）2﹣y28．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+19．分解因式：a2﹣4a+4﹣b210．分解因式：a2﹣b2﹣2a+110.分解因式①-49a2bc-14ab2c+7ab②(2a+b)(2a-3b)-8a(2a+b)11.试说明817-279-913必能被45整除12.已知△ABC的三边长a，b，c满足a2-bc-ab+ac=0求证△ABC为等腰三角形13.先化简.在求值:30x2(y+4)-15x(y+4),其中x=2，y=-214、分解因式：169（a-b）2-196（a+b）2分解因式：a2（a-b）+b2（b-a）15.已知a+b=8，a2-b2=48，求a和b的值。
含参数因式分解典型例题
含参数因式分解典型例题一、例题1：分解因式x^2+ax + bx+ab1. 解析- 将原式进行分组：(x^2+ax)+(bx + ab)。
- 然后，对每一组分别提取公因式，第一组提取x得x(x + a)，第二组提取b得b(x + a)。
- 再提取公因式(x + a)，得到(x + a)(x + b)。
二、例题2：分解因式x^2-mx - nx+mn1. 解析- 分组可得(x^2-mx)-(nx - mn)。
- 第一组提取x得x(x - m)，第二组提取-n得-n(x - m)。
- 提取公因式(x - m)后，结果为(x - m)(x - n)。
三、例题3：分解因式ax^2+bx - ax - b1. 解析- 分组为(ax^2+bx)-(ax + b)。
- 第一组提取x得x(ax + b)，第二组提取-1得-(ax + b)。
- 提取公因式(ax + b)，得到(ax + b)(x - 1)。
四、例题4：分解因式a^2x - b^2x+a^2y - b^2y1. 解析- 分组为(a^2x - b^2x)+(a^2y - b^2y)。
- 第一组提取x得x(a^2-b^2)，第二组提取y得y(a^2-b^2)。
- 再提取公因式(a^2-b^2)，根据平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，最终结果为(a + b)(a - b)(x + y)。
五、例题5：分解因式x^3+ax^2+bx + ab1. 解析- 分组(x^3+ax^2)+(bx + ab)。
- 第一组提取x^2得x^2(x + a)，第二组提取b得b(x + a)。
- 提取公因式(x + a)得(x + a)(x^2+b)。
六、例题6：分解因式2ax - 10ay+5by - bx1. 解析- 重新分组(2ax - bx)-(10ay - 5by)。
- 第一组提取x得x(2a - b)，第二组提取-5y得-5y(2a - b)。
七下数学因式分解求最值例题
七下数学因式分解求最值例题
因式分解是指对一个数进行分类，把不同的数分别按一定的方式排列组合成一个整体，再根据它们的结构来判断这个整体是否有某种特殊的意义。
因式分解能让我们从多个不同角度来看待这个问题。
在初中数学中，因式分解是作为辅助知识来考查的，主要考查几种情况：题目中要求用因式分解求最值时，会把一个特殊性质或一个特殊题型的形式通过这种方式来体现出来。
今天学习一个七年级下数学因式分解求最值的例题。
让我们一起来看看吧！
一、用“+”代替“-”，求最大值；
解析：用“+”代替“-”，由公式得1-9,由1-9求出，解得0时最多有几个结果，其中一个答案是0 (1)。
因此，得10是10+1。
问题1:有几个数字要求解？答案是:1,2,3,4。
这是什么意思呢？
二、求 A和 B两个数的最大值以及因式分解最小值以及因式分解公式；
解题思路：在因式分解中，最小值是一个非常重要的信息。
用 t=-3得两个数的最大值，用 f (t)得两个数的因式分解最小值以及因式拆解公式求解，这样就可以充分利用因式分解所能给我们带来的便利，使我们能在题目中迅速找到最佳解。
所以本题是典型的“以变求变”。
三、通过计算求得所有相减数的个数。
分析：此题要求我们将所有相减数全部求出。
要把所有相减数的个数列出表格，再把它们和已知的所有相减数结合起来。
【注意】所有相减数都是相同的个数。
因式分解的作用：把相同和相减数按照一定的方法排列组合成一个自然整体，然后根据这种形式求得一定个数。
对于此类题目来说，应注意把各相减数按照相应地形式排列组合成一个自然整体，然后根据因式分解求得最佳值。
因式分解练习题
因式分解练习题(提取公因式)专项训练一：确定以下各多项式的公因式。
2、36mx my -3、2410a ab + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a ---专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在以下各式左边的括号前填上“+〞或“－〞，使等式成立。
3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把以下各式分解因式。
3、3246x x - 4、282m n mn + 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 专项训练五：把以下各式分解因式。
因式分解典型例题
因式分解典型例题例1 多项式x2+ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值．分析根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式中的对应项系数是相等的，从而可以求出a和b，于是问题便得到解决．解由题意得：x2+ax+b=(x+1)(x-2)，所以x2+ax+b=x2-x-2，从而得出a=-1，b=-2，所以a+b=(-1)+(-2)=-3．点评“恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种重要方法．例2 因式分解6a2b+4ab2-2ab．分析此多项式的各项都有因式2ab，提取2ab即可．解 6a2b+4ab2-2ab=2ab(3a+2b-1)．点评用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首先，所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积．如果原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为1，这个1千万不能丢掉．本例题中，各项的公因式有2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中2ab是它们的最高公因式，故提取2ab．作为因式分解后的一个因式，另一个因式则是分别用6a2b，4ab2和-2ab除以2ab所得的商式代数和，其中-2ab÷2ab=-1，这个-1不能丢．例3 因式分解m(x+y)+n(x+y)-x-y．分析将-x-y变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式x+y，提取x+y即可．解 m(x+y)+n(x+y)-x-y=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)=(x+y)(m+n-1)．点评注意添、去括号法则．例4 因式分解64x6-1．分析 64x6可变形为(8x3)2，或变形为(4x2)3，而1既可看作12，也可看作13，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分解．解方法一64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)点评在分解因式时，尽管采用的方法不同，但结果应是相同的．本题的两种解法，显然第一种方法比较简单．点评分解因式时，应首先考虑各项有没有公因式，如果有公因式，一定先提公因式，然后再考虑能否用其它方法继续分解．本题如果先提2，应如何分解？例6 因式分解(x+y)2-6(x+y)+9．分析可将x+y当作一个整体，此多项式便是关于这个整体的二次三项式，显然它可用完全平方公式分解．解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．点评在运用公式分解因式时，一定要掌握公式的特点，尤其要注意完全平方公式中一次项系数的特点．例7 因式分解x2+6x-7．分析这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解．另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解．解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)点评方法一叫配方法．用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是1，则提取这个系数，使二次项系数转化为1）；其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的．在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项．例8 因式分解3x2-7x-6．分析本题二次项系数不是1，如果用配方法分解，则应首先提取二次项系数3，然后再加、减一次项系数一半的平方；如果用十字相乘法分解，既要考虑好首尾两项的分解，更要考虑到十字相乘后的代数和应是中间项（即一次项）．解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．点评用十字相乘法分解因式，在排列算式时，应想到同行不应有公因式（如本题二次项所分出的3x与常数项所分出的3不能放在同行，只能与分解出的另一个因式2放在同行）这是因为，如果同行有公因式，此公因式在开始分解时就应提出．掌握这一点会简化操作过程．从上述两例可以明显看出，在有理数范围内分解二次三项式ax2+bx+c用十字相乘法比较方便，但随着数的范围的扩大，就看出配方法的重要了．于是便出现这样的问题：在分解二次三项式ax2+bx+c时，何时用公式法？何时用十字相乘法？何时用配方法？我们可用b2-4ac的结果来判别：b2-4ac=0时，用完全平方公式分解；b2-4ac＞0且是一个完全平方数时，用十字相乘法分解；b2-4ac＞0但不是完全平方数时，用配方法分解；b2-4ac＜0时，在有理数范围内和将来学到的实数范围内都不能分解．至于为什么可用b2-4ac的结果来作上述判断，这个问题在今后的学习中会得到解决．例9 因式分解2ax-10ay+5by-bx．分析用分组分解法．可将一、二两项和四、三两项分别作为一组，这样不仅每组可分解，而且确保继续分解．解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．点评本题还可以一、四两项一组，二、三两项一组，但不能一、三项和二、四项分组，可见分组要恰当．分组是否恰当，以能否达到因式分解的目的为标准．所以，分组后各组系数成比例则是恰当分组的重要条件．例10 因式分解：（1）x2-2xy+y2-1 （2）x2-2y-y2-1分析这两小题都不能平均分组，因为平均分组后，各组系数不可能成比例，从而达不到因式分解的目的，但经过观察可知，如果将（1）题前三项和第四项分组，将（2）题第一项和后三项分组，则可先用完全平方公式继而用平方差公式将其分解．解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)点评在分解四项式时，也应首先考虑是否有公因式，如果有，要先提公因式然后再考虑分组，在分组时，又有两两分组、一三分组和三一分组三种不同分法，这就需要做到具体问题具体分析．对某些特殊的四项式也可直接用完全立方公式分解，即a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3．对五项式或五项以上的多项式也采用分组分解法．例11 因式分解x2+4xy+3y2+x+3y．分析本题的前三项可以分解为(x+y)(x+3y)，其中(x+3y)正好与后两项完全一样，所以本题作三二分组，问题便得到解决．解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例12 因式分解：（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1，（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3，（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3．分析这三道题都不能平均分组，经观察，它们都可以三二一分组，分组后，（1）题可经过两次完全平方公式分解，（2）题可经过一次公式和一次十字相乘分解，而（3）题则可经过两次十字相乘分解．解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例13 已知4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，求证：2x2+3xy+y2-x-y=0分析要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式．若分解后的因式中有一个值为零，则原多项式的值为零．经过分组分解，可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若x+y 或2x+y-1为零，则原多项式的值为零．为达此目的，就要从条件入手．证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例14 已知3x2-4xy-7y2+13x-37y+m能分解成两个一次因式的乘积，求m的值．并将此多项式分解因式．分析根据因式分解的概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的两个因式必然都是三项式，而原多项式的前三项可分解为(3x-7y)(x+y)，于是可设原多项式分解为(3x-7y+a)(x+y+b)，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决．解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10．所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例15 已知｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，求x与y的值．分析在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质．本题已有一个明显的非负数，即｜x-3y-1｜，而另一个非负数可由因式分解得到．于是问题能够解决．解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例16 因式分解：（1）x4+4y4；（2）x3+5x-6．分析这两个多项式既无公因式可提，也不能直接用公式或直接分组分解．经过观察：（1）题若加上4x2y2，随之减去4x2y2，这样既保证多项式的值不变，又可先用完全平方公式继而用平方差公式分解．（2）题如果将5x拆成-x+6x便可分组分解．或者，将-6拆成-1-5也可分组分解．解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)点评若将-6拆成-1-5，应如何分解？例17 已知x2-2xy-3y2=5，求整数x和y的值．分析原式左端可分解为两个一次因式的乘积，由题意可知，这两个因式都表示整数，这样只能是一个因式为1（或-1），而另一个因式为5（或-5）．于是便可列出方程组求出x和y 的值．解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例18 已知A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49（x为整数），求证：A为一个完全平方数．证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．。
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学习好资料 欢迎下载典型例题一选择题：对2m +mp +np +2n 运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）22 27x -3y + xy-21x ； (2)1 -x + 4xy-4y .本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运解 ⑴ 7x 2-3y +xy -21x= (7x 2-21x)+(—3y+xy)(合理分组) = 7x(x-3) +y(x-3)(组内提公因式) = (x-3)(7x + y)(组间提公因式)⑵ 1 -X 2+4xy -4y 2=1 -(x 2 -4xy +4y 2)(注意符号) = 1-（x —2y ）2（组内运用公式）=1 +（x —2y ） ]1 -（X —2y ）】（组间运用公式） =(1 + X -2y)(1 -X +2y)说明 分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”一一有公因式或可运用 公式的原则来合理分组，达到分解的目的.另外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分 组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归.②分组时要添加带“―”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步.例01 (C ) (2m +2n +np) +mp(B ) (2m + np) + (2n + mp) (2m +2n) +(mp +nm)(D ) (2m +2n + mp) +np分析 的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（ 确.本组题目用来判断分组是否适当 .（A ）的两组之间没有公因式可以提取， 因而（A ）不正确；（B ）B ）不正确；（D ）中两组也无公因式可提，故（D ）不正（C ）中第一组可提取公因式 2,剩下因式（m+n ）；第二组可提取 P ，剩下因式（m + n ），这样组间 可提公因式（m + n ），故（C ）正确.典型例题二例02 用分组分解法分解因式:(1) 分析用公式可以达到分解的目的典型例题三例03分解因式：5x3 _15x2 -x+3分析本题按字母x的降幕排列整齐，且没有缺项，系数分别为5，-15，-1，3 .系数比相等的有令町或宁于，因而可分组为（5x3—x）、（一15宀3）或（5x3—15x2）、（"）.解法一5X3-15X2-X+3= (5x3 -15x2) + (―X +3)(学会分组的技巧)2=5x (x-3) -(x-3)2= (x-3)(5x -1)解法二5x3 -15x2 -x +3= (5x3 -X) +(-15x2 +3)= x(5x2 -1) -3(5x2 -1)= (5x2 -1)( X-3)说明根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧!典型例题四2例04分解因式：7x -3y+xy-21x分析本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.解法一7x2-3y+xy-21x= (7x2 -21x)+(_3y+xy)= 7x(x—3) +y(x—3)= (x—3)(7x + y)解法二7x2 -3y+xy -21x2= (7x2 +xy) +(-3y-21x)= x(7x +y)-3(7x + y)= (x—3)(7x + y)说明本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度典型例题五2 c 2xy -xz —y +2yz -z ；2 2x +4xy+4y -2x- 4y+1.2 2(1) xy -xz — y +2yz -z2 2= (xy-xz)-(y -2yz+z) = x(y -z) -(y-z)2= (y-z)(x-y +z)(2)a 2-b 2-c 2-2bc -2a +12 2 2=(a -2a +1) -(b + 2bc +c )2 2= (a —1) -(b+c) =(a -1+b+c)(a-1-b-c)(3)x 2+4xy +4y 2 -2x-4y +12 2=(x +4xy+4y )-(2x +4y)+12=(x +2y) -2(x +2y) +12=(x +2y -1)说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组, 这使分组有了一定的针对性，省时提速.如⑴中，“交叉项”为2yz ，相应的平方项为y 2、z 2；⑵中，“交叉项”为2bc ，相应的平方项为b 2、c 2.典型例题六例06分解因式:例05 把下列各式分解因式:(1)(2) a 2—b 2-c 2-2bc -2a +1 ；分析 此组题项数较多，考虑用分组法来分解解法(1)a2-5a+6 ； ( 2) m2+ 3mT0.分析 本题两例属于x 2 +（P +q ）x + pq 型的二次三项式，可用规律公式来加以分解 解 (1) - 6=(—2)x(—3)，(_2)+(—3) = -5， 二 a 2-5a +6 =a 2 -(2 +3)a +(—2)天(七)= (a-2)(a -3)(2 )7 -10 = —2x5, —2+5=3，二 m 2 + 3m-10 = m 2+ 5+(-2)咕+(+ 5)x(-2)= (m+5)(n -2).典型例题七对（1），利用整体思想，将（a+b ）看作一个字母，则运用 X 2+（P +q ）x + pq 型分解；对（2），将其看作关于 p 的二次三项式，则一次项系数为 -7p ，常数项为12q 2，仍可用x 2+（p +q ）x + pq 型的二次三项式的规律公式达到分解的目的解 (1) (a +b)2+5(a +b)+4=(a +b +1)(a +b +4)(2)亠「12q 2=(-3q)，(/q)， -3q +(—4q) = —7q ，”p 2-7 pq + 12q 2 = p 2-7 pq + 12q 2=(p -3q)( p -4q).典型例题八例08分解因式: ⑴ x 4-X 3+x -1 ；⑵ p 2+5pq + 6q 2+ p +3q ； ⑶ a(a+1)(a-1) -b(b+1)(b-1)；⑷ a 2-4b 2+a +2b +4bc -c 2-c .说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律例07 分解因式:(1) (a +b)2+5(a +b) +4 ； (2)2 2p -7pq + 12q .分析分析本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解解⑴法一：x4-x3+X-14 3=(X4 -X3) +(x-1)= x3(x-1) +(x-1)= (x—1)(x3+1)( X3+1可继续分解，方法很简单：(x3-x) + (x +1)，对于x3-1方法类似，可以自己探索)= (x-1)(x +1)(x2 -X +1)法二：X4 -x3+x -14 3=(x -1) +(—X +x)2 2 2=(X2 -1)(X2+1) -X(X2 -1)2 2= (X2 -1)(X2+1 -X)=(x +1)(x-1)(x2 -X +1)法三：x4-x3+x-14 33=(X3 +1)(x-1)=(x +1)(x2 -X +1)(X_1)⑵ p2 +5pq + 6q2+ p +3q2 2 2=(p +5pq+6q ) + (p +3q)(看作x +(a+b)x+ab型式子分解)=(p +2q)( p+3q)+( p+3q)= (p+ 3q)( p+2q+l)⑶ a(a + 1)(a -1) -b(b +1)(b -1)= a(a2 -1) -b(b2 -1)=a3 -a -b3+b=(X +x)+(—X -1)3 3= X(X3+1) —(X3+1)-(a 4-b 3) -(a -b)= (a-b)(a 2 +ab +b 2) -(a-b)2 2= (a-b)(a +ab +b -1)⑷ a 2—4b 2+a +2b +4bc —C 2—C2 2 2=a -(4b -4bc +c)+(a + 2b-c) =a 2 -(2b -C)2+(a + 2b -c)=a +(2b -c) ]a -(2b -c) ]+(a +2b -c) =(a + 2b -c)(a -2b +c) +(a +2b -c) =(a + 2b -c)(a -2b +c +1)说明 ⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理 又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用2 . _ 2 2了 x +(a +b)x +ab 型二次三项式的因式分解.将p +5p q +6q 看做关于p 的二次三项式2 2 2 26q =2q 3q ，p +5qp +6q =p +(2q+3q)p +2q3q .⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的 方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法 .⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破 .但应注意：①不可混淆因式分解与整式乘法的意义 .如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式， 分解中，半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如⑵小题中典型例题九x(x-1)(x-2)—6 ；(2)ab(x 2+1)+x(a 2+b 2)本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达 到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解 .解⑴ x(x —1)(x-2) —6= x(x 2 -3x +2)-63242=(x -3x )+(2x —6)(重新分组)不可在p 2+ 5pq + 6q 2.例09 分解因式:(1) 分析=x -3x +2X-6 (乘法运算，去括号)= x 2(x -3) +2(x-3)= (X -3)(X 2 +2)⑵ ab(x 2+1) +x(a 2+b 2)= abx 2 +ab +a 2x+b 2x (乘法运算去括号) = (abx 2+a 2x)+(ab +b 2x)(重新分组) = ax(bx +a) +b(bx + a) = (ax +b)(a +bx)“先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式典型例题十运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法 法二：a ’-7a +6’=a -a-6a +6= (a 3 -a) -(6a-6)2说明例10分解因式a ’ -7a +6分析 虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否 可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式” （或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法） ”.即：首先考解 a ’ -7a +6 = a ’ -7a -1 +7=(a ’ -1)_(7a-7)=(a -1)(a 2 +a +1) -7(a -1)2=(a -1)(a + a +1-7)2= (a-1)(a + a-6) = (a-1)(a-2)(a+3)说明当a=1时，多项式 a ’-7a +6值为o ，因而（a-1）是a 3-7a +6的一个因式，因此，可从“凑因子” （a-1）的角度考虑，把 6拆成-1+7，使分组可行，分解成功= a(a -1)_6(a-1)= a(a-1)(a +1)-6(a-1)= (a-1)(a2 +a-6)= (a-1)(a-2)(a +3)法三：a3-7a+6=a3 -7a -8 +143= (a3-8)-(7a —14)(凑立方项)= (a-2)(a2 +2a+4)-7(a-2)=(a -2)(a2 +2a +4 -7)= (a-2)(a2 +2a -3)= (a-2)(a-1)(a+3)法四：a3 -7a +63 3=a —7a +27 —21 (与a凑立方项)= (a3 +27) -(7a +21)=(a +3)(a2-3a +9)-7(a +3)(套用a3+b3公式)2=(a +3)(a -3a +9-7)2=(a +3)(a -3a +2)= (a+3)(a-1)(a-2)法五：a3 -7 a +6=a3—4a —3a +6 (拆7a 项)3=(a —4a)—(3a-6)2= a(a -4)-3(a-2)= a(a+2)(a-2)-3(a-2)= (a-2)(a2 +2a -3)= (a-2)(a -1)(a +3)法六：a3-7a+6= a3-9a+2a+6 （凑平方差公式变-7a项）= (a3 -9a) +(2a +6)= a(a2 -9) + 2(a +3)= a(a +3)(a -3) +2(a +3)= (a+3)(a2 -3a+2)= (a+3)(a-1)(a-2)法七：令a=x+1贝^（a-1为多项式一个因式，做变换x = a +1）3 3a -7a +6 =(x +1) -7(x +1)+63 2=x +3x +3x+1—7X-7+6 (做乘法展开)=x3 +3x2 -4x= x(x2 +3x-4) =x(x—1)(x+4)= (x-1 +1)(x+1 -2)(x+1 +3)=(a —1)(a —2)(a +3)(还原回a )说明以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧一一“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时，需思、需悟、触发灵感•第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点.本题还可以如下变形：a3 -7a +6 = (a3- a2) + (a2 -7a +6) = a2(a -1) +(a -1)(a -6) =••…典型例题十例11 若4x2+kx+25是完全平方式，求k的值.2 2 2 2分析原式为完全平方式，由4x =（2x）, 25=5即知为（2x±5），展开即得k值.解T 4x2 +kx+25是完全平方式•••应为(2x ±5)2又-(2x±5)2=4x 2±20x+25. 故 k = ±20.说明完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定k 值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆2 2 2向思维类，运用 a ±2ab +b =(a±b)来求解.典型例题十二例11把下列各式分解因式:29(2a-b) -6(2a-b)+12 2 2x +8x +16 =x +2 ”x ”4+4=(x +4)2；a4-14a 2b 3+ 49b^(a 2)^2 ^a 27b3+(7b 3)2,2”3,2=(a —7b )；9(2a -b)2可以看作[3(2a -b)]2，于是有9(2a-b)2 -6(2a-b)+1 = [3(2a-b)]2 -2 Wa-b) 1+12二[3(2a-b)-1]2= (6a-3b-1)说明(1)多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：①可以看成是关于某个字母 的二次三项式；②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘 积的2倍，或这两数乘积 2倍的相反数.而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平 方项前的符号是否相同.(2) 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方 法，要真正理解，学会运用 .典型例题十三例12求证：对于任意自然数 n , 3"七—2n七+ 3n—2"勺一定是10的倍数.分析 欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.(1) x 2+8x+16 ；(2) a 4-14a 2b 3 +49b 6解： (1)由于16可以看作42，于是有(2) 由幕的乘方公式,a 4可以看作(a 2)2，49b 6可以看作(7b 3)2，于是有由积的乘方公式,证明 3n^ -2n^ +3n-2n+= (3n* +3n) —(2nw +2n屮)= 3n (32 +1)—2n (23+2) =3n x10 -2nx10 = 10(3n -2n)打10（3n -2n）是10的倍数,二 3n^ —2n£ +3n -2n*一定是 10 的倍数.典型例题十四例 13 因式分解(1) a 2x + a 2y+b 2x+b 2y ；解：(1)a 2x +a 2y + b 2x + b 2y=(a 2x t a 2©)+(b 2x +b 2y)= a 2(x + y) + b 2(x + y) =(x +y)(a 2 +b 2)a 2x +a 2y +b 2x +b 2y = (a 2^ +b 2xp^(a 2^b 2y)= x(a 2 +b 2) + y(a 2 +b 2)2 2=(a +b )(x + y)；(2) mx+mX 2-n-nx=(mx +mx 2) -(n+nx)= mx(1 +x) -n(1 +x) =(1 +x)(mx — n)或 mx +mx 2-n -nx = (mx 2-nx) +(nx -n)=x(mx-n) +(mx -n) = (mx -n)(x +1)说明：（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。