因式分解典型例题

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典型例题一

选择题：对2m +mp +np +2n 运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）

2

2 2

7x -3y + xy-21x ； (2)1 -x + 4xy-4y .

本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组

后运

解 ⑴ 7x 2

-3y +xy -21x

= (7x 2

-21x)+(—3y+xy)(合理分组) = 7x(x-3) +y(x-3)(组内提公因式) = (x-3)(7x + y)(组间提公因式)

⑵ 1 -X 2

+4xy -4y 2

=1 -(x 2 -4xy +4y 2

)(注意符号) = 1-（x —2y ）2

（组内运用公式）

=1 +（x —2y ） ]1 -（X —2y ）】（组间运用公式） =(1 + X -2y)(1 -X +2y)

说明 分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”一一有公因式或可运用 公式的原则来合理分组，达到分解的目的

.

另外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分 组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归

.

②分组时要添加带“―”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步

.

例01 (C ) (2m +2n +np) +mp

(B ) (2m + np) + (2n + mp) (2m +2n) +(mp +nm)

(D ) (2m +2n + mp) +np

分析 的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（ 确.

本组题目用来判断分组是否适当 .（A ）的两组之间没有公因式可以提取， 因而（A ）不正确；（B ）

B ）不正确；（D ）中两组也无公因式可提，故（

D ）不正

（C ）中第一组可提取公因式 2,剩下因式（m+n ）；第二组可提取 P ，剩下因式（m + n ），这样组间 可提公因式（m + n ），故（C ）正确.

典型例题二

例02 用分组分解法分解因式:

(1) 分析

用公式可以达到分解的目的

典型例题三

例03分解因式：5x3 _15x2 -x+3

分析本题按字母x的降幕排列整齐，且没有缺项，系数分别为5，-15，-1，3 .系数比相等的有

令町或宁于，因而可分组为（5x3—x）

、（一

15

宀

3）

或

（5x3—15x2）

、（"）.

解法一5X3-15X2-X+3

= (5x3 -15x2) + (―X +3)(学会分组的技巧)

2

=5x (x-3) -(x-3)

2

= (x-3)(5x -1)

解法二5x3 -15x2 -x +3

= (5x3 -X) +(-15x2 +3)

= x(5x2 -1) -3(5x2 -1)

= (5x2 -1)( X-3)

说明根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧!

典型例题四

2

例04分解因式：7x -3y+xy-21x

分析本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.

解法一7x2-3y+xy-21x

= (7x2 -21x)+(_3y+xy)

= 7x(x—3) +y(x—3)

= (x—3)(7x + y)

解法二7x2 -3y+xy -21x

2

= (7x2 +xy) +(-3y-21x)

= x(7x +y)-3(7x + y)

= (x—3)(7x + y)

说明本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”

的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度

典型例题五

2 c 2

xy -xz —y +2yz -z ；

2 2

x +4xy+4y -2x- 4y+1.

2 2

(1) xy -xz — y +2yz -z

2 2

= (xy-xz)-(y -2yz+z) = x(y -z) -(y-z)2

= (y-z)(x-y +z)

(2)a 2

-b 2

-c 2

-2bc -2a +1

2 2 2

=(a -2a +1) -(b + 2bc +c )

2 2

= (a —1) -(b+c) =(a -1+b+c)(a-1-b-c)

(3)x 2

+4xy +4y 2 -2x-4y +1

2 2

=(x +4xy+4y )-(2x +4y)+1

2

=(x +2y) -2(x +2y) +1

2

=(x +2y -1)

说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组, 这使分组有了一定的针对性，省时提速

.

如⑴中，“交叉项”为2yz ，相应的平方项为y 2

、z 2

；⑵中，“交叉项”为2bc ，相应的平方项为b 2

、

c 2

.

典型例题六

例06分解因式:

例05 把下列各式分解因式:

(1)

(2) a 2

—b 2

-c 2

-2bc -2a +1 ；

分析 此组题项数较多，考虑用分组法来分解

解法