弹塑性力学第4章—弹性本构关系
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弹性与塑性力学引论
课件制作： 丁 勇 配套教材：《弹性与塑性力学引论》
中国水利水电出版社，丁勇 宁波大学 建筑工程与环境学院
联系方式：137210762@qq.com
弹性与塑性力学引论
第4章 弹性本构关系
4.1 广义胡克定律
4.1.1 广义胡克定律的一般形式
三维情况下，线弹性材料的广义胡克定律的一般形式为
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入具有一个弹性面的物体的广义胡克定律，得到
C15 = C25 = C35 = C46 = 0
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z ⎫ σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z ⎪ ⎪ ⎪ 所以弹性常数有9个 σ z = C31ε x + C32ε y + C33ε z ⎬ τ xy = C44γ xy ⎪ ⎪ τ yz = C55γ yz ⎪ τ zx = C66γ zx ⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
4.2 广义胡克定律的推论
4.2.1 广义胡克定律的偏量表达式
由广义胡克定律 得到
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
Cij ( i , j = 1, 2," , 6 ) ，以后将证明，如 上式有36个弹性常数， 果材料是均匀的，Cij = C ji ，因此，广义胡克定律的一般形式 中，独立的弹性常数有21个。
4.1 广义胡克定律
4.1.2 具有一个弹性对称面时
σ x ' = σ x ,σ y ' = σ y ,σ z ' = σ z ⎫ τ y ' z ' = τ yz ,τ x ' z ' = −τ xz ,τ x ' y ' = −τ xy ⎬ ⎭
由此获得用等效应力和等效应变表示的剪切弹性模量
σ G= 3ε
4.2 广义胡克定律的推论
4.2.2 应力应变关系的等效应力－等效应变表示
将等效应力和等效应变表示的剪切弹性模量代入广义胡克 定律，得到
2σ sij = eij 3ε
此式即为应力应变关系的等效应力－等效应变表达式，该 表达式可用于塑性阶段的力学分析。
4.2 广义胡克定律的推论
4.2.1 广义胡克定律的偏量表达式
将应力张量表示为球张量和偏张量之和，并将应变球 张量的广义胡克定律代入全量的广义胡克定律，得到
vEδ ijε kk E sij + σ mδ ij = sij + 3Kε mδ ij = ε ij + 1+ v (1 + v )(1 − 2v )
4.1 广义胡克定律
4.1.2 具有一个弹性对称面时
将上式与一般情况下的广义胡克定律进行比较，要使变 换后的应力与应变关系不变，则必须有
C14 = C16 = C24 = C26 = C34 = C36 = C45 = C56 = 0
这样，弹性常数从21个减少到13个
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z + C15γ yz ⎫ σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C25γ yz ⎪ ⎪ σ z = C31ε x + C32ε y + C33ε z + C35γ yz ⎪ ⎪ ⎬ τ xy = C44γ xy + C46γ zx ⎪ τ yz = C51ε x + C52ε y + C53ε z + C55γ yz ⎪ ⎪ τ zx = C64γ xy + C66γ zx ⎪ ⎭
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z + C14γ xy + C15γ yz + C16γ zx ⎫ σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C24γ xy + C25γ yz + C26γ zx ⎪ ⎪ σ z = C31ε x + C32ε y + C33ε z + C34γ xy + C35γ yz + C36γ zx ⎪ ⎪ τ xy = C41ε x + C42ε y + C43ε z + C44γ xy + C45γ yz + C46γ zx ⎬ ⎪ τ yz = C51ε x + C52ε y + C53ε z + C54γ xy + C55γ yz + C56γ zx ⎪ ⎪ τ zx = C61ε x + C62ε y + C63ε z + C64γ xy + C65γ yz + C66γ zx ⎪ ⎭
4.1 广义胡克定律
4.1.4 横观各向同性弹性体
在正交各向异性基础上，每个点都有一个弹性对称轴
⎫ σ x ' = σ y ,σ y ' = σ x ,σ z ' = σ z ⎫ ε x' = ε y ,ε y' = ε x ,ε z' = ε z ⎬ ⎬ τ y ' z ' = −τ xz ,τ x ' z ' = τ yz ,τ x ' y ' = −τ xy ⎭ γ y ' z ' = −γ xz , γ x ' z ' = γ yz , γ x ' y ' = −γ xy ⎭
将上式代入各向同性材料的广义胡克定律，得到
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
上式也可以用张量分量表示为
σ ij = λε kkδ ij + 2με ij
4.1 广义胡克定律
4.1.6 弹性常数的测定
各向同性弹性体在x方向拉 伸时，根据广义胡克定律可得 λ+μ ⎫ εx = σx ⎪ μ (3λ + 2μ ) ⎪ λ ⎪ εy = εz = − σx ⎬ 2 μ (3λ + 2μ ) ⎪ ⎪ γ yz = γ xz = γ xy = 0
化简可得 即
E sij = ε ij − ε mδ ij ) ( 1+ v
sij = 2Geij
σ m = 3Kε m
பைடு நூலகம்
上式即为广义胡克定律的偏量表达式 由于存在关系式 sii = 0，上式需要补充 σ m = 3Kε m ，才 是完整的广义胡克定律的偏量表达式。
4.2 广义胡克定律的推论
4.2.2 应力应变关系的等效应力－等效应变表示
ε x' = ε x ,ε y ' = ε y ,ε z' = ε z ⎫ γ y ' z ' = γ yz , γ x ' z ' = −γ xz , γ x ' y ' = −γ xy ⎬ ⎭
将它们代入一般情况下的广义胡克定律，得到
σ x′ = C11ε x′ + C12ε y′ + C13ε z′ − C14γ x′y′ + C15γ y′z′ − C16γ z′x′ ⎫ σ y′ = C21ε x′ + C22ε y′ + C23ε z′ − C24γ x′y′ + C25γ y′z′ − C26γ z′x′ ⎪ ⎪ σ z′ = C31ε x′ + C32ε y′ + C33ε z′ − C34γ x′y′ + C35γ y′z′ − C36γ z′x′ ⎪ ⎪ ⎬ −τ x′y′ = C41ε x′ + C42ε y′ + C43ε z′ − C44γ x′y′ + C45γ y′z′ − C46γ z′x′ ⎪ τ y′z′ = C51ε x′ + C52ε y′ + C53ε z′ − C54γ x′y′ + C55γ y′z′ − C56γ z′x′ ⎪ ⎪ −τ z′x′ = C61ε x′ + C62ε y′ + C63ε z′ − C64γ x′y′ + C65γ y′z′ − C66γ z′x′ ⎪ ⎭
4.1 广义胡克定律
4.1.5 各向同性弹性体
各向同性弹性体的广义胡克定律
σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
λ , μ 称为拉梅（Lame,G.）常数。
⎪ ⎭
根据简单拉伸试验的 结果，有如下的关系
⎫ ⎪ ν ⎪ ε y = εz = − σ x ⎬ E ⎪ γ yz = γ xz = γ xy = 0 ⎪ ⎭ E
εx =
σx
比较上述两式，有
Eν λ= (1 +ν )(1 − 2ν )
E μ= 2(1 + ν )
4.1 广义胡克定律
4.1.6 弹性常数的测定
1 ⎫ τ xy = (C11 − C12 )γ xy ⎪ 2 ⎪ τ yz = C55γ yz ⎬ ⎪ τ zx = C55γ zx ⎪ ⎭
4.1 广义胡克定律
4.1.5 各向同性弹性体
σ x ' = σ x ,σ y ' = σ z ,σ z ' = σ y ⎫ τ y ' z ' = -τ yz ,τ x ' z ' = −τ xy ,τ x ' y ' = τ xz ⎬ ⎭
由 sij
= 2Geij 得到
sij sij = 4G 2eij eij
1 1 ′ = eij eij J2 根据应力和应变偏量的第二不变量的定义 J 2 = sij sij ， 2 2 得到 ′ J 2 = 4G 2 J 2 4 再根据等效应力和等效应变的定义 σ = 3J 2 ，ε = ′ J2 3 得到 σ = 3Gε
4.3 线弹性应变能密度函数
应变能密度
由功能定理，可以得到单位体积内的应变能，即应变能密度
1 1 U 0 = (σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ zxγ zx ) = σ ijε ij 2 2 ∂U 0 ∂U 0 且有 = σ ij = ε ij ∂σ ij ∂ε ij 由上式并根据广义胡克定律的第二式，推导得到
4.1 广义胡克定律
4.1.3 正交各向异性弹性体
σ x ' = σ x ,σ y ' = σ y ,σ z ' = σ z ⎫ τ y ' z ' = −τ yz ,τ x ' z ' = τ xz ,τ x ' y ' = −τ xy ⎬ ⎭
ε x' = ε x ,ε y' = ε y ,ε z' = ε z ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = γ xz , γ x ' y ' = −γ xy ⎬ ⎭
∂U 0 = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C24γ xy + C25γ yz + C26γ zx ∂ε y
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
4.1.4 横观各向同性弹性体
将它们代入新的广义胡克定律，得到 2C44 = (C11 − C12 )，弹性 常数从6个减少到5个。
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z σ y = C12ε x + C11ε y + C13ε z σ z = C13ε x + C13ε y + C33ε z
E 3vEε ii E σ ii = ε ii + = ε ii 1+ v (1 + v )(1 − 2v ) (1 − 2v )
定义平均应力、平均应变、体积模量 σ ii ε ii E σ m = , εm = , K = 3 3 3 (1 − 2v ) 得到应变球张量的广义胡克定律
σ m = 3Kε m
课件制作： 丁 勇 配套教材：《弹性与塑性力学引论》
中国水利水电出版社，丁勇 宁波大学 建筑工程与环境学院
联系方式：137210762@qq.com
弹性与塑性力学引论
第4章 弹性本构关系
4.1 广义胡克定律
4.1.1 广义胡克定律的一般形式
三维情况下，线弹性材料的广义胡克定律的一般形式为
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入具有一个弹性面的物体的广义胡克定律，得到
C15 = C25 = C35 = C46 = 0
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z ⎫ σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z ⎪ ⎪ ⎪ 所以弹性常数有9个 σ z = C31ε x + C32ε y + C33ε z ⎬ τ xy = C44γ xy ⎪ ⎪ τ yz = C55γ yz ⎪ τ zx = C66γ zx ⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
4.2 广义胡克定律的推论
4.2.1 广义胡克定律的偏量表达式
由广义胡克定律 得到
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
Cij ( i , j = 1, 2," , 6 ) ，以后将证明，如 上式有36个弹性常数， 果材料是均匀的，Cij = C ji ，因此，广义胡克定律的一般形式 中，独立的弹性常数有21个。
4.1 广义胡克定律
4.1.2 具有一个弹性对称面时
σ x ' = σ x ,σ y ' = σ y ,σ z ' = σ z ⎫ τ y ' z ' = τ yz ,τ x ' z ' = −τ xz ,τ x ' y ' = −τ xy ⎬ ⎭
由此获得用等效应力和等效应变表示的剪切弹性模量
σ G= 3ε
4.2 广义胡克定律的推论
4.2.2 应力应变关系的等效应力－等效应变表示
将等效应力和等效应变表示的剪切弹性模量代入广义胡克 定律，得到
2σ sij = eij 3ε
此式即为应力应变关系的等效应力－等效应变表达式，该 表达式可用于塑性阶段的力学分析。
4.2 广义胡克定律的推论
4.2.1 广义胡克定律的偏量表达式
将应力张量表示为球张量和偏张量之和，并将应变球 张量的广义胡克定律代入全量的广义胡克定律，得到
vEδ ijε kk E sij + σ mδ ij = sij + 3Kε mδ ij = ε ij + 1+ v (1 + v )(1 − 2v )
4.1 广义胡克定律
4.1.2 具有一个弹性对称面时
将上式与一般情况下的广义胡克定律进行比较，要使变 换后的应力与应变关系不变，则必须有
C14 = C16 = C24 = C26 = C34 = C36 = C45 = C56 = 0
这样，弹性常数从21个减少到13个
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z + C15γ yz ⎫ σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C25γ yz ⎪ ⎪ σ z = C31ε x + C32ε y + C33ε z + C35γ yz ⎪ ⎪ ⎬ τ xy = C44γ xy + C46γ zx ⎪ τ yz = C51ε x + C52ε y + C53ε z + C55γ yz ⎪ ⎪ τ zx = C64γ xy + C66γ zx ⎪ ⎭
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z + C14γ xy + C15γ yz + C16γ zx ⎫ σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C24γ xy + C25γ yz + C26γ zx ⎪ ⎪ σ z = C31ε x + C32ε y + C33ε z + C34γ xy + C35γ yz + C36γ zx ⎪ ⎪ τ xy = C41ε x + C42ε y + C43ε z + C44γ xy + C45γ yz + C46γ zx ⎬ ⎪ τ yz = C51ε x + C52ε y + C53ε z + C54γ xy + C55γ yz + C56γ zx ⎪ ⎪ τ zx = C61ε x + C62ε y + C63ε z + C64γ xy + C65γ yz + C66γ zx ⎪ ⎭
4.1 广义胡克定律
4.1.4 横观各向同性弹性体
在正交各向异性基础上，每个点都有一个弹性对称轴
⎫ σ x ' = σ y ,σ y ' = σ x ,σ z ' = σ z ⎫ ε x' = ε y ,ε y' = ε x ,ε z' = ε z ⎬ ⎬ τ y ' z ' = −τ xz ,τ x ' z ' = τ yz ,τ x ' y ' = −τ xy ⎭ γ y ' z ' = −γ xz , γ x ' z ' = γ yz , γ x ' y ' = −γ xy ⎭
将上式代入各向同性材料的广义胡克定律，得到
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
上式也可以用张量分量表示为
σ ij = λε kkδ ij + 2με ij
4.1 广义胡克定律
4.1.6 弹性常数的测定
各向同性弹性体在x方向拉 伸时，根据广义胡克定律可得 λ+μ ⎫ εx = σx ⎪ μ (3λ + 2μ ) ⎪ λ ⎪ εy = εz = − σx ⎬ 2 μ (3λ + 2μ ) ⎪ ⎪ γ yz = γ xz = γ xy = 0
化简可得 即
E sij = ε ij − ε mδ ij ) ( 1+ v
sij = 2Geij
σ m = 3Kε m
பைடு நூலகம்
上式即为广义胡克定律的偏量表达式 由于存在关系式 sii = 0，上式需要补充 σ m = 3Kε m ，才 是完整的广义胡克定律的偏量表达式。
4.2 广义胡克定律的推论
4.2.2 应力应变关系的等效应力－等效应变表示
ε x' = ε x ,ε y ' = ε y ,ε z' = ε z ⎫ γ y ' z ' = γ yz , γ x ' z ' = −γ xz , γ x ' y ' = −γ xy ⎬ ⎭
将它们代入一般情况下的广义胡克定律，得到
σ x′ = C11ε x′ + C12ε y′ + C13ε z′ − C14γ x′y′ + C15γ y′z′ − C16γ z′x′ ⎫ σ y′ = C21ε x′ + C22ε y′ + C23ε z′ − C24γ x′y′ + C25γ y′z′ − C26γ z′x′ ⎪ ⎪ σ z′ = C31ε x′ + C32ε y′ + C33ε z′ − C34γ x′y′ + C35γ y′z′ − C36γ z′x′ ⎪ ⎪ ⎬ −τ x′y′ = C41ε x′ + C42ε y′ + C43ε z′ − C44γ x′y′ + C45γ y′z′ − C46γ z′x′ ⎪ τ y′z′ = C51ε x′ + C52ε y′ + C53ε z′ − C54γ x′y′ + C55γ y′z′ − C56γ z′x′ ⎪ ⎪ −τ z′x′ = C61ε x′ + C62ε y′ + C63ε z′ − C64γ x′y′ + C65γ y′z′ − C66γ z′x′ ⎪ ⎭
4.1 广义胡克定律
4.1.5 各向同性弹性体
各向同性弹性体的广义胡克定律
σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
λ , μ 称为拉梅（Lame,G.）常数。
⎪ ⎭
根据简单拉伸试验的 结果，有如下的关系
⎫ ⎪ ν ⎪ ε y = εz = − σ x ⎬ E ⎪ γ yz = γ xz = γ xy = 0 ⎪ ⎭ E
εx =
σx
比较上述两式，有
Eν λ= (1 +ν )(1 − 2ν )
E μ= 2(1 + ν )
4.1 广义胡克定律
4.1.6 弹性常数的测定
1 ⎫ τ xy = (C11 − C12 )γ xy ⎪ 2 ⎪ τ yz = C55γ yz ⎬ ⎪ τ zx = C55γ zx ⎪ ⎭
4.1 广义胡克定律
4.1.5 各向同性弹性体
σ x ' = σ x ,σ y ' = σ z ,σ z ' = σ y ⎫ τ y ' z ' = -τ yz ,τ x ' z ' = −τ xy ,τ x ' y ' = τ xz ⎬ ⎭
由 sij
= 2Geij 得到
sij sij = 4G 2eij eij
1 1 ′ = eij eij J2 根据应力和应变偏量的第二不变量的定义 J 2 = sij sij ， 2 2 得到 ′ J 2 = 4G 2 J 2 4 再根据等效应力和等效应变的定义 σ = 3J 2 ，ε = ′ J2 3 得到 σ = 3Gε
4.3 线弹性应变能密度函数
应变能密度
由功能定理，可以得到单位体积内的应变能，即应变能密度
1 1 U 0 = (σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ zxγ zx ) = σ ijε ij 2 2 ∂U 0 ∂U 0 且有 = σ ij = ε ij ∂σ ij ∂ε ij 由上式并根据广义胡克定律的第二式，推导得到
4.1 广义胡克定律
4.1.3 正交各向异性弹性体
σ x ' = σ x ,σ y ' = σ y ,σ z ' = σ z ⎫ τ y ' z ' = −τ yz ,τ x ' z ' = τ xz ,τ x ' y ' = −τ xy ⎬ ⎭
ε x' = ε x ,ε y' = ε y ,ε z' = ε z ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = γ xz , γ x ' y ' = −γ xy ⎬ ⎭
∂U 0 = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C24γ xy + C25γ yz + C26γ zx ∂ε y
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
4.1.4 横观各向同性弹性体
将它们代入新的广义胡克定律，得到 2C44 = (C11 − C12 )，弹性 常数从6个减少到5个。
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z σ y = C12ε x + C11ε y + C13ε z σ z = C13ε x + C13ε y + C33ε z
E 3vEε ii E σ ii = ε ii + = ε ii 1+ v (1 + v )(1 − 2v ) (1 − 2v )
定义平均应力、平均应变、体积模量 σ ii ε ii E σ m = , εm = , K = 3 3 3 (1 − 2v ) 得到应变球张量的广义胡克定律
σ m = 3Kε m