二次函数根的分布专项练习
二次函数根的分布专题(上课用)
一元二次方程根的分布专题一．一元二次方程根的基本分布——零分布设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x①方程有两个不等正根 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+>-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x②方程两根一正一负 ：0021<<<acx x ，则③方程有两个不等负根：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+>-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用：(1)若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。
(2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？二、一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两不等实根为1x ，2x ， k 为常数。
则一元二次方程根的k 分1x 2x kk kk即时应用：(1) 若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.(2) 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.二、典型例题例1 若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？例2若方程2(2)40x k x -++=有两负根，求k 的取值范围.例3..若关于x 的方程2(2)210x k x k +-+-=的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围例4.已知关于x 的方程223230x x m -+-=的两根都在［－1，1］上.求实数m 的取值范围.例5.方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围2k 1k 2k 1k 3k 2k 1k。
中考数学专题讲练二次函数与根的分布
中考数学专题讲练二次函数与根的分布一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点环境可以由对应的一元二次方程的根的鉴别式鉴定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（极点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的隔断．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： ()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭. 二．二次函数与一元二次方程根的漫衍标题如下表（以0a >为例）：鉴别式:24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根 122bx x a==-没有实根知识精讲一．考点：二次函数与x 轴交点标题，利用二次函数办理一元二次方程根的漫衍标题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点标题即当时0y =，转化为一元二次方程20ax bx c ++=； 2．在利用二次函数剖析一元二次方程根的漫衍标题时要连合函数图像的性质来剖析． 三．易错点：利用二次函数剖析一元二次方程根的漫衍标题时首先确定开口偏向，然后再连合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的漫衍环境．题模一：根的漫衍标题例1.1.1 求实数a 的取值范畴，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<；（2）至少有一个正根；（3）方程一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 （1）715a -<<-；（2）1a ≤-；（3）1517a -<<-．【剖析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =-＋＋＋；则有：0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得：715a -<<- （2）可以利用韦达定理来办理此题①由图1、图2，可得：121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．（3）设2()2(1)26f x x a x a =+-++；则有：(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，解得1517a -<<-．例1.1.2 抛物线y=-x 2+bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：三点剖析题模精讲从上表可知，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线与x 轴的一个交点为（-2，0）；②抛物线与y 轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y 随x 增大而增大． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【答案】C 【剖析】 从表中知道： 当x=-2时，y=0， 当x=0时，y=6，∴抛物线与x 轴的一个交点为（-2，0），抛物线与y 轴的交点为（0，6）， 从表中还知道： 当x=-1和x=2时，y=4， ∴抛物线的对称轴方程为x=12（-1+2）=0.5， 同时也可以得到在对称轴左侧y 随x 增大而增大． 所以①②④正确． 故选C ．例1.1.3 二次函数y=x 2+px+q 中，由于二次项系数为1＞0，所以在对称轴左侧，y 随x 增大而减小，从而得到y 越大则x 越小，在对称轴右侧，y 随x 增大而减大，从而得到y 越大则x 也越大，请根据你对这句话的理解，办理下面标题：若关于x 的方程x 2+px+q+1=0的两个实数根是m 、n （m ＜n ），关于x 的方程x 2+px+q ﹣5=0的两个实数根是d 、e （d ＜e ），则m 、n 、d 、e 的巨细干系是（ ） A ． m ＜d ＜e ＜n B ． d ＜m ＜n ＜e C ． d ＜m ＜e ＜n D ． m ＜d ＜n ＜e 【答案】B【剖析】 二次函数y=x 2+px+q+1图象如图所示：连合图象可知方程x 2+px+q ﹣5=0的两个实数根即为函数y=x 2+px+q+1和y=6的交点， 即d ＜m ＜n ＜e例1.1.4 已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象过点()2,0A ，()2,4B --，对称轴为直线1x =－． （1）求这个二次函数的剖析式；（2）若33x -<<，直接写出y 的取值范畴；（3）若一元二次方程20ax bx c m ++=－（0a ≠，m 为实数）在33x -<<的范畴内有实数根，直接写出m 的取值范畴．【答案】 （1）2142y x x =+-（2）9722y -≤<（3）9722m -≤<【剖析】 该题考察的是二次函数的基本性质． （1）∵对称轴为直线1x =-，图象过点()2,0A∴图象过点()4,0- ………………………………………..1分 设二次函数剖析式为()()42y a x x =+- …………………………….2分 ∵图象过点()2,4B -- 解得12a = ∴()()1422y x x =+-即2142y x x =+- （2）当时1x =-，2114422y x x =+-=-， 当时3x =-，2114222y x x =+-=- 当3x =，2114322y x x =+-= …………………………3分 ∴9722y -≤< ……………………..4分（3）将一元二次方程20ax bx c m ++=－看作二次函数2m ax bx c =++，可知m y =，由（2）可知m 的取值范畴为9722m -≤< …………………6分题模二：函数交点标题例 1.2.1 已知函数244y x x m =-+的图像与x 轴的交点坐标为（1x ，0），（2x ，0），且()()212112458x x x x x +--=，则该函数的最小值为（ ）A ． 2B ． -2C ． 10D ． -10【答案】D 【剖析】函数244y x x m =-+的图象与x 轴的交点坐标为（1x ，0），（2x ，0），∴1x 与2x 是2440x x m -+=的两根，∴211440x x m -+=，121x x +=，124mx x =21144x x m ∴=- ()()212112458x x x x x +--=，∴()()12112458x x x m x x +---=即()()12128x x m x x +---=()118m ∴--=，解得9m =-，∴抛物线剖析式为2214494102y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，故最小值为10-．例1.2.2 已知关于x 的函数()212y m x x m =-++图象与坐标轴只有2个交点，则m=__________．【答案】 1或0 【剖析】 解：（1）当m-1=0时，m=1，函数为一次函数，剖析式为21y x =+，与x 轴交点坐标为 （12-，0）；与y 轴交点坐标（0,1），相符题意； （2）当时10m -≠，1m ≠，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是()4410m m ∆=-->，解得，21524m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得152m +<或152m ->．将()0,0代入剖析式得，0m =相符题意；（3）函数为二次函数时，还有别的一种环境是：与x 轴只有一个交点，与y 轴交于另一点，此时()4410m m ∆=--=，解得152m =±． 例1.2.3 若关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣2）=m 有实数根x 1、x 2，且x 1＜x 2，有下列结论： ①x 1=1，x 2=2； ②m ＞﹣；③二次函数y=（x ﹣1）（x ﹣2）﹣m 的图象对称轴为直线x=1.5； ④二次函数y=（x ﹣1）（x ﹣2）+m 的图象与y 轴交点的一定在（0，2）的上方． 此中一定正确的有 （只填正确答案的序号）． 【答案】 ②③．【剖析】 当m=0时，x 1=1，x 2=2，所以①错误；方程整理为x 2﹣3x+2﹣m=0，△=（﹣3）2﹣4（2﹣m ）0，解得m ＞﹣，所以②正确； 二次函数为y=x 2﹣3x+2﹣m ，所抛物线的对称轴为直线x=﹣﹣1.5，所以③正确；当x=0时，y=x 2﹣3x+2+m=2+m ，即抛物线与y 轴的交点为（0，2+m ），而m ＞﹣，所以二次函数y=（x ﹣1）（x ﹣2）+m 的图象与y 轴交点的一定在（0，）的上方，所以④错误． 故答案为②③．例1.2.4 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的环境；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的隔断为3，求k 的值． 【答案】 （1）见剖析（2）1；3（3）0；3-【剖析】 该题考察的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当时1k =-，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当时1k ≠-，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的恣意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取恣意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，∴ 当时1k =，方程的两根为1-，0；当时3k =，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的隔断为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当时123x x -=，3k =-；当时213x x -=，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练1.1 “要是二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴有两个大众点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，办理下面标题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的巨细干系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b 【答案】A【剖析】 依题意，画出函数y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0 转化为（x ﹣a ）（x ﹣b ）=1， 方程的两根是抛物线y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ．随练1.2 已知二次函数22y x x c =++．（1）当时3c =-，求出该二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（2）若21x -<<时，该二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范畴． 【答案】 （1）()3,0-；()1,0（2）1c =或03c -<≤ 【剖析】 该题考察的是二次函数与x 轴交点标题． （1）由题意，得223y x x =+- 当时0y =，2230x x +-= 解得13x =-，21x =∴该二次函数的图象与x 轴的交点坐标为()3,0-，()1,0. …………………………2分 （2）抛物线22y x x c =++的对称轴为1x =-……………………………………3分 ① 若抛物线与x 轴只有一个交点，则交点为()1,0-.有012c =-+，解得1c =. ………………………………………………………4分 ② 若抛物线与x 轴有两个交点，且满足题意，则有 当时2x =-，0y ≤，∴44c -+≤0，解得0c ≤.随堂练习当时1x =，0y >，∴120c ++>，解得3c >-.∴03c -<≤.……………………………………………………………………………6分 综上所述，c 的取值范畴是1c =或03c -<≤.随练1.3 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：若1112m <<，则一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x ，2x 的取值范畴是（ ）A ． 110x -<<，223x <<B ． 121x -<<-，212x <<C ． 101x <<，212x <<D ． 121x -<<-，234x <<【答案】A 【剖析】1112m <<，1122m ∴-<-<-，11122m <-<；由表中的数据可知，0y =在2y m =-与12y m =-之间，故对应的x 的值在1-与0之间，故223x <<． 随练1.4 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，坐标为A （m ，0），B （n ，0），且m n <，图象上有一点C （3，P ）在x 轴下方，则下列鉴别正确的是（ ）A ． 240b ac -≥B ． 3m n <<C ． ()()330m n --<D ． 以上都不对【答案】D【剖析】 A ．二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，坐标为A （m ，0），B （n ，0），且m n <，∴240b ac ->，故A 错误；B ．a 的标记不能确定，B 错误；C ．当时0a >，点C （3，P ）在x 轴下方，3m n ∴<<，30m ∴->，30n -<，()()330m n ∴--<当时0a <，若点C 在对称轴的左侧，则3m n <<，30m ∴-<，30n -<，()()330m n ∴--> 若点C 在对称轴的右侧，则3m n <<，30m ∴->，30n ->，()()330m n ∴-->，则C 错误． 随练1.5 （1）关于x 的方程222320kx x k ---=有两实根，一个根小于1，另一个根大于1，求实数k 的取值范畴；（2）已知二次方程()()22210m x mx m -+++=两根，分别属于()1,0-和()1,2，求m 的取值范畴． 【答案】 （1）0k >或4k <-；（2）1142m <<． 【剖析】 （1）令2()2232f x kx x k =---，0k ≠；由题()10kf <，()22320k k k ---<，()40k k +>即0k >或4k <-； （2）由题()()()()100120ff ff ⎧-<⎪⎨<⎪⎩ ，则()()()()2121041870m m m m ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，11221748m m ⎧-<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，1142m ∴<<．随练1.6 若关于x 的函数()()22212y a x a x a =+--+-的图像与坐标轴有两个交点，则a 的值为__________．【答案】 2-，2或174． 【剖析】 关于x 的函数()()22212y a x a x a =+--+-的图像与坐标轴有两个交点，所以可以分如下三种环境：①当函数为一次函数时，有20a +=，2a ∴=-，此时54y x =-，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数()2a ≠-，与x 轴有一个交点，与y 轴有一个交点； 函数与x 轴有一个交点，0∴∆=，()()()2214220a a a ∴--+-=，解得174a =； ③函数为二次函数时（2a ≠-），与x 轴有两个交点，与y 轴的交点和x 轴上的一个交点重合，即图象议决原点，20a ∴-=，2a =，当2a =，此时243y x x =-，与坐标轴有两个交点．随练1.7 已知二次函数()2211y kx k x =+--的图象与x 轴交点的横坐标为1x ，2x ()12x x <，那么下列结论：①方程()22110kx k x +--=的两根为1x ，2x ；②当时2x x >，0y >；③11x <-，21x >-；④21x x -=__________．【答案】 ①③．【剖析】 ①二次函数()2211y kx k x =+--的图象与x 轴交点的横坐标，即为令0y =方程的两个根，故该结论正确；②由于k 值不确定，所以抛物线的开口偏向可能向下，故该结论不一定成立； ③根据一元二次方程根与系数的干系，得1212k x x k -+=，121x x k=-，则 ()()121212112111110kx x x x x x k k-++=+++=-++=-<，11x ∴<-，21x >-，故该结论成立；④21x x -==k 的标记不确定，故该项错误．随练 1.8 已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为2x =，若关于x 的一元二次方程20x bx c ---=在13x -<<的范畴内有两个相等的实数根，则c 的取值范畴是（ ） A ． 4c = B ． 54c -<≤ C ． 53c -<<或4c = D ． 53c -<≤或4c = 【答案】D【剖析】 由对称轴2x =可知，4b =，∴抛物线24y x x c =-+，令1x =-时，5y c =+；3x =时，3y c =-；关于x 的一元二次方程20x bx c ---=在13x -<<的范畴内有两个相等的实数根，当时0∆=，即4c =，此时2x =，满足题意；当时0∆>，此时4c <，2y x bx c =++在13x -<<的范畴内与x 轴有交点，()()530c c ∴+-≤，53c ∴-≤≤；当5c =，此时1x =-或5x =，不满足题意；∴c 的范畴：53c -<≤或4c =，故选D ．随练1.9 已知关于x 的一元二次方程()231210kx k x k ++++=．（1）求证：该方程必有两个实数根． （2）若该方程只有整数根，求k 的整数值（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数()231210kx k x k ++++=与x 轴有两个不同的交点A 和B （A 在B 左侧），而且满足2OA OB =，求m 的非负整数值． 【答案】 （1）见剖析（2）1±（3）1【剖析】 该题考察的是一元二次方程综合． （1）()()()223142110k k k k ∆=++=+≥-∴该方程必有两个实数根． --------------------------1分 （2）()()()()2311311=22k k k k x kk-+±+-+±+=()()2311122k k x kk-+-+==-------------3分 ∵方程只有整数根，∴12k --应为整数，即1k应为整数 ∵k 为整数∴1k =± -------------------4分（3）根据题意，10k +≠，即1k ≠-， -------------------5分∴1k =，此时， 二次函数为223y x x m +=+∵二次函数与x 轴有两个不同的交点A 和B （A 在B 左侧） ∵m 为非负整数∴0m =或1m = ---------------------------------------------------6分当时0m =，二次函数为223y x x =＋，此时3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0B不满足2OA OB =． ---------------------------------7分当时1m =，二次函数为2231y x x =+＋，此时()1,0A -，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足2OA OB =∴1m = --------------------------------8分自我总结作业1 若α、β是一元二次方程()2170mx m x m --+-=的实根，且满足10α-<<，01β<<，则m 的取值范畴是______________ 【答案】 67m <<【剖析】 该题考察的是一元二次方程与二次函数的干系．由题意，0m ≠，即二次函数()217y mx m x m =--+-与x 轴的两个交点横坐标分别为 已知二次函数过点()0,7m -，()1,6m -，()1,38m --， 故607067380m m m m ->⎧⎪-<⇒<<⎨⎪->⎩作业2 已知抛物线232y ax bx c =++，（1）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴大众点的坐标；（2）若1==b a ，且当时11<<-x ，抛物线与x 轴有且只有一个大众点，求c 的取值范畴；（3）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试鉴别当时10<<x ，抛物线与x 轴是否有大众点？如有，有几个，证明你的结论；若没有，阐述理由．【答案】 （1）剖析式为1232-+=x x y ；大众点坐标为()10-，和103⎛⎫⎪⎝⎭，（2）31=c 或51c -<≤-（3）在10<<x 范畴内，该抛物线与x 轴有两个大众点【剖析】 该题考察的是二次函数综合．（1）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ． ∴该抛物线与x 轴大众点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，．·············································· 1’ 课后作业（2）当时1==b a ，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有大众点．敷衍方程0232=++c x x ，鉴别式c 124-=∆≥0，有13c ≤． ····································· 2’ ①当时31=c ，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ． 此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个大众点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ································· 3’ ②当时31<c ， 11-=x 时，c c y +=+-=1231，12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个大众点，思虑其对称轴为31-=x ， 应有1200y y ≤⎧⎨>⎩ 即1050c c +≤⎧⎨+>⎩ 解得51c -<≤-． 综上，31=c 或51c -<≤-． ········································································ 4’ （3）敷衍二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ，又0=++c b a ，∴()3222a b c a b c a b a b ++=++++=+．于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ································································································· 5’ ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的鉴别式∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个大众点，极点在x 轴下方． ···························· 6’ 又该抛物线的对称轴3b x a=-， 由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ，得a b a -<<-2， ∴12333b a <-<． ...………………………………………….7’ 又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，查看图象，可知在10<<x 范畴内，该抛物线与x 轴有两个大众点． 8’作业3 下列关于函数()()221312y m x m x =---+的图象与坐标轴的大众点的环境：①当时3m ≠，有三个大众点；②3m =时，只有两个大众点；③若只有两个大众点，则3m =；如有三个大众点，则3m ≠．此中描述正确的是（ ）A ． 一个B ． 两个C ． 三个D ． 四个【答案】A【剖析】 令0y =，可得出()()2213120m x m x ---+=，()()()22231813m m m ∆=---=-， ①当3m ≠，1m =±时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；②当时3m =，0∆=，与x 轴有一个大众点，与y 轴有一个大众点，总共两个，故正确； ③若只有两个大众点，3m =或1m =±，故错误；综上只有②正确．作业4 二次函数()222y x k x k =+++与x 轴交于A ，B 两点，此中点A 是个定点，A ，B 分别在原点的两侧，且6OA OB +=，则直线1y kx =+与x 轴的交点坐标为__________．【答案】 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【剖析】 A ，B 分别在原点的两侧，A 点在左侧，且6OA OB +=，∴设(),0A a ，则()6,0B a +，二次函数()222y x k x k =+++与x 轴的交点便是方程()2220x k x k +++=的根，()62a a k ∴++=-+，()62a a k +=，解得8a =-或2a =-；当时2a =-，4k =- ∴直线1y kx =+为直线41y x =-+，与x 轴的交点坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当时8a =-，8k = ∴直线1y kx =+为直线81y x =+，与x 轴的交点坐标为1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭（不合题意舍去）； 故直线1y kx =+与x 轴的交点坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭． 作业5 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C ：241y mx x =++．（1）当抛物线C 议决点A （-5，6）时，求抛物线的表达式及极点坐标；（2）若抛物线C ：241y mx x =++（0m >）与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括-1和0），连合函数的图象，求m 的取值范畴；（3）参考（2）小问思考标题的要领办理以下标题：关于x 的方程34a x x--=在04x <<范畴内有两个解，求a 的取值范畴． 【答案】 （1）241y x x =++，极点坐标为（-2，-3）；（2）34m <≤；（3）13a -<<．【剖析】 （1）抛物线C 议决点A （-5，6），625201m ∴=-+，解得1m =∴抛物线的表达式为()224123y x x x =++=+- ∴抛物线的极点坐标为（-2，-3）； （2）抛物线C ：241y mx x =++（0m >）与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间，∴当时1x =-，0y >，且0∆≥，即4101640m m -+>⎧⎨-≥⎩，解得：34m <≤；（3）方程34a x x--=的解即为方程2430x x a --+=的解，而方程2430x x a --+=的解即为抛物线243y x x a =--+与x 轴交点的横坐标方程在04x <<范畴内有两个解，∴当时0x =0y >，4x =时0y >，且0∆>，即()3016430a a -+>⎧⎪⎨--+>⎪⎩解得：13a -<<．作业6 已知关于x 的一元二次方程24120x x k -+-=有两个不等的实根，（1）求k 的取值范畴；（2）若k 取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；（3）在（2）的条件下，二次函数2412y x x k =-+-与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），D 点在此抛物线的对称轴上，若60DAB ∠=︒，求点D 的坐标．【答案】 （1）32k >-（2）11x =，23x =（3）(或(2, 【剖析】 该题考察的是二次函数综合． （1）∵方程24120x x k -+-=有两个不等的实根，∴0∆> ……………………………………………………1分即()()244121280k k ∆=--=+>- 解得32k >-………………………………………2分 （2）∵k 取小于1的整数∴1k =-或0 ………………………………………………3分∵方程的解为整数∴1k =- ………………………………………………4分 ∴此时方程为2430x x -+=解得11x =，23x = ……………………………………………5分（3）如图所示，根据（2），二次函数剖析式为243y x x =-+∴点A ，B 的坐标为()1,0A ，()3,0B∴对称轴为2x =当点D 在AB 的上方时，坐标为(，当点D 在AB 的下方时，坐标为(2,∴点D 坐标为(或(2,…………………………………………7分作业7 已知两个二次函数y 1=x 2+bx+c 和y 2=x 2+m ．敷衍函数y 1，当x=2时，该函数取最小值．（1）求b 的值；（2）若函数y 1的图象与坐标轴只有2个不同的大众点，求这两个大众点间的隔断；（3）若函数y 1、y 2的图象都议决点（1，﹣2），过点（0，a ﹣3）（a 为实数）作x 轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．【答案】见剖析【剖析】。
微专题11 二次函数根的分布问题(原卷版)
微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m<<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f m f n <⎧⎨>⎩在区间(,)m n 内有两个不等实根02()0()0b m n a f m f n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m 为实数，命题甲：关于x 的不等式240mx mx +-<的解集为R ；命题乙：关于x 的方程22200x mx m -++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围为_______．例2．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.例3．（2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．例5．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b 的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围.例6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知1x ､2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)若1x ､2x 均为正根，求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不能存在，请说明理由．题型二：根在区间的分布问题例7．（2022·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．例8．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？例9．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=，当a 为何值时，该方程：有不同的两根且两根在(1,3)内．例10．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．例11．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221 260.x m x m +-++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<；(3)至少有一个正根.例12．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，则实数a 的取值范围为___________.例13．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____．例14．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．例17．（2022·上海·高一专题练习）方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______例18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．2275a -<<B ．25a >C ．27a <-D ．2011a -<<例19．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦题型三：整数根问题例20．（2022·上海市实验学校高一开学考试）已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.例21．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（）A ．13B ．18C ．21D ．26例22．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．9例23．（2022·全国·高一专题练习）若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根，则k 可取的最大整数值是______.题型四：范围问题例24．（2022·上海·高一专题练习）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.例25．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x .(1)当1m =时，求1211+x x 的值；(2)若120,0x x >>，求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.例26．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（）A ．4B ．2C ．1D ．12例27．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A ．-2B ．23C ．89D ．1例28．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A ．12a x x b <<<B ．12x a b x <<<C ．12a xb x <<<D ．12x a x b<<<例29．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈．(1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一专题练习）已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．22．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ，则12||x x -=（）A ．3B ．6C ．D ．4．（2021·江苏·高一课时练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是()A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．2a <6．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）设集合{}2320A x x x =-+<，集合{}2210B x ax x =--=，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞7．（2022·全国·高一课时练习）要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{}12a a -<<B ．{}21a a -<<C ．{}2a a <-D ．{}1a a >8．（2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-二、多选题9．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）.A ．24a b=B ．若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-，则7a b c ++=C ．若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为12(,)x x ，且12||4x x -=，则4c =10．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是（）A ．4m =B ．5m =C ．1m =D ．12=-m 11．（2022·湖南湖南·高一期末）若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（）A ．3-B ．18C ．14D ．112．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈<B ．方程()230x m x m +-+=有两个正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤C ．方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}1m m m ∈>D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为013．（2021·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5三、填空题14．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是：__________________．15．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．16．（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈，{}2|120,B x x ax x R =--≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______________．四、解答题18．（2022·全国·高一期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题():0,q x ∃∈+∞，2390x mx -+<．(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．19．（2022·湖南·高一课时练习）若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内，另一个根在区间()1,2内，求实数a 的取值范围．20．（2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）已知()()2213f x x a x =+-+．(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根，求实数a 的取值范围；(2)如果[]1,2x ∃∈，()0f x >成立，求实数a 的取值范围．21．（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数()2f x ax bx c =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围；(2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；(3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.。
根的分布练习题[1].doc
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根的分布练习题1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
5、方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，求实数m 的取值范围。
6、如方程24260x mx m -++=有且只有一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
根的分布答案：1、解：由 ()()2100m f +⋅< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。
2、解：由 ()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⋅⎪>⎪⎩⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+3、由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m +⋅+< ⇒ 122m -<<即为所求的范围。
4、解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f ⋅< ⇒ ()4310m ⋅+<⇒ 13m <-即为所求范围。
5、分析：因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由213m <<得223m <<即为所求； 6、分析：①由()()300f f -⋅<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间。
高一数学上学期期中真题分类汇编(人教A版)专题05二次函数根的分布问题含参数一元二次不等式(原卷版)
专题05 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式解不含参的一元二次不等式及分式不等式 1．（2022秋·安徽马鞍山·高一安徽工业大学附属中学校考期中）不等式()()130x x +-<的解集为（ ） A ．{}13x x -<<B ．{}31x x -<<C ．{1x x <-或3}x >D ．{3x x <-或1}x >2．（2022秋·浙江温州·高一校考期中）不等式2450x x +<-的解集为（ ）A ．∅B ．()(),15,∞∞--⋃+C ．()1,5-D ．R3．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）不等式1x x >的解集为（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(,1)(0,1)-∞-⋃C ．(1,0)(1,)-⋃+∞D ．(1,0)(0,1)-4．（2022秋·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中）解下列关于x 的不等式：(1)2240x x -++>(2)2311x x -≥+ 5．（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）解下列不等式：(1)2210x x -++<；(2)221x x -≥-． 解含参的一元二次不等式1．（2022秋·辽宁大连·高一育明高中校考期中）已知:125p x -≤，22:4490(0)q x x m m -+-≤>若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2022秋·辽宁·高一校联考期中）已知函数()()()2236R f x ax a x a =-++∈，且不等式()2f x ≤-无解，求实数a 的取值范围 ．3．（2022秋·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）解关于x 的不等式(1)()2220x a x a +++≤(2)()22310x a a x a a -++++≥4．（2022秋·山东青岛·高一统考期中）解关于实数x 的不等式：()()23260ax a x a R +-->∈.5．（2022·江苏·高一期中）（1）若不等式2(1)22ax a x a +-+-≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈．6．（2022秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集.由一元二次不等式的解确定参数1．（2022秋·河北石家庄·高一河北新乐市第一中学校考期中）若关于x 的不等式20ax bx +<的解集为()0,2，则20bx ax +>的解集为（ ）A ．()1,0,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则a b +=（ ）A ．3B ．5C ．1-D ．3-3．（2022·浙江·高一期中）（多选）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{}23x x <<，则（ ）A ．0a >B ．65b c =C ．20bx ax c ++>的解集为615x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．0a b c ++> 4．（2022秋·浙江温州·高一校考期中）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}1<<3x x ，则不等式()()0ax b cx a ++>的解集为 .5．（2022秋·山西晋城·高一校联考期中）若不等式20ax bx c ++≥的解集为{}15x x ≤≤，则关于x 的不等式20bx ax c ++≤的解集为 .6．（2022秋·浙江台州·高一台州一中校考期中）不等式260ax bx ++<的解集为(2,3)，则a b -的值是 ．7．（2022秋·重庆·高一校联考期中）若不等式230ax bx +->的解集是1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． (1)求实数a ，b 的值．(2)求不等式101ax bx +>-的解集． 根的分布问题1．（2022秋·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考期中）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．122．（2022秋·四川宜宾·高一校考期中）（多选）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）已知一元二次方程()22430a x x -++=有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 ．4．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知关于x 的方程()22140x m x m -++=的两根分别在区间()01，，()12，内，则实数m 的取值范围为 ． 5．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考期中）关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是 .6．（2022秋·北京·高一北师大实验中学校考期中）已知关于x 的方程()222210x a x a +++-=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围为 ．7．（2022秋·湖北武汉·高一期中）已知一元二次方程2210ax x ++=．(1)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 8．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题2:R,390q x x mx ∃∈-+<.(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围.恒成立及有解问题综合1．（2022秋·福建福州·高一校考期中）已知关于x 的不等式2230kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．[]0,3B ．(]0,3C ．[)0,3D ．()0,32．（2022秋·湖南永州·高一校考期中）如果R x ∀∈，不等式()22110+-+≥x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,13．（2022秋·吉林通化·高一校考期中）设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在12x ≤≤上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≤D ．52a ≥ 4．（2022秋·北京·高一校考期中）x ∃∈R ，使240ax x a -+>成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()2,-+∞ C ．()[),20,-∞-+∞ D ．()(),22,∞∞--⋃+5．（2022秋·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考期中）若关于x 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集不为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A ．62,5⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．6(,2)[,)5-∞-⋃+∞D ．6(,2],5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期中）（多选）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ）A ．2440b c -+≤B ．0b ≤C ．1c ≥D ．0b c +≥7．（2022秋·广东清远·高一清远市第一中学校考期中）（多选）已知不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值可以是（ ）A ．35B ．0C ．12 D ．18．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）（多选）已知0b >,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式32330ax x abx b +--≤恒成立.则（ ）A ．a<0B ．23a b =C ．24a b +的最小值为12D ．23a ab a b +++的最小值为636-9．（2022秋·四川成都·高一校考期中）若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ．10．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为 ．11．（2022秋·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期中）已知[]0,2a ∀∈时，不等式()231102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为 ． 12．（2022秋·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考期中）对于()1,2x ∀∈，关于x 的不等式2420x x a --->恒成立，则实数a 的取值范围是 ．13．（2022秋·湖北·高一校联考期中）若1x >时，24(32)370x a x a -+++≥恒成立，则a 的取值范围为 .14．（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）若对任意的实数x ，一元二次不等式()22130x k x k ++++>恒成立，求实数k 的取值范围.15．（2022·江苏·高一期中）（1）若不等式2(1)22ax a x a +-+-≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈．一元二次不等式的实际应用1．（2022秋·河北承德·高一校考期中）某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的%t 征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3， 为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是 ． 2．（2022秋·江苏常州·高一统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会一、单选题1．（2022秋·湖北·高一宜城市第一中学校联考期中）一元二次不等式20ax bx c -+>的解集为2．（2022秋·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考期中）若关于x 不等式20ax bx c ++≥的解集为1][,)3+∞ 1][,)2+∞ 3．（2022秋·江苏淮安·高一马坝高中校考期中）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ）B ．(]6,7 24,x x +<)(1,)+∞ 41)(,)3+∞ 二、多选题6．（2022秋·福建福州·高一校考期中）已知命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，那7．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期中）已知20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则下列说法正确的是（ ）8．（2022秋·江苏南通·高一启东中学校考期中）已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（ ）三、填空题9．（2022秋·山东聊城·高一统考期中）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有3个正整四、解答题。
高一数学二次函数根的分布专题归类精练
高一数学：二次方程根的分布一、一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的分布情况：设方程02=++c bx ax 的两实根为12,x x ，(不妨设21x x ≤)，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根12,x x 即为此二次函数的零点， 即此二次函数的图象与x 轴的交点为)0,(1x 和)0,(2x ，因为02=++c bx ax )0(≠a 与0)(2=++x bx ax a 是同解的，故考虑具体的端点值时，考虑的是函数ac abx x a c bx ax a x af y ++=++==222)()(的端点值，这样只考虑开口向上的情况即可.解决根的分布问题的方法：数形结合，三看：一看判别式；二看对称轴；三看端点值.它们的分布情况见下表：如上图，只是可以过两端点，注注2：对于端点值是否可取，最好单独讨论；注3：以上11种情况都有相应的等价形式，对于具体题中的条件，往往是几种情况合在一起的，这时需要分类讨论，此时莫忘注1，注2 .特别注意下列两种情况：一. 函数)(x f 在()n m ,内仅有一个零点，可分：（1）方程0)(=x f 有且只有一根（两根重合时），且这个根在区间()n m ,内，即0∆=， 此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根， 检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数的值.（2）若()0f m =，可以确定的求出相应的系数（或得到一个关系），从而可以求出另外一根， 若这另外的一根在区间()n m ,内，则满足条件；若不在，则这种情况不成立.（3）若()0f n =时，同理.（4）以上三种都讨论完了，只剩下一种情况，即只要0)()(<n f m f 即可.例1：已知624)(2++-=m mx x x f 在区间()3,0-内有且仅有一个零点，求m 的取值范围.解：①当0∆=时，即()2164260m m -+=，得出1m =-或32m =， 当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意； 当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意； ②当0151462129)3(=+=+++=-m m m f ，解得：1415-=m ， 由韦达定理的两根之积为72767156232=+-=+=⨯-m x ， 即)0,3(792-∈-=x ，满足条件，故1415-=m 合适； ③当062)0(=+=m f ，解得：3-=m ，由韦达定理的两根之和为12402-==+m x ， 即)0,3(122-∉-=x ，不满足条件，故3-=m （舍）；④当0)0()3(<⋅-f f 时，即0)62)(1514(<++m m ，得出14153-<<-m ，必满足条件. 综上所述所求m 的取值范围是：14153-≤<-m ，或1m =-. 注：你能发现这个题的巧解吗？二. 函数)(x f 在],[n m 内仅有一个零点，可同上分析.即先讨论0=∆（即方程两根重合）时的情况，验证相应的根是否合适；再看取到端点值时的情况，此时已知一根，由韦达定理易得另一根，验证是否满足条件；最后0)()(<n f m f 即可！ 熟练之后，此次序可以灵活变通，只是请注意分类要不重不漏！例2：已知624)(2++-=m mx x x f 在区间]0,3[-内有且仅有一个零点，求m 的取值范围. 解：①当0∆=时，即()2164260m m -+=，得出1m =-或32m =， 当1m =-时，根]0,3[2-∈-=x ，即1m =-满足题意； 当32m =时，根]0,3[3-∉=x ，故32m =不满足题意； ②当0151462129)3(=+=+++=-m m m f ，解得：1415-=m ， 由韦达定理的两根之积为72767156232=+-=+=⨯-m x ， 即)0,3(792-∈-=x ，不满足条件，故1415-=m （舍）；③当062)0(=+=m f ，解得：3-=m ，由韦达定理的两根之和为12402-==+m x ， 即)0,3(122-∉-=x ，满足条件，故3-=m 合适；④当0)0()3(<⋅-f f 时，即0)62)(1514(<++m m ，得出14153-<<-m ，必满足条件. 综上所述所求m 的取值范围是：14153-<≤-m ，或1m =-. 注：你能发现这个题的巧解吗？注：讨论端点时，如果遇到下列情况，前参看下列题的处理办法！例3：已知方程02)2(2=++-x m mx 在区间()1,3上有一根，求m 的取值范围. 解：当0=m 时，易知方程仅有一个根为1，不满足条件当0≠m 时，令2)2()(2++-=x m mx x f ，因为()10f =， 所以()()()22212mx m x x mx -++=--，故另一根为2m， 由213m <<，得223m <<即为所求. 例4：已知方程02)2(2=++-x m mx 在区间]3,1[上有一根，求m 的取值范围. 解：当0=m 时，易知方程仅有一个根为1，满足条件；当0≠m 时，令)2)(1(2)2()(2--=++-=mx x x m mx x f ，必有一根为1 故另一根2m ，当12=m，即2=m 时合适； 否则必须满足：12<m 或32>m ，解得：0<m ，或320<<m ，或2>m综上所述，所求m 的取值范围是32<m 或2≥m .注：你能发现这两个题的巧解吗？以后再赘述吧，先抱歉了！二．根的分布经典题归类讲解例1、①m 取何实数值时，方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根.②m 取何实数值时，方程013422=-++m mx x 有两个负数根.③m 取何实数值时，关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的两个实根都大于2. 解：①令=)(x f m x m x ++-)1(22，其图像开口向上，对称轴为41+=m x ， 判别式为168)1(22+-=-+=∆m m m m原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>+>+-=∆⇔0)0(0410162m f m m m 解得：2230-<<m 或223+>m ，即为所求.②令=)(x f 13422-++m mx x ，其图像开口向上，对称轴为m x -=， 判别式为)1)(21(16)2123(16)13(81622--=+-=--=∆m m m m m m . 原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-≥--=∆⇔013)0(00)1)(21(16m f m m m 解得：2131≤<m 或1≥m ，即为所求.③令=)(x f m x m x -+-+5)2(2，其图像开口向上，对称轴为21m x -=， 判别式为)4)(4(16)5(4)2(22-+=-=---=∆m m m m m .原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=-+-+=>-≥-+=∆⇔055424)2(2210)4)(4(m m m f m m m 解得：45-≤<-m ，即为所求.例2、①已知二次方程012)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.②已知二次函数33)42()2(2+++-+=m x m x m y 与x 轴有两个交点，一个在1=x 的左侧，一个在1=x 的右侧，求实数m 的取值范围.③m 取何实数值时，关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的一个实根大于2，另一个实根小于2.解：①令=)(x f 12)12(2-+-+m mx x m ，其图像开口方向不明，原条件0)1)(12()0()12(<-+=+⇔m f m ，解得：21->m . 即为所求. 注：利用两个之积012121<+-=m x x ，也可以快速得出！②令=)(x f 33)42()2(2+++-+m x m x m ，其图像开口方向不明，原条件0)12)(2()33422)(2()1()2(<++=++--++=+⇔m m m m m m f m ， 解得：212-<<-m . 即为所求. 注：利用0)1)(1(21<--x x ，即021212422331)(2121<++=+++-++=++-m m m m m m x x x x 也可得.③令=)(x f m x m x -+-+5)2(2，其图像开口向上，原条件055424)2(<+=-+-+=⇔m m m f 解得：5-<m ，即为所求.注：利用0)2)(2(21<--x x ，即054)2(254)(22121<+=+---=++-m m m x x x x 也可得. 例3．①已知关于x 的方程：022=+-a ax x 有两个实根βα,，且满足2,10><<βα，求实数a 的取值范围．②已知关于x 的方程：062)1(22=-++--m m mx x m 有两个实根βα,，且满足βα<<<10， 求实数m 的取值范围．③已知关于x 的方程：0532=+-a x x 有两个实根βα,，且满足)3,1(),0,2(∈-∈βα，求实数a 的取值范围．解：①令=)(x f a ax x +-22，其图像开口向上，画图可得：原条件⎪⎩⎪⎨⎧<-=<-=>=⇔034)2(01)1(0)0(a f a f a f 解得：34>a ，即为所求.②令=)(x f 62)1(22-++--m m mx x m ，其图像开口方向不明，画图可得：原条件⎩⎨⎧<->-⇔0)1()1(0)0()1(f m f m ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-++--->-+-⇔0)621)(1(0)6)(1(22m m m m m m m m即⎩⎨⎧<+-->+--⇔0)7)(7)(1(0)3)(2)(1(m m m m m m 解得：73-<<-m 或72<<m ，即为所求.③令=)(x f a x x +-532，其图像开口向上，画图可得：原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=+-=<-=+-=<=>+=++=-⇔0121527)3(022)1(0)0(0221012)2(a a f a a f a f a a f 解得：012<<-a ，即为所求.例4、①已知方程03222=+++m mx x 的两个不等实根都在区间)2,0(内，求实数m 的取值范围.②已知方程03222=+++m mx x 的两个不等实根都在区间]2,0[之外，求实数m 的取值范围. 解：令322)(2+++=m mx x x f ，其图像开口向上，对称轴为m x -=，由判别式0)3)(1(4)32(4)32(4422>-+=--=+-=∆m m m m m m ，得：1-<m 或3>m①的条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=>+=<-<>∆⇔076)2(032)0(200m f m f m ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-><<->-<⇔67230231m m m m m 或解得：167-<<-m 即为所求.②的条件可分为：两根都小于0，或两根都大于2，或一根小于0，一根大于2，三种情况故⎪⎩⎪⎨⎧>+=<->∆⇔032)0(00m f m 或⎪⎩⎪⎨⎧>+=>->∆076)2(20m f m 或⎩⎨⎧<+=<+=076)2(032)0(m f m f解得：3>m ，或无解，或23-<m ，故所求m 的取值范围是：23-<m 或3>m . 例5：已知集合}0107|{2≤+-=x x x A ，}05)2(|{2≤-+--=m x m x x B ，且A B ⊆， 求实数m 的取值范围.解：首先}52|{≤≤=x x A ；当∅=B 时，即不等式05)2(2≤-+--m x m x 无解，即0)5(4)2(2<---=∆m m 即：0162<-m ，解得：44<<-m ； -----（1）当∅≠B 时，即不等式05)2(2≤-+--m x m x 有解，其形式必为21x x x ≤≤； 其中21,x x 为方程05)2(2=-+--m x m x 的两个根，（不妨设21x x ≤） 按条件，只要5221≤≤≤x x 即可满足A B ⊆；按照根的分布的理论，此时只要满足：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+--=≥-+--=≤-≤≥-=∆05)2(525)5(05)2(24)2(52220162m m f m m f m m即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≥-≤≤-≥-≤55284,4m m m m m 或，解得：45-≤≤-m ，-----（2）由（1）（2）可得：所求的m 的取值范围是45≤≤-m .三．自己练习巩固提升1．设有一元二次方程02)1(22=++-+m x m x ．试问：(1)m 为何值时，有一正根、一负根．(2)m 为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m 为何值时，有两正根． (4)m 为何值时，有两负根．(5)m 为何值时，仅有一根在[1，4]内.2. 关于x 的方程012=-++a ax x 有异号的两个实根，求a 的取值范围.3.如果方程032)3(22=-+++a x a x 的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范围. 4.若方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负根，求实数a 的取值范围. 5. 关于x 的方程0422=-+-a ax x 有两个正根，求a 的取值范围.6.设关于x 的方程0)(44222=+++-n m x n m x 有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则n m ,必须满足什么关系.7. 设关于x 的方程023222=---k x kx 有两个实根都在]0,2[-之间，求k 的取值范围.8.关于x 的方程02)13(72=--+-m x m x 的两个实根21,x x 满足2021<<<x x ，求m 的范围. 9.①已知方程065)9(222=+-+-+a a x a x 的一根小于0，另一根大于2，求实数a 的取值范围.②已知方程065)9(222=+-+-+a a x a x 的存在小于2的根，求实数a 的取值范围.。
二次方程根的性质测试题
二次方程根的性质测试题在数学中，二次方程是一种常见且重要的代数方程。
它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
本文将通过测试题的形式来深入探讨二次方程根的性质。
请按照以下测试题的要求回答问题。
测试题一：求根公式1. 给定二次方程3x^2 - 7x + 2 = 0，请使用求根公式计算出方程的两个根。
测试题二：判别式2. 对于二次方程2x^2 - 5x + 3 = 0，请计算并判断其判别式的值。
然后回答以下问题：a) 判别式的值是多少？b) 判别式的值代表了什么含义？c) 方程2x^2 - 5x + 3 = 0有几个实根？测试题三：根的关系3. 对于二次方程x^2 - 4x + 4 = 0，请回答以下问题：a) 方程的根是什么？b) 请判断方程的两个根之间的关系。
若存在关系，请说明具体关系。
测试题四：零根和重根4. 对于二次方程2x^2 + 3x + 4 = 0，请回答以下问题：a) 方程的判别式的值是多少？b) 判别式的值代表了什么含义？c) 方程有无实根？d) 若方程有实根，该实根是零根还是重根？测试题五：根的范围5. 对于二次方程x^2 + 3x + 2 = 0，请回答以下问题：a) 方程的两个根的范围是什么？b) 方程的两个根是否均为负数？请说明理由。
测试题六：解方程组6. 解二次方程组：a) { x^2 + 2y = 1,2x - y^2 = 2 }b) { x^2 + y^2 = 25,x + y = 7 }测试题七：应用题7. 一个圆形花坛的半径是r，现在将它围上一圈木栅栏。
假设木栅栏的宽度为w，花坛的面积为S。
请回答以下问题：a) 以r和w表示圆形花坛的周长。
b) 以r和w表示圆形花坛的面积S。
c) 当w取何值时，花坛的面积S最大？d) 使用二次方程求解，当w取能使花坛的面积S达到最大值时，S的值是多少？测试题八：证明题8. 证明：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，若它的两个根相等，则判别式Δ=0.测试题九：复根9. 对于二次方程2x^2 + 4x + 6 = 0，请判断该方程是否有复根。
二次函数根的分布专题
二次函数根的分布专题知识结构图一．二次函数与轴交点1．抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离.2．平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.3．抛物线与轴两交点之间的距离．若抛物线与轴两交点为，，由于、是方程的两个根，故：.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以为例）：题模一 根的分布问题 例1.1、求实数的取值范围，使关于的方程．（1）有两个实根，且满足； （2）至少有一个正根； （3）方程一个根大于而小于，另一个根大于而小于．判别式二次函数的图象一元二次方程:的根有两相异实根有两相等实根例1.2、抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A、 1B、 2C、 3D、4例1.3、二次函数y=x2+px+q中，由于二次项系数为1＞0，所以在对称轴左侧，y随x增大而减小，从而得到y越大则x越小，在对称轴右侧，y随x增大而减大，从而得到y越大则x也越大，请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若关于x的方程x2+px+q+1=0的两个实数根是m、n（m＜n），关于x的方程x2+px+q﹣5=0的两个实数根是d、e（d＜e），则m、n、d、e的大小关系是（）A、 m＜d＜e＜nB、 d＜m＜n＜eC、 d＜m＜e＜nD、m＜d＜n＜e例1.4、已知二次函数（a≠0）的图象过点，，对称轴为直线．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若，直接写出y的取值范围；（3）若一元二次方程（，m为实数）在的范围内有实数根，直接写出m的取值范围．题模二函数交点问题例2.1、已知函数的图像与轴的交点坐标为（，0），（，0），且，则该函数的最小值为（）A、 2B、 -2C、 10D、-10例2.2、已知关于x的函数图象与坐标轴只有2个交点，则m=__________．例2.3、若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，有下列结论：①x1=1，x2=2；②m＞﹣；③二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣m的图象对称轴为直线x=1.5；④二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，2）的上方．其中一定正确的有（只填正确答案的序号）．例2.4、已知关于x的方程．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．随堂练习随练1.1、“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A、 m＜a＜b＜nB、 a＜m＜n＜bC、 a＜m＜b＜nD、m＜a＜n＜b随练1.2、已知二次函数．（1）当时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；（2）若时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．随练1.3、二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：若，则一元二次方程（）的两个根，的取值范围是（）A、，B、，C、，D、，随练1.4、若二次函数的图象与x轴有两个交点，坐标为（m，0），（n，0），且，图象上有一点C（3，P）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A、B、C、D、以上都不对随练1.5、（1）关于x的方程有两实根，一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的取值范围；（2）已知二次方程两根，分别属于和，求m的取值范围．随练1.6、若关于x的函数的图像与坐标轴有两个交点，则a的值为__________．随练1.7、已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标为，，那么下列结论：①方程的两根为，；②当时，；③，；④，其中正确结论的序号是__________．随练1.8、已知抛物线的对称轴为，若关于的一元二次方程在的范围内有两个相等的实数根，则的取值范围是（）A、B、C、或D、或随练1.9、已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程必有两个实数根．x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），并且满足，求m的非负整数值．能力拓展拓展1、若、是一元二次方程的实根，且满足，，则m的取值范围是______________拓展2、已知抛物线，（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，有几个，证明你的结论；若没有，阐述理由．拓展3、下列关于函数的图象与坐标轴的公共点的情况：①当时，有三个公共点；②时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则；若有三个公共点，则．其中描述正确的是（）A、一个B、两个C、三个D、四个拓展4、二次函数与x轴交于，两点，其中点是个定点，，分别在原点的两侧，且，则直线与x轴的交点坐标为__________．拓展5、在平面直角坐标系中，抛物线：．（1）当抛物线经过点（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）若抛物线：（）与x轴的交点的横坐标都在和0之间（不包括-1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：关于x的方程在范围内有两个解，求的取值范围．（1）求的取值范围；（2）若取小于的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；（3）在（2）的条件下，二次函数与轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若，求点D的坐标．拓展7、已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m．对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值．（1）求b的值；（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．。
二次函数根的分布
即(2a 3)(a 2) 0 由 x a 1 2得
3 a 2, 2
a2
(1)1 a
2时,
x
(a
1)(a
2)
2(a
2)
(2)
3 2
a
x [6,12)
1时, x (1 a)(a
2)x2([a9, 4
22)3) 4
例3.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的 交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取 值范围 .
1 2
时,
x
a,
01 1 2X=a
01
x
x
X=a
y有最大值a2, x 1时, y有最小值f (1) 2a 1.
2.若关于x的方程 x2 (a 1)x 1 0 有两个相
等的实数根,且两根在区间[0,2]上,求实数a的范围.
解:设f (x) x2 (a 1)x 1(如图)
(a 1)2 4 0
(1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值
解: f (x) (x 2)2 8
8 1 t 2
g(t
)
f (t) t2 4t 4(t 2)
f (t 1) (t 1)2 4(t 1) 4(t 1)
【巩固练习】
1.当a 0,0 x 1时,求函数f (x) x2 2ax的最大最小值.
3.关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大,
另一根比1小，则有( C )
(A)-1＜a＜1 (B)a＜-2或a＞1 (C)-2＜a＜1 (D)a＜-1或a＞2
4.设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实
最新一元二次方程根的分布练习题
根分布例题选讲例１．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
例２．已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).若方程f (x )=x 无实根，求证：方程f [f (x )]=x 也无实根．例３．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．变式：已知方程x 2 + (3m -1)x + (3m -2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围．例４．已知方程)(0)32()1(242R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．例５．求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ．（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．（２）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα．（３）至少有一个正根．例６． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.变式：已知方程2x 2 – 2(2a -1)x + a +2=0的两个根在-3与3之间，求a 的取值范围．例７．已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求m 的取值范围．变式：如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.例８．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．下面再举两个例子：例９．求函数y = x +1x 2-3x +2(1<x <2)的值域．例10．已知抛物线y = 2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 的取值范围．练习题：1．已知二次方程04)32()13(2=+-++-m x m x m 有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m 的取值范围．2．已知方程02)12(22=+⋅-+⋅m m m x x 在)1,(-∞上有两个根，求m 的取值范围．3．已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有且只有一个实根属于（1，2），且2,1==x x 都不是方程的根，求m 的取值范围．4．已知二次方程0)1()43()1(2=++++-m x m x m 的两个根都属于（–1，1），求m 的取值范围．5．若关于x 的方程x 2+(a -1)x +1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a 的取值范围．小测：校园伤害事故的基本法律原则返回本次得分为：6.00/6.00, 本次测试的提交时间为：2018-03-09, 如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。
二次函数根分布问题
练习 1、已知关于x的方程 x2 2m x 2m 1 0; 若方程有两个根， 其中一个根在区间（ 1,0）内，； 另一根在区间（ 1,2）内，求m的取值范围
例题2、已知关于x的方程 x2 2m x 2m 1 0; 若方程有两个实根， 且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围
练习2、已知关于x的方程 x2 （ 2 m 1 ）x 2m 6 0; 若方程有两个实根， 且一个比2大，一个比2小，求m的取值范围
题型二：两根正负
例题3、已知关于x的方程 x2 2mx 2m 1 0; 若方程有一正一负两个 根， 求实数m的取值范围
练习3、已知关于x的方程 x2 2mx 2m 1 0; 若方程有且仅有一个正 实根， 求实数m的取值范围
题型三：两根在某个区间中
例题4、已知关于 x的方程 x2 2mx 2m 1 0; 若方程有两个实根， 且都在区间 [0,4)内，求m的取值范围
练习4、已知关于 x的方程2 x2 （ 2 2a 1 ）x a 2 0; 若方程有两个实根， 且都在区间 3与3之间，求实数 a的取值范围
题型四：在某个区间中考虑根的情况
练习5、已知关于x的方程 x2 2ax 2 0; 在区间 [0,4]上至少有一个零点， 求实数a的取值范围
经典例题二次函数根的分布(供参考)
二次函数根的分布一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）表二：（两根与k 的大小比较）论论论论表三：（根在区间上的分布）二、经典例题例1：（实根与分布条件）已知βα,是方程024)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。
变式：关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的两个根，一个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。
例2：（动轴定区间）函数32)(2--=ax x x f 在区间[]2,1上是单调函数，则a 的取值范围是？变式2：函数32)(2+-=kx x x f 在[]+∞-,1上是增函数，求实数k 的取值范围。
列3：（定轴动区间）求函数12)(2--=ax x x f 在[]2,0上的值域。
变式3：已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的取值范围。
例4：（定轴动区间）已知二次函数32)(2--=x x x f ，若)(x f 在[]1,+t t 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式。
变式4：已知二次函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1)1(,0)0(==f f ，若)(x f 在区间[]n m ,上的值域是[]n m ,，求n m ,的值。
例5：（恒成立问题）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意[]1,+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，求实数m 的取值范围。
变式5：已知函数1)(2+-=mx x x f 在)2,21(上恒大于0，求实数m 的取值范围。
三、课后练习1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
2、函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
【经典例题】二次函数根的分布之欧阳家百创编
二次函数根的分布欧阳家百（2021.03.07）一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 分布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）得出的结论 ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）表二：（两根与k 的大小比较）表三：（根在区间上的分布）综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21, 两根都大于k 即k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论 ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f大致图象（0<a ）得出的结论 ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f akkk欧阳家百创编 二、经典例题例1：（实根与分布条件）已知βα, 是方程024)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2，求实数m 的取值范围。
一元二次方程根的分布练习题
根分布例题选讲例1.设关于X的方程4x-2s+-b =0 (b亡R),(1 )若方程有实数解，求实数b的取值范围；(2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
例2.已知二次函数f (x)二ax~+bx+c(8羊0若方程f (x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根.例3.设A二[—2, 4) , B ={x X2 -ax-4 <0},若B匸A,求实数d的取值范围.变式：已知方程x2 + (3m-l)x + (3m-2)=0的两个根都属于(-3, 3),且其屮至少有一个根小于1,求2 _______例4 .已知方程4x +2 (m —l)x+(2m+3)二0 (m亡R)有两个负根，求m的取值范围.例5 .求实数m的范围，使关于x的方程X2+2 (m-l)x + 2m+6二0 .(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小.(2)有两个实根£ P,且满足0va＜； lvPc4 .(3)至少有一个正根.例6.已知关于x的二次方程x：+2mx+2m+l=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.变式：已知方程2X： -2 (2a-l)x + a+2二0的两个根在-3与3 Z间，求a的取值范围.例7 .已知二次方程mx2 +(2m —l)x —m +2二0的两个根都小于1,求m的取值范围.变式：如果二次函数y 二mx ：+ (m- 3) x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧, 取值范围.例8 .已知a 是实数，函数f (X) =2ax 2+2x-3-a,如果函数y 二f (x)在区间［-1, 1 ］上有零 点，求a 的取值范围.二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况, 可以适当运用•下面再举两个例子：x+1 例9.求函数y 二 応2 (心⑵的值域. 例10.已知抛物线有仑共凉「mx+m 与直角坐标平面上两点(0,0) ,(1,1)为端点的线段(除去两个端 求m 的取值范围.点)试求m 的 在其它的一些场合下也2练习题：1.已知二次方程(3m-l)x +(2 m+ 3)x - m+ 4二0有且只有一个实根属于(-1, 1),求m 的取值范围.2.已知方程mCx+(2m T), 2x +m=0在(二，1)上有两个根，求m 的取值范围.3.已知二次方程2 // 都不乜方程的根 求"加+Dx _2mx+—1)有且只有1个实根属于(1,2),且X =l,x ：=2 m 的取 值范围.(m 一l)x 2 +(3m+4)x+(m+l)二0的两个根都属于(T, 1),求m 的取值5•若关于x 的方程x 2+(a-l)x+l=0有两相异实根，且两根均在区间 [0,2]上，求实数a 的取值 范围. 4 .已知二次方程范围.。
默写(10-12)：二次方程根的分布(答案)
高一数学默写（10-12）：二次方程根的分布（答案）班级＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-， 即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-。