第七讲 分式方程和无理方程的解法

分式方程和无理方程的解法

初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根．

分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为：

142

12(2)(2)2

x x x x x +-=++-- 方程两边各项都乘以2

4x -：

2(2)42(2)4x x x x -+-+=-

即2

364x x -=-， 整理得：2

320x x -+= 解得：1x =或2x =．

检验：把1x =代入2

4x -，不等于0，所以1x =是原方程的解；

把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根．

所以，原方程的解是1x =． 说明：

(1) 去分母解分式方程的步骤：

①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程实行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．所以我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程

【例2】解方程 22

23()4011

x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，

设

2

1x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程

2

1

x y x =-． 解：设

2

1

x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．

(1)当4y =时，

2

41x x =-，去分母，得224(1)4402x x x x x =-⇒-+=⇒=；

(2)当1y =-时，2221111012

x x x x x x x -±=-⇒=-+⇒+-=⇒=-． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．

所以，2x =，x =

说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y 的值，而没有求到原方程的解，即x 的值．

【例3】解方程 222

28(2)3(1)

1112x x x x x x

+-+=-+． 分析：注意观察方程特点，能够看到分式2221x x x +-与221

2x x x

-+互为倒数．所以，能够设

22

21

x x

y x +=-，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． 解：设22

21

x x

y x +=-，则22112x y x x -=+

原方程可化为：2338118113018

y y y y y y +

=⇒-+=⇒==或． (1)当1y =时，2222

2112121

x x x x x x x +=⇒+=-⇒=--； (2)当38y =时，22222231

816335163038

51x x x x x x x x x x +=⇒+=-⇒++=⇒=-=--或． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．

所以，原方程的解是12x =-

，3x =-，1

5

x =-． 说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现

了化归思想．

二、可化为一元二次方程的无理方程

根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 1．平方法解无理方程

【例4】解方程

1x =

分析：移项、平方，转化为有理方程求解．

解：1x =+ 两边平方得：2

721x x x +=++

移项，合并同类项得：260x x +-=

解得：3x =-或2x = 检验：把3x =-代入原方程，左边≠右边，所以3x =-是增根． 把2x =代入原方程，左边 = 右边，所以2x =是原方程的根． 所以，原方程的解是2x =．

说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．

【例5】解方程

3=

分析：直接平方将很困难．能够把一个根式移右边再平方，这样就能够转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．

解：3=-

两边平方得：3293x x -=-+

整理得：1427x x =-⇒=- 两边平方得：2

9(3)4914x x x +=-+

整理得：2

23220x x -+=，解得：1x =或22x =．

检验：把1x =代入原方程，左边=右边，所以1x =是原方程的根． 把22x =代入原方程，左边≠右边，所以22x =是增根． 所以，原方程的解是1x =． 说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．

2．换元法解无理方程

【例6】解方程 23152x x ++=

分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，能够发现：2

2

31533(51)x x x x ++=++．所以，能够设

y =，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程处理．

解：y =，则2

2

2

2

513153(1)x x y x x y ++=⇒+=-