高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程课件理北师大版选修4-4

1.将下列参数方程化为普通方程．
(1) 6k y＝ 1＋ k ；
2 2
3k x＝ 2， 1＋ k
x＝ 1－ sin 2θ ， (2) y＝ sin θ ＋ cos θ .
y 解： (1)两式相除，得 k＝ ， 2x y 3· 2x 将其代入得 x＝ ， 2 y 1＋ 2x 化简得所求的普通方程是 4x2＋ y2－ 6y＝ 0(y≠ 6)． (2)由 (sin θ ＋ cos θ ) ＝ 1＋sin 2θ ＝ 2－ (1－ sin 2θ )，x＝ 1 － sin 2θ ∈[0， 2]，得 y ＝ 2－ x. 即所求的普通方程为 y2＝ 2－ x， x∈ [0， 2]．
圆
0≤θ<2π )
acos t x＝_________ (t 为参数且 y＝_________ bsin t
椭 圆
0≤t<2π )
2pt2 x＝_________ (t 为参数) 2 pt y＝_________
考点一 参数方程与普通方程的互化 (1)(2014· 高考湖南卷改编 )在平面直角坐标系中， 2 x＝ 2＋ t， 2 求曲线 C： (t 为参数 )的普通方程． 2 y＝ 1＋ t 2
2.(2016· 洛阳统考 )在平面直角坐标系中，曲线
x＝ 4cos φ ， C1 的参数方程为 (φ 为参数 )，以坐标原点 O 为 y＝ 3sin φ
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐 标方程为 ρ＝ 2cos θ . (1)求曲线 C2 的直角坐标方程； (2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点，点 N 是曲线 C2 上任意 一点，求 |MN|的取值范围．
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(2)(2016·西 安 质 检 ) 若 直 线 3x ＋ 4y ＋ m ＝ 0 与 圆
x＝ 1＋ cos θ ， (θ 为参数)相切，求实数 m 的值． y＝－ 2＋ sin θ
2 2 2 [解] (1)因为 x＝2＋ t，所以 t＝x－2，代入 y＝1＋ t， 2 2 2 得 y＝x－1，即 x－y－1＝0.
解： (1)由 ρ＝ 2cos θ 得 ρ2＝ 2ρcos θ ， 将 ρ2 ＝ x2＋ y2，ρ cos θ ＝ x 代入上面方程，得 x2＋ y2＝ 2x， 即 (x－ 1) ＋ y ＝ 1. (2)|MC2 |min－ 1≤ |MN|≤ |MC2 |max＋ 1. |MC2 | ＝ (4cos φ － 1) ＋ 9sin φ ＝ 7cos φ － 8cos φ ＋ 10， 当 cos φ ＝－1 时， |MC2 | max＝ 25， |MC2 |max＝ 5；当 cos φ 4 54 3 42 3 42 2 ＝ 时 ， |MC2 | min ＝ ， |MC2 |min ＝ .所以 － 7 7 7 7 1≤ |MN|≤ 5＋ 1，

[解] (1)ρ＝2cos θ 等价于 ρ2＝2ρcos θ . 将 ρ2＝x2＋y2，ρ cos θ ＝x 代入 ρ2＝2ρcos θ 得曲线 C 的 直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.
(2)将 y＝
3 x＝5＋ t， 2 1 3＋ t 2
(t 为参数)代入 x2＋y2－2x＝0，
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名 称 直 线 普通方程 y－y0＝k(x－ x0) (x－x0) ＋(y－ y0)2＝R2 x2 y2 ＋ ＝ a2 b2 1(a>b>0) 抛物线 y2＝2px(p>0)
2
参数方程
_________ x＝x 0＋tcosα (t 为参数) y0＋tsinα y＝_________ _________ 0＋Rcosθ x＝x (θ 为参数且 y＝y _________ 0＋Rsinθ
1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式， 一般 消去参数 ，从参数方程得到普通方程． 地，可以通过 ___________ (2)如果知道变数 x， y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t) ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关 ________ x＝ f（ t）， g ( t ) 系 y＝ ________，那么 就是曲线的参数方程， y＝ g（ t） 在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x， y 的取值范围 ________ 保持一致．
得 t2＋5 3t＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意 义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注 意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与 圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常 用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交， 交点为 M1， M2， 所对应的参数分别为 t1， t2 . ①弦长 l＝ |t1－ t2 |； ②弦 M1 M2 的中点⇒ t1＋ t2＝ 0； ③ |M0 M1 ||M0 M2 |＝ |t1t2 |.
2 2
考点二 参数方程的应用 3 x＝ 5＋ t， 2 (2015· 高考湖南卷)已知直线 l： (t 为 1 y＝ 3＋ t 2 参数 )．以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2cos θ . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为 (5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求 |MA|· |MB|的值．
x＝1＋cos θ ， (2)圆 消去参数 θ，化为普通方程是 (x－1)2 y＝－2＋sin θ
＋(y＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线 |3＋4×（－2）＋m| 的距离等于半径，即 ＝1，解得 m＝0 或 5 m＝10.
将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特 征， 选取适当的消参方法． 常见的消参方法有： 代入消参法、 加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程， 常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2θ ＋ cos 2θ ＝1 等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性， 不要增解 .