高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程课件理北师大版选修4-4
高考数学一轮复习统考 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程学案(含解析)北师大版选修4-4
第2讲 参数方程基础知识整合1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t(*)，如果对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组(*)01参数方程，变数t 叫做参数．2．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹普通方程参数方程直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝02x 0＋t cos αy ＝03y 0＋t sin α(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝04r cos θy ＝05r sin θ(θ为参数)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝06a ＋r cos θy ＝07b ＋r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝08a cos φy ＝09b sin φ(φ为参数)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎨⎧x ＝10acosφy ＝11b tan φ(φ为参数)抛物线 y 2＝2px⎩⎪⎨⎪⎧x ＝122pt 2y ＝132pt(t 为参数)1．参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．2．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin70°，y ＝2＋t cos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析 ∵x ＝1＋t sin70°＝1＋t cos20°，y ＝2＋t cos70°＝2＋t sin20°，∴直线的倾斜角为20°.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( )A ．23 B ．－23C ．32D ．－32答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2t ，y －2＝－3t ，∴y －2＝－3·x －12，即y ＝－32x ＋72，故直线的斜率为－32. 3．(2019·北京高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t(t 为参数)，则点(1,0)到直线l 的距离是( )A ．15 B ．25 C ．45D ．65答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋－32＝65.故选D. 4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A ．14B ．214C ． 2D ．2 2答案 D解析 由题意，得直线l 的普通方程为x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心到直线l 的距离d ＝2，设圆C 的半径为r ，则弦长＝2r 2－d 2＝2 2.5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案 3解析 由题意，知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意，知0＝3－a ，所以a ＝3.6．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2 5解析 因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ＝3ρcos θ，所以y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t，消去t ，得y 2－x 2＝ 4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨令A ⎝⎛⎭⎪⎫22，322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，由两点间的距离公式，得 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3222＝2 5.核心考向突破考向一 参数方程与普通方程的互化例1 (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 解 (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 21＋t 22＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致． [即时训练] 1.(2019·海口模拟)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α(α是参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 解 (1)因为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322， 所以2ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝3，即ρsin θ＋ρcos θ－3＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得 直线l 的直角坐标方程是x ＋y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －2＝sin α，所以曲线C 的普通方程是x 2＋(y －2)2＝1.(2)由(1)，得曲线C 是以(0,2)为圆心，1为半径的圆， 又圆心(0,2)到直线l 的距离d ＝|0＋2－3|2＝22，所以直线l 与曲线C 相交，故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋22. 考向二 直线的参数方程例 2 (1)(2019·福建福州质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. ①求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；②设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.解 ①由ρ2＝21＋sin 2θ，得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入上式并整理，得曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1，设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，所以点P 的直角坐标为(1,1)．②将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x 22＋y 2＝1，并整理，得41t 2＋110t ＋25＝0，因为Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041，依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.(2)(2019·兰州二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝10.①若l 与C 相交于A ，B 两点，P (－2,0)，求|PA |·|PB |；②圆M 的圆心在极轴上且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．解 ①由ρ＝10，得x 2＋y 2＝10，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 2＝10，得t 2－2t －6＝0，则t 1t 2＝－6，故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝6. ②直线l 的普通方程为3x －y ＋23＝0， 设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a >0)． 圆心(a,0)到直线l 的距离为d ＝|3a ＋23|2，因为2a 2－d 2＝1，所以d 2＝a 2－14＝3a ＋224，解得a ＝13(a ＝－1<0舍去)，所以圆M 的半径为13.直线方程中参数t 的几何意义的应用经过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 1－t 2|＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[即时训练] 2.(2019·成都一诊)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t －1(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P (0，－1)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 解 (1)将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 的普通方程为3x －y －1＝0.曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ，即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ＋2x ， 故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将直线l 的参数方程代入(x －1)2＋(y －1)2＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －22＝2，化简，得t 2－(1＋23)t ＋3＝0.∵Δ＞0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2. 由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝23＋1，t 1t 2＝3，故t 1，t 2同正．由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝23＋1.3．(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2,1)，直线l 与曲线C 相交于点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解 (1)由曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，得C 的普通方程为(x－4)2＋(y －3)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0. (2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－(3＋1)t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12·2t ，y ＝1＋32·2t ，所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4. 考向三 极坐标方程与参数方程的综合例 3 (1)(2019·河北唐山一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(其中t 为参数，0<α<π)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.①求l 和C 的直角坐标方程；②若l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求α. 解 ①当α＝π2时，l ：x ＝1，当α≠π2时，l ：y ＝tan α(x －1)．由ρsin 2θ＝4cos θ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 的直角坐标方程为y 2＝4x .②将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得 (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0， 则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α， 因为|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4sin 2α＝8， 所以sin α＝22或－22， 因为0<α<π，所以sin α＝22，故α＝π4或3π4. (2)(2019·济南模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3. ①求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；②射线OP 的极坐标方程为θ＝π6，若射线OP 与曲线C 的交点为A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 ①由⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝1＋3sin θ，得⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y －1＝3sin θ，所以x 2＋(y －1)2＝3cos 2θ＋3sin 2θ＝3， 所以曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝3.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝23， 所以32ρsin θ＋12ρcos θ－23＝0， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0. ②解法一：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2－2y －2＝0， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0. 由题意设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ21－ρ1－2＝0，所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)，将θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ2＝4， 所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2.解法二：因为射线OP 的极坐标方程为θ＝π6，所以射线OP 的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －12＝3，y ＝33x x ≥0，解得A (3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －43＝0，y ＝33x x ≥0，解得B (23，2)， 所以|AB |＝ 23－32＋2－12＝2.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题．[即时训练] 4.(2019·武汉市高三第二次诊断性考试)在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，l 与x 轴交于点M . (1)求l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；(2)设l 与C 相交于A ，B 两点，若|MA |，|AB |，|MB |成等比数列，求p 的值．解 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，得 ρsin θ－3ρcos θ＝3，将ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x 代入，得y ＝3x ＋3，∴l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋ 3.令y ＝0，得点M 的直角坐标为(－1,0)，∴点M 的极坐标为(1，π)．(2)由(1)，知l 的倾斜角为π3， 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入y 2＝2px ，得3t 2－4pt ＋8p ＝0， ∴t 1＋t 2＝4p 3，t 1t 2＝8p 3. ∵|AB |2＝|MB |·|MA |，∴(t 1－t 2)2＝t 1t 2，∴(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 32＝5×8p 3，∴p ＝152.5．(2019·许昌模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值． 解 (1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2＝1(t >0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x ，得 (1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t >0，所以0<t <3，故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)，知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离 d ＝|t cos α＋sin α－2|2， 故d 的最大值为t 2＋1＋22， 由题设，得t 2＋1＋22＝62＋2，解得t ＝± 2. 又t >0，所以t ＝ 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.。
北师大版2017高考数学(理)总复习选修4-4 第2节参数方程课件PPT
(t 为参数)，椭圆 C
(θ 为参数)．设直线
l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长．
高三一轮总复习
2 y [解] 椭圆 C 的普通方程为 x2＋ ＝1. 4
2分
1 x＝1＋2t， 将直线 l 的参数方程 y＝ 3t 2 即 7t2＋16t＝0，
8分 10 分
高三一轮总复习
[规律方法] 1.将参数方程化为普通方程， 消参数常用代入法、 加减消元法、 三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数 的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响，要保持同解变形．
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[变式训练 1] 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线
高三向 · 题 型 突 破
参数方程
课 时 分 层 训 练
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[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直 线、圆和椭圆曲线的参数方程．
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1．曲线的参数方程 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变 数t
(2，－4) [由 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得 x＋y＝－2.①
2 x＝t ， 由 y＝2 2t，
消去 t 得 y2＝8x.②
x＝2， 联立①②得 y＝－4，
即交点坐标为(2，－4)．]
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5．(2016· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 1 x＝1＋2t， y＝ 3t 2
2 3 t 2 2 2 1 y 1 ＋ t 代入 x2＋ ＝1，得 ＋ ＝1， 2 4 4
高考数学一轮复习第十章选修系列选修4_4第二节参数方程课件文北师大版
轨迹
普通方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0) (α≠π2， 点斜式)
圆
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
椭圆
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
参数方程
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)
x＝a＋rcos y＝b＋rsin
θ， θ
(θ
为参数)
x＝acos φ， y＝bsin φ
l
的参数方程为xy＝＝－a－4t2t，(t
为参数)，圆
C
的参数方程为xy＝＝44scions
θ， θ
(θ 为参数)．
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
[解析] (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0， 圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a|≤4， 解得－2 5≤a≤2 5. 即实数 a 的取值范围为[－参数方程为xy＝＝22sin3cαos
α， (α
为参数)．
(2)设 N(2
3cos α，2sin α)(0≤α＜2π)，点 M 的极坐标4
2，π4化成直角坐标为(4，4)，
则 P( 3cos α＋2，sin α＋2)，
∴点 P 到直线 l 的距离 d＝|
3cos α－sin α－6| 2
＝2cosα＋2π6－6≥2 2，
当 cosα＋π6＝1 时，等号成立． ∴点 P 到 l 的距离的最小值为 2 2.
|2cos α＋2
3sin 7
α＋11|＝4cosα－7π3＋11.
2020高考数学一轮复习 坐标系与参数方程第2讲 参数方程教案 理 选修4-4
第2讲 参数方程【2020年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝ft ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．双基自测1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝xρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －6 3．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0)4．(2020·广州调研)已知直线l的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析 将直线l的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－11＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交5．(2020·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．解析 由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(y ≥0)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得，x＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0. 解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t .解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中， 得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程． 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】 (2020·陕西)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二 直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．[审题视点] (1)求圆心到直线l 的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t 的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2. 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考向三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1， 即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝ 425.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】 (2020·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2.∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.∴|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．【示例】► (本题满分10分)(2020·新课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C 1、曲线C 2均用极坐标表示，再求射线θ＝π3与曲线C 1、C 2的交点A 、B 的极径即可． [解答示范] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分)很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力．【试一试】 (2020·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．[尝试解答] 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从 而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.。
高考数学一轮复习坐标系与参数方程课件文北师大版选修4_4
-5知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
6
3.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程 为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0; (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π (3)直线过M ������, 且平行于极轴:ρsin θ=b.
(4)参数方程
(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. ( )
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
答案
-10知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极 坐标是( ) A. 10, 3 2π C. -10,- 3
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( ) (2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程. ( ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2,
3π 4
.(
) ������ = -1-������, (t 为参数)所表示的图形是直线. ( ������ = 2 + ������ )
(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 ������ = ������ + ������cos������ , (θ 为参数). ������ = ������ + ������sin������
高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程第2讲参数方程课件理北师大版
解析：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得 x＋y＝－2 ①. 又xy＝＝2t2，2t，消去 t，得 y2＝8x ②. 联立①②得xy＝＝－2，4，即交点坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)
参数方程与普通方程的互化(自主练透)
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ，
(1)y＝1t
(t t2－1
M0M 的数量．
(√ )
(3)方程xy＝＝12＋cos2sθi，n θ(θ 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆．
(√ )
(4)已知椭圆的参数方程xy＝＝42scions
t， t (t
为参数)，点
M
在椭圆上，对应参数
t＝π3，点
O
为
原点，则直线 OM 的斜率为 3.
(× )
Байду номын сангаас
二、易错纠偏 常见误区 (1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数 t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错．
圆
O
的参数方程为xy＝＝22scions
θ， θ (θ
为参数)，根据
sin2θ＋cos2θ＝1
消去参数
θ，可得
x2＋y2＝4，所以圆心
O
到直线
l
的距离
d＝
2＝ 2
2，故弦长|AB|＝2
r2－d2＝2
2.
把直线
l
x＝2＋ 的参数方程标准化可得
22t，将其代入圆
O
的方程
x2＋y2＝4
得
t2＋6
2
y＝4＋ 22t，
1．(2020·日照模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系．已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ－π3，直线 l 过点 P(0，－ 3) 且倾斜角为π3. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|的值．
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程2参数方程课件文高三选修44数学课件
数方程为yx＝＝44scionsθθ，
(θ 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单
位，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ＋π4＝ 2. (1)求直线 l 的直角坐标方程；
(2)设直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求线段 AB 的长．
第十九页，共二十二页。
解析：(1)因为 ρsinθ＋π4＝ 22ρsinθ＋ 22ρcosθ＝ 2，ρsinθ＝ y，ρcosθ＝x，所以直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0.
(2)把曲线 C 的参数方程xy＝ ＝44csionsθθ， x2＋y2＝16，
化为普通方程可得
故曲线 C 是以原点为圆心，以 4 为半径的圆，设半径为 r，
(m
为参数)．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cos θ＋sin θ)－ 2＝0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径．
第十五页，共二十二页。
解析：(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)； 消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝1k(x＋2)．
则 3－a＝0，∴a＝3.
第七页，共二十二页。
悟·技法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路 是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等 式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.
第八页，共二十二页。
考向二 参数方程的应用[互动讲练型]
[例 1] [2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参
2020届一轮复习北师大版 选修4-4.2参数方程 课件(35张)
5sicno���s���������,(0≤θ<π)和
������
=
5 4
������
2
,(t∈R),它
������ = ������
பைடு நூலகம்
们的交点坐标为
.
【答案】
1,
2 5
5
【解析】由两曲线参数方程消去 x,y,t 得 5cosθ=5sin2θ,
4
即 5cos2θ+4 5cosθ-5=0. 又∵0≤θ<π,∴解得 cosθ=55.
5.写出椭圆(������-1 )2 + (������+2)2=1 的参数方程.
3
5
【解】设������-31=cosθ ,������+52=s inθ ,则
������ = 1 + 3cos������,(θ 为参数),即为所求的参数方程. ������ = -2 + 5sin������
T 题型一参
PQ
中点
M
到直线
C3:
������ = 3 + 2������, ������ = -2 + ������ (t
为参数)距离的最小值.
【解】(1)由题意可得 C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:���6���24 + ���9���2=1.
曲线 C1为圆心是(-4,3),半径为 1 的圆. 曲线 C2为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (2)当 t=π2时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),
x2+y2=1
和������2
9
+y2=1.
【人教版】数学(理)一轮复习：选修4-4《坐标系与参数方程》(第2节)ppt课件 公开课一等奖课件PPT
选修4-4 坐标系与参数方程
2．(2013·陕
西
高考
)圆
锥曲线
x＝t2， y＝2t
(t 为参数)的焦点坐标是
________．
解析 代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2＝4x，
则焦点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
选修4-4 坐标系与参数方程
3．(2012·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴
选修4-4 坐标系与参数方程
直线的参数方程 [典题导入]
(2014·东北三省三校第二次联考)在直角坐标系 xOy 中，已
知点 P(0， 3)，曲线 C 的参数方程为xy＝ ＝
5cos φ， 15sin φ
(φ 为参数)．以
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标
方程为 ρ＝2cosθ3－π6.
解析 直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋y2 ＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为
12＋|2|－12＝ 2. 答案 2
选修4-4 坐标系与参数方程
5．(2013·广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点
为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的
参数分别为 t1，t2.线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0. 注意以下几个常用的结论：
(1)t0＝t1＋2 t2；(2)|PM|＝|t0|＝|t1＋2 t2|；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|
＝|t1t2|.
选修4-4 坐标系与参数方程
2022版高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程2参数方程课件理北师大版
必备知识·自主学习
提示:(1)√.在参数方程中,t是自变量数t表示距离
.| M M 0 |
(3)√.圆的参数方程的标准形式.
(4)×.当t= 时 ,对应的点M为
3
(1, 2,则3k) OM=2 . 3
第八页，编辑于星期六：四点 十六分。
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第九页，编辑于星期六：四点 十六分。
x ＝ f ( t)，
y
＝
g (t).
第四页，编辑于星期六：四点 十六分。
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2(1.直)直线线、过点圆M、(x椭0,圆y0)的,倾参斜数角方为程α,参数方程为________xy_＝ ＝__yx_00＋＋_(tt_sci_on为s参，数t ).
x＝x0＋rcos，
(2)圆心为M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为______y_＝__y_0＋ __r_s(in___为参θ数).
x＝ y＝
f ( t )，中的x,y都是参数t的函数.(
g (t)
(2)过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
)
xy＝ ＝yx00＋＋tt(sctio为ns参，
数).参数|t|的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点
的有向线段 M 0M 的模. ( )
第六页，编辑于星期六：四点 十六分。
x＝ acos，
(3)椭圆
x a
2 2
＋
y2 b2
=1(a>b>0)的参数方程为___ _y＝__b_si_n__
(__φ_为参数)
注意:在利用参数方程时,一定要注意参数是什么.
第五页，编辑于星期六：四点 十六分。
必备知识·自主学习
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[解] (1)ρ＝2cos θ 等价于 ρ2＝2ρcos θ . 将 ρ2＝x2＋y2，ρ cos θ ＝x 代入 ρ2＝2ρcos θ 得曲线 C 的 直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.
(2)将 y＝
3 x＝5＋ t， 2 1 3＋ t 2
(t 为参数)代入 x2＋y2－2x＝0，
2.(2016· 洛阳统考 )在平面直角坐标系中，曲线
x＝ 4cos φ ， C1 的参数方程为 (φ 为参数 )，以坐标原点 O 为 y＝ 3sin φ
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐 标方程为 ρ＝ 2cos θ . (1)求曲线 C2 的直角坐标方程； (2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点，点 N 是曲线 C2 上任意 一点，求 |MN|的取值范围．
1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式， 一般 消去参数 ，从参数方程得到普通方程． 地，可以通过 ___________ (2)如果知道变数 x， y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t) ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关 ________ x＝ f（ t）， g ( t ) 系 y＝ ________，那么 就是曲线的参数方程， y＝ g（ t） 在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x， y 的取值范围 ________ 保持一致．
x＝1＋cos θ ， (2)圆 消去参数 θ，化为普通方程是 (x－1)2 y＝－2＋sin θ
＋(y＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线 |3＋4×（－2）＋m| 的距离等于半径，即 ＝1，解得 m＝0 或 5 m＝10.
将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特 征， 选取适当的消参方法． 常见的消参方法有： 代入消参法、 加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程， 常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2θ ＋ cos 2θ ＝1 等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性， 不要增解 .
得 t2＋5 3t＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意 义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注 意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与 圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常 用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交， 交点为 M1， M2， 所对应的参数分别为 t1， t2 . ①弦长 l＝ |t1－ t2 |； ②弦 M1 M2 的中点⇒ t1＋ t2＝ 0； ③ |M0 M1 ||M0 M2 |＝ |t1t2 |.
(2)(2016·西 安 质 检 ) 若 直 线 3x ＋ 4y ＋ m ＝ 0 与 圆
x＝ 1＋ cos θ ， (θ 为参数)相切，求实数 m 的值． y＝－ 2＋ sin θ
2 2 2 [解] (1)因为 x＝2＋ t，所以 t＝x－2，代入 y＝1＋ t， 2 2 2 得 y＝x－1，即 x－y－1＝0.
圆
0≤θ<2π )
acos t x＝_________ (t 为参数且 y＝_________ bsin t
椭 圆
0≤t<2π )
2pt2 x＝_________ (t 为参数) 2 pt y＝_________
考点一 参数方程与普通方程的互化 (1)(2014· 高考湖南卷改编 )在平面直角坐标系中， 2 x＝ 2＋ t， 2 求曲线 C： (t 为参数 )的普通方程． 2 y＝ 1＋ t 2
解： (1)由 ρ＝ 2cos θ 得 ρ2＝ 2ρcos θ ， 将 ρ2 ＝ x2＋ y2，ρ cos θ ＝ x 代入上面方程，得 x2＋ y2＝ 2x， 即 (x－ 1) ＋ y ＝ 1. (2)|MC2 |min－ 1≤ |MN|≤ |MC2 |max＋ 1. |MC2 | ＝ (4cos φ － 1) ＋ 9sin φ ＝ 7cos φ － 8cos φ ＋ 10， 当 cos φ ＝－1 时， |MC2 | max＝ 25， |MC2 |max＝ 5；当 cos φ 4 54 3 42 3 42 2 ＝ 时 ， |MC2 | min ＝ ， |MC2 |min ＝ .所以 － 7 7 7 7 1≤ |MN|≤ 5＋ 1，
2 2
考点二 参数方程的应用 3 x＝ 5＋ t， 2 (2015· 高考湖南卷)已知直线 l： (t 为 1 y＝ 3＋ t 2 参数 )．以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2cos θ . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为 (5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求 |MA|· |MB|的值．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名 称 直 线 普通方程 y－y0＝k(x－ x0) (x－ ＋(y－ y0)2＝R2 x2 y2 ＋ ＝ a2 b2 1(a>b>0) 抛物线 y2＝2px(p>0)
2
参数方程
_________ x＝x 0＋tcosα (t 为参数) y0＋tsinα y＝_________ _________ 0＋Rcosθ x＝x (θ 为参数且 y＝y _________ 0＋Rsinθ
1.将下列参数方程化为普通方程．
(1) 6k y＝ 1＋ k ；
2 2
3k x＝ 2， 1＋ k
x＝ 1－ sin 2θ ， (2) y＝ sin θ ＋ cos θ .
y 解： (1)两式相除，得 k＝ ， 2x y 3· 2x 将其代入得 x＝ ， 2 y 1＋ 2x 化简得所求的普通方程是 4x2＋ y2－ 6y＝ 0(y≠ 6)． (2)由 (sin θ ＋ cos θ ) ＝ 1＋sin 2θ ＝ 2－ (1－ sin 2θ )，x＝ 1 － sin 2θ ∈[0， 2]，得 y ＝ 2－ x. 即所求的普通方程为 y2＝ 2－ x， x∈ [0， 2]．